高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)2

高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)（最全版）

數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)

引言

1.課程內(nèi)容：

必修課程由5個模塊組成：

必修1：集合、函數(shù)概念與基本初等函數(shù)（指、對、幕函數(shù)）

必修2：立體幾何初步、平面解析幾何初步。

必修3：算法初步、統(tǒng)計(jì)、概率。

必修4：基本初等函數(shù)（三角函數(shù)）、平面向量、三角恒等變換。

必修5：解三角形、數(shù)列、不等式。

以上是每一個高中學(xué)生所必須學(xué)習(xí)的。

上述內(nèi)容覆蓋了高中階段傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的主

要部分，其中包括集合、函數(shù)、數(shù)列、不等式、解三角形、立體幾何

初步、平面解析幾何初步等。不同的是在保證打好基礎(chǔ)的同時(shí)，進(jìn)一

步強(qiáng)調(diào)了這些知識的發(fā)生、發(fā)展過程和實(shí)際應(yīng)用，而不在技巧與難度

上做過高的要求。

此外，基礎(chǔ)內(nèi)容還增加了向量、算法、概率、統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容。

選修課程有4個系列：

系列1：由2個模塊組成。

選修1—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用。

選修1—2：統(tǒng)計(jì)案例、推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)、框圖

系列2：由3個模塊組成。

選修2—1：常用邏輯用語、圓錐曲線與方程、

空間向量與立體幾何。

選修2—2：導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用，推理與證明、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)

選修2—3：計(jì)數(shù)原理、隨機(jī)變量及其分布列，統(tǒng)計(jì)案例。

系列3：由6個專題組成。

選修3—1：數(shù)學(xué)史選講。

選修3—2：信息安全與密碼。

選修3—3：球面上的幾何。

選修3—4：對稱與群。

選修3—5：歐拉公式與閉曲面分類。

選修3—6：三等分角與數(shù)域擴(kuò)充。

系列4：由10個專題組成。

選修4—1：幾何證明選講。

選修4—2：矩陣與變換。

選修4一3：數(shù)列與差分。

選修4—4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程。

選修4—5：不等式選講。

選修4—6：初等數(shù)論初步。

選修4—7：優(yōu)選法與試驗(yàn)設(shè)計(jì)初步。

選修4—8：統(tǒng)籌法與圖論初步。

選修4—9：風(fēng)險(xiǎn)與決策。

選修4-10：開關(guān)電路與布爾代數(shù)。

2.重難點(diǎn)及考點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)，數(shù)列，三角函數(shù)，平面向量，圓錐曲線，立體幾何,

導(dǎo)數(shù)

共104頁

難點(diǎn)：函數(shù)、圓錐曲線

高考相關(guān)考點(diǎn)：

⑴集合與簡易邏輯:集合的概念與運(yùn)算、簡易邏輯、充要條件

⑵函數(shù)：映射與函數(shù)、函數(shù)解析式與定義域、值域與最值、反函數(shù)、

三大性質(zhì)、函數(shù)圖象、指數(shù)與

指數(shù)函數(shù)、對數(shù)與對數(shù)函數(shù)、函數(shù)的應(yīng)用

⑶數(shù)列：數(shù)列的有關(guān)概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和、數(shù)列的

應(yīng)用

⑷三角函數(shù)：有關(guān)概念、同角關(guān)系與誘導(dǎo)公式、和、差、倍、半公式、

求值、化簡、證明、三角函

數(shù)的圖象與性質(zhì)、三角函數(shù)的應(yīng)用

⑸平面向量：有關(guān)概念與初等運(yùn)算、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積及其應(yīng)用

⑹不等式：概念與性質(zhì)、均值不等式、不等式的證明、不等式的解法、

絕對值不等式、不等式的應(yīng)

用

⑺直線和圓的方程：直線的方程、兩直線的位置關(guān)系、線性規(guī)劃、圓、

直線與圓的位置關(guān)系

⑻圓錐曲線方程：橢圓、雙曲線、拋物線、直線與圓錐曲線的位置關(guān)

