2025高考備考數(shù)學(xué)知識點(diǎn)第3講　等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

第3講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)課標(biāo)要求命題點(diǎn)五年考情命題分析預(yù)測梳理等式的性質(zhì)，理解不等式的概念，掌握不等式的性質(zhì).比較兩個數(shù)（式）的大小2022全國卷甲T12；2020全國卷ⅢT12本講很少單獨(dú)命題，常與其他知識綜合命題，命題熱點(diǎn)有比較大小，不等式性質(zhì)的應(yīng)用等，主要考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理素養(yǎng).題型以選擇題和填空題為主，難度中等，預(yù)計(jì)2025年高考命題點(diǎn)變化不大，復(fù)習(xí)備考時要掌握等式與不等式的性質(zhì)，并能充分運(yùn)用.不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用2020新高考卷ⅠT11；2019全國卷ⅡT6學(xué)生用書P0081.兩個實(shí)數(shù)比較大小的方法關(guān)系方法作差法作商法a＞ba－b＞0ab＞1（a，b＞0）或ab①＜1（a，b＜a＝ba－b＝0ab＝1（b≠0a＜ba－b＜0ab＜1（a，b＞0）或ab②＞1（a，b＜2.等式的性質(zhì)對稱性如果a＝b，那么b＝a傳遞性如果a＝b，b＝c，那么a＝c可加（減）性如果a＝b，那么a±c＝b±c可乘性如果a＝b，那么ac＝bc可除性如果a＝b，c≠0，那么ac＝3.不等式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容對稱性a＞b?③b＜a傳遞性a＞b，b＞c?④a＞c可加性a＞b?a＋c＞b＋c可乘性a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b，c＜0?⑤ac＜bc同向可加性a＞b，c＞d?⑥a＋c＞b＋d同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0?⑦ac＞bd同正可乘方性a＞b＞0，那么an＞bn（n∈N，n≥2）常用結(jié)論1.a＞b＞0?a＞b.2.（1）a＞b，ab＞0?1a＜1b；（2）a＞b＞0，d＞c＞0?ac3.a＞b＞0，m＞0?ba＜b＋ma＋1.已知t＝2a＋2b，s＝a2＋2b＋1，則（C）A.t＞s B.t≥s C.t≤s D.t＜s解析因?yàn)閠－s＝（2a＋2b）－（a2＋2b＋1）＝－（a－1）2≤0，所以t≤s.故選C.2.[易錯題]設(shè)a，b∈[0，＋∞），A＝a＋b，B＝a＋b，則A，B的大小關(guān)系是（BA.A≤B B.A≥B C.A＜B D.A＞B解析由題意得，A2－B2＝2ab≥0，又A≥0，B≥0，故A≥B.3.[多選]下列說法不正確的是（AD）A.一個不等式的兩邊同時加上或同時乘以同一個數(shù)，不等號方向不變B.若a＞b＞0，c＞d＞0，則ad＞C.若ab＞0，a＞b，則1a＜D.若x＞y，則x2＞y24.[教材改編]已知2＜a＜3，－2＜b＜－1，則2a－b的取值范圍是（5，8）.解析∵2＜a＜3，∴4＜2a＜6①.∵－2＜b＜－1，∴1＜－b＜2②.①＋②得，5＜2a－b＜8.學(xué)生用書P009命題點(diǎn)1比較兩個數(shù)（式）的大小例1（1）[2024湖北襄陽宜城第一中學(xué)模擬]已知0＜a＜12，若A＝1＋a2，B＝11－a，則A與B的大小關(guān)系是（A.A＜B B.A＞B C.A＝B D.不確定解析A－B＝1＋a2－11－a＝（1+a2)(1－a）－1－a＞0，－a2＋a－1＝－（a－12）2－34＜－34＜0，所以A－B＜0，即A＜B（2）eπ·πe與ee·ππ的大小關(guān)系為eπ·πe＜ee·ππ.解析eπ·πeee·ππ＝eπ－eππ－e＝（eπ）π－e，又0＜eπ＜1，0＜π－e＜1，所以（eπ）π－e＜1，即eπ方法技巧比較數(shù)（式）大小的常用方法1.