空間向量基本定理（2課時）導學案 2024-2025學年高二數(shù)學（人教A版2019選擇性必修第一冊）

1.2《空間向量基本定理》導學案一.學習目標1.認識與理解空間向量基本定理及其意義，基底與基向量，以及單位正交基底；（數(shù)學抽象）2.根據空間向量基本定理，熟練掌握利用基底表示空間向量的方法與技巧.（數(shù)學運算、邏輯推理、直觀想象）二.學習過程（導學、自學）（一）探究新知1——空間向量基本定理（互學）空間向量基本定理如果三個向量a，b，c不，那么對任意一個空間向量p=（二）探究新知2——基底與基向量（互學）由空間向量基本定理可知：如果三個向量a，b，p這個集合可看作由向量a，b，c生成的，我們把叫做空間的一個基底，a注：空間任意三個不共面的向量都可以構成空間的一個.（三）探究新知3——單位正交基底與正交分解（互學）特別地，如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩，且長度都為，那么這個基底叫做基底，常用表示，由空間向量基本定理可知，對空間中的意向量a均可以分解為三個向量xia=像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩的向量，叫做把空間向量進行分解.(四)小結（互學）1.提示一由空間向量基本定理可知，如果把三個不的向量作為空間的一個基底，那么所有空間向量都可以用三個基向量表示出來.2.提示二進一步地，所有空間向量間的運算都可以轉化為間的運算，這為解決問題帶來了方便.三.典例分析（互學）例1如圖，M是四面體OABC的棱BC的中點，點N在線段OM上，點試用向量OA,OB,例1解:∵向量OA,∴據空間向量基本定理可得=====注：據加法的平行四邊形法則可知——“三角形中線所表示的向量等于與它相鄰兩邊表示向量之和的一半”例2如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4求證MN證明：設AB=aa,b,則MN=A∵MN===∴MN故MN溫馨提示：利用空間向量解決立體幾何問題是我們學習空間向量的意義所在.例3如圖，正方體ABCD-A'B'C(1)求證:EF//(2)求CE與AG證明（1）：設DA=∵{i，∴EF∴EF=1∴EF∥CA(向量共線定理∴EF解（2）:∵CE=∴cos==故CE與AG所成角的余弦值為四.達標檢測（遷移變通、檢測實踐）1.如圖，已知三棱錐O-ABC，點M，N分別是OA，BC的中點，點G為線段MN上一點，且MG=2GN，若記OA=a，OB=bA.13a+13b+13【答案】C

【解析】【分析】本題考查空間向量基本定理，空間向量的線性運算．

利用空間向量的三角形法則、平行四邊形法則，把OG用OA，OB和OC線性表示即可．【解答】

解：如圖所示，連接ON，

∵OG=ON+NG，ON=12(OB+OC)，

NG=2.已知空間向量i,j,kA.向量i+j+k的模是3

B.{i+j,i-j,k}可以構成空間的一個基底【答案】BC

【解析】【分析】本題考查了空間向量的應用，涉及了空間向量模的求解、空間向量的基底、空間向量的夾角等知識點，考查的知識面廣，對學生基礎知識掌握的情況有較高的要求，屬于中檔題．

利用向量的模的性質將i+j+k的模轉化為數(shù)量積求解，即可判斷選項A，利用不共面的向量作為基底判斷選項B，利用兩個向量夾角的余弦公式進行求解，即可判斷選項C，利用向量的夾角公式求出向量i+j【解答】

解：對于選項A，因為空間向量i,j,k都是單位向量，且兩兩垂直，

所以|i|=|j|=|k|=1，且i?j=0,i?k=0,j?k=0，

則|i+j+k|=(i+j+k)2

=i2+j2+k2+2i?j+2j?k+2i?k=3，

所以向量i+j+k的模是3，

故選項A錯誤；

對于選項B，因為空間向量i,j,k都是單位向量，且兩兩垂直，

所以i,j,k不共面，而向量i+j,i-j均與i3.已知空間四邊形ABCD中，AB→=b→,AC→=c→【答案】23【解析】【分析】本題考查了向量三角形法則、平面向量基本定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．

如圖所示，BM=BC+【解答】

解：如圖所示，BM=BC+CM=AC-AB+13CD

=AC4.如圖所示，三棱柱ABC—A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM=2A1M，C1N=2B1N.設AB=a，AC=b，【答案】解：(1)∵BM=2∴MA1∴MN=(2)a+b+c2

=【解