備考2024高考一輪總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)人教a版第二章§2.10　函數(shù)模型的應(yīng)用

§2.10函數(shù)模型的應(yīng)用考試要求1.了解指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)增長(zhǎng)速度的差異.2.理解“指數(shù)爆炸”“對(duì)數(shù)增長(zhǎng)”“直線上升”等術(shù)語的含義.3.會(huì)選擇合適的函數(shù)模型刻畫現(xiàn)實(shí)問題的變化規(guī)律，了解函數(shù)模型在社會(huì)生活中的廣泛應(yīng)用．知識(shí)梳理1．三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增減性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同2.常見的函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)＝eq\f(k,x)＋b(k，b為常數(shù)且k≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，a>0且a≠1，b≠0)冪函數(shù)模型f(x)＝axα＋b(a，b，α為常數(shù)，a≠0，α≠0)思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．(×)(2)某商品進(jìn)價(jià)為每件100元，按進(jìn)價(jià)增加10%出售，后因庫(kù)存積壓降價(jià)，若九折出售，則每件還能獲利．(×)(3)在(0，＋∞)上，隨著x的增大，y＝ax(a>1)的增長(zhǎng)速度會(huì)超過并遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于y＝xa(a>0)和y＝logax(a>1)的增長(zhǎng)速度．(√)(4)在選擇實(shí)際問題的函數(shù)模型時(shí)，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型．(×)教材改編題1．在某個(gè)物理實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得變量x和變量y的幾組數(shù)據(jù)，如下表：x0.500.992.013.98y－0.99－0.010.982.00則對(duì)x，y最適合的擬合函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2x答案D解析根據(jù)x＝0.50，y＝－0.99，代入計(jì)算，可以排除A；根據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以排除B，C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿足題意．2．設(shè)甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車勻速?gòu)募椎氐揭业赜昧?0分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又勻速?gòu)囊业胤祷氐郊椎赜昧?0分鐘，則小王從出發(fā)到返回原地所經(jīng)過的路程y和其所用的時(shí)間x的函數(shù)圖象為()答案D3．當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí)，用一般的放射性探測(cè)器就測(cè)不到了．若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它至少要經(jīng)過________個(gè)“半衰期”．答案10解析設(shè)該死亡生物體內(nèi)原有的碳14的含量為1，則經(jīng)過n個(gè)“半衰期”后的含量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n，由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n<eq\f(1,1000)，得n≥10.所以，若某死亡生物體內(nèi)的碳14用該放射性探測(cè)器探測(cè)不到，則它至少需要經(jīng)過10個(gè)“半衰期”.題型一用函數(shù)圖象刻畫變化過程例1(1)如圖，一高為H且裝滿水的魚缸，其底部有一排水小孔，當(dāng)小孔打開時(shí)，水從孔中勻速流出，水流完所用時(shí)間為T.若魚缸水深為h時(shí)，水流出所用時(shí)間為t，則函數(shù)h＝f(t)的圖象大致是()答案B解析水勻速流出，所以魚缸水深h先降低快，中間降低緩慢，最后降低速度又越來越快．(2)(2022·泰州模擬)中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度有關(guān)．經(jīng)驗(yàn)表明，某種綠茶用85℃的水泡制，再等到茶水溫度降至60℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感．為分析泡制一杯最佳口感茶水所需時(shí)間，某研究人員每隔1min測(cè)量一次茶水的溫度，根據(jù)所得數(shù)據(jù)做出如圖所示的散點(diǎn)圖．觀察散點(diǎn)圖的分布情況，下列哪個(gè)函數(shù)模型可以近似地刻畫茶水溫度y隨時(shí)間x變化的規(guī)律()A．y＝mx2＋n(m>0)B．y＝max＋n(m>0,0<a<1)C．y＝max＋n(m>0，a>1)D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1)答案B解析由函數(shù)圖象可知符合條件的只有指數(shù)函數(shù)模型，并且m>0,0<a<1.