滬教版七年級數(shù)學下冊滿分沖刺卷特訓04相交線平行線(題型歸納)(原卷版+解析)

特訓04相交線平行線（題型歸納）目錄：一、M型、筆尖型、雞翅型、骨折型；二、動態(tài)問題；三、三角板問題；四、情景探究類；五、傳統(tǒng)解答證明題。解答題一、M型、筆尖型、雞翅型、骨折型1．如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關系？說明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數(shù)．2．已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F．①如圖2，當點B在點A的左側時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當點B在點A的右側時，設∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）3．已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．4．已知，直角的邊與直線a分別相交于O、G兩點，與直線b分別交于E，F(xiàn)點，且．（1）將直角如圖1位置擺放，如果，則________；（2）將直角如圖2位置擺放，N為上一點，，請寫出與之間的等量關系，并說明理由；（3）將直角如圖3位置擺放，若，延長交直線b于點Q，點P是射線上一動點，探究與的數(shù)量關系，請直接寫出結論．5．AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內的一點．（1）如圖1，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關系，并證明；（2）如圖2，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關系，并證明；（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數(shù)．6．已知，點為平面內一點，于．（1）如圖1，點在兩條平行線外，則與之間的數(shù)量關系為______；（2）點在兩條平行線之間，過點作于點．①如圖2，說明成立的理由；②如圖3，平分交于點平分交于點．若，求的度數(shù)．7．（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，不需要說明理由．8．（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．9．已知直線AB∥CD，P為平面內一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．10．如圖1，MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．二、動態(tài)問題11．如圖，直線ABCD，直線EF與AB、CD分別交于點G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一個含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．(1)小安將直角三角板PMN按如圖①放置，使點N、M分別在直線AB、CD上，且在點G、H的右側，證明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；(2)若∠MNG的平分線NO交直線CD于點O，點N、M分別在直線AB、CD上，如圖②．①當NOEF，PMEF時，求α的度數(shù)；②小安將三角板PMN保持PMEF并向左平移，請直接寫出在平移的過程中∠MON的度數(shù)：∠MON=______（用含α的式子表示）．12．如圖，已知射線，，，在上，且滿足，平分．(1)求的度數(shù)．(2)若向右平行移動，其他條件不變，那么的值是否發(fā)生變化？若變化，請找出變化規(guī)律；若不變，請求出這個比值．(3)在向右平行移動的過程中，是否存在某種情況，使？若存在，請直接寫出的度數(shù)；若不存在，請說明理由．13．請作答：(1)圖，圖均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，，，與相交于點，有一動點在邊上運動，連接，，記，．