《控制工程基礎(chǔ)》第三章時域分析

時域響應(yīng)穩(wěn)態(tài)（靜態(tài)）響應(yīng)：當某一信號輸入時，系統(tǒng)在時間趨于無窮大時的輸出狀態(tài)。瞬態(tài)（過渡）響應(yīng)：系統(tǒng)在某一輸入信號作用下其輸出量從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應(yīng)過程。3.1時域響應(yīng)以及典型輸入信號3.2一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)3.4控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析3.6基于Matlab的時域分析第三章控制系統(tǒng)的時域響應(yīng)分析方法3.1時域響應(yīng)以及典型輸入信號

控制系統(tǒng)在外加作用（輸入）激勵下，其輸出量隨時間變化的函數(shù)關(guān)系稱為系統(tǒng)的時域響應(yīng)（timeresponse）。

由于線性定常系統(tǒng)可用微分方程來描述，所以系統(tǒng)時域響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達式就是微分方程的解。任一穩(wěn)定系統(tǒng)的時域響應(yīng)都是由瞬態(tài)響應(yīng)(transientresponse)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)(steady-stateresponse)兩部分組成。3.1時域響應(yīng)以及典型輸入信號數(shù)學(xué)處理簡單，給定典型信號下的性能指標，便于分析和綜合系統(tǒng)；典型輸入的響應(yīng)往往可以作為分析復(fù)雜輸入時系統(tǒng)性能的基礎(chǔ)；便于進行系統(tǒng)辨識，確定未知環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)。分析瞬態(tài)響應(yīng)時，往往選擇典型輸入信號，這是因為：典型輸入信號1.階躍信號數(shù)學(xué)表達式：示意圖：2.斜坡信號數(shù)學(xué)表達式：示意圖：3.加速度信號數(shù)學(xué)表達式：示意圖：4.脈沖信號數(shù)學(xué)表達式：示意圖：當系統(tǒng)輸入為單位脈沖函數(shù)時，其輸出響應(yīng)稱為脈沖響應(yīng)函數(shù)。

由于δ函數(shù)的拉氏變換等于1，因此系統(tǒng)傳遞函數(shù)即為脈沖響應(yīng)函數(shù)的象函數(shù)。0tf(t)單位脈沖函數(shù)

1

5.正弦函數(shù)：數(shù)學(xué)表達式：示意圖：3.1節(jié)小結(jié)選擇哪種函數(shù)作為典型輸入信號，應(yīng)視不同系統(tǒng)的具體工作情況而定。時域響應(yīng)及典型輸入信號：瞬態(tài)響應(yīng)及穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的概念典型輸入信號

階躍函數(shù)

斜坡函數(shù)加速度函數(shù)脈沖函數(shù)正弦函數(shù)3.2一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)一階系統(tǒng)：

能夠用一階微分方程描述的系統(tǒng)。它的典型形式是一階慣性環(huán)節(jié)。3.2.1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍輸入象函數(shù)為則進行拉氏反變換特點：(1)穩(wěn)定，無振蕩；(2)經(jīng)過時間

T曲線上升到

0.632的高度；(3)調(diào)整時間為

(3～4)T；(4)在

t=0處，響應(yīng)曲線的切線斜率為

1/T；

3.2.2一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)單位斜坡輸入象函數(shù)為

則進行拉氏反變換3.2.3一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)單位脈沖輸入象函數(shù)為則進行拉氏反變換3.2節(jié)小結(jié)一階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)：三者的關(guān)系？1.單位斜坡響應(yīng)2.單位階躍響應(yīng)3.單位脈沖響應(yīng)3.3二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)用二階微分方程描述的系統(tǒng)稱為二階系統(tǒng)。它的典型形式是二階振蕩環(huán)節(jié)。為阻尼比；為無阻尼自振角頻率

形式一：形式二：3.3.1二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍輸入象函數(shù)為則根據(jù)二階系統(tǒng)的極點分布特點,分五種情況進行討論。1.欠阻尼