教師備選已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)開始沿折線BCDA向A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為S，則函數(shù)S＝f(x)的圖象是()答案D解析依題意知，當(dāng)0≤x≤4時(shí)，f(x)＝2x；當(dāng)4<x≤8時(shí)，f(x)＝8；當(dāng)8<x≤12時(shí)，f(x)＝24－2x，觀察四個(gè)選項(xiàng)知D項(xiàng)符合要求．思維升華判斷函數(shù)圖象與實(shí)際問題變化過程相吻合的兩種方法(1)構(gòu)建函數(shù)模型法：當(dāng)根據(jù)題意易構(gòu)建函數(shù)模型時(shí)，先建立函數(shù)模型，再結(jié)合模型選圖象；(2)驗(yàn)證法：根據(jù)實(shí)際問題中兩變量的變化快慢等特點(diǎn)，結(jié)合圖象的變化趨勢(shì)，驗(yàn)證是否吻合，從中排除不符合實(shí)際的情況，選擇出符合實(shí)際情況的答案．跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·內(nèi)江模擬)對(duì)于下列表格中的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸分析時(shí)，下列四個(gè)函數(shù)模型擬合效果最優(yōu)的是()x123y35.9912.01A.y＝3×2x－1 B．y＝log2xC．y＝3x D．y＝x2答案A解析根據(jù)題意，這3組數(shù)據(jù)可近似為(1,3)，(2,6)，(3,12)；得到增長(zhǎng)速度越來越快，排除B，C，對(duì)于選項(xiàng)D，三組數(shù)據(jù)都不滿足，對(duì)于選項(xiàng)A，三組數(shù)據(jù)代入后近似滿足，則模擬效果最好的函數(shù)是y＝3×2x－1.(2)(2022·武漢模擬)在用計(jì)算機(jī)處理灰度圖象(即俗稱的黑白照片)時(shí)，將灰度分為256個(gè)等級(jí)，最暗的黑色用0表示，最亮的白色用255表示，中間的灰度根據(jù)其明暗漸變程度用0至255之間對(duì)應(yīng)的數(shù)表示，這樣可以給圖象上的每個(gè)像素賦予一個(gè)“灰度值”．在處理有些較黑的圖象時(shí)，為了增強(qiáng)較黑部分的對(duì)比度，可對(duì)圖象上每個(gè)像素的灰度值進(jìn)行轉(zhuǎn)換，擴(kuò)展低灰度級(jí)，壓縮高灰度級(jí)，實(shí)現(xiàn)如下圖所示的效果：則下列可以實(shí)現(xiàn)該功能的一種函數(shù)圖象是()答案A解析根據(jù)圖片處理過程中圖象上每個(gè)像素的灰度值轉(zhuǎn)換的規(guī)則可知，相對(duì)于原圖的灰度值，處理后的圖象上每個(gè)像素的灰度值增加，所以圖象在y＝x上方．結(jié)合選項(xiàng)只有A選項(xiàng)能夠較好的達(dá)到目的．題型二已知函數(shù)模型的實(shí)際問題例2(2022·百師聯(lián)盟聯(lián)考)隨著我國(guó)經(jīng)濟(jì)發(fā)展、醫(yī)療消費(fèi)需求增長(zhǎng)、人們健康觀念轉(zhuǎn)變以及人口老齡化進(jìn)程加快等因素的影響，醫(yī)療器械市場(chǎng)近年來一直保持了持續(xù)增長(zhǎng)的趨勢(shì)．某醫(yī)療器械公司為了進(jìn)一步增加市場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)力，計(jì)劃改進(jìn)技術(shù)生產(chǎn)某產(chǎn)品．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品的年固定成本為300萬元，最大產(chǎn)能為100臺(tái)．每生產(chǎn)x臺(tái)，需另投入成本G(x)萬元，且G(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2＋80x，0<x≤40，,201x＋\f(3600,x)－2100，40<x≤100，))由市場(chǎng)調(diào)研知，該產(chǎn)品每臺(tái)的售價(jià)為200萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的該產(chǎn)品當(dāng)年能全部銷售完．(1)寫出年利潤(rùn)W(x)萬元關(guān)于年產(chǎn)量x臺(tái)的函數(shù)解析式(利潤(rùn)＝銷售收入－成本)；(2)當(dāng)該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為多少時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解(1)由題意可得，當(dāng)0<x≤40時(shí)，W(x)＝200x－(2x2＋80x)－300＝－2x2＋120x－300；當(dāng)40<x≤100時(shí)，W(x)＝200x－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(201x＋\f(3600,x)－2100))－300＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800，所以W(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x2＋120x－300，0<x≤40，,－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800，40<x≤100.))