①如圖，當點在，兩點之間運動時，請直接寫出與，之間的數(shù)量關系；②如圖，當點在，兩點之間運動時，與，之間有何數(shù)量關系？請判斷并說明理由；(2)當點在，兩點之間運動時，若，的角平分線，相交于點，請直接寫出與，之間的數(shù)量關系．14．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC＝60°．將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，其中∠OMN＝30°．(1)將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數(shù)；(2)將圖1中的三角尺繞點O按每秒6°的速度繞點O沿順時針方向旋轉一周，OC也以每秒1°的速度繞點O順時針方向旋轉，當三角尺停止運動時，OC也停止運動．①在旋轉的過程中，問運動幾秒時，邊MN恰好與射線OC平行；②將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，請?zhí)骄俊螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關系（直接寫出結果）．15．如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點E，點F，EM平分∠AEF交CD于點M，且∠FEM＝∠FME．(1)判斷直線AB與直線CD是否平行，并說明理由；(2)如圖2，點G是射線MD上一動點（不與點M，F(xiàn)重合），EH平分∠FEG交CD于點H，過點H作HN⊥EM于點N，設∠EHN＝α，∠EGF＝β．①當點G在點F的右側時，若β＝56°，求α的度數(shù)；②當點G在運動過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并加以證明．16．如圖已知直線AB射線CD，∠CEB＝100°，P是射線EB上一動點，過點P作PQEC交射線CD于點Q，連接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直線AB于點F，CG平分∠ECF．(1)若點P，F(xiàn)，G都在點E的右側．①求∠PCG的度數(shù)：②若∠EGC－∠ECG＝40°，求∠CPQ的度數(shù)．(2)在點P的運動過程中，當時，直接寫出∠CPQ的度數(shù)．17．閱讀情境：如圖①，，，，求的度數(shù)．小明的思路是：過P作，通過平行線性質來求．(1)按小明的思路，易求得的度數(shù)為______，請寫出解題過程；問題遷移：(2)如圖②，，點P在射線OM上運動，記，，當點P在B、D兩點之間運動時，問與，之間有何數(shù)量關系？請說明理由．18．如圖1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PM∥AB，通過平行線性質來求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為度；(2)如圖2，AB∥CD，點P在直線a上運動，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關系？請說明理由；(3)在（2）的條件下，如果點P在B、D兩點外側運動時（點P與點B、D兩點不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關系19．如圖，已知和互為鄰補角，，將一個三角板的直角頂點放在點C處（注：，）．(1)如圖1，使三角板的短直角邊與射線重合，若，則_________．(2)如圖2，將圖1中的三角板繞點C順時針旋轉，試判斷此時與的位置關系，并說明理由．(3)如圖3，將圖1中的三角板繞點C順時針旋轉，使得，此時和滿足什么關系？請說明理由．(4)將圖1中的三角板繞點C以每秒5的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，恰好與直線重合，求t的值（用含的式子表示）．20．如圖①，已知直線//，且和，分別交于，兩點，和，分別交于，兩點，點在線段上，，，．(1)若，，則______．(2)試找出，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)應用（2）中的結論解答下面的問題：如圖②，點在的北偏東的方向上，在的北偏西的方向上，求的度數(shù)．