作差法：（1）作差；（2）變形；（3）定號；（4）得出結(jié)論.2.作商法：（1）作商；（2）變形；（3）判斷商與1的大小關(guān)系；（4）得出結(jié)論.3.構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小.訓(xùn)練1（1）若a＞b＞1，P＝aeb，Q＝bea，則P，Q的大小關(guān)系是（C）A.P＞Q B.P＝Q C.P＜Q D.不能確定解析P，Q作商可得PQ＝aeb令f（x）＝exx，則f'（x）＝當(dāng)x＞1時，f'（x）＞0，所以f（x）在（1，＋∞）上單調(diào)遞增，因?yàn)閍＞b＞1，所以ebb＜又ebb＞0，ea所以PQ＝ebbeaa＜（2）[多選/2023江蘇省南京市調(diào)研]已知a＞b＞0，則（AC）A.1b＞B.a－1b＞b－C.a3－b3＞2（a2b－ab2）D.a+1－b+1＞a解析對于A，因?yàn)楹瘮?shù)y＝1x在（0，＋∞）上單調(diào)遞減，a＞b＞0，所以1b＞1a，故對于B，解法一由a－1b＞b－1a，得a－b＋1a－1b＞0，即（a－b）（1－1因?yàn)閍＞b＞0，所以a－b＞0，ab＞0，所以1－1ab＞0所以ab＞1，而該式不一定成立，所以不等式a－1b＞b－1a不一定成立，故B解法二當(dāng)a＝12，b＝13時，a－1b＝－52，b－1a＝－53，則a－1b＜對于C，由a3－b3＞2（a2b－ab2），得（a－b）（a2－ab＋b2）＞0，因?yàn)閍－b＞0，所以a2＋b2－ab＞0，即（a－b）2＋ab＞0，該不等式恒成立，故C正確.對于D，由a+1－b+1＞a－b，得a+1－a＞b+1－b，即所以b+1＋b＞a+1＋a，該不等式不成立，故D綜上所述，選AC.命題點(diǎn)2不等式的性質(zhì)及其應(yīng)用角度1不等式的性質(zhì)例2（1）[全國卷Ⅱ]若a＞b，則（C）A.ln（a－b）＞0 B.3a＜3bC.a3－b3＞0 D.｜a｜＞｜b｜解析解法一由函數(shù)y＝lnx的圖象（圖略）知，當(dāng)0＜a－b＜1時，ln（a－b）＜0，故A不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝3x在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a＞b時，3a＞3b，故B不正確；因?yàn)楹瘮?shù)y＝x3在R上單調(diào)遞增，所以當(dāng)a＞b時，a3＞b3，即a3－b3＞0，故C正確；當(dāng)b＜a＜0時，｜a｜＜｜b｜，故D不正確.故選C.解法二當(dāng)a＝0.3，b＝－0.4時，ln（a－b）＜0，3a＞3b，｜a｜＜｜b｜，故排除A，B，D.故選C.（2）[多選/2023湖南省邵陽二中模擬]如果a，b，c滿足c＜b＜a，且ac＜0，那么下列結(jié)論一定正確的是（ACD）A.ab＞ac B.cb2＜ab2C.c（b－a）＞0 D.ac（a－c）＜0解析由c＜b＜a，且ac＜0，得a＞0，c＜0.對于A，由c＜b，a＞0得ac＜ab，故A正確.對于B，取c＝－1，b＝0，a＝1，顯然B不一定正確.對于C，b－a＜0，c＜0，故c（b－a）＞0，故C正確.對于D，ac＜0，a－c＞0，故ac（a－c）＜0，故D正確.故選ACD.方法技巧判斷不等式是否成立的常用方法（1）利用不等式的性質(zhì)驗(yàn)證，應(yīng)用時注意前提條件；（2）利用特殊值法排除錯誤選項(xiàng)，進(jìn)而得出正確選項(xiàng)；（3）根據(jù)式子特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷.角度2不等式性質(zhì)的綜合應(yīng)用例3（1）已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，則ca的取值范圍是（AA.（－3，－1） B.（－1，－13C.（－2，－1） D.（－1，－12解析因?yàn)閍＞b＞c，2a＋b＋c＝0，所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.