(2)若0<x≤40，W(x)＝－2(x－30)2＋1500，所以當(dāng)x＝30時(shí)，W(x)max＝1500萬元．若40<x≤100，W(x)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(3600,x)))＋1800≤－2eq\r(x·\f(3600,x))＋1800＝－120＋1800＝1680，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(3600,x)時(shí)，即x＝60時(shí)，W(x)max＝1680萬元．所以該產(chǎn)品的年產(chǎn)量為60臺(tái)時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是1680萬元．教師備選(2022·重慶南開中學(xué)模擬)某企業(yè)自主開發(fā)出一款新產(chǎn)品A，計(jì)劃在2022年正式投入生產(chǎn)，已知A產(chǎn)品的前期研發(fā)總花費(fèi)為50000元，該企業(yè)每年最多可生產(chǎn)4萬件A產(chǎn)品．通過市場(chǎng)分析知，在2022年該企業(yè)每生產(chǎn)x(千件)A產(chǎn)品，需另投入生產(chǎn)成本R(x)(千元)，且R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2＋60x，0<x≤10，,70x＋\f(1800,x)－230，10<x≤40.))(1)求該企業(yè)生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本p(元)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求平均成本p的最小值(總成本＝研發(fā)成本＋生產(chǎn)成本)；(2)該企業(yè)欲使生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本p≤66元，求其年生產(chǎn)值x(千件)的取值區(qū)間？解(1)由題知生產(chǎn)x千件的總成本為(R(x)＋50)千元，故生產(chǎn)一件的平均成本為eq\f(Rx＋50,x)元，所以p(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x＋60＋\f(50,x)，0<x≤10，,70＋\f(1800,x2)－\f(180,x)，10<x≤40，))當(dāng)x∈(0,10]時(shí)，p(x)＝eq\f(1,2)x＋60＋eq\f(50,x)單調(diào)遞減，故最小值為p(10)＝70，當(dāng)x∈(10,40]時(shí)，p(x)＝1800eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,20)))2＋65.5，故最小值為p(20)＝65.5，所以生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本最低為65.5元．(2)由(1)知，要使p(x)≤66只需考慮x∈(10,40]，即70＋eq\f(1800,x2)－eq\f(180,x)≤66，整理得x2－45x＋450≤0，解得15≤x≤30，所以當(dāng)x∈[15,30]時(shí)，生產(chǎn)一件A產(chǎn)品的平均成本不超過66元．思維升華求解已知函數(shù)模型解決實(shí)際問題的關(guān)鍵(1)認(rèn)清所給函數(shù)模型，弄清哪些量為待定系數(shù)．(2)根據(jù)已知利用待定系數(shù)法，確定模型中的待定系數(shù)．(3)利用該函數(shù)模型，借助函數(shù)的性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)等求解實(shí)際問題，并進(jìn)行檢驗(yàn)．跟蹤訓(xùn)練2(1)“百日沖刺”是各個(gè)學(xué)校針對(duì)高三學(xué)生進(jìn)行的高考前的激情教育，它能在短時(shí)間內(nèi)最大限度激發(fā)一個(gè)人的潛能，使成績(jī)?cè)谠瓉淼幕A(chǔ)上有不同程度的提高，以便在高考中取得令人滿意的成績(jī)，特別對(duì)于成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生來講，其增加分?jǐn)?shù)的空間尤其大．現(xiàn)有某班主任老師根據(jù)歷年成績(jī)?cè)谥械绕碌膶W(xué)生經(jīng)歷“百日沖刺”之后的成績(jī)變化，構(gòu)造了一個(gè)經(jīng)過時(shí)間t(30≤t≤100)(單位：天)，增加總分?jǐn)?shù)f(t)(單位：分)的函數(shù)模型：f(t)＝eq\f(kP,1＋lgt＋1)，k為增分轉(zhuǎn)化系數(shù)，P為“百日沖刺”前的最后一次?？伎偡?，且f(60)＝eq\f(1,6)P.現(xiàn)有某學(xué)生在高考前100天的最后一次?？伎偡譃?00分，依據(jù)此模型估計(jì)此學(xué)生在高考中可能取得的總分約為(lg61≈1.79)()A．440分 B．460分C．480分 D．500分答案B解析由題意得，f(60)＝eq\f(kP,1＋lg61)＝eq\f(kP,2.79)＝eq\f(1,6)P，∴k≈eq\f(2.79,6)＝0.465，∴f(100)＝eq\f(0.465×400,1＋lg101)＝eq\f(186,1＋lg100＋lg1.01)≈eq\f(186,3)＝62，∴該學(xué)生在高考中可能取得的總分約為400＋62＝462≈460(分)．(2)某地西紅柿上市后，通過市場(chǎng)調(diào)查，得到西紅柿種植成本Q(單位：元/100kg)與上市時(shí)間t(單位：天)的數(shù)據(jù)如下表：時(shí)間t60100180種植成本Q11684116根據(jù)上表數(shù)據(jù)，從下列函數(shù)中選取一個(gè)函數(shù)描述西紅柿種植成本Q與上市時(shí)間t的變化關(guān)系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·bt，Q＝a·logbt.