(4)如果點在直線上且在線段外側運動（點和，兩點不重合），其他條件不變，試探究，，之間的關系．21．綜合與實踐問題情境：在數(shù)學實踐課上，給出兩個大小形狀完全相同的含有，的直角三角板如圖1放置，在直線上，且三角板和三角板均可以點P為頂點運動．操作探究：(1)如圖2，若三角板保持不動，三角板繞點P逆時針旋轉一定角度，平分平分，求；(2)如圖3，在圖1基礎上，若三角板開始繞點P以每秒的速度逆時針旋轉，同時三角板繞點P以每秒的速度逆時針旋轉，當轉到與重合時，兩三角板都停止轉動．在旋轉過程中，當三條射線中的其中一條射線平分另兩條射線的夾角時，請求出旋轉的時間；拓廣探究：(3)如圖4，作三角板關于直線的對稱圖形．三角板保持不動，三角板繞點P逆時針旋轉，當時，請直接寫出旋轉角的度數(shù)．三、三角板問題22．如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上．(1)填空：∠1＝°，∠2＝°；(2)現(xiàn)把三角板繞B點逆時針旋轉n°．如圖2，當0＜n＜90，且點C恰好落在DG邊上時，①請直接寫出∠2＝°（結果用含n的代數(shù)式表示）；②若∠1與∠2恰好有一個角是另一個角的倍，求n的值．(3)若把三角板繞B點順時針旋轉n°．當0＜n＜180時，是否會存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線平行？如果存在，請直接寫出所有n的值；如果不存在，請說明理由．23．如圖1，將一副三角板中的兩個直角頂點疊放在一起，其中，，．(1)觀察猜想，∠BCD與∠ACE的數(shù)量關系是________；∠BCE與∠ACD的數(shù)量關系是________；(2)類比探究，若按住三角板不動，順時針繞直角頂點轉動三角形，試探究當∠ACD等于多少度時CE//AB，畫出圖形并簡要說明理由；(3)拓展應用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度數(shù)；并直接寫出此時DE與AC的位置關系．24．如圖，一副三角板的兩個直角頂點重合在一起，交叉擺放．(1)如圖1，若∠CBD=35°，則∠ABE=______；(2)如圖1，若∠CBD：∠ABE=2：7，求∠CBD的度數(shù)；(3)如圖2，若∠CBD=α，射線BM，射線BN分別是∠ABE和∠CBE的平分線，試判斷當∠CBD的度數(shù)改變時，∠MBN的度數(shù)是否隨之改變．若改變，請說明理由；若不改變，求它的度數(shù)；(4)如圖1，若保持三角板ABC不動，繞直角頂點B順時針轉動三角板DBE，當∠CBD的度數(shù)為______時，BE∥AC．25．如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上．（1）填空：1＝_____°，2＝_____°；（2）現(xiàn)把三角板繞B點逆時針旋轉n°．如圖2，當0＜n＜90，且點C恰好落在DG邊上時，①請直接寫出2＝_____°（結果用含n的代數(shù)式表示）②若1與2恰好有一個角是另一個角的倍，求n的值（3）若把三角板繞B點順時針旋轉n°．當0＜n＜360時，是否會存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線垂直？如果存在，請直接寫出所有n的值和對應的那兩條垂線；如果不存在，請說明理由．26．將兩塊三角板按如圖置，其中三角板邊，，，．（1）下列結論：正確的是_______．①如果，則有；②；③如果，則平分．（2）如果，判斷與是否相等，請說明理由．（3）將三角板繞點順時針轉動，直到邊與重合即停止，轉動的過程中當兩塊三角板恰有兩邊平行時，請直接寫出所有可能的度數(shù)．27．知直線，一塊直角三角板的頂點A在直線a上，B，C兩點在平面上移動，其中，．請解答下列問題：（1）如圖1，若點C在直線b上，點B在直線b的下方，，求的度數(shù)：（2）如圖2，若三角板的位置繞著點A進行轉動，使得點C在直線a，b之間，點B在直線b的下方．①請說明和的數(shù)量關系；②若圖中兩個角的度數(shù)和之間滿足關系式，求x，y的值．28．已知，將一副三角板中的兩塊直角三角板如圖1放置，，，，．（1）若三角板如圖1擺放時，則______，______．