高中數(shù)學(xué)選修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

平行線等分線段定理

平行線等分線段正翎:如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上

截得的線段也相等。

推理】經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊。

推理可經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)，且與底邊平行的直線平分另一腰。

平分線分線段成比例定理

平分線分線段成比例定理卜三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

HI：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

相似三角形的判定及性質(zhì)

相似三角形的河雨:

獲:對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比

值叫做相似比（或相似系數(shù)）。

由于從定義出發(fā)判斷兩個(gè)三角形是否相似，需考慮6個(gè)元素，即三組對(duì)應(yīng)角是否分別相等，

三組對(duì)應(yīng)邊是否分別成比例，顯然比較麻煩。所以我們?cè)?jīng)給出過(guò)如下幾個(gè)判定兩個(gè)三角形

相似的簡(jiǎn)單方法：

（1）兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似；

（2）兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；

（3）三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似。

預(yù)備定理平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角

形與三角形相似。

判定定理力:對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)

相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似。

判定定理也對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的兩邊和另一個(gè)三角形的兩邊對(duì)應(yīng)成比

例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角

形相似。

判定定理司對(duì)于任意兩個(gè)三角形，如果一個(gè)三角形的三條邊和另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)

成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似。

酒如果?條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這

條直線平行于三角形的第三邊。

定理：|（1）如果兩個(gè)直角三角形有一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等，那么它們相似；

（2）如果兩個(gè)直角三角形的兩條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么它們相似。

阿理匚］如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)三角形的斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比

例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。

相似三角形的-痢:

（1）相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)平分線的比都等于相似比；

（2）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比；

（3）相似三角形面積的比等于相似比的平方。

相似三角形外接圓的直徑比、周長(zhǎng)比等于相似比，外接圓的面積比等于相似比的平方。

直角三角形的射影定理

射影定理|：直角三角形斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)；兩直角邊分別是

它們?cè)谛边吷仙溆芭c斜邊的比例中項(xiàng)。

圓周定理

圓周角定理:圓上一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓周角的一半。

圓心號(hào)定理（圓心角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)。

推論1|：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等：同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等。

推論可半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角；90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑。

圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)與判定定理

定理1|:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。

定理2|：圓內(nèi)接四邊形的外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角。

圓內(nèi)接四邊形判定定理：如果一個(gè)四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

麗:如果四邊形的一個(gè)外角等于它的內(nèi)角的對(duì)角，那么這個(gè)四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)共圓。

圓的切線的性質(zhì)及判定定理

切線區(qū)性質(zhì)定理:圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。

推論1|：經(jīng)過(guò)圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)切點(diǎn)。

推論》經(jīng)過(guò)切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。

切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

弦切角的性質(zhì)

弦定理弦切角等于它所夾的弧所對(duì)的圓周角。

與圓有關(guān)的比例線段

相交弦定理（圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等。

割線定理卜從園外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積

相等。

切割線定理卜從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)

的比例中項(xiàng):

切線長(zhǎng)定理|：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分

兩條切線的夾角。

高中數(shù)學(xué)選修4?5知識(shí)點(diǎn)

1、不等式的基本性質(zhì)

①（對(duì)稱性）a>h<^>h>a

②（傳遞性）a>b.b>ca>c

③（可加性）a>b=a+c>b+c

（同向可加性）a>b、c>d=a+b+d

（異向可減性）a>bfc<d=a-c>b-d

④（可積性）a>b,c>。nac>be

a>b,c<。nac<be

⑤（同向正數(shù)可乘性）a>b>0,c>d>0nac>bd

（異向正數(shù)可除性）“>b>o,o<c<d="2

cd

⑥（平方法則）a>b>0=>an>bn（neN,RH>1）

⑦（開方法則）a>b>0=>^[a>^（neN,S.n>\）

⑧（倒數(shù)法則）a>h>0=>—<—;a<b<0=>—>—

abab

2、幾個(gè)重要不等式

?a2+b2>2ab（a,beH）,（當(dāng)且僅當(dāng)a=/?時(shí)取"="號(hào)）.變形公式：a2w"+”.

②（基本不等式）彳2J拓（a,bwR+）,（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取到等號(hào)）.

變形公式：a+b>1-Jabab<

用基本不等式求最值時(shí)（積定和最小，和定積最大）,要注意滿足三個(gè)條件“一正、二定、

三相等”.

