橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊(cè)

第三章

圓錐曲線的方程3.1

橢圓3.1.1

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程學(xué)

習(xí)

目

標(biāo)核

心

素

養(yǎng)1.理解橢圓的定義及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(重點(diǎn))1.通過(guò)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓焦點(diǎn)三角形的有關(guān)問(wèn)題的學(xué)2.掌握用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.(重點(diǎn))習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)

.3.理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過(guò)程，并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問(wèn)題.(難點(diǎn)

)2.借助軌跡方程的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理及直觀想

象的核心素養(yǎng).情境引入·助學(xué)助教2008年9月25日21時(shí)10分，“神舟七號(hào)”載人飛船順利升空，實(shí)現(xiàn)多人飛行和出艙活動(dòng)，標(biāo)志著我國(guó)航天事業(yè)又上了一個(gè)新臺(tái)

階.請(qǐng)問(wèn)，“神舟七號(hào)”飛船的運(yùn)行軌道是什么?下面請(qǐng)你固定兩個(gè)圖釘，拉一根無(wú)彈性的細(xì)繩，兩端系在圖釘上(如圖),用鉛筆抵住細(xì)繩并上下左右轉(zhuǎn)動(dòng)，看鉛筆留的軌跡是否是橢

圓?一

新知初探一1.

橢圓的定義把平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F?

,F?的距離的和等于常數(shù)(大于F?F?

I)

的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離

叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱(chēng)為半焦距.數(shù)，其他條件不變，點(diǎn)的軌跡是什么?(2)橢圓定義中將“大于|F?F?

l”改為“小于

F|?F?

I”的常數(shù)，其他條件不變，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么?[提示](1)點(diǎn)的軌跡是線段F?F?.(2)當(dāng)距離之和小于|F?F?|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在.思考：(1)橢圓定義中將“大于|F?F?

l”改為“等于|F?F?

l”的常焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn),

c的關(guān)系2.

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

初試身手一1.

思考辨析(正確的打“

√

”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之和等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為橢圓.()(2)已知橢圓的焦點(diǎn)是

F?

,F?

,P是橢圓上的一動(dòng)點(diǎn)，如果延長(zhǎng)F?P到

Q,使得|PQ|=|PF?|,

則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡為圓.(

)(3)方

,b>0)

表示的曲線是橢圓.(

)[提示]

(1)×(2)

√

(3)×2

.

設(shè)P

是橢圓則|PF?|+|PF?|等于(

)A.4C.8D

[由橢圓方程知a2=25,B.5D.10則a=5,|PF?|+|PF?|=2a=10.]上的點(diǎn)，若F?,F?

是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，3.

橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為

F?(0,—8),F?(0,8),且橢圓上一點(diǎn)到兩個(gè)焦點(diǎn)的距離之和為20,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為()A.C

[由條件知，焦點(diǎn)在y軸上，且a=10,c=8,所以b2=a2—c2=36,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程范圍是

(-6,一2)U(3,十一)[由a2>a+6>0得a>3或-6<a

<

一2.]4

.

方

表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)a

的取值【

例

1】求滿(mǎn)足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F?(一4,0),F?(4,0),

并且橢圓上一點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)的距離的和等于10;(2)焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0,-2),(0,2),經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,3

√2);(3)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,一

√2),類(lèi)

型

1

求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[解](1)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x

軸上，且c=4,2a=10,

所以a=5,b=√a2-c2=√25-

16=3,

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在y

軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程1(a>b>0).

法一：由橢圓的定義知2a=

√

(4-0)2+(3√2+2)2+

√

(4-0)2+(3

√2-2)2=12,解得a=6.又c=2,所以b=√a2-c2=4√2.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程法二：因?yàn)樗髾E圓過(guò)點(diǎn)(4,3

√2),所又c2=a2—b2=4,

可解得a2=36,b2=32.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程>0).由已知條件得(3)法一：若焦點(diǎn)在x

軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程由已知條件得

解

則a2<b2,

與a>b>0矛盾，舍去.綜上可知，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程別將兩點(diǎn)的坐標(biāo)(2,-

√2),

代入橢圓的一般方程，得法二：設(shè)橢圓的一般方程為分所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解用待定系數(shù)法求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的一般步驟(1)定位置：根據(jù)條件判斷橢圓的焦點(diǎn)是在x

軸上，還是在y

軸上，還是兩個(gè)坐標(biāo)軸都有可能.(2)設(shè)方程：根據(jù)上述判斷設(shè)方

b>0)

或整式形式mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n).●

規(guī)律方法(3)找關(guān)系：根據(jù)已知條件建立關(guān)于

a,b,c(或m,n)

的方程組.(4)得方程：解方程組，將解代入所設(shè)方程，寫(xiě)出標(biāo)準(zhǔn)形式即為所求.規(guī)律方法準(zhǔn)方程.[解]

法一：因?yàn)樗髾E圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，所以其焦點(diǎn)在x軸上，且c2=25—9=16.設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[跟進(jìn)訓(xùn)練]1.