二階系統(tǒng)的極點是一對共軛復(fù)根。式中，，稱為阻尼自振角頻率。進行拉氏反變換，得

特點：1.以為角頻率衰減振蕩；

2.隨著的減小，振蕩幅度加大。

2.臨界阻尼二階系統(tǒng)的極點是二重負實根。進行拉氏反變換,得特點：無振蕩。

3.過阻尼

二階系統(tǒng)的極點是兩個負實根。

則

特點：無振蕩，過渡時間長。

進行拉氏反變換，得特點：無阻尼等幅振蕩。

4.零阻尼

二階系統(tǒng)的極點是一對共軛虛根。進行拉氏反變換,得5.負阻尼

二階系統(tǒng)的極點具有正實部。響應(yīng)表達式的指數(shù)項變?yōu)檎笖?shù)，隨著時間

，其輸出，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

其響應(yīng)曲線有兩種形式：發(fā)散振蕩單調(diào)發(fā)散二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)：

單位階躍響應(yīng)欠阻尼臨界阻尼過阻尼零阻尼負阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)小結(jié)欠阻尼：衰減振蕩，振蕩角頻率為，隨著阻尼系數(shù)的減小，其振蕩幅度加大；臨界阻尼：無振蕩；過阻尼：無振蕩，阻尼比越大，過渡時間越長；零阻尼：等幅振蕩；負阻尼：發(fā)散，系統(tǒng)不穩(wěn)定。二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)小結(jié)3.3.2時域分析性能指標時域分析性能指標是以系統(tǒng)對單位階躍輸入的瞬態(tài)響應(yīng)形式給出的。1.上升時間響應(yīng)曲線從零時刻首次到達穩(wěn)態(tài)值的時間。或從穩(wěn)態(tài)值的

10%上升到穩(wěn)態(tài)值的90％所需的時間。

2.峰值時間響應(yīng)曲線從零時刻上升到第一個峰值點所需要的時間。3.最大超調(diào)量響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差與穩(wěn)態(tài)值之比；單位階躍輸入時，即是響應(yīng)曲線的最大峰值與穩(wěn)態(tài)值的差。通常用百分數(shù)表示。4.調(diào)整時間響應(yīng)曲線達到并一直保持在允許誤差范圍內(nèi)的最短時間。允許誤差±5％5.延遲時間響應(yīng)曲線從零上升到穩(wěn)態(tài)值的50%所需要的時間。6.振蕩次數(shù)在調(diào)整時間內(nèi)響應(yīng)曲線振蕩的次數(shù)。允許誤差±5％以欠阻尼二階系統(tǒng)為重點。時域性能指標的求取該系統(tǒng)的極點是一對共軛復(fù)根。由前述所求，該系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為將代入，得1.求取上升時間由于上升時間是輸出響應(yīng)首次達到穩(wěn)態(tài)值的時間，故因為

所以峰值點為極值點，令，得2.求取峰值時間因為

所以將上式代入到單位階躍響應(yīng)表達式中，得

3.求取最大超調(diào)量4.求取調(diào)整時間以進入±5%的誤差范圍為例，

解得同理可證，進入±2%的誤差范圍，則有當阻尼比較小時，有當阻尼比一定時，無阻尼自振角頻率

越大，則調(diào)整時間越短，系統(tǒng)響應(yīng)越快。當

較大時，前面兩式的近似度降低。當允許有一定超調(diào)時，工程上一般選擇二階系統(tǒng)阻尼比ζ在0.5~1之間。當ζ變小時，ζ愈小，則調(diào)整時間

愈長；而當ζ變大時，ζ愈大，調(diào)整時間

也愈長。例某磁懸浮列車系統(tǒng)，輸入直流大小與磁懸浮列車上升的高度之間的關(guān)系如下圖所示，求其動態(tài)性能參數(shù)。（K=100)。I(s)z(s)_解：系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：因為K=100因而

，。上升時間為峰值時間為調(diào)整時間，設(shè)誤差控制在±0.05之內(nèi)超調(diào)量為例

欲使系統(tǒng)的最大超調(diào)量等于20%，峰值時間等于1s，試確定增益K和Kh的數(shù)值，并確定在此K和Kh數(shù)值下，系統(tǒng)的上升時間tr和調(diào)整時間ts。解：依題意：解之得因而

