湖南部分校聯(lián)考2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題含解析

高二數(shù)學(xué)試卷留意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版必修第一冊占20％，必修其次冊占30％，選擇性必修第一冊占50％.一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，滿分40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】解不等式求出集合，結(jié)合集合的交集運算定義，可得答案．【詳解】集合，，，故選：C．2.設(shè)直線，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)直線垂直的充要條件列方程得，從而可得，解三角方程即可得答案.【詳解】因為直線，，且，則，所以，即所以，故可以取到.故選：A.3.如圖，一塊礦石晶體的形態(tài)為四棱柱，底面是正方形，，，且，則向量的模長為（）A. B.34 C.52 D.【答案】D【解析】【分析】由，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律求向量的模長.【詳解】由，又底面是正方形，，且，所以，故.故選：D4.已知函數(shù)的圖象過定點，則函數(shù)在區(qū)間上的值域為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)指數(shù)函數(shù)過定點可得，從而得，可推斷二次函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，從而可得最值，即得函數(shù)的值域.【詳解】函數(shù)的圖象過定點，所以，則函數(shù)在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減所以，又，故，所以函數(shù)在區(qū)間上的值域為.故選：B.5.已知圓和圓，其中，則使得兩圓相交的一個充分不必要條件可以是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)題意，由條件可得兩圓相交的充要條件，求得的取值范圍，再由選項即可得到結(jié)果.【詳解】因為圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑為，且，使得兩圓相交的充要條件為，且，解得，由選項可得，所以其一個充分不必要條件可以是.故選：B6.已知拋物線的焦點為，動點P在拋物線C上，點，則的最小值為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C【解析】【分析】先確定拋物線方程的準(zhǔn)線方程，由拋物線的定義可得，等于點到拋物線準(zhǔn)線的距離，的最小值為點到拋物線準(zhǔn)線的距離，即可得結(jié)論.【詳解】拋物線的焦點為，則，所以則拋物線方程為，故準(zhǔn)線方程為：，拋物線的定義可得，等于點到拋物線準(zhǔn)線的距離，所以的最小值為點到拋物線準(zhǔn)線的距離4.故選：C.7.17世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家費馬在給摯友的一封信中曾提出一個關(guān)于三角形的好玩問題：在三角形所在平面內(nèi)，求一點，使它到三角形每個頂點的距離之和最小.現(xiàn)已證明：在中，若三個內(nèi)角均小于，則當(dāng)點滿意時，點到三角形三個頂點的距離之和最小，點被人們稱為費馬點.依據(jù)以上學(xué)問，已知，，，P為內(nèi)一點，記，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由費馬點所對的三角形三邊的張角相等均為，求出費馬點．再依據(jù)費馬點是與三角形三個頂點距離之和最小的點求出．【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點，由，，，知，且為銳角三角形，因此，費馬點在線段上，設(shè)，如圖：則為頂角是的等腰三角形，故，所以，故故選：A．8.在三棱錐中，平面BCD，，則已知三棱錐外接球表面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，，求得的外接圓的半徑為，結(jié)合圖形求得三棱錐外接球半徑，然后換元利用基本不等式及不等式的性質(zhì)得的最小值，從而可得面積的最小值．