求與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過(guò)點(diǎn)(3,

√

15)的橢圓的標(biāo)因?yàn)閏2=16,且c2=a2—b2,故a2—b2=16又點(diǎn)(3,

√

15)在所求橢圓上，所!由①②得a2=36,b2=20,所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程①.②.法二：由題意可設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程又橢圓過(guò)點(diǎn)(3,

√

15),將x=3,y=√

15代入方程1,解得λ=11或λ=—21(舍去).故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

類(lèi)

型2

橢圓中的焦點(diǎn)三角形

【例2】

(1)已知橢[

的左焦點(diǎn)是F?,右焦點(diǎn)是F?,點(diǎn)P

在橢圓上，如果線段PF?的中點(diǎn)在y

軸上，那么|PF?|:|PF?

I=(

)A.3:5B.3:4C.5:3D.4:3(2)已知橢中，點(diǎn)P

是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)?,F?是橢圓的焦點(diǎn)，且∠PF?F,=120°,則△PF?F,

的面積為

[思路探究]

(1)借助PF?

的中點(diǎn)在y軸上，且O為

F?F?的中點(diǎn)，所以PF?⊥x

軸，再用定義和勾股定理解決.(2)利用橢圓的定義和余弦定理，建立關(guān)于|PF?

|,|PF?|的方程，通過(guò)解方程求解.(1)C(2)

[(1)依題意知，線段

PF?的中點(diǎn)在y

軸上，又原點(diǎn)為F?F?

的中點(diǎn)，易得y軸//PF?,所以PF?⊥x軸，則有|PF?2一PF?l2=4c2=16,又根據(jù)橢圓定義知|PF?|+|PF?|=8,所以|PF?|-|PF?=2,從而|PF?|=5,|PF?|=3,即|PF?|:|PF?|=5:3.F?F?|=2c=2.在△PF?F?中，由余弦定理得

|PF?2=

|PF?2+|F?F?2—

2|PF?|F?F?|cos

∠PF?F?,即|PF?2=|PF?2+4+2|PF?|.

①由橢圓定義得|PF?|+|PF?

|=2a=4.

②由①②聯(lián)立可得

可知a=2,b=

√3,所以c=

√a2-b2=1,從而(2)由橢圓定義在焦點(diǎn)三角形中的應(yīng)用技巧(1)橢圓的定義具有雙向作用，即若|MF?|+|MF?|=2則

點(diǎn)M

的軌跡是橢圓；反之，橢圓上任意一點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和必為2a.(2)涉及焦點(diǎn)三角形面積時(shí)，可把|PF?|,|PF?|看作一個(gè)整體，運(yùn)用PF?2+|PF?l2=(PF?|+|PF?|)2—2|PF?||PF?|及余弦定理求出|PF?||PF?|,而無(wú)需單獨(dú)求解.

●規(guī)

律

方

法[

母題探究]1.本例(2)中，把“∠PF?F?=120°”改為“∠PF?F?=90°”,求△F?PF?

的面積

.[解]由橢圓方

知a=2,c=1,由橢圓定義，得+PF?|=2a=4,且F?F?|=2,在△PF?F?

中，∠PF?F?=90°

..1從而(4—+4,則

因此·F?F?

l故所求△PF?F?

的面積為

2.本例(2)中方程改為且“∠PF?F?=120°”改為“∠F?PF?=120°”,若△PF?F?

的面積為

√

3,求b的值.[解]

由∠F?PF?=120°,△PF?F?

的面積為

√

3,可得的定義可得

a.再利用余弦定理可得.根據(jù)橢圓)=1.[探究問(wèn)題]1.用定義法求橢圓的方程應(yīng)注意什么?[提示]用定義法求橢圓的方程，首先要利用平面幾何知識(shí)將題目條件轉(zhuǎn)化為到兩定點(diǎn)的距離之和為定值，然后判斷橢圓的中心是否在原

點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸是否為坐標(biāo)軸，最后由定義確定橢圓的基本量a,b,c.

類(lèi)

型

3與橢圓有關(guān)的軌跡問(wèn)題上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為P(x?,y?).(2)求關(guān)系式：用點(diǎn)

M

的坐標(biāo)表示出點(diǎn)

P

的坐標(biāo)，即得關(guān)系式2.利用代入法求軌跡方程的步驟是什么?[提示]

(1)設(shè)點(diǎn)：設(shè)所求軌跡上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為M(x,y),已知曲線(3)代換：將上述關(guān)系式代入已知曲線方程得到所求動(dòng)點(diǎn)軌跡的方程，并把所得方程化簡(jiǎn)即可.則線段OP中點(diǎn)Q的軌跡方程為