（2）現(xiàn)固定的位置不變，將沿方向平移至點E正好落在上，如圖2所示，與交于點G，作和的角平分線交于點H，求的度數(shù)；（3）現(xiàn)固定，將繞點A順時針旋轉至與直線首次重合的過程中，當線段與的一條邊平行時，請直接寫出的度數(shù)．四、情景探究問題29．綜合與探究【問題情境】王老師組織同學們開展了探究三角之間數(shù)量關系的數(shù)學活動．（1）如圖1，EF∥MN，點A、B分別為直線EF、MN上的一點，點P為平行線間一點，請直接寫出∠PAF、∠PBN和∠APB之間的數(shù)量關系；【問題遷移】（2）如圖2，射線OM與射線ON交于點O，直線m∥n，直線m分別交OM、ON于點A、D，直線n分別交OM、ON于點B、C，點P在射線OM上運動．①當點P在A、B（不與A、B重合）兩點之間運動時，設∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關系？請說明理由；②若點P不在線段AB上運動時（點P與點A、B、O三點都不重合），請你畫出滿足條件的所有圖形并直接寫出∠CPD，∠α，∠β之間的數(shù)量關系．30．問題情境（1）如圖1，已知，求的度數(shù)．佩佩同學的思路：過點作，進而，由平行線的性質來求，求得；問題遷移（2）圖2，圖3均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合與相交于點，有一動點在邊上運動，連接，記．①如圖2，當點在兩點之間運動時，請直接寫出與之間的數(shù)量關系；②如圖3，當點在兩點之間運動時，與之間有何數(shù)量關系？請判斷并說明理由．31．[閱讀?領會]如圖①，為了判斷兩直線的位置關系．我們添加了直線c為“輔助線”．在部分代數(shù)問題中，引入字母解決復雜問題，我們稱引入的字母為“輔助元”．【實踐?體悟】（1）計算，這個算式直接計算很麻煩，請你引入合適的“輔助元”完成計算．（2）若關于x、y的方程組的解是的解是，則關于x、y的方程組的解為．【創(chuàng)造?突破】（3）已知直線ABCD．如圖2，請寫出∠ABE、∠E、∠CDE的數(shù)量關系，并添加適當?shù)妮o助線說明理由．（4）已知直線ABCD．如圖3，∠ABM＝∠MBE，∠CDN＝∠NDE，直線MB、ND交于點F，若∠F＝m°，則∠E=．（用含m的代數(shù)式表示）32．課題學習：平行線的“等角轉化”功能．閱讀理解：如圖1，已知點A是BC外一點，連接AB，AC，求∠BAC＋∠B＋∠C的度數(shù)．（1）閱讀并補充下面推理過程解：過點A作ED∥BC，∴∠B＝∠EAB，∠C＝

又∵∠EAB＋∠BAC＋∠DAC＝180°∴∠B＋∠BAC＋∠C＝180°解題反思：從上面推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線具有“等角轉化”的功能，將∠BAC，∠B，∠C“湊”在一起，得出角之間的關系，使問題得以解決．方法運用：（2）如圖2，已知AB∥ED，求∠B＋∠BCD＋∠D的度數(shù)．（提示：過點C作CF∥AB）深化拓展：（3）如圖3，已知AB∥CD，點C在點D的右側，∠ADC＝70°，點B在點A的左側，∠ABC＝60°，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，BE，DE所在的直線交于點E，點E在AB與CD兩條平行線之間，求∠BED的度數(shù)．33．已知，如圖①，∠BAD=50°，點C為射線AD上一點（不與A重合），連接BC．（1）[問題提出]如圖②，AB∥CE，∠BCD=73°，則：∠B=．（2）[類比探究]在圖①中，探究∠BAD、∠B和∠BCD之間有怎樣的數(shù)量關系？并用平行線的性質說明理由．（3）[拓展延伸]如圖③，在射線BC上取一點O，過O點作直線MN使MN∥AD，BE平分∠ABC交AD于E點，OF平分∠BON交AD于F點，交AD于G點，當C點沿著射線AD方向運動時，∠FOG的度數(shù)是否會變化？若變化，請說明理由；若不變，請求出這個不變的值．五、傳統(tǒng)解答證明題34．已知，直角的邊與直線a分別相交于O、G兩點，與直線b分別交于E、F點，．（1）將直角如圖1位置擺放，如果，則______；（2）將直角如圖2位置擺放，N為AC上一點，，請寫出與之間的等量關系，并說明理由．（3）將直角如圖3位置擺放，若，延長AC交直線b于點Q，點P是射線GF上一動點，探究，與的數(shù)量關系，請直接寫出結論．35．如圖1，已知，，點在上，點，在上，點在，之間，連接，，，．