③乂三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式）竺§±￡>五后（a、bceR+）（當(dāng)且僅當(dāng)

a=/?=c時(shí)取到等號(hào)）.

@a2+h2+c2>ab+be+ca（^a,bwR）

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取到等號(hào)）.

⑤/+/+C323abe（a>O,b>O,c〉O）

（當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時(shí)取到等號(hào)）.

⑥若幽>0,-+->2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

ab

bZ7

若期<0,-+-<-2（當(dāng)僅當(dāng)"b時(shí)取等號(hào)）

ab

…bb+m〔Q+〃az....,八八、

⑦一<-----<1<-------<一,（其中Q>Z?>0,AW>0n>0）

aa+mh-\-nh

規(guī)律：小于1同加則變大，大T1同加則變小.

⑧當(dāng)心0或|.r|>a<^x2>a2<^x<-ax>a\

|x|<ax1<a2-a<x<a,

⑨絕對(duì)值三角不等式—例<\a+b\<\a\+\b\.

3、幾個(gè)著名不等式

①平均不等式：2<y[^b<—

,（a,be/T,當(dāng)且僅當(dāng)a=%時(shí)取"="

a-'+b~'2

號(hào)）.

（即調(diào)和平均《幾何平均《算術(shù)平均4平方平均）.

變形公式：

22

（a+b^a+b2,2（a+hf

ab<----<-------;a+0>--------.

[2）22

②幕平均不等式：

QJ+出~+???+《-N—（q+a,+...+a〃）2.

n-

③二.維形式的一:角不等式：

2

舊+yj++y；>Ja—々）2+（%——）（玉，>'i,x2,y2^R）.

④二維形式的柯西不等式：

（a2+fe2）（c24-rf2）>（ac+bd*（a,b,c,dGR）.當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時(shí),等號(hào)成立.

⑤三維形式的柯西不等式：

（q~+a，+^2）（^|~+仇~+0~）-+a3b3）2,

⑥一般形式的柯西不等式：

（a「++...+a：）（bj+b；+...+b；）N（。占+a力2+…+生瓦）~.

⑦向量形式的柯西不等式：

設(shè):，為是兩個(gè)向量,則K了卜同網(wǎng),當(dāng)且僅當(dāng)~p是零向量，或存在實(shí)數(shù)女,使￡=

時(shí)，等號(hào)成立.

⑧排序不等式（排序原理）：

設(shè)q<a2<...<an,bl<b2<...<bn為兩組實(shí)數(shù).qq,...,?！笔浅鹨?，…也的任一排列，

則a也i+a2b,i+...+anbt<qq+a2c2+...+ancn<她+a2b2+...+anbn.（反序和<亂序

和《順序和），當(dāng)且僅當(dāng)％=々或仇=打=.“="時(shí)，反序和等于順序和.

⑨琴生不等式:（特例：凸函數(shù)、四函數(shù)）

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)/（x）,對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)占了2（外片吃）,有

f盧+>/（西）+/（占）或「盧+。/區(qū)）+/（七）則稱f（x）為凸（或凹）函數(shù).

2222

4、不等式證明的兒種常用方法

常用方法有：比較法（作差,作商法）、綜合法、分析法；

其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.

常見不等式的放縮方法：

131

①舍去或加上一些項(xiàng)，如（a+5）2+]>（a+5）2；

②將分子或分母放大（縮?。?，

,11112212

如—<-------->-----------=---------n—<-----------

k*2—k2k(A+l)'2y[k&+&4k+

>—,—(keN*,k>Y)等.

y/k+4k+\

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式ax2+hx+c>0(或<0)

(aN0,△=/—4ac>0)解集的步驟：

一化：化二次項(xiàng)前的系數(shù)為正數(shù).

二判：判斷對(duì)應(yīng)方程的根.

三求：求對(duì)應(yīng)方程的根.

四畫：畫出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象.

五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.

規(guī)律：當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)為正時(shí)，小于取中間，大于取兩邊.

6、高次不等式的解法：穿根募'

分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿(奇穿偶切),結(jié)合原式不等號(hào)的方向,

寫出不等式的解集.

7、分式不等式的解法:先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化,則

學(xué)〉0o/(x)-g(x)〉0

規(guī)律：把分式不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.