系、軌跡問題、圓錐曲線的應(yīng)

用

⑼直線、平面、簡單幾何體：空間直線、直線與平面、平面與平面、

棱柱、棱錐、球、空間向量⑩排列、組合和概率：排列、組合應(yīng)用題、

二項(xiàng)式定理及其應(yīng)用

(11)概率與統(tǒng)計(jì)：概率、分布列、期望、方差、抽樣、正態(tài)分布

(12)導(dǎo)數(shù)：導(dǎo)數(shù)的概念、求導(dǎo)、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

?復(fù)數(shù)：復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算

高中數(shù)學(xué)

第一章必修1知識點(diǎn)集合與函數(shù)概念

K1.12集合

[1.1.1]集合的含義與表示

(1)集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無序性

(2)常用數(shù)集及其記法.

N表示自然數(shù)集，N或N表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示

有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

M,兩者必居其一.

.(3)集合與元素間的關(guān)系對象a與集合M的關(guān)系是aM,或

者a(4)集合的表示法①自然語言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹砻枋黾?/p>

合

③描述法：｛②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號

內(nèi)表示集合x|x具有的性質(zhì)｝,其中X為集合的代表元素.

共104頁

④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來表示集合（5）集合的分類

①含有有限個元素的集合叫做有限集空集（

）.

.②含有無限個元素的集合叫做無限集［1.1.21集合間的基本關(guān)

系

.③不含有任何元素的集合叫做

（6）子集、真子集、集合相等

名稱

記號

意義

（1）A

A中的任一元素都屬于B

⑵⑶若A⑷若A

A

性質(zhì)

示意圖

A

子集

B

(或AB且BB且B

C,貝IjAA,貝IjA

C

A(B)

BA

B

A

真子集

B

A)

B

B

或

A

A

B,且B中至

⑴⑵若

A(A為非空子集)A

B且BC,則AC

B

A

（或A）

少有一元素不屬于

集合相等

A中的任一元素都

AB

屬于B,B中的任一元素都屬于

A

n

(1)A(2)B

BA

A(B)

(7)已知集合非空真子集.

A有n(n

1)個元素，則它有2個子集，它有2

n

1個真子集，它有2

n

1個非空子集，它有2

n

2

[1.1.3]集合的基本運(yùn)算

（8）交集、并集、補(bǔ)集名稱

記號

意義

性質(zhì)

(1)A(2)A(3)A

示意圖

交集

AB

{x|xx{xIXX

A,且B}A,或B}

ABB

ABB

((

AABAAAB

1

A(eUA)

A)A)

(⑻B)

A

B

A

B

并集

AB

A(1)A(2)A

(3)A

A

補(bǔ)集

eUA

{x|xU,且xA}

痣U(xiǎn)(A痣U(xiǎn)(A

B)B)

UU

UU

2A(eUUA)

【補(bǔ)充知識】含絕對值的不等式與一元二次不等式的解法

(1)含絕對值的不等式的解法

不等式

解集

|x|a(a|x|a(a

0)0)

共104頁

{x|ax|x

xa或x

a}a}

把a(bǔ)xb看成一個整體，化成|x|a,

0)型不等式來求解

|axb|c,|axb|c(c0)

|x|a(a

(2)一元二次不等式的解法

判別式

b

2

4ac

000

二次函數(shù)

yax

2

bxc(aO)

0

的圖象一元二次方程

ax

2

xl,2

0)

b

bxc

的根

0(a

b4ac2axl

x2)

x2)

2

xlx2

b2a

無實(shí)根

(其中

ax

2

bxc

的解集

O(aO)

{x|x

xl或x

{x|x

b2a

)

R

ax

2

bxc

的解集

O(aO)

{x|xl

x

x2}

K1.23函數(shù)及其表示［1.2.1］函數(shù)的概念

(1)函數(shù)的概念

①設(shè)

A、B是兩個非空的數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)法則

f,對于集合A中任何一個數(shù)x,在集合B中都有

唯一確定的數(shù)

f(x)和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合A,B以及A到B的對

應(yīng)法則f)叫做集合A到

f:A

B.