利用你選取的函數(shù)，求：①西紅柿種植成本最低時(shí)的上市天數(shù)是______；②最低種植成本是________元/100kg.答案①120②80解析因?yàn)殡S著時(shí)間的增加，種植成本先減少后增加，而且當(dāng)t＝60和t＝180時(shí)種植成本相等，再結(jié)合題中給出的四種函數(shù)關(guān)系可知，種植成本與上市時(shí)間的變化關(guān)系應(yīng)該用二次函數(shù)Q＝at2＋bt＋c，即Q＝a(t－120)2＋m描述，將表中數(shù)據(jù)代入可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a60－1202＋m＝116，,a100－1202＋m＝84，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0.01，,m＝80，))所以Q＝0.01(t－120)2＋80，故當(dāng)上市天數(shù)為120時(shí)，種植成本取到最低值80元/100kg.題型三構(gòu)造函數(shù)模型的實(shí)際問題例3(1)2020年12月17日凌晨，嫦娥五號(hào)返回器攜帶月球樣品在內(nèi)蒙古四子王旗預(yù)定區(qū)域安全著陸．嫦娥五號(hào)返回艙之所以能達(dá)到如此高的再入精度，主要是因?yàn)樗捎脧椞椒祷貜椀?，?shí)現(xiàn)了減速和再入階段彈道調(diào)整，這與“打水漂”原理類似(如圖所示)．現(xiàn)將石片扔則至少需要“打水漂”的次數(shù)為(參考數(shù)據(jù)：取ln0.6≈－0.511，ln0.9≈－0.105)()A．4B．5C．6D．7答案C解析設(shè)石片第n次“打水漂”時(shí)的速率為vn，則vn＝100×0.90n－1.由100×0.90n－1<60，得0.90n－1<0.6，則(n－1)ln0.90<ln0.6，即n－1>eq\f(ln0.6,ln0.9)≈eq\f(－0.511,－0.105)≈4.87，則n>5.87，故至少需要“打水漂”的次數(shù)為6.(2)(2022·濱州模擬)某同學(xué)設(shè)想用“高個(gè)子系數(shù)k”來刻畫成年男子的高個(gè)子的程度，他認(rèn)為，成年男子身高160cm及其以下不算高個(gè)子，其高個(gè)子系數(shù)k應(yīng)為0；身高190cm及其以上的是理所當(dāng)然的高個(gè)子，其高個(gè)子系數(shù)k應(yīng)為1，請(qǐng)給出一個(gè)符合該同學(xué)想法、合理的成年男子高個(gè)子系數(shù)k關(guān)于身高x(cm)的函數(shù)關(guān)系式________．答案k＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤160，,\f(1,30)x－160，160<x<190，,1，x≥190.))(只要寫出的函數(shù)滿足在區(qū)間[160,190]上單調(diào)遞增，且過點(diǎn)(160,0)和(190,1)即可．答案不唯一)解析由題意知函數(shù)k(x)在[160,190]上單調(diào)遞增，設(shè)k(x)＝ax＋b(a>0)，x∈[160,190]，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(160a＋b＝0，,190a＋b＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(1,30)，,b＝－\f(16,3)，))所以k(x)＝eq\f(1,30)x－eq\f(16,3)，所以k＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0<x≤160，,\f(1,30)x－160，160<x<190，,1，x≥190.))教師備選國(guó)慶期間，某旅行社組團(tuán)去風(fēng)景區(qū)旅游，若每團(tuán)人數(shù)在30或30以下，飛機(jī)票每張收費(fèi)900元；若每團(tuán)人數(shù)多于30，則給予優(yōu)惠：每多1人，機(jī)票每張減少10元，直到達(dá)到規(guī)定人數(shù)75為止．每團(tuán)乘飛機(jī)，旅行社需付給航空公司包機(jī)費(fèi)15000元．(1)寫出飛機(jī)票的價(jià)格關(guān)于人數(shù)的函數(shù)；(2)每團(tuán)人數(shù)為多少時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)？解設(shè)該旅行團(tuán)的人數(shù)為x，飛機(jī)票的價(jià)格為y元．旅行社可獲得的利潤(rùn)為w元．(1)①當(dāng)0≤x≤30時(shí)，y＝900，②當(dāng)30<x≤75時(shí)，y＝900－10(x－30)＝－10x＋1200，綜上有y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(900，0≤x≤30，,－10x＋1200，30<x≤75.))(2)當(dāng)0≤x≤30時(shí)，w＝900x－15000，當(dāng)x＝30時(shí)，wmax＝900×30－15000＝12000(元)；當(dāng)30<x≤75時(shí)，w＝(－10x＋1200)·x－15000＝－10x2＋1200x－15000＝－10(x－60)2＋21000，當(dāng)x＝60時(shí)，w最大為21000元，∴每團(tuán)人數(shù)為60時(shí)，旅行社可獲得最大利潤(rùn)．