8、無(wú)理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不鐘式目淳"

⑴Jf(x)>a(a>0)o,")

,——/(x)>0

(2)J/(x)<a(a>0)={

fW<a

/U)>0

/W>0

⑶J/(x)〉g(x)=,g(x)N0

g(x)<0

/U)>0

(4)J/(X)<g(x)o<g(x)〉0

J(x)<[g(x)]

/W>0

⑸J/(X)>，g(x)O.g(x)N0

J(x)〉g(x)

規(guī)律：把無(wú)理不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.

9、指數(shù)不等式的解法：

⑴當(dāng)a〉1時(shí)，af(x)>ag(x)=/(x)>g(x)

⑵當(dāng)0<a<1時(shí)，al{x}>as[x)<=>f(x)<g(x)

規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.

10、對(duì)數(shù)不等式的解法

7?>o

⑴當(dāng)a>1時(shí)，k)g/(x)>logg(x)o<g(x)>0

f(x)>g(x)

/W>0

⑵當(dāng)0<a<1時(shí)，k>g/(x)>logg(x)o<g(x)>0

/(x)<g(x)

規(guī)律：根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.

11、含絕對(duì)值不等式的解法：一

a(a>0)

⑴定義法：14=，

-a(a<0)

⑵平方法：|/(x)|w|g(x)|Q/2(x)<g2(x).

⑶同解變形法，其同解定理有：

?|x|<6Z<=>-a<x<a(a>0);

②卜怛。=xNa或x〈-a(a20);

③|/(x)|<g(x)o-g(x)<f(x)<g(x)(g(x)>0

?|/(A)|>g(x)Of(x)>g(x)或"X)<-g(x)(g(x)>0)

規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對(duì)值的符號(hào).

12、含仃兩個(gè)(或兩個(gè)以上)鼠t值的不等式的解法：

規(guī)律：找零點(diǎn)、劃區(qū)間、分段討論去絕對(duì)值、每段中取交集，最后取各段的并集.

13、含參數(shù)的不笨式的解法

解形如。/+4；+。>0且含參數(shù)的不等式時(shí)，要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論，分類討論的標(biāo)

準(zhǔn)有：

⑴討論。與0的大??；

⑵討論△與0的大?。?/p>

⑶討論兩根的大小.

14、恒成立問(wèn)題

⑴不等式。/+兒；+，>0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：

①當(dāng)。=0時(shí)=>b=0,c>0;

_a>0

②當(dāng)a/0時(shí)=>4

A<0.

⑵不等式辦2+兒；+。<0的解集是全體實(shí)數(shù)（或恒成立）的條件是：

①當(dāng)a=0時(shí)=>6=0,c<0;

_[a<0

②當(dāng)awO時(shí)L=>《

A<0.

⑶/（x）<a恒成立<=>/（x）max<a;

fM<a恒成立o/（K口水《。；

⑷f(wàn)W>a恒成立<=>/（x）min>a-,

f（x）>a恒成立ofWmin>a.

15、線性規(guī)劃問(wèn)題

⑴二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷：

法一：取點(diǎn)定域法：

由于直線Ax+By+C=0的同一側(cè)的所有點(diǎn)的坐標(biāo)代入Ax+By+C后所得的實(shí)數(shù)的

符號(hào)相同.所以，在實(shí)際判斷時(shí)，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點(diǎn)（x。,%）（如原點(diǎn)），

由AX（）+Bya+C的正負(fù)即可判斷出Ax+為+C>0（或<0）表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)

域.

即：直線定邊界，分清虛實(shí)；選點(diǎn)定區(qū)域，常選原點(diǎn).

法二：根據(jù)Ax+By+C>0（或<0）,觀察8的符號(hào)與不等式開口的符號(hào)，若同號(hào)，

4犬+為+。>0（或<0）表示直線上方的區(qū)域；若異號(hào)，則表示直線上方的區(qū)域.

即：同號(hào)上方，異號(hào)下方.

⑵二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域：

不等式組表示的平面區(qū)域是各個(gè)不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.

⑶利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By（A,B為常數(shù)）的最值：

法一：角點(diǎn)法：

如果目標(biāo)函數(shù)z=Ax+8y(x、y即為公共區(qū)域中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo))的最值存在,

則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點(diǎn)處取得，將這些角點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組

對(duì)應(yīng)z值，最大的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z的最大值，最小的那個(gè)數(shù)為目標(biāo)函數(shù)z的最小值

法二：畫——移——定——求：

第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線/o：Ax+8y=O,平移直線

10(據(jù)可行域，將直線平行移動(dòng))確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解(X,)，)：第四步，將

最優(yōu)解(x,y)代入目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By即可求出最大值或最小值.