B的一個函數(shù)，記作

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對應(yīng)法則.

③只有定義域相同，且對應(yīng)法則也相同的兩個函數(shù)才是同一函數(shù).(2)

區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)a,b是兩個實(shí)數(shù)，且實(shí)數(shù)

ab,滿足ax

b的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做

xa,

b,或ax

,a

x

［a,b］；滿足a

xb的

x的集合叫做開區(qū)間，記做(a,b)；滿足ab的實(shí)數(shù)x的集合叫做半

開半閉區(qū)間，

分別記做［ab,),(a,b］；滿足x)b,(x

,?b

x,b的x實(shí)b數(shù)x的集合分別記做

注意：對于集合｛x|a

b｝與區(qū)間(a,b),前者a可以大于或等于b,而后者必須

共104頁

ab,(前者可以不成立，為空集；而后者必須成立).

(3)求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①f(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù).

②f(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù).

③f(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合.

④對數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底

數(shù)須大于零且不等于

⑤yl.tanx中，xk2(kZ).

⑥零(負(fù))指數(shù)塞的底數(shù)不能為零.

⑦若f(x)是由有限個基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其

定義域一般是各基本初等函數(shù)的定義域的交集.

⑧對于求復(fù)合函數(shù)定義域問題，一般步驟是：若已知

應(yīng)由不等式af(x)的定義域?yàn)閇a,b],其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域

g(x)b解出.

⑨對于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問題具體情況需對字母

參數(shù)進(jìn)行分類討論.

⑩由實(shí)際問題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問

題的實(shí)際意義.

(4)求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的.事

實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個最小

(大)數(shù)，這個數(shù)就是函數(shù)的最小(大)值.因此求函數(shù)的最值

與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問的角度不同.求函數(shù)值域與最值

的常用方法：

①觀察法：對于比較簡單的函數(shù)，我們可以通過觀察直接得到值域或

最值.

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，

最值.

③判別式法：若函數(shù)y

在a(y)然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或f(x)可以化成

一個系數(shù)含有2y的關(guān)于x的二次方程a(y)x2b(y)xc(y)0,則0時(shí)，由于

x,y為實(shí)數(shù)，故必須有b(y)4a(y)c(y)O,從而確定函數(shù)的值域或最值.④

不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值.

⑤換元法：通過變量代換達(dá)到化繁為簡、化難為易的目的，三角代換

可將代數(shù)函數(shù)的最值問題轉(zhuǎn)化為三角函

數(shù)的最值問題.

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定

函數(shù)的值域或最值.

⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值.

⑧函數(shù)的單調(diào)性法.

[1.2.2]函數(shù)的表示法

(5)函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種.

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.列表

法：就是列出表格來表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.圖象法：就是用

圖象表示兩個變量之間的對應(yīng)關(guān)系.

(6)映射的概念

①設(shè)A、B是兩個集合，如果按照某種對應(yīng)法則f,對于集合A中任

何一個元素，在集合B中都有唯一的

共104頁

元素和它對應(yīng)，那么這樣的對應(yīng)(包括集合作f:A

A,B以及A到B的對應(yīng)法則f)叫做集合A到B的映射，記

B.

②給定一個集合素

A到集合B的映射，且a

A,bB.如果元素a和元素b對應(yīng)，那么我們把元素b叫做元

a的象，元素a叫做元素b的原象.

K1.32函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大(小)值

(1)函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法

函數(shù)的性質(zhì)

定義

如果對于屬于定義域某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值xl、x2,

當(dāng)xl<...x2f(xl)<f(x2),.時(shí)一，都有............那么就說

函數(shù)的單調(diào)性

f(x)在這個區(qū)

間上是增函數(shù).