思維升華構(gòu)建函數(shù)模型解決實(shí)際問題的步驟(1)建模：抽象出實(shí)際問題的數(shù)學(xué)模型；(2)推理、演算：對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行邏輯推理或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得到問題在數(shù)學(xué)意義上的解；(3)評(píng)價(jià)、解釋：對(duì)求得的數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行深入討論，作出評(píng)價(jià)、解釋、返回到原來的實(shí)際問題中去，得到實(shí)際問題的解．每?jī)?cè)雜志可以定價(jià)為()A．2.5元 B．3元C．3.2元 D．3.5元答案BC解析依題意可知，要使該雜志銷售收入不少于22.4萬元，只能提高銷售價(jià)，設(shè)每?jī)?cè)雜志定價(jià)為x(x>2)元，則發(fā)行量為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x－2,0.2)×0.5))萬冊(cè)，則該雜志銷售收入為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x－2,0.2)×0.5))x萬元，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x－2,0.2)×0.5))x≥22.4，化簡(jiǎn)得x2－6x＋8.96≤0，解得2.8≤x≤3.2.(2)(2022·南京模擬)拉面是很多人喜好的食物．師傅在制作拉面的時(shí)候，將面團(tuán)先拉到一定長(zhǎng)度，然后對(duì)折，對(duì)折后面條根數(shù)變?yōu)樵瓉淼?倍，再拉到上次面條的長(zhǎng)度．每次對(duì)折后，師傅都要去掉捏在一只手里的面團(tuán)．如果拉面師傅將300克面團(tuán)拉成細(xì)絲面條，每次對(duì)折后去掉捏在手里的面團(tuán)都是18克．第一次拉的長(zhǎng)度是1米，共拉了7次，假定所有細(xì)絲面條粗線均勻、質(zhì)量相等，則最后每根1米長(zhǎng)的細(xì)絲面條的質(zhì)量是________．答案3克解析拉面師傅拉7次面條共有27－1＝26＝64根面條，在7次拉面過程中共對(duì)折6次，則去掉面的質(zhì)量為6×18＝108(克)；剩下64根面條的總質(zhì)量為300－108＝192(克)，則每根1米長(zhǎng)的細(xì)絲面條的質(zhì)量為eq\f(192,64)＝3(克)．課時(shí)精練1．(2020·全國(guó)Ⅰ)某校一個(gè)課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個(gè)不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實(shí)驗(yàn)，由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1,2，…，20)得到下面的散點(diǎn)圖：由此散點(diǎn)圖，在10℃至40℃之間，下面四個(gè)回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是()A．y＝a＋bx B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx答案D解析由散點(diǎn)圖可以看出，點(diǎn)大致分布在對(duì)數(shù)型函數(shù)的圖象附近．2．(2022·福建師大附中月考)視力檢測(cè)結(jié)果有兩種記錄方式，分別是小數(shù)記錄與五分記錄，其部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：小數(shù)記錄x0.10.120.15…11.21.52.0五分記錄y4.04.14.2…55.15.25.3現(xiàn)有如下函數(shù)模型：①y＝5＋lgx，②y＝5＋eq\f(1,10)lgeq\f(1,x)，x表示小數(shù)記錄數(shù)據(jù)，y表示五分記錄數(shù)據(jù)，請(qǐng)選擇最合適的模型解決如下問題：小明同學(xué)檢測(cè)視力時(shí)，醫(yī)生告訴他的視力為4.7，則小明同學(xué)的小數(shù)記錄數(shù)據(jù)為(附100.3＝2，5－0.22＝0.7，10－0.1＝0.8)()A．0.3B．0.5C．0.7D．0.8答案B解析由表格中的數(shù)據(jù)可知，函數(shù)單調(diào)遞增，故合適的函數(shù)模型為y＝5＋lgx，令y＝5＋lgx＝4.7，解得x＝10－0.3＝0.5.3．某中學(xué)體育課對(duì)女生立定跳遠(yuǎn)項(xiàng)目的考核標(biāo)準(zhǔn)為：立定跳遠(yuǎn)距離1.33米得5分，每增加0若某女生訓(xùn)練前的成績(jī)?yōu)?0分，經(jīng)過一段時(shí)間的訓(xùn)練后，成績(jī)?yōu)?05分，則該女生訓(xùn)練后，立定跳遠(yuǎn)距離增加了()A．0.33米 B．0.42米C．0.39米 D．0.43米答案B解析該女生訓(xùn)練前立定跳遠(yuǎn)距離為1.84－0.03×eq\f(90－70,5)＝1.72(米)，訓(xùn)練后立定跳遠(yuǎn)距離為1.84＋0.1×eq\f(105－90,5)＝2.14(米)，則該女生訓(xùn)練后，立定跳遠(yuǎn)距離增加了2.14－1.72＝0.42(米)．4．中國(guó)茶文化博大精深，茶水的口感與茶葉類型和水的溫度經(jīng)有關(guān)研究可知：在室溫25℃下，某種綠茶用85℃的水泡制，經(jīng)過xmin后茶水的溫度為y℃，且y＝k·0.9085x＋25(x≥0，k∈R)．當(dāng)茶水溫度降至55℃時(shí)飲用口感最佳，此時(shí)茶水泡制時(shí)間大約為(結(jié)果保留整數(shù)，參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.6931，ln3≈1.0986，ln0.9085≈－0.0960)()A．6min B．7minC．8min D．9min答案B解析由題意可知，當(dāng)x＝0時(shí)，y＝85，則85＝k＋25，解得k＝60，所以y＝60×0.9085x＋25.當(dāng)y＝55時(shí)，55＝60×0.9085x＋25，即0.9085x＝0.5，則x＝log0.90850.5＝eq\f(ln