【詳解】如圖，設(shè)，，為的外心，為三棱錐外接球的球心，則平面，又平面，所以，平面，則，四邊形是直角梯形，設(shè)，，，由平面，平面，得，則，，，即，又，則，，令，則，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以三棱錐外接球表面積，故選：B．【點睛】結(jié)論與方法點睛：（1）三棱錐的外接球的球心在過各面外心且與此面垂直的直線上，由此易找到球心；（2）特別的三棱錐，如有從同一點動身的三條棱兩兩垂直，或三棱錐的三對棱相等則可把三棱錐補形為一個長方體，長方體的對角線即為外接球的直徑．（3）假如三棱錐的一條棱與一個面垂直，可把此三棱錐補形為一個直三棱柱，直三棱柱的外接球即為三棱錐的外接球．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列各對事務(wù)中，為相互獨立事務(wù)的是（）A.甲組3名男生，2名女生；乙組2名男生，3名女生，現(xiàn)從甲?乙兩組中各選1名同學(xué)參與演講競賽，事務(wù)M“從甲組中選出1名男生”，事務(wù)N“從乙組中選出1名女生”B.袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次有放回地摸兩次球，每次摸一個球，事務(wù)M“第一次摸到白球”，事務(wù)N“其次次摸到白球”C.袋中有3白?2黑共5個大小相同的小球，依次不放回地摸兩次球，每次摸一個球，事務(wù)M“第一次摸到白球”，事務(wù)N“其次次摸到黑球”D.擲一枚骰子一次，事務(wù)M“出現(xiàn)偶數(shù)點”；事務(wù)N“出現(xiàn)3點或6點”【答案】ABD【解析】【分析】由獨立事務(wù)的概念逐項推斷即可.【詳解】對于A，從甲組中選出1名男生與從乙組中選出1名女生這兩個事務(wù)的發(fā)生沒有影響，所以它們是相互獨立的，故A正確；對于B，由于第1次摸到球有放回，因此不會對第2次摸到球的概率產(chǎn)生影響，因此是相互獨立事務(wù)，故B正確；對于C，由于第1次摸到球不放回，因此會對第2次摸到球的概率產(chǎn)生影響，因此不是相互獨立事務(wù)，故C錯誤；對于D，樣本空間，事務(wù)，事務(wù)，事務(wù)，所以，，，即.故事務(wù)M與N相互獨立，故D正確.故選：ABD.10.設(shè)正實數(shù)x，y滿意，則下列說法正確的是（）A.的最小值為1 B.的最小值為2C.的最大值為2 D.的最大值為2【答案】BC【解析】【分析】依據(jù)基本不等式，可判定A錯誤；由，結(jié)合基本不等式，可判定B正確；由，可判定C正確；由，可判定D正確．【詳解】對于A中，因為正實數(shù)x，y滿意，由，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為1，所以A錯誤；對于B中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為2，所以B正確；對于C中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最大值為2，所以C正確；對于D中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為2，所以D錯誤，故選：BC.11.已知.則下列推斷正確的是（）A.若，，且，則；B.若在上恰有9個零點，則的取值范圍為；C.存在，使得的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象關(guān)于y軸對稱；D.若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為.【答案】AC【解析】【分析】先利用二倍角公式將函數(shù)化為的形式，A選項：依據(jù)函數(shù)取最值的值確定函數(shù)的周期，求上的值；B選項：依據(jù)函數(shù)的周期性以及函數(shù)零點個數(shù)，確定區(qū)間端點的范圍進而求的取值范圍；C選項：求函數(shù)圖像平移后的解析式，確定函數(shù)關(guān)于y軸對稱時的取值；D選項：利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間確定的取值范圍.【詳解】，對于選項A：若，，且，則，所以；故A選項正確；對于B選項：，則，因為在上恰有9個零點，所以所以，故B選項錯誤；對于C選項：，的圖象向右平移個單位長度后得到，圖像關(guān)于軸對稱，則所以，時，所以存在滿意題意，故C選項正確；對于D選項：若在上單調(diào)遞增，因為，因為所以,解得，故D選項錯誤.故選：AC12.已知正方體的棱長為4，是棱上的一條線段，且，點是棱的中點，點是體對角線上的動點（包括端點），則下列結(jié)論正確的是（）A.存在某一位置，與垂直B.三棱錐體積的最大值是C.二面角的正切值是D.