因?yàn)閍＞b＞c，所以－2a－c＜a，即3a＞－c，解得ca＞－3，將b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，即a＜－c，得ca＜－1，所以－3＜ca＜－（2）[2024湖北孝感部分學(xué)校模擬]已知實(shí)數(shù)a，b滿足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4，則3a－2b的取值范圍為[－4，11].解析設(shè)3a－2b＝m（a＋b）＋n（a－b）＝（m＋n）a＋（m－n）b，則m＋n=3，m－n＝－2，解得m＝12，n＝52，所以3a－2b＝12（a＋b）＋52（a－b）.又－32≤12（a＋b）≤方法技巧利用不等式性質(zhì)可以求某些代數(shù)式的取值范圍，解決的方法是先利用待定系數(shù)法建立所求范圍的整體與已知范圍的整體的等量關(guān)系，再利用不等式的性質(zhì)求解.訓(xùn)練2（1）[2024吉林長春東北師范大學(xué)附屬中學(xué)模擬]設(shè)a≥b≥c，且1是關(guān)于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個實(shí)根，則ca的取值范圍是（AA.[－2，－12B.（－2，－12C.（－∞，－2）∪（－12，＋∞D(zhuǎn).（－∞，－2]∪[－12，＋∞解析因?yàn)?是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一個實(shí)根，所以a＋b＋c＝0，則b＝－a－c，又a≥b≥c，所以a≥－a－c≥c，則2又a≥b≥c，所以3a≥a＋b＋c＝0，又a≠0，所以a＞0，則不等式組等價于2≥－ca，－1≥2ca，即（2）[多選/2024山東省鄄城縣第一中學(xué)模擬]已知a，b，c∈R，則下列命題為真命題的是（ABC）A.若bc2＜ac2，則b＜aB.若a3＞b3且ab＜0，則1a＞C.若a＞b＞c＞0，則ab＞D.若c＞b＞a＞0，則ac－解析選項(xiàng)A，若bc2＜ac2成立，則c≠0，所以c2＞0，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，由a3＞b3得a＞b，又ab＜0，所以a＞0＞b，所以1a＞0＞1b，故選項(xiàng)選項(xiàng)C，因?yàn)閍＞b＞c＞0，所以ac＞bc，所以ac＋ab＞bc＋ab，因?yàn)?b（b＋c）＞0，所以兩邊同乘1b選項(xiàng)D，易知a－b＜0，c－a＞0，c－b＞0，所以ac－a－bc－b＝c（a－b故選ABC.1.[命題點(diǎn)1/多選/2024黑龍江哈爾濱模擬]已知偶函數(shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，且f（－1）＝0.若a＝f（20.7），b＝f（0.5－0.9），c＝f（log0.70.9），則（ACD）A.b2＞a2 B.1a＜1c C.cb＞ca D.b解析因?yàn)榕己瘮?shù)f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞減，且f（－1）＝0，所以函數(shù)f（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，且f（1）＝0.又log0.71＝0＜log0.70.9＜log0.70.7＝1＝20＜20.7＜20.9＝0.5－0.9，所以c＜0＜a＜b.對于A選項(xiàng)，因?yàn)閏＜0＜a＜b，所以b2－a2＞0，即b2＞a2，故A選項(xiàng)正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)閏＜0＜a＜b，所以1c＜0＜1a，故對于C選項(xiàng)，因?yàn)閏＜0＜a＜b，所以1b＜1a，所以cb＞c對于D選項(xiàng)，因?yàn)閏＜0＜a＜b，所以b＞a＞a＋c，故D選項(xiàng)正確.故選ACD.2.[命題點(diǎn)2/多選/2023長沙調(diào)研]若1a＜1b＜0，則下列不等式中正確的是（ACA.1a＋b＜1ab B.