\f(1,2),ln0.9085)＝eq\f(－ln2,ln0.9085)≈eq\f(0.6931,0.0960)≈7，所以茶水泡制時(shí)間大約為7min.5．(多選)(2022·廈門模擬)某醫(yī)藥研究機(jī)構(gòu)開發(fā)了一種新藥，據(jù)監(jiān)測(cè)，如果患者每次按規(guī)定的劑量注射該藥物，注射后每毫升血液中的含藥量y(微克)與時(shí)間t(小時(shí))之間的關(guān)系近似滿足如圖所示的曲線．據(jù)進(jìn)一步測(cè)定，當(dāng)每毫升血液中含藥量不少于0.125微克時(shí)，治療該病有效，則()A．a(chǎn)＝3B．注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為6小時(shí)C．注射該藥物eq\f(1,8)小時(shí)后每毫升血液中的含藥量為0.4微克D．注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度為5eq\f(31,32)小時(shí)答案AD解析由函數(shù)圖象可知y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－a，t≥1，))當(dāng)t＝1時(shí)，y＝4，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))1－a＝4，解得a＝3，∴y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4t，0≤t<1，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3，t≥1，))故A正確，藥物剛好起效的時(shí)間，當(dāng)4t＝0.125，即t＝eq\f(1,32)，藥物剛好失效的時(shí)間eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))t－3＝0.125，解得t＝6，故藥物有效時(shí)長(zhǎng)為6－eq\f(1,32)＝5eq\f(31,32)(小時(shí))，注射一次治療該病的有效時(shí)間長(zhǎng)度不到6個(gè)小時(shí)，故B錯(cuò)誤，D正確；注射該藥物eq\f(1,8)小時(shí)后每毫升血液含藥量為4×eq\f(1,8)＝0.5(微克)，故C錯(cuò)誤．6．(多選)某導(dǎo)演的紀(jì)錄片《垃圾圍城》真實(shí)地反映了城市垃圾污染問題，目前中國(guó)668個(gè)城市中有超過eq\f(2,3)的城市處于垃圾的包圍之中，且城市垃圾中的快遞行業(yè)產(chǎn)生的包裝垃圾正在逐年攀升，有關(guān)數(shù)據(jù)顯示，某城市從2016年到2019年產(chǎn)生的包裝垃圾量如下表：年份x2016201720182019包裝垃圾y(萬噸)46913.5有下列函數(shù)模型：①y＝a·bx－2016；②y＝asin

eq\f(πx,2016)＋b；③y＝alg(x＋b)(a>0，b>1)(參考數(shù)據(jù)：lg2＝0.3010，lg3＝0.4771)，則以下說法正確的是()A．選擇模型①，函數(shù)模型解析式y(tǒng)＝4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－2016，近似反映該城市近幾年包裝垃圾生產(chǎn)量y(萬噸)與年份x的函數(shù)關(guān)系B．選擇模型②，函數(shù)模型解析式y(tǒng)＝4sin

eq\f(πx,2016)＋2016，近似反映該城市近幾年包裝垃圾生產(chǎn)量y(萬噸)與年份x的函數(shù)關(guān)系C．若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長(zhǎng)下去，從2021年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸D．若不加以控制，任由包裝垃圾如此增長(zhǎng)下去，從2022年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸答案AD解析若選y＝4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－2016，計(jì)算可得對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)近似為4,6,9,13.5，若選y＝4sin

eq\f(πx,2016)＋2016，計(jì)算可得對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)近似值都大于2012，顯然A正確，B錯(cuò)誤；按照選擇函數(shù)模型y＝4·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－2016，令y>40，即4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－2016>40，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x－2016>10，∴x－2016>，∴x－2016>eq\f(lg10,lg