當(dāng)最大時，三棱錐的外接球表面積是【答案】ACD【解析】【分析】通過證明線面垂直得到線垂直平面全部直線證明異面直線垂直，然后通過固定底面積求體積最大值即可，二面角問題關(guān)鍵在于找到二面角的平面角，確定動點位置后再求外接球的圓心即可.【詳解】對于A：當(dāng)點與點重合時，平面，而平面，所以與垂直，即A正確；對于B：如下圖所示，，因為平面，平面，所以，所以，而，所以，要使得三棱錐的體積最大，只需滿意點到平面的距離最大即可，取的中點為，則平面與平面是同一平面，不妨令點到平面的距離，直線與平面所成角為，則，所以越大則越大，所以當(dāng)點與重合時，點到平面的距離最大，作于，易知平面，所以即為點到平面的距離，由三角形相像可得，且，得.所以三棱錐的體積的最大值為，B錯誤；對于C：連接，，二面角即為平面與平面所成的角，如下圖所示，，因為平面，平面，平面，所以，，所以即為二面角的平面角，由于，，，所以，所以，即，所以二面角的正切值是，C正確；對于D，由余弦定理得，要使得最大時，則要最大，則與重合，與重合，如下圖所示，，以為坐標(biāo)原點建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)外接球球心坐標(biāo)為，則，解得，，，所以，所以外接球半徑為，所以三棱錐的外接球表面積，所以D正確；故選：ACD點睛】方法點睛：若能應(yīng)用極化恒等式，則能快速確定最大時需滿意與重合，與重合.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分.13.設(shè)，則______.【答案】i【解析】【分析】依據(jù)復(fù)數(shù)的基本運算法則化簡即可.【詳解】解：，則．故答案為：i14.已知向量，滿意，，且，則__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)數(shù)量積的運算性質(zhì)求解，再由數(shù)量積求解模長即可.【詳解】因為，所以，則所以.故答案為：.15.，對于，，都有成立，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】由題意可知函數(shù)是上的減函數(shù)，則函數(shù)的兩段函數(shù)均為減函數(shù)，且有，由此可得到關(guān)于實數(shù)的不等式組，解之即可得解．【詳解】因為定義在上的函數(shù)滿意對，，，都有，所以函數(shù)是上的減函數(shù)，則函數(shù)和均為減函數(shù)，且有，即，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.16.已知雙曲線的右焦點為，過點且斜率為的直線l交雙曲線于、兩點，線段的中垂線交x軸于點D.若，則雙曲線的離心率取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】依據(jù)題意利用韋達(dá)定理求以及線段的中垂線的方程，進而可求得點D和，結(jié)合，運算求解即可.【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為，，，則直線，聯(lián)立方程，消去得：，直線l交雙曲線于、兩點，則可得，，，，則，設(shè)線段的中點，則，，即，且，線段的中垂線的斜率為，則線段的中垂線所在直線方程為，令，則，解得，即，則，由題意可得：，即，整理得，則，留意到雙曲線的離心率，所以雙曲線的離心率取值范圍是.故答案為:.四、解答題：本題共6小題，滿分70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟.17.已知圓，直線.（1）求證直線恒過定點；（2）直線被圓截得的弦長最短時的值以及最短弦長.【答案】（1）證明見解析（2）；最短弦長為4【解析】【分析】（1）將直線方程整理為，列方程組，求得定點坐標(biāo)，即可得證；（2）當(dāng)直線時，直線被圓截得的弦長最短，求出直線的斜率，依據(jù)兩直線垂直時斜率乘積為求出直線斜率，由兩點間的距離公式求出圓心到直線的距離，再利用垂徑定理，勾股定理求出最短弦長即可．【小問1詳解】證明：直線，可化為，聯(lián)立，解得．故直線恒過定點．【小問2詳解】圓，圓心，半徑設(shè)，則點在圓內(nèi)，故當(dāng)直線時，直線被圓截得的弦長最短．因為直線的斜率為．故直線的斜率為，解得．此時圓心到直線的距離為，所以最短弦長為．18.“山水畫卷，郴州相見”，2024年9月16日，其次屆湖南省旅游發(fā)展大會開幕式暨文化旅游推介會在郴州實行.開幕式期間，湖南衛(wèi)視全程直播.