(1)求證：；(2)如圖2，平分交于，，平分，，①若，時，求的度數(shù)；②如圖3，平分，，交于點，若，求的值．36．已知，，、分別為直線、上的點，為平面內任意一點，連接、．(1)如圖（1），請直接寫出、與之間的數(shù)量關系．(2)如圖（2），過點作、交直線上的點、，點在上，過作，求證：．(3)如圖（3），在（2）的條件下，若，，求的度數(shù)．特訓04相交線平行線（題型歸納）目錄：一、M型、筆尖型、雞翅型、骨折型；二、動態(tài)問題；三、三角板問題；四、情景探究類；五、傳統(tǒng)解答證明題。解答題一、M型、筆尖型、雞翅型、骨折型1．如圖1，已知AB∥CD，∠B＝30°，∠D＝120°；(1)若∠E＝60°，則∠F＝；(2)請?zhí)剿鳌螮與∠F之間滿足的數(shù)量關系？說明理由；(3)如圖2，已知EP平分∠BEF，F(xiàn)G平分∠EFD，反向延長FG交EP于點P，求∠P的度數(shù)．【答案】(1)(2)，理由見解析(3)【分析】（1）如圖1，分別過點，作，，根據(jù)平行線的性質得到，，，代入數(shù)據(jù)即可得到結論；（2）如圖1，根據(jù)平行線的性質得到，，由，，得到，根據(jù)平行線的性質得到，于是得到結論；（3）如圖2，過點作，設，則，根據(jù)角平分線的定義得到，，根據(jù)平行線的性質得到，，于是得到結論．【解析】（1）解：如圖1，分別過點，作，，，，，又，，，，又，，，，；故答案為：；（2）解：如圖1，分別過點，作，，，，，又，，，，又，，，，，；（3）解：如圖2，過點作，由（2）知，，設，則，平分，平分，，，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的性質，角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質定理是解題的關鍵．2．已知AB//CD．（1）如圖1，E為AB，CD之間一點，連接BE，DE，得到∠BED．求證：∠BED＝∠B+∠D；（2）如圖，連接AD，BC，BF平分∠ABC，DF平分∠ADC，且BF，DF所在的直線交于點F．①如圖2，當點B在點A的左側時，若∠ABC＝50°，∠ADC＝60°，求∠BFD的度數(shù)．②如圖3，當點B在點A的右側時，設∠ABC＝α，∠ADC＝β，請你求出∠BFD的度數(shù)．（用含有α，β的式子表示）【答案】（1）見解析；（2）55°；（3）【分析】（1）根據(jù)平行線的判定定理與性質定理解答即可；（2）①如圖2，過點作，當點在點的左側時，根據(jù)，，根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義即可求的度數(shù)；②如圖3，過點作，當點在點的右側時，，，根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義即可求出的度數(shù)．【解析】解：（1）如圖1，過點作，則有，，，，；（2）①如圖2，過點作，有．，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為；②如圖3，過點作，有．，，．．．即，平分，平分，，，．答：的度數(shù)為．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質，解決本題的關鍵是熟練掌握平行線的判定與性質．3．已知，AB∥CD．點M在AB上，點N在CD上．（1）如圖1中，∠BME、∠E、∠END的數(shù)量關系為：；（不需要證明）如圖2中，∠BMF、∠F、∠FND的數(shù)量關系為：；（不需要證明）（2）如圖3中，NE平分∠FND，MB平分∠FME，且2∠E＋∠F＝180°，求∠FME的度數(shù)；（3）如圖4中，∠BME＝60°，EF平分∠MEN，NP平分∠END，且EQ∥NP，則∠FEQ的大小是否發(fā)生變化，若變化，請說明理由，若不變化，求出∠FEQ的度數(shù)．【答案】（1）∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND；（2）120°；（3）不變，30°【分析】（1）過E作EH∥AB，易得EH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質可求解；過F作FH∥AB，易得FH∥AB∥CD，根據(jù)平行線的性質可求解；（2）根據(jù)（1）的結論及角平分線的定義可得2（∠BME+∠END）+∠BMF-∠FND=180°，可求解∠BMF=60°，進而可求解；（3）根據(jù)平行線的性質及角平分線的定義可推知∠FEQ=∠BME，進而可求解．