第二步中最優(yōu)解的確定方法：

利用z的幾何意義：y=-4x+Z,三為直線的縱截距.

BBB

①若B>0,則使目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，￡取得最大

值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，z取得最小值；

②若B<0,則使目標(biāo)函數(shù)z=Ax+By所表示直線的縱截距最大的角點(diǎn)處，z取得最小

值，使直線的縱截距最小的角點(diǎn)處，z取得最大值.

⑷常見的FI標(biāo)函數(shù)的類型：

①“截距”型：z=Ax+By,

②“斜率”型：或z=T：

xx-a

③“距離”型：Z=/+/或z=y]x2+y2;

z=(x-a)2+(y-b)2^.z=+(y-b)?.

在求該“三型”的目標(biāo)函數(shù)的最值時(shí)，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問(wèn)

題簡(jiǎn)單化.

2013年高考數(shù)學(xué)壓軸題訓(xùn)練一

注:試題均為歷年高考試題和模擬試題，精選其中有代表

性的題目。非常適合2013年參加高考的學(xué)生和老師復(fù)習(xí)及

沖刺使用。

1.（12分）已知拋物線、橢圓和雙曲線都經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（1,2）,它們?cè)趚軸上有共同焦點(diǎn)，

橢圓和雙曲線的對(duì)稱軸是坐標(biāo)軸，拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn).

（I）求這三條曲線的方程；

（II）已知?jiǎng)又本€/過(guò)點(diǎn)P（3,0）,交拋物線于A,B兩點(diǎn)，是否存在垂直于x軸的直線/'

被以AP為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求出/'的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

解（I）設(shè)拋物線方程為y2=2Px（p>0）,將M（1,2）代入方程得p=2

拋物線方程為：y2=4x.....................................（1分）

由題意知橢圓、雙曲線的焦點(diǎn)為尸（-1,0）「工（1，0），c=l..............（2分）

222

對(duì)于橢圓，2a=\MFt\+\MF2\=^/(1+1)+2+5/(1-1)+4=2+272

a=1+V2

。2=(1+碼2=3+20

（4分）

/="-/=2+2&

橢圓方程為:3+2啰+2+2加

對(duì)于雙曲線，2優(yōu)=幀用一附磯=2&-2

a'=41-\

a"=3-2后

h'2=c'2-a'2=242-2（6分）

雙曲線方程為:

3-2播2-V2-2

（11）設(shè)42的中點(diǎn)為（7,/'的方程為：x=a,以4P為直徑的圓交/'于。,E兩點(diǎn)，DE

中點(diǎn)為，

士+3X

令C（7分）

2'E

■■■℃=；"=：-3）2+。

|叫=苫^-a=!|（x,-2?）+3|

???\DH\2=\DC[-\CHf=9陽(yáng)一歹+城卜；[（%-2.）+3于

=（a-2）Xj-a2+3a

當(dāng)眸為珥加「=-4+6=2...............（12分）

怛珥箴|?！▅=2亞

此時(shí)的方程為：x=2

2.（14分）已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝中，q=6,點(diǎn)4（4,用二）在拋物線y2=x+l上；數(shù)

列｛2｝中，點(diǎn)紇（〃也）在過(guò)點(diǎn)（0,1）,以方向向量為（1,2）的直線上.

（I）求數(shù)列｛5｝,也｝的通項(xiàng)公式;

（的奇數(shù)）

(II)若/(〃)=<"問(wèn)是否存在keN,使〃k+27）=4〃k）成立，若

（的偶數(shù)）

存在，求出k值；若不存在，說(shuō)明理由;

rt+lIt

（HI）對(duì)任意正整數(shù)”,不等式7——、/、/——T-/40成立，求正數(shù)。的

取值范圍.