｜a｜C.a－1a＞b－1b D.lna2＞ln解析由1a＜1b＜0，可知b＜aA中，因?yàn)閍＋b＜0，ab＞0，所以1a＋b＜0，1ab＞0，故有1aB中，因?yàn)閎＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞｜a｜，即｜a｜＋b＜0，故B錯誤；C中，因?yàn)閎＜a＜0，1a＜1b＜0，所以－1a＞－1b＞0，a－1a＞bD中，由b＜a＜0，y＝x2在（－∞，0）上單調(diào)遞減，可得b2＞a2＞0，而y＝lnx在定義域（0，＋∞）上單調(diào)遞增，所以lnb2＞lna2，故D錯誤.學(xué)生用書·練習(xí)幫P2611.[2024四川廣安模擬]已知P＝a2＋3，Q＝4a－1，則P，Q的大小關(guān)系是（A）A.P≥Q B.P＞QC.P≤Q D.P＜Q解析P＝a2＋3，Q＝4a－1，P－Q＝a2＋3－4a＋1＝（a－2）2≥0，故P≥Q，故選A.2.[2022上海高考]已知實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足：a＞b＞c＞d，則下列選項(xiàng)中正確的是（B）A.a＋d＞b＋c B.a＋c＞b＋dC.ad＞bc D.ac＞bd解析對于選項(xiàng)A，如取a＝4，b＝3，c＝2，d＝－4，此時a＋d＜b＋c，故A錯誤；對于選項(xiàng)B，a＋c＞b＋c＞b＋d，故B正確；對于選項(xiàng)C，D，如取a＝4，b＝－1，c＝－2，d＝－3，此時ad＜bc，ac＜bd，故C，D錯誤.故選B.3.[2024陜西西安模擬]若a＜b＜0＜c＜d，則（C）A.ac＜ad B.a－c＞b－dC.ca＞db D.a解析對于A，因?yàn)閍＜0，c＜d，所以ac＞ad，故選項(xiàng)A錯誤；對于B，取a＝－4，b＝－1，c＝1，d＝2，則a－c＝－5，b－d＝－3，故選項(xiàng)B錯誤；對于C，ca－db＝bc－adab＞ac－adab＞對于D，取a＝－2，b＝－1，c＝1，d＝2，則a＋cb＝1，b＋dc＝14.已知0＜a＜b＜1，設(shè)m＝blna，n＝alnb，p＝ln（lnalnb），則m，n，p的大小關(guān)系為（A.m＜n＜p B.n＜m＜pC.p＜m＜n D.p＜n＜m解析由0＜a＜b＜1，得ba＞1，且lna＜lnb＜0，即有l(wèi)nalnb＞1，因此，ln（lnalnb）＞0，即p＞0，由m＜0，n＜0，mn＝blnaalnb＝ba·lnalnb5.[2024山東煙臺模擬]已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，則下列不等式成立的是（B）A.xy＞yz B.xy＞xzC.xz＞yz D.x｜y｜＞｜y｜z解析因?yàn)閤＞y＞z，x＋y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，y的符號無法確定.對于A，由題意得x＞z，若y＜0，則xy＜0＜yz，故A錯誤；對于B，因?yàn)閥＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正確；對于C，因?yàn)閤＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C錯誤；對于D，當(dāng)｜y｜＝0時，x｜y｜＝｜y｜z，故D錯誤.故選B.6.[2024廣西柳州模擬]一般認(rèn)為，民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但窗戶面積與地板面積的比應(yīng)該不小于10％，而且這個比值越大，采光效果越好.若同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果（B）A.變壞了 B.變好了C.不變 D.無法判斷解析設(shè)a和b分別表示公寓原來的窗戶面積和地板面積，m表示窗戶和地板所增加的面積（面積單位都相同），由題意得0＜a＜b，m＞0，則a＋mb＋m－a因?yàn)閎＞0，m＞0，所以b（b＋m）＞0，又因?yàn)閍＜b，則b－a＞0，所以a＋mb＋m－ab＞所以同時增加相同的窗戶面積和地板面積，公寓的采光效果變好了.故選B.7.