\f(3,2))＝eq\f(1,lg3－lg2)≈5.6786，∴x>2021.6786，即從2022年開始，該城市的包裝垃圾將超過40萬噸，故C錯(cuò)誤，D正確．7．(2022·蚌埠模擬)某種動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(數(shù)量：只)與時(shí)間x(單位：年)的關(guān)系式為y＝alog2(x＋1)，若這種動(dòng)物第1年有100只，則到第7年它們發(fā)展到________只．答案300解析由題意知100＝alog2(1＋1)?a＝100，當(dāng)x＝7時(shí)，可得y＝100log2(7＋1)＝300.若常數(shù)k＝0.05，空氣溫度為30℃，某物體的溫度從90℃下降到50℃，大約需要的時(shí)間為________分鐘．(參考數(shù)據(jù)：ln3≈1.1)答案22解析由題知θ0＝30，θ1＝90，θ＝50，∴50＝30＋(90－30)e－0.05t，∴e－0.05t＝eq\f(1,3)，∴－0.05t＝ln

eq\f(1,3)，∴0.05t＝ln3，∴t＝eq\f(ln3,0.05)＝20×ln3≈22.9．某公司為改善營(yíng)運(yùn)環(huán)境，年初以50萬元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一輛豪華客車．已知該客車每年的營(yíng)運(yùn)總收入為30萬元，使用x年(x∈N*)所需的各種費(fèi)用總計(jì)為(2x2＋6x)萬元．(1)該車營(yíng)運(yùn)第幾年開始盈利(總收入超過總支出，今年為第一年)；(2)該車若干年后有兩種處理方案：①當(dāng)盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以10萬元價(jià)格賣出；②當(dāng)年平均盈利總額達(dá)到最大值時(shí)，以12萬元的價(jià)格賣出．問：哪一種方案較為合算？并說明理由．解(1)∵客車每年的營(yíng)運(yùn)總收入為30萬元，使用x年(x∈N*)所需的各種費(fèi)用總計(jì)為(2x2＋6x)萬元，若該車x年開始盈利，則30x>2x2＋6x＋50，即x2－12x＋25<0，∵x∈N*，∴3≤x≤9，∴該車營(yíng)運(yùn)第3年開始盈利．(2)方案①盈利總額y1＝30x－(2x2＋6x＋50)＝－2x2＋24x－50＝－2(x－6)2＋22，∴x＝6時(shí)，盈利總額達(dá)到最大值為22萬元．∴6年后賣出客車，可獲利潤(rùn)總額為22＋10＝32(萬元)．方案②年平均盈利總額y2＝eq\f(－2x2＋24x－50,x)＝－2x－eq\f(50,x)＋24＝24－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))≤4(當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時(shí)取等號(hào))．∴x＝5時(shí)年平均盈利總額達(dá)到最大值4萬元．∴5年后賣出客車，可獲利潤(rùn)總額為4×5＋12＝32(萬元)．∵兩種方案的利潤(rùn)總額一樣，但方案②的時(shí)間短，∴方案②較為合算．10．(2022·保定模擬)某生物研究者于元旦在湖中放入一些鳳眼蓮(其覆蓋面積為k)，這些鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，二月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為24m2，三月底測(cè)得鳳眼蓮的覆蓋面積為36m2，鳳眼蓮的覆蓋面積y(單位：m2)與月份x(單位：月)的關(guān)系有兩個(gè)函數(shù)模型y＝kax(k>0，a>1)與y＝＋k(p>0，k>0)可供選擇．(1)試判斷哪個(gè)函數(shù)模型更合適并求出該模型的解析式；(2)求鳳眼蓮的覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份．(參考數(shù)據(jù)：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)解(1)由題設(shè)可知，兩個(gè)函數(shù)y＝kax(k>0，a>1)，y＝＋k(p>0，k>0)在(0，＋∞)上均為增函數(shù)，隨著x的增大，函數(shù)y＝kax(k>0，a>1)的值增加得越來越快，而函數(shù)y＝＋k(p>0，k>0)的值增加得越來越慢，由于鳳眼蓮在湖中的蔓延速度越來越快，故而函數(shù)模型y＝kax(k>0，a>1)滿足要求．由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ka2＝24，,ka3＝36，))解得k＝eq\f(32,3)，a＝eq\f(3,2)，故該函數(shù)模型的解析式為y＝eq\f(32,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x(x∈N)．(2)當(dāng)x＝0時(shí)，y＝eq\f(32,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))0＝eq\f(32,3)，故元旦放入鳳眼蓮的面積為eq\f(32,3)m2，由eq\f(32,3)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>10×eq\f(32,3)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))x>10，故x>＝eq\f(lg10,lg