解：（I）將點(diǎn)41n代入V=X+1中得

〃"+1=〃〃+14+1一°〃=d=\

an=^+(n-1)-1=n+5...............................................................(4分)

直線/:y=2x+1,/.hn=2n4-1

n+5,（的奇數(shù)）

(H)/(〃)=,（的偶數(shù)）…（5分）

2n+1,

當(dāng)?shù)呐紨?shù)時(shí)，為布數(shù)，???+27）=4〃%）

???k+27+5=4（2k+l）,k=4

當(dāng)?shù)钠鏀?shù)時(shí)，為偶數(shù)，................（8分）

3s

2代畬汨）+1=4.+5）,k=Q*（）

綜上，存在唯一的脩含條件。

an

<0

dn-2+a1t

記/*(〃)=

IbJ

2〃+4

/(n+l)rn

/(?)J2"+5Ib,i+])12n+52〃+3J2n+5-J2/+3

d4n2+16及+161

二/>1

d4n2+16〃+15

J用遞臉“〃),“〃)

〃嘰,=〃1)=+T=*

yjJJ1。

os小

15

(14分)

3.(本小題滿分12分)將圓O:x?+y2=4上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的一半(橫坐標(biāo)

不變)，

得到曲線C.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F(V3,0)的直線I與C交于A、B兩點(diǎn)，N為線段AB的

中點(diǎn)，

延長(zhǎng)線段ON交C于點(diǎn)E.

求證：瓦=2而的充要條件是IAB占3.

X=X

解：(1)設(shè)點(diǎn)P(x',y'),點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由題意可知4,'...........(2

[y=2y,

分)

x2

又x"+y'2=4,x2+4y2=4=一+y2=1.

X2A

所以，點(diǎn)M的軌跡C的方程為彳+y2=l.（4分）

（2）設(shè)點(diǎn)A（X1,yj,B（X2,丫2）,點(diǎn)N的坐標(biāo)為（X。，y（））,

㈠當(dāng)直線I與x軸重合時(shí)，線段AB的中點(diǎn)N就是原點(diǎn)O,

不合題意,舍去；...........（5分）

㈡設(shè)直線I：x=my+V3,

由卜：my：有消去X,

[x+4y=4

得（m?+4）y2+2V3my-1=0...................①

V3m

y°（6分）

m?+4'

V3m2V3m2+4734百

??x0=my0+^3=----------F---------------=---------

m2+4m2+4m2+4

4J3_Vfm_

...點(diǎn)N的坐標(biāo)為（W—,（8分）

m+4m2+4

①若麗=2而，坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的為（衛(wèi)￡,一不迎），由點(diǎn)E在曲線C上，

m+4m+4

得一12m,=1,即—4m?-32=0,/.m2=8（m2=-4舍去）.

（m2+4）2（m2+4）2

+.工口小,日..712m2+4m2+1647m2+1,

由方程①得ly,-y1=-----------------------=—$-------=1,

2m~+4m“+4

又IX]-X21=1my[-my21=1m（yj-y2）I,

2

/.IABI=Vm4-11Y|—y21=3.....................（10分）

②若IABl=3,由①得出=+1）=3,；.m2=8

m+4

nk行

???點(diǎn)N的坐標(biāo)為（口，±—）,射線ON方程為：y=±—x（x>0）,

362

273

T（x〉。）X=------

3廠.??點(diǎn)E的坐標(biāo)為

由《解得,土

*22?屜

x+4y=4V=±——

3

/.OE=20N.

綜上，OE=20N的充要條件是IABI=3.（12分）

4.(本小題滿分14分)已知函數(shù)f(x)=---------(x€R).

4X+2

(1)試證函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(；，；)對(duì)稱；

(2)若數(shù)列｛aj的通項(xiàng)公式為a。=f(2)(meN+，n=l,2「、m),求數(shù)列｛aj

m

的前m項(xiàng)和Sn,;

設(shè)

⑶設(shè)數(shù)列｛3｝滿足：btbn+1=b：+bn

3

11I

T“--------+---------+…+---------

bj+1b）+lb[1+l

若(2)中的Sn滿足對(duì)任意不小于2的正整數(shù)n,Sn<T”恒成立，試求m的最大值.

解：(1)設(shè)點(diǎn)P°(x°,y0)是函數(shù)f(x)的圖象上任意一點(diǎn)，其關(guān)于點(diǎn)(g,'的對(duì)稱點(diǎn)為

P（x,y）.

X+x_1

0x=1—Xo,

2-2

由，得41

y+y0.1y=/_y°?

2-4

所以，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(l-X,1-y).

o0（2分）

由點(diǎn)Po(x0,y°)在函數(shù)f(x)的圖象上，得y()=F-------

4°+2

X

X。)據(jù)4°4X°

+2~4+2-4x°-2（4x"+2）’

111...點(diǎn)P(l—x°,；-y0)在函數(shù)f(x)的圖象上.