...如果對于屬于定義域某個區(qū)間上的任意兩個

1自變量的值xl、x2,當(dāng)x<...2時(shí),都有1)>f(x2),

xf(x........................

圖象

I內(nèi)

判定方法(1)利用定義

yy=f(x)

f(x)i

(2)利用已知函數(shù)

f(x)2

的單調(diào)性

(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖

o

xlx2

X

象上升為增)(4)利用復(fù)合函數(shù)(1)利用定義

I內(nèi)

y

f(x)

i

y=f(x)

(2)利用已知函數(shù)的單調(diào)性

(3)利用函數(shù)圖象(在某個區(qū)間圖

X

2

f(x)

2

那么就說f(x)在這個區(qū)

0

間上是減函數(shù)....

②在公共定義域內(nèi)，兩個增函數(shù)的和是增函數(shù)，減函數(shù)減去一個增函

數(shù)為減函數(shù).③對于復(fù)合函數(shù)

X

1

X

象下降為減)(4)利用復(fù)合函數(shù)

增函數(shù)減去一個減函數(shù)為增函數(shù)，

兩個減函數(shù)的和是減函數(shù)，

yf[g(x)],令ug(x)為減,則y

g(x),若yf(u)為增，ug(x)為增,則yf[g(x)]為增；若

f[g(x)]為

yf(u)為減，uf[g(x)]為增；若y

f[g(x)]為減.

f(u)為增，ug(x)為減,則y

減；若y(2)打“函數(shù)

f(u)為減，uf(x)

X

ax

g(x)為增，貝！Jy(a

0)的圖象與性質(zhì)

y

f(x)分別在(［

a］、［a,)上為增函數(shù),分別在

a,0)、(0,a］上為減函數(shù).

(3)最大(小)值定義

①一般地，設(shè)函數(shù)

y

f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)Mx

I，都有f(x)

M；

共104頁

O

X

滿足：(1)對于任意的

(2)存在x0②一般地，設(shè)函數(shù)(2)存在x0

I，使得f(xO)y

M.那么，我們稱M是函數(shù)f(x)的最大值，記作

fmax(x)

M.

m；

f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)m滿足：(1)對于任意的x

I，都有f(x)

I，使得f(xO)

m.那么，我們稱m是函數(shù)f(x)的最小值，記作

[1.3.2]奇偶性

fmax(x)

m.

(4)函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法

函數(shù)的性質(zhì)

定義

如果對于函數(shù)域內(nèi)任意一個

f(x)定義x,都有

圖象

判定方法(1)利用定義(要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱)

(2)利用圖象(圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱)(1)利用定義(要先判斷定義

域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱)(2)利用圖象(圖象關(guān)于y軸對稱)

------f(，那么函數(shù)...x)=....f(x)....f(x)叫做奇函數(shù)....

函數(shù)的奇偶性

如果對于函數(shù)域內(nèi)任意一個

f(x)定義X,都有

一f(x),那么函數(shù)f(...x)=.............f(x)叫做偶函數(shù)....

②若函數(shù)③奇函數(shù)在

f(x)為奇函數(shù)，且在

xO處有定義，則

f(0)0.

y軸兩側(cè)相對稱的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對稱的

區(qū)間增減性相反.

,兩個偶函數(shù)(或奇函

④在公共定義域內(nèi)，兩個偶函數(shù)(或奇函數(shù))的和(或差)仍是偶函

數(shù)(或奇函數(shù))數(shù))的積(或商)是偶函數(shù)，一個偶函數(shù)與一個奇函

數(shù)的積(或商)是奇函數(shù).

K補(bǔ)充知識》函數(shù)的圖象

(1)作圖

利用描點(diǎn)法作圖：①確定函數(shù)的定義域；

③討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性)利用基本函數(shù)圖象的變換作圖:

②化解函數(shù)解析式；④畫出函數(shù)的圖象.