\f(3,2))＝eq\f(1,lg3－lg2)，由于eq\f(1,lg3－lg2)≈eq\f(1,0.4771－0.3010)≈5.7，故x≥6.因此，鳳眼蓮覆蓋面積是元旦放入鳳眼蓮面積10倍以上的最小月份是6月份．11．(2022·衡陽(yáng)模擬)“一騎紅塵妃子笑，無人知是荔枝來”描述了封建統(tǒng)治者的驕奢生活，同時(shí)也講述了古代資源流通的不便利．如今我國(guó)物流行業(yè)蓬勃發(fā)展，極大地促進(jìn)了社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展和資源整合．已知某類果蔬的保鮮時(shí)間y(單位：小時(shí))與儲(chǔ)藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系y＝eax＋b(a，b為常數(shù))，若該果蔬在6℃的保鮮時(shí)間為216小時(shí)，在24℃的保鮮時(shí)間為8小時(shí)，那么在12℃時(shí)，該果蔬的保鮮時(shí)間為()A．72小時(shí) B．36小時(shí)C．24小時(shí) D．16小時(shí)答案A解析當(dāng)x＝6時(shí)，e6a＋b＝216；當(dāng)x＝24時(shí)，e24a＋b＝8，則eq\f(e6a＋b,e24a＋b)＝eq\f(216,8)＝27，整理可得e6a＝eq\f(1,3)，于是eb＝216×3＝648，當(dāng)x＝12時(shí)，y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝eq\f(1,9)×648＝72.12．(2022·南通模擬)“喊泉”是一種地下水的毛細(xì)現(xiàn)象，人們?cè)谌诤鸾谢虬l(fā)出其他聲音時(shí)，聲波傳入泉洞內(nèi)的儲(chǔ)水池，進(jìn)而產(chǎn)生“共鳴”等作用，激起水波，形成涌泉，聲音越大，涌起的泉水越高．已知聽到的聲強(qiáng)I與標(biāo)準(zhǔn)聲強(qiáng)I0(I0約為10－12，單位：W/m2)之比的常用對(duì)數(shù)稱作聲強(qiáng)的聲強(qiáng)級(jí)，記作L(貝爾)，即L＝lg

eq\f(I,I0).取貝爾的10倍作為響度的常用單位，簡(jiǎn)稱為分貝，已知某處“喊泉”的聲音強(qiáng)度y(分貝)與噴出的泉水高度x(m)之間滿足關(guān)系式y(tǒng)＝2x，甲、乙兩名同學(xué)大喝一聲激起的涌泉的最高高度分別為70m，60m．若甲同學(xué)大喝一聲的聲強(qiáng)大約相當(dāng)于n個(gè)乙同學(xué)同時(shí)大喝一聲的聲強(qiáng)，則n的值約為()A．10B．100C．200D．1000答案B解析設(shè)甲同學(xué)的聲強(qiáng)為I1，乙同學(xué)的聲強(qiáng)為I2，則140＝10lg

eq\f(I1,10－12)，120＝10lg

eq\f(I2,10－12)，兩式相減即得20＝10lg

eq\f(I1,I2)，即lg

eq\f(I1,I2)＝2，從而eq\f(I1,I2)＝100，所以n的值約為100.13．如圖所示，一直角墻角，兩邊的長(zhǎng)度足夠長(zhǎng)，在P處有一棵樹與兩墻的距離分別是am(0<a<12)，4m，不考慮樹的粗細(xì)，現(xiàn)在用16m長(zhǎng)的籬笆，借助墻角圍成一個(gè)矩形的花園ABCD.設(shè)此矩形花園的面積為S(m2)，S的最大值為f(a)，若將這棵樹圍在花園內(nèi)，則函數(shù)u＝f(a)的圖象大致是()答案C解析設(shè)AD＝x米，則CD＝(16－x)米，要將樹圍在矩形內(nèi)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥a，,16－x≥4，))∴a≤x≤12.S＝x(16－x)＝－(x－8)2＋64，x∈[a,12]，當(dāng)0<a≤8時(shí)，當(dāng)x＝8時(shí)，Smax＝64，當(dāng)8<a≤12時(shí)，當(dāng)x＝a時(shí)，Smax＝－a2＋16a.綜上有f(a)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(64，0<a≤8，,－a2＋16a，8<a≤12.))14．(2022·蕪湖模擬)央視某主持人曾自曝，自小不愛數(shù)學(xué)，成年后還做過數(shù)學(xué)噩夢(mèng)，心狂跳不止：夢(mèng)見數(shù)學(xué)考試了，水池有個(gè)進(jìn)水管，5小時(shí)可注滿，池底有一個(gè)出水管，8小時(shí)可放完滿池水．若同時(shí)打開進(jìn)水管和出水管，多少小時(shí)可注滿空池？“這題也太變態(tài)了，你到底想放水還是注水？”主持人質(zhì)疑這類問題的合理性．其實(shí)這類放水注水問題只是個(gè)數(shù)學(xué)模型，用來刻畫“增加量－消耗量＝改變量”，這類數(shù)量關(guān)系可以用于處理現(xiàn)實(shí)生活中的大量問題．例如，某倉(cāng)庫(kù)從某時(shí)刻開始4小時(shí)內(nèi)只進(jìn)貨不出貨，在隨后的8小時(shí)內(nèi)同時(shí)進(jìn)出貨，接著按此進(jìn)出貨速度，不進(jìn)貨，直到把倉(cāng)庫(kù)中的貨出完．假設(shè)每小時(shí)進(jìn)、出貨量是常數(shù)，倉(cāng)庫(kù)中的貨物量y(噸)與時(shí)間x(小時(shí))之間的部分關(guān)系如圖，那么從不進(jìn)貨起__________小時(shí)后該倉(cāng)庫(kù)內(nèi)的貨恰好運(yùn)完．答案8解析由圖象可知，在0到4小時(shí)進(jìn)貨20噸，故進(jìn)貨速度是5噸/小時(shí)，所以出貨速度為(20＋5×8－30)÷8＝eq\f(15,4)(噸/小時(shí))，從不進(jìn)貨起，需要30÷eq\f(15,4)＝8(小時(shí))將該倉(cāng)庫(kù)內(nèi)的貨恰好運(yùn)完．15．(多選)(2022·濟(jì)南模擬)甲、乙、丙、丁四個(gè)物體同時(shí)從某一點(diǎn)出發(fā)向同一方向運(yùn)動(dòng)，它們的路程fi(x)(i＝1,2,3