【解析】解：（1）過E作EH∥AB，如圖1，∴∠BME＝∠MEH，∵AB∥CD，∴HE∥CD，∴∠END＝∠HEN，∴∠MEN＝∠MEH＋∠HEN＝∠BME＋∠END，即∠BME＝∠MEN﹣∠END．如圖2，過F作FH∥AB，∴∠BMF＝∠MFK，∵AB∥CD，∴FH∥CD，∴∠FND＝∠KFN，∴∠MFN＝∠MFK﹣∠KFN＝∠BMF﹣∠FND，即：∠BMF＝∠MFN＋∠FND．故答案為∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．（2）由（1）得∠BME＝∠MEN﹣∠END；∠BMF＝∠MFN＋∠FND．∵NE平分∠FND，MB平分∠FME，∴∠FME＝∠BME＋∠BMF，∠FND＝∠FNE＋∠END，∵2∠MEN＋∠MFN＝180°，∴2（∠BME＋∠END）＋∠BMF﹣∠FND＝180°，∴2∠BME＋2∠END＋∠BMF﹣∠FND＝180°，即2∠BMF＋∠FND＋∠BMF﹣∠FND＝180°，解得∠BMF＝60°，∴∠FME＝2∠BMF＝120°；（3）∠FEQ的大小沒發(fā)生變化，∠FEQ＝30°．由（1）知：∠MEN＝∠BME＋∠END，∵EF平分∠MEN，NP平分∠END，∴∠FEN＝∠MEN＝（∠BME＋∠END），∠ENP＝∠END，∵EQ∥NP，∴∠NEQ＝∠ENP，∴∠FEQ＝∠FEN﹣∠NEQ＝（∠BME＋∠END）﹣∠END＝∠BME，∵∠BME＝60°，∴∠FEQ＝×60°＝30°．【點睛】本題主要考查平行線的性質及角平分線的定義，作平行線的輔助線是解題的關鍵．4．已知，直角的邊與直線a分別相交于O、G兩點，與直線b分別交于E，F(xiàn)點，且．（1）將直角如圖1位置擺放，如果，則________；（2）將直角如圖2位置擺放，N為上一點，，請寫出與之間的等量關系，并說明理由；（3）將直角如圖3位置擺放，若，延長交直線b于點Q，點P是射線上一動點，探究與的數(shù)量關系，請直接寫出結論．【答案】（1）146°；（2）∠AOG+∠NEF=90°；（3）見解析【分析】（1）作CP//a，則CP//a//b，根據(jù)平行線的性質求解．（2）作CP//a，由平行線的性質及等量代換得∠AOG+∠NEF=∠ACP+∠PCB=90°．（3）分類討論點P在線段GF上或線段GF延長線上兩種情況，過點P作a，b的平行線求解．【解析】解：（1）如圖，作CP//a，∵a//b，CP//a，∴CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP=56°，∠BCP+∠CEF=180°，∴∠BCP=180°-∠CEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+180°-∠CEF=90°，∴∠CEF=180°-90°+∠AOG=146°．（2）∠AOG+∠NEF=90°.理由如下：如圖，作CP//a，則CP//a//b，∴∠AOG=∠ACP，∠BCP+∠CEF=180°，∵∠NEF+∠CEF=180°，∴∠BCP=∠NEF，∵∠ACP+∠BCP=90°，∴∠AOG+∠NEF=90°．（3）如圖，當點P在GF上時，作PN//a，連接PQ，OP,則PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∴∠OPQ=∠OPN+∠NPQ=∠GOP+∠PQF,∵∠GOC=∠GOP+∠POQ=135°，∴∠GOP=135°-∠POQ，∴∠OPQ=135°-∠POQ+∠PQF．如圖，當點P在GF延長線上時，作PN//a，連接PQ，OP,則PN//a//b，∴∠GOP=∠OPN，∠PQF=∠NPQ，∵∠OPN=∠OPQ+∠QPN，∴∠GOP=∠OPQ+∠PQF，∴135°-∠POQ=∠OPQ+∠PQF．【點睛】本題考查平行線的性質的應用，解題關鍵是熟練掌握平行線的性質，通過添加輔助線及分類討論的方法求解．5．AB∥CD，點P為直線AB，CD所確定的平面內的一點．