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)

函數(shù)、幕函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象.①平移變換

hO,左移h個單位

hO,右移|h|個單位

kO,上移k個單位kO,下移|k|個單位

yf(x)yf(xh)yf(x)yf(x)k

②伸縮變換

yy

f(x)f(x)

i,伸i,縮

yy

f(x)Af(x)

0A1,縮Al,伸

③對稱變換

共104頁

yyy

y

(2)識圖

f(x)f(x)f(x)

f(x)

x軸

yy

f(x)f(x)

yy

f(x)f(x)y

y軸

y

f(x)y

f

1

原點(diǎn)

直線yx

(x)

去掉y軸左邊圖象

保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對稱圖象保留x軸上方圖象

將x軸下方圖象翻折上去

f(|x|)

y|f(x)l

對于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化

趨勢、對稱性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注

意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系.(3)用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問題提供了

“形”的直觀性，它是探求解題途徑，獲得問題結(jié)果的重要工具.要

重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法.

第二章

基本初等函數(shù)(I)K2.1U指數(shù)函數(shù)

[2.1.11指數(shù)與指數(shù)幕的運(yùn)算

(1)根式的概念

①如果用符號的

n

x

n

a,aR,xR,nl,且n

N,那么x叫做a的n次方根.當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，a的n次方根

n

a表示；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號a表示，

負(fù)的n次方根用符號

n

a表示；0

n次方根是0；負(fù)數(shù)a沒有n次方根.

②式子

n

a叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).當(dāng)n為奇數(shù)

時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)n為偶數(shù)

時(shí)，a0.

(a)

③根式的性質(zhì):

(2)分?jǐn)?shù)指數(shù)累的概念

a；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，

n

a

n

a；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),

n

a

n

|a|

a(aa(a

0)0)

m

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義是:

aa

a(a()al

mn

m

0,mzn

n

N,且nO,m,n

1).0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)基等于

0.

m

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)塞的意義是：沒有意義.

n

()(aa

1

m

N,且nl).0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)幕

注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù).

(3)分?jǐn)?shù)指數(shù)基的運(yùn)算性質(zhì)

①③

aa(ab)r

rs

a

rs

(a0;r,sR)0,b

R)

②(a)

rs

a（a

rs

O,r,sR）

rr

ab（a

[2.1.2]指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱

定義

函數(shù)

指數(shù)函數(shù)

y

a（a

x

0且al）叫做指數(shù)函數(shù)

共104頁

y

ya

X

ya

x

y

alOal

圖象

定義域值域過定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性

在

R

(0,

)

0時(shí)一，y

1.

圖象過定點(diǎn)。1),即當(dāng)x

非奇非偶

R上是增函數(shù)

X

在

R上是減函數(shù)

x

a

函數(shù)值的變化情況

l(xl(xl(x

0)0)0)

aaa

l(xl(xl(x

0）0）0）

aa

xx

xx

a變化對圖象的影響

在第一象限內(nèi)，

a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，

[12.23對數(shù)函數(shù)

a越大圖象越低.

[2.2.1]對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算

（1）對數(shù)的定義

①若

a

x

N（a0,且al）,則x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x

logaN,其中a叫做底數(shù)，N叫做真數(shù).

②負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù).③對數(shù)式與指數(shù)式的互化：（2）幾個重要的對

數(shù)恒等式

X

logaN

a

x

N(aO/al,NO).

logalO,logaal,logaa

(3)常用對數(shù)與自然對數(shù)

常用對數(shù)：IgN,即(4)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

①加法：

b

b.

loglON；自然對數(shù)：InN,即logeN(其中e

0,a

1,M

0,N

0,那么

②減法：logaM④a

logaN

2.71828,).