(2)如圖所示，圓C:(x+1)2+y2=25及點(diǎn)A(1,0),Q

為圓上一點(diǎn)，【例3】

(1)已知P

是橢圓上一動(dòng)點(diǎn)，O

為坐標(biāo)原點(diǎn)，AQ的垂直平分線交CQ于點(diǎn)M,求

點(diǎn)M的軌跡方程.[思路探究]

(1)點(diǎn)Q

為

OP

的中點(diǎn)

→

點(diǎn)Q

與點(diǎn)P

的坐標(biāo)關(guān)系

→代入法求解.(2)由垂直平分線的性質(zhì)和橢圓的定義進(jìn)行求解.[設(shè)Q(x,y),P(x?,yo),由點(diǎn)Q是線段OP

的中點(diǎn)所!知xo=2x,yo=2y,即(2)[解]由垂直平分線的性質(zhì)可知|MQ|=|MA|,∴|CM|+|MA|=|CM|+|MQ|=|CQ|,∴|CM|+|MA|=5.∴點(diǎn)M的軌跡為橢圓，其中2a=5,焦點(diǎn)為C(—1,0),A(1,0),,c=1

,∴所求點(diǎn)M的軌跡方程··重事規(guī)律方法

1.與橢圓有關(guān)的軌跡方程的求法常用方法有：直接法、定義法和代入法，本例(1)所用方法為代入法，例(2)所用方法為定義法.2.對(duì)定義法求軌跡方程的認(rèn)識(shí)如果能確定動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的軌跡滿(mǎn)足某種已知曲線的定義，則可以利用這種已知曲線的定義直接寫(xiě)出其方程，這種求軌跡方程的方法稱(chēng)為定義法.定義法在我們后續(xù)要學(xué)習(xí)的圓錐曲線的問(wèn)題中被廣泛使用，是一種重要的解題方法.規(guī)律方法

3.代入法(相關(guān)點(diǎn)法)若所求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)

P(x,y)與另一個(gè)已知曲線

C:F(x,y)=0上的動(dòng)點(diǎn)Q(x?,y?)存在著某種聯(lián)系，可以把點(diǎn)Q

的坐標(biāo)用點(diǎn)P

的

坐標(biāo)表示出來(lái)，然后代入已知曲線C的方程

F(x,y)=0,

化簡(jiǎn)即得所

求軌跡方程，這種求軌跡方程的方法叫做代入法(又稱(chēng)相關(guān)點(diǎn)法).2.已

知x

軸上一定點(diǎn)A(1,0),Q為橢圓上任一點(diǎn)，求線

段AQ

中點(diǎn)M

的軌跡方程.[跟進(jìn)訓(xùn)練][解]設(shè)中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),點(diǎn)

Q的坐標(biāo)為(xo,yo).利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，故所求AQ的中點(diǎn)M的軌跡方程將xo=2x—1,yo=2y

代入上式，上，∴∵Q(xo,yo)在橢事必備素養(yǎng)一1.平面內(nèi)到兩定點(diǎn)

F?,F?

的距離之和為常數(shù)，即|MF?|+|MF?|=2a,

當(dāng)2a>|F?F?|

時(shí)，軌跡是橢圓；當(dāng)2a=|F?F?|

時(shí)，軌跡是一條線段F?F?;當(dāng)2a<|F?F?|

時(shí)，軌跡不存在.2.由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可以確定焦點(diǎn)坐標(biāo)，或求參數(shù)的值(或取值范圍).(1)求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，若方程不為標(biāo)準(zhǔn)方程，應(yīng)先將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程，確定

a2,b2的值和焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸，再利用關(guān)系式

a2

=b2+c2求出c,

即可寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo).(2)已知方程求參數(shù)的值(或取值范圍)時(shí)，需注意：對(duì)于方

當(dāng)

m>n>0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在x

軸上的橢圓；當(dāng)n>m>0時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在y

軸上的橢圓.特別地，當(dāng)

n=m>0時(shí)，方程

表示圓心在原點(diǎn)的圓.若已知方程不是標(biāo)準(zhǔn)方程，需先進(jìn)行轉(zhuǎn)化.3.橢圓上的點(diǎn)P與兩焦點(diǎn)F?

,F?構(gòu)成的三角形叫做焦點(diǎn)三角形，在焦點(diǎn)三角形中，令∠F?PF?=θ,如圖

.(1)當(dāng)點(diǎn)P

與B?

或B?

重合時(shí)，∠F?PF?最大.(2)焦點(diǎn)△PF?F?

的周長(zhǎng)為2(a+c).(3)|F?F?I2=|PF?2+|PF?P2-2|PF?|PF?|cos

θ.4

,且當(dāng)P

與B?

或B?

重合時(shí)，面積最大.4.求與橢圓有關(guān)的軌跡方程的方法一般有：定義法、直接法和代入法(相關(guān)點(diǎn)法).1

.

橢

上一點(diǎn)P

到一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2,則點(diǎn)