依題意：所以（系統(tǒng)進入±2%的誤差范圍）例下圖所示系統(tǒng)，施加8.9N階躍力后，記錄其時間響應(yīng)如圖，試求該系統(tǒng)的質(zhì)量M、彈性剛度k和粘性阻尼系數(shù)D的數(shù)值。解：根據(jù)牛頓第二定律拉氏變換，并整理得由

有由

有3.4.1系統(tǒng)穩(wěn)定性的基本概念1.單擺2.閉環(huán)控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題

定義：若控制系統(tǒng)在任何足夠小的初始偏差的作用下，其過渡過程隨著時間的推移，逐漸衰減并趨于零，具有恢復(fù)原平衡狀態(tài)的性能，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定；否則，稱該系統(tǒng)為不穩(wěn)定。系統(tǒng)受擾動后能否恢復(fù)原來的狀態(tài)3.4.2系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件N(s)到Xo(s)的傳遞函數(shù)：設(shè)n(t)為單位脈沖函數(shù)，如果系統(tǒng)穩(wěn)定，應(yīng)有即

為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程式的根的實部控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

閉環(huán)特征方程式的根全部具有負實部

系統(tǒng)特征根即閉環(huán)極點，故也可以說充要條件為：極點全部在[s]平面的左半面為系統(tǒng)的特征根基于方程式的根與系數(shù)的關(guān)系

3.4.3勞斯判據(jù)設(shè)系統(tǒng)特征方程為

充要條件：如果“勞斯陣列”中第一列所有項均為正，則系統(tǒng)穩(wěn)定。勞斯陣列：

其中實部為正的特征根數(shù)＝勞斯陣列中第一列的系數(shù)符號改變的次數(shù)。例:設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。勞斯陣列第一列中系數(shù)符號全為正，所以控制系統(tǒng)穩(wěn)定。

解：排勞斯陣列例2設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

試應(yīng)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：由方程系數(shù)可知已滿足穩(wěn)定的必要條件。 排勞斯陣列第一列系數(shù)改變符號2次，閉環(huán)系統(tǒng)的根中有2個實部為正，控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。

二階系統(tǒng)特征式為，勞斯表為故二階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是

對于特征方程階次低（n≤3）的系統(tǒng)，勞斯判據(jù)可簡化：三階系統(tǒng)特征式為，勞斯表:故三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是

例設(shè)某反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試計算使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍。解：系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為特征方程為根據(jù)三階系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件，可知使系統(tǒng)穩(wěn)定須滿足故使系統(tǒng)穩(wěn)定的K值范圍為例:設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。勞斯陣列表符號改變2次，2個正實根。無正實根，有虛根。例:設(shè)控制系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為用勞斯判據(jù)判斷穩(wěn)定性。勞斯陣列表臨界穩(wěn)定勞斯判據(jù)的不足：定性——較難從量上判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定程度必須知道系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)Nyquist穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)開環(huán)頻率特性判斷閉環(huán)穩(wěn)定性對含有延遲環(huán)節(jié)的系統(tǒng)無效

“準確”是對控制系統(tǒng)提出的一個重要要求。對于實際系統(tǒng)來說，輸出量常常不能絕對精確地達到所期望的數(shù)值，期望的數(shù)值與實際輸出的差就是所謂的誤差。