-

2y（）24"+22（4X°+2）'

...函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(:，；)對(duì)稱.............(4分)

1kk1

(2)由(1)可知，f(x)+f(l-x)=-,所以f(一)+f(l——)=一(l<k<m-l),

2mm2

口門k、“m-k、11，八八、

即其一)+f()=3,a+a_........(6分)

mm2kmk2

由Sm=ai+a2+a3+，，，+am-l+am>............①

=a+a+a

得Snm-lm-2m-3+…+&i+@皿，............②

,3“,Im-1小1ml

由①+②，得2sm=(m-1)X-+2am+2x^=3一2，

2ZoZo

/.Sm=^(3m-1)............(8分)

⑶產(chǎn)《+>='(>+1),...........③

.?.對(duì)任意的neN+，bn>0............④

1_L即?_L

由③、④，得一

bn+1bn(bn+Db?bn+lbn+lb?bn+l

1

(10

n+1

分）

v

bn+l-bn=b;>0,bn+l>bn數(shù)列｛>｝是單調(diào)遞增數(shù)列.

關(guān)于n遞增.當(dāng)nN2,且ncN*時(shí)，Tn>T2.

..1114,44八52

?Lb]=—,bL=—Z(—F11X)=-,b=—(—F1)=—,

1322339339981

175

TNT,=3--=—(12分)

112b,52

75175OQQA

,Sm<儀，即」-(3m-l)〈上，；.m<m=6W，；.m的最大值為6.(14

m5212523939

分)

5.（12分）E、/是橢圓/+2y2=4的左、右焦點(diǎn)，/是橢圓的右準(zhǔn)線，點(diǎn)Pe/,過(guò)點(diǎn)

E的直線交橢圓于A、8兩點(diǎn).

（1）當(dāng)AELAF時(shí)，求AAEF的面積;

（2）當(dāng)網(wǎng)=3時(shí),求MH+忸尸|的大小;

（3）求NEPF的最大值.

m+〃=4=Lmi=2

解（1）42.20=S^EF

m+n=82

\AE\+\AF\=4.............

(2)因n48+AF+BF=8,

\BE\+\BF\^41..........

則|A尸|+忸戶］=5.

(1)設(shè)尸(28/)(，>0)tanZEPF=tan(NEPM-ZFPM)

372夜、八3五乂五、2"26./也

=(-------)-(1+———)=-s—=——T^—

ttt~r+6t+6t3

當(dāng)》=#時(shí)，tanZEPF=—^ZEPF=30°

3

12V2

6.（14分）已知數(shù)列｛a“｝中，a,=-,當(dāng)〃22時(shí)，其前〃項(xiàng)和S“滿足%=—」

32s“一1

(2)求S”的表達(dá)式及l(fā)imM?的值；

n〃T8C2

(3)求數(shù)列｛〃“｝的通項(xiàng)公式；

(4)設(shè)i=—j=1——/1，求證：當(dāng)"EN且〃22時(shí)，an<hn.

7(2^177(2^F

2S,211

解(1)an=Sn-Sn—lc。—i^Snn—1.-5n=2Sn5n-l,-C----C--=2(7v:>2)7

□”O(jiān)n""一1

所以I」-1是等差數(shù)列.則s“]

IsJ2/i+1

a2

lrim—nv=lVim---2--=-2.

。0

S；"T82Sn~121imSw-l

1_-2

(2)當(dāng)〃22時(shí)，a=S-S.=----

n"n"n2n+l2n—\4n2—1

綜上，a

n2

(〃N2)

.l-4/i2

1

(3)令a=/,b=—f=r,當(dāng)〃22時(shí)，^0<b<a<(1)

2n-l2/2+1耳

法1：等價(jià)于求證」一>---1----1——.

2〃一12“+lJ(2/I+1)3

當(dāng)〃22時(shí)，0<—,<—釬、令/(X)=x2—9,。<xW—產(chǎn),

V2n-1也''V3

33

/'(x)=2x-3x2=2x(1--x)>2x(1--x

則在（0,；］遞增.

1

又0<

J2/+1

即

所內(nèi)擊”1

223

法(2)a—bn=----------(■,—————/1=)-b—a—(h，—a)