如果a

logaMlogaNloga(MN)

n

logaNloga

MN

③數(shù)乘:nlogaMlogaM(nR)

N

共104頁

⑤logabM

n

nb

logaM(b

0,nR)

⑥換底公式：logaN

logbNIogba

(b

0,且bl)

[2.2.2]對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(5)對數(shù)函數(shù)

函數(shù)名稱定義

函數(shù)

對數(shù)函數(shù)

y

1

logax(a

0且a

1)叫做對數(shù)函數(shù)

ax

11

a

y

xl

y

logax

y

y

logax

圖象

(1,0)

0

(1,0)

x

0

x

定義域值域過定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性

在。

。)

R

圖象過定點(diǎn)(1,0),即當(dāng)x

非奇非偶

1時(shí)，y

0.

)上是增函數(shù)0(x0(x0(0

l)l)x

1)

在。)上是減函數(shù)0(x0(x0(0

l)l)x

1)

logax

函數(shù)值的變化情況

logaxlogaxlogax

logaxlogax

a變化對圖象的影響

⑹反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)y

在第一象限內(nèi)，

a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高.

(y).如果對于y在

(y)表示x是y

f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,從式子y

f(x)中解出X,得式子X

C中的任何一個值，通過式子x

的函數(shù)，函數(shù)

(y),x在A中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，f(x)的反函數(shù)，記作

那么式子x

x(y)叫做函數(shù)v

xf

1

(y)，習(xí)慣上改寫成yf(x).

1

(7)反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式③將

y

f(x)中反解出X

f(y)；

1

xf

1

(y)改寫成yf

1

(x),并注明反函數(shù)的定義域.

(8)反函數(shù)的性質(zhì)

共104頁

①原函數(shù)y

②函數(shù)yf(x)與反函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于直線y

'lylx對稱.f(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)f(x)的值域、

定義域.f(x)的圖象上.1③若P(a,b)在原函數(shù)y

④一般地，函數(shù)f(x)的圖象上，則P(b,a)在反函數(shù)yyf(x)要有反函數(shù)則

它必須為單調(diào)函數(shù).

H2.3U幕函數(shù)

(1)幕函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)yx叫做事函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù).

(2)幕函數(shù)的圖象

共104頁

(3)幕函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：幕函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象

象限(圖象關(guān)于

.幕函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二(圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱

);是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖

y軸對稱)；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限

象只分布在第一象限

②過定點(diǎn)：所有的事函數(shù)在③單調(diào)性：如果

。)都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)

(1,1).

)上為增函數(shù).如果

0,則幕函數(shù)的圖象在

0,則幕函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在

。）上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近

x軸與y軸.

為偶數(shù)時(shí)，塞函數(shù)為偶函數(shù).當(dāng)

④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，幕函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)

q

qp

（其中

q

p,q互質(zhì)，p

和q偶數(shù)

，若p為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則yZ）

q

X是奇函數(shù)，若

P

P為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則yx是偶函數(shù)，若p為

P

q為奇數(shù)時(shí)，則y

y

x是非奇非偶函數(shù).

P

⑤圖象特征：基函數(shù)象在直線

x,x(O,),當(dāng)

X

1時(shí)，若01,其圖象在直線

X1,其圖象在直線yx下方，若X1,其圖

x下方.

yx上方，當(dāng)

1時(shí)，若0

y

X上方，若X1,其圖象在直線y

K補(bǔ)充知識U二次函數(shù)

(1)二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式:

f(x)xl)(x

ax

2

bxc(aO)②頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)

2

k(aO)③兩根式：

f(x)a(x

x2)(a

0)(2)求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式.

②已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大(小)值有關(guān)時(shí),

常使用頂點(diǎn)式.③若已知拋物線與

(3)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)①二次函數(shù)

x軸有兩個交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求f(x)更方便.

f(x)

2

ax

2

bxc(aO)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為

X

b2a

，頂點(diǎn)坐標(biāo)是

(

b2a

/

4acb4a

).