[多選]若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，則下列結(jié)論正確的是（BCD）A.ad＞bc B.ad＋bcC.a－c＞b－d D.a（d－c）＞b（d－c）解析因?yàn)閍＞0＞b，c＜d＜0，所以ad＜0，bc＞0，所以ad＜bc，故A錯誤；因?yàn)?＞b＞－a，所以a＞－b＞0，因?yàn)閏＜d＜0，所以－c＞－d＞0，所以a（－c）＞（－b）·（－d），所以ac＋bd＜0，又cd＞0，所以ac＋bdcd＝ad＋bc＜0，故B正確；因?yàn)閏＜d，所以－c＞－d，因?yàn)閍＞b，所以a＋（－c）＞b＋（－d），即a－c＞b－d，故C正確；因?yàn)閍＞0＞b，d－c＞0，所以a（d－c）＞b（d－8.[多選]若a＞0，b＞0，則使a＞b成立的充要條件是（ABD）A.a2＞b2 B.a2b＞ab2C.ba＞b+1a+1 D.a＋1解析對于A，因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a＞b?a2＞b2，A選項(xiàng)符合題意；對于B，因?yàn)閍＞0，b＞0，所以a2b＞ab2?ab（a－b）＞0?a＞b，B選項(xiàng)符合題意；對于C，當(dāng)a＞b＞0時，ba－b+1a+1＝b（a+1)－a（b+1對于D，當(dāng)a＞b＞0時，1b＞1a＞0，所以a＋1b＞b＋1a，反之，由a＞0，b＞0，a＋1b＞b＋1a，可得a＋1bb＋1a＞1，即a（ab+19.[多選/2024安徽模擬]已知2＜x＜3，－2＜y＜1，則下列選項(xiàng)正確的是（CD）A.－23＜yx＜12 B.2＜xyC.－6＜xy＜3 D.3＜2x－y＜8解析對于A，2＜x＜3，13＜1x＜12，當(dāng)y＝0時，yx＝0；當(dāng)0＜y＜1時，0＜yx＜12；當(dāng)－2＜y＜0時，0＜－y＜2，0＜－yx＜1，－1＜yx＜0.所以－1＜yx＜12，A選項(xiàng)錯誤.對于B，－2＜y＜1，當(dāng)y＝0時，xy2＝0，B選項(xiàng)錯誤.對于C，當(dāng)y＝0時，xy＝0；當(dāng)0＜y＜1時，0＜xy＜3；當(dāng)－2＜y＜0時，0＜－y＜2，0＜－xy＜6，－6＜xy＜0.所以－6＜xy＜3，C選項(xiàng)正確.對于D，由2＜x＜3，得4＜2x＜6，由－2＜y＜1，得－1＜－y＜2，所以3＜210.[2024安徽省淮南市模擬]已知1≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，則4a－2b的取值范圍是[5，10].解析令4a－2b＝m（a－b）＋n（a＋b）＝（m＋n）a＋（n－m）b，則m＋n=4，n－m＝－2，解得n=1，m=3.因?yàn)?≤a－b≤2，2≤a＋b≤4，所以5≤3（a－b）＋（11.若a＝ln33，b＝ln44，c＝ln55，則（A.a＜b＜c B.c＜b＜aC.c＜a＜b D.b＜a＜c解析解法一易知a，b，c都是正數(shù)，ba＝3ln44ln3＝log8164＜1，所以a＞b；bclog6251024＞1，所以b＞c，即c＜b＜a.故選B.解法二構(gòu)造函數(shù)f（x）＝lnxx，則f'（x）＝1－lnxx2，由f'（x）＞0，得f'（x）＜0，得x＞e，所以f（x）在（0，e）上單調(diào)遞增，在（e，＋∞）上單調(diào)遞減，所以f（3）＞f（4）＞f（5），即a＞b＞c.故選B.12.[2024河南鄭州模擬]某品牌手機(jī)為了打開市場，促進(jìn)銷售，準(zhǔn)備對其特定型號的產(chǎn)品降價，有四種降價方案：①先降價a％，再降價b％；②先降價a＋b2％，再降價a％；③先降價a＋b2％，再降價a＋b2％；④一次性降價（a＋b）％.其中aA.① B.② C.③ D.④解析設(shè)原價為1，對于①，降價后的價格為（1－a％）（1－b％），對于②，降價后的價格為（1－a＋b2％）（1－對于③，降價后的價格為（1－a＋b2％對于④，降價后的價格為1－（a＋b）％.（1－a％）（1－b％）＝1－（a＋b）％＋a％b％＞1－（a＋b）％，所以①＞④.因?yàn)閍＞b，所以（1－a＋b2％）2－（1－a％）（1－b％）＝（a％＋b％2）2－a