學(xué)校統(tǒng)計了100名學(xué)生觀看開幕式直播的時長狀況（單位：分鐘），將其依據(jù)，，，，，分成6組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖：請完成以下問題：（1）求的值，并估計樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；（2）為進一步了解學(xué)生觀看開幕式的狀況，接受分層抽樣的方法在觀看時長為和的兩組中共抽取5名學(xué)生，再從這5名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生進行問卷調(diào)查，求抽取的這2名學(xué)生至少有1人觀看時長在內(nèi)的概率.【答案】（1），平均值為93分（2）【解析】【分析】（1）依據(jù)頻率分布直方圖計算頻率之和可得的值，從而可估計樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)；（2）結(jié)合古典概型運算公式，列舉基本領(lǐng)件總數(shù)和符合條件的事務(wù)總數(shù)即可得所求概率問題.【小問1詳解】由，得.觀看時長在：頻率，頻率，頻率，頻率，頻率，頻率，樣本平均值為：，可以估計樣本數(shù)據(jù)中平均值為93分.【小問2詳解】由題意可知，觀看時長在的人數(shù)為（人），在的人數(shù)為（人）.用按比例支配的分層隨機抽樣的方法抽取5名學(xué)生，則需在內(nèi)抽2人，分別記為，，需在內(nèi)抽3人，分別記為，，.設(shè)“從樣本中任取2人，至少有1人在內(nèi)”為事務(wù)，則樣本空間共包含10個樣本點，而的對立事務(wù)包含3個樣本點，所以，.即抽取的這2名學(xué)生至少有1人在內(nèi)的概率為.19.在直三棱柱中，D，E分別是，的中點.（1）求證：平面；（2），，，求二面角的正切值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連接交于于，連接，證明四邊形是平行四邊形，可得即可證得.（2）法一：建立空間坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，求得二面角的余弦值，結(jié)合三角函數(shù)關(guān)系式，即可其正切值.法二:利用勾股定理和直線和平面垂直的性質(zhì)可證得與，從而得到二面角的平面角是，在中，即可求出，從而得出答案.【小問1詳解】連接交于于，連接，因為E，F(xiàn)是中點，所以，且，又因為是的中點，所以有，且，所以，且，因此四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面；.【小問2詳解】法一：（建系）因為三棱柱為直三棱柱，所以，，因為，所以以為原點，分別以、、為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，所以，，，則，，設(shè)平面的一個法向量為，所以，得，令，則，所以，而平面的一個法向量為，則，設(shè)二面角的大小為，則為銳角，所以，因此，所以.故二面角的正切值為.法二：因為，，，所以，，同理可得，因此，即，又，，，則，所以，所以是二面角的平面角，因為，，平面，所以平面，而平面，因此，因為平面，而平面，所以，因為，，平面，所以平面，而平面，所以，所以為直角三角形，因，，所以.故二面角的正切值為.20.如圖，在四邊形中，，.（1）求證：（2）若，，，求的面積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線線平行依據(jù)正弦定理可證得結(jié)論；（2）依據(jù)勾股定理求得，，則可得，由余弦定理可得，再依據(jù)面積公式求解的面積即可.【小問1詳解】證明：設(shè)，因為，所以，在中，由正弦定理得，所以，在中，同理可得，所以，又，所以.【小問2詳解】若，，，則，且由（1）可得，為銳角，所以在中，又余弦定理得，整理得，解得或（舍）所以.21.如圖，四面體中，，，，E為的中點.（1）證明：平面平面；（2），，點F在上，當(dāng)?shù)拿娣e最小時，求與平面所成的角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由等腰三角形性質(zhì)有、，依據(jù)線面垂直的判定證平面，再由面面垂直的判定證結(jié)論；（2）由（1）有平面，依據(jù)已知證，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求線面角正弦值.【小問1詳解】由，為的中點，所以；由，為的中點，所以；又，平面，，所以平面，因為平面，所以平面平面.【小問2詳解】連接，由（1）知平面，平面，所以，所以，當(dāng)時最小，即的面積最小.因為，所以，又，所以是等邊三角形，因為為的中點，所以，，因為，所以，在中