(

/

b2a

］上遞減，在［

b2ab2a,

)上遞增，當(dāng)X

b2a

b2a

②當(dāng)aO時(shí)一，拋物線開口向上，函數(shù)在4ac4ab

2

時(shí)，

fmin(x)；當(dāng)a

0時(shí)一，拋物線開口向下，函數(shù)在(

,］上遞增，在［,)上遞減，當(dāng)x

b2a

共104頁

時(shí),fmax(x)

4ac4a

b

2

2

③二次函數(shù)

f(x)ax

2

bxc(aO)當(dāng)

b4ac

0時(shí)一，圖象與x軸有兩個交點(diǎn)

Ml(xl,0),M2(x2,0),|M1M21|xlx21

(4)一元二次方程

|a|O(a

ax

2

bxcO)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在

初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于

二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理(韋達(dá)定理)的運(yùn)用，下面

結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分

布.設(shè)一元二次方程

ax

2

bxcO(aO)的兩實(shí)根為xl,x2,且xla②對稱軸位置：x

b2a

x2.令f(x)

③判別式：

ax

2

bxc,從以下四個

方面來分析此類問題：①開口方向：①kVxlWx2

④端點(diǎn)函數(shù)值符號.

y

f(k)

oo

a

y

X

b2a

kxl

x

k

x2b2a

Oxi

x2x

a

x

f(k)

②xlWx2Vk

y

a

00x1

X

f(k)

y

X

b

2a

x2

0

k

x2

f(k)

kx

b2a

a

xlO

x

③xl<k<x2af(k)V0

y

a

Oxi

y

f(k)

k

x2f(k)

x

xl

0

k

x2xa

④klVxlWx2<k2

共104頁

y

f(kl)xl

0x2

af(k2)

00

y

x

b2a

kl

k2x

0

xlf(kl)

a00x2

Ok

1

k2

x

f(k2)

x

⑤有且僅有一個根這兩種情況是否也符合

b2a

x(或x2)滿足klVx(或x2)Vk211f(kl)f(k2)O,并同時(shí)考慮f(kl)=O

或f(k2)=0

y

f(kl)xl

0k2

aO

y

f(kl)

0k2

Ok

1

x2

x

0

xl

klO

x2

x

f(k2)

a

f(k2)

⑥klVxlVk2Wpl<x2<p2此結(jié)論可直接由⑤推出.(5)二次函數(shù)

f(x)ax

2

bxc(aO)在閉區(qū)間［p,q］上的最值M,最小值為m,令xO

b2a

12(p

q).

設(shè)f(x)在區(qū)間［p,q］上的最大值為

(I)當(dāng)a①若

0時(shí)(開口向上)

f(P)

②若P

b2a

p,則mq,則mf(

b2a

)

③若

b2a

q,則mf(q)

f(q)

0

f(P)

x

0

f(

b2a)

f(q)

x

f(P)

0

f

f((p))

2a

b

x

b2a)

f(q)

f(p)

f(

①若

b2a

xO,貝ljMf(q)

②

b2a

xO,則M

f

f

x(q)O

0

(P)

x

xO

0

x

b2a)

f

f(b(p)2a)

f(q)

f(

共104頁

(H)當(dāng)a①若

0時(shí)(開口向下)

f(P)

②若P

b2a

p,則M

b2a

q,則Mf(

b2a

)

③若

b2a

q,則Mf(q)

f(

b2a

)f(

b2a

)

f(

b2a

f(p)

o

f(p)

x

0

(q)

o

X

X

f(q)

①若

f(q)

(P)

f(P).

b2a

f

b2a

xO,則m

b2a

f(q)

②

b2a

xO,則m

f()

f(

f(P)

0

f

)

(q)

xO

x

xO

0

x

f(q)

(P)

f

第三章函數(shù)的應(yīng)用

一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對于函數(shù)y的

零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)y交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程耳x)求函數(shù)

ylO2O

f(x)(xD),把使f(x)

f(x)

0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yO實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)y

函數(shù)y

f(x)(xD)

f(x)的