系統(tǒng)的輸出量通常由瞬態(tài)分量和穩(wěn)態(tài)分量組成。誤差也由瞬態(tài)誤差和穩(wěn)態(tài)誤差兩部分組成。在過渡過程開始時，瞬態(tài)誤差是誤差的主要部分，但它隨時間而逐漸衰減，穩(wěn)態(tài)誤差逐漸成為誤差的主要部分。穩(wěn)態(tài)誤差分析是本節(jié)要討論的問題。3.5控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析3.5.1穩(wěn)態(tài)誤差的基本概念1.系統(tǒng)的誤差與偏差誤差是以系統(tǒng)的輸出端為基準來定義的：控制系統(tǒng)的理想輸出量與實際輸出量之差，稱為誤差。1.系統(tǒng)的誤差與偏差偏差是以系統(tǒng)的輸入端為基準來定義的：控制系統(tǒng)的輸入量與實際輸出反饋量之差，稱為偏差。1.系統(tǒng)的誤差與偏差和間的關(guān)系：對控制系統(tǒng)的控制作用體現(xiàn)在，如則，就起控制作用，力圖將調(diào)節(jié)到值；反之，當，就有，而使不再對進行調(diào)節(jié)。因此，當時：1.系統(tǒng)的誤差與偏差故又由故可得故求出偏差后，即可求出誤差。2.系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與穩(wěn)態(tài)偏差系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差是指系統(tǒng)進入穩(wěn)態(tài)后的誤差，因此，不討論過渡過程中的情況。只有穩(wěn)定的系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差的定義為其計算可利用拉式變換的終值定理進行：同理，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差：輸入偏差傳遞函數(shù)3.5.2輸入引起的穩(wěn)態(tài)誤差由上式可知，穩(wěn)態(tài)偏差不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)有關(guān)，而且與輸入信號的特性有關(guān)。系統(tǒng)的“型次”設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為式中，為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數(shù)（稱為系統(tǒng)的無差度），表征了系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)特征。工程上一般規(guī)定：分別稱為“0型”，“I型”和“II型”系統(tǒng)。愈高，穩(wěn)態(tài)精度愈高，但穩(wěn)定性愈差。因此，一般系統(tǒng)不超過III型。單位階躍輸入：

單位階躍輸入靜態(tài)位置誤差系數(shù)：

單位階躍輸入的穩(wěn)態(tài)誤差：

Ⅰ型以上系統(tǒng)0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差

單位階躍輸入Ⅰ型以上系統(tǒng)0型系統(tǒng)單位階躍輸入：可見，當系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)中有積分環(huán)節(jié)存在時，系統(tǒng)階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值將是無差的。而沒有積分環(huán)節(jié)時，穩(wěn)態(tài)是有差的。為了減少誤差，應(yīng)當適當提高放大倍數(shù)。但過大的K值，將影響系統(tǒng)的相對穩(wěn)定性。單位斜坡輸入：

單位斜坡信號靜態(tài)速度誤差系數(shù)：

單位斜坡輸入的穩(wěn)態(tài)誤差：

Ⅰ型系統(tǒng)單位斜坡信號0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差

Ⅰ型以上系統(tǒng)對I型系統(tǒng)對0型系統(tǒng)對II型系統(tǒng)單位斜坡輸入時：上述結(jié)果說明，0型系統(tǒng)不能跟隨斜坡輸入，因為其穩(wěn)態(tài)偏差為無窮；I型系統(tǒng)可跟隨斜坡輸入，但存在穩(wěn)態(tài)偏差，同樣可增大K值來減少偏差；II型以上系統(tǒng)，對斜坡輸入響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)是無差的

。單位加速度輸入：

單位加速度信號靜態(tài)加速度誤差系數(shù)：

單位速度輸入的穩(wěn)態(tài)誤差：

Ⅰ型系統(tǒng)單位加速度信號0型系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差

II型系統(tǒng)對I型系統(tǒng)對0型系統(tǒng)對II型系統(tǒng)單位加速度輸入時：可見，輸入為加速度信號時，0、I型系統(tǒng)不能跟隨；II型為有差，要無差需要采用III型或以上。系統(tǒng)的開環(huán)類別單位階躍單位斜坡單位加速度0型I型II型各類系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差總結(jié)：穩(wěn)態(tài)偏差與輸入信號的形式有關(guān)。在隨動系統(tǒng)中，一般稱階躍信號為位置信號，斜坡信號為速度信號，拋物線信號為加速度信號。由輸入“某種”信號而引起的穩(wěn)態(tài)偏差用一個系數(shù)來表示，就叫“某種”誤差系數(shù)。如輸入階躍信號而引起的偏差，就叫靜態(tài)位置誤差系數(shù)。它表示了穩(wěn)態(tài)的精度。該系數(shù)越大，表明系統(tǒng)精度越高。如大到，則穩(wěn)態(tài)無差；如為0，則穩(wěn)態(tài)偏差，表示不能