（1）如圖1，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關系，并證明；（2）如圖2，寫出∠APC、∠A、∠C之間的數(shù)量關系，并證明；（3）如圖3，點E在射線BA上，過點E作EF∥PC，作∠PEG＝∠PEF，點G在直線CD上，作∠BEG的平分線EH交PC于點H，若∠APC＝30°，∠PAB＝140°，求∠PEH的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明詳見解析；（2）∠APC＝∠A?∠C，證明詳見解析；（3）55°．【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，結合題意得出AB∥PQ∥CD，然后由“兩直線平行，同旁內角互補”進一步分析即可證得∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）作PQ∥AB，結合題意得出AB∥PQ∥CD，根據(jù)“兩直線平行，內錯角相等”進一步分析即可證得∠APC＝∠A?∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，先利用平行線性質得出∠BEF＝∠PQB＝110°，然后進一步得出∠PEG＝∠FEG，∠GEH＝∠BEG，最后根據(jù)∠PEH＝∠PEG?∠GEH即可得出答案．【解析】（1）∠A+∠C+∠APC＝360°，證明如下：如圖1所示，過點P作PQ∥AB，∴∠A+∠APQ＝180°，又∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C+∠CPQ＝180°，∴∠A+∠APQ+∠C+∠CPQ＝360°，即∠A+∠C+∠APC＝360°；（2）∠APC＝∠A?∠C，證明如下：如圖2所示，過點P作PQ∥AB，∴∠A＝∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠C＝∠CPQ，∵∠APC＝∠APQ?∠CPQ，∴∠APC＝∠A?∠C；（3）由（2）知，∠APC＝∠PAB?∠PCD，∵∠APC＝30°，∠PAB＝140°，∴∠PCD＝110°，∵AB∥CD，∴∠PQB＝∠PCD＝110°，∵EF∥PC，∴∠BEF＝∠PQB＝110°，∵∠PEG＝∠PEF，∴∠PEG＝∠FEG，∵EH平分∠BEG，∴∠GEH＝∠BEG，∴∠PEH＝∠PEG?∠GEH＝∠FEG?∠BEG＝∠BEF＝55°．【點睛】本題主要考查了利用平行線性質與角平分線性質求角度的綜合運用，熟練掌握相關概念是解題關鍵.6．已知，點為平面內一點，于．（1）如圖1，點在兩條平行線外，則與之間的數(shù)量關系為______；（2）點在兩條平行線之間，過點作于點．①如圖2，說明成立的理由；②如圖3，平分交于點平分交于點．若，求的度數(shù)．【答案】（1）∠A+∠C=90°；（2）①見解析；②105°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質以及直角三角形的性質進行證明即可；（2）①過點B作BG∥DM，根據(jù)平行線找角的聯(lián)系即可求解；②先過點B作BG∥DM，根據(jù)角平分線的定義，得出∠ABF=∠GBF，再設∠DBE=α，∠ABF=β，根據(jù)∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°，可得2α+β+3α+3α+β=180°，根據(jù)AB⊥BC，可得β+β+2α=90°，最后解方程組即可得到∠ABE=15°，進而得出∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【解析】解：（1）如圖1，AM與BC的交點記作點O，∵AM∥CN，∴∠C=∠AOB，∵AB⊥BC，∴∠A+∠AOB=90°，∴∠A+∠C=90°；（2）①如圖2，過點B作BG∥DM，∵BD⊥AM，∴DB⊥BG，∴∠DBG=90°，∴∠ABD+∠ABG=90°，∵AB⊥BC，∴∠CBG+∠ABG=90°，∴∠ABD=∠CBG，∵AM∥CN，BG∥DM，∴∠C=∠CBG，∠ABD=∠C；②如圖3，過點B作BG∥DM，∵BF平分∠DBC，BE平分∠ABD，∴∠DBF=∠CBF，∠DBE=∠ABE，由（2）知∠ABD=∠CBG，∴∠ABF=∠GBF，設∠DBE=α，∠ABF=β，則∠ABE=α，∠ABD=2α=∠CBG，∠GBF=∠AFB=β，∠BFC=3∠DBE=3α，∴∠AFC=3α+β，∵∠AFC+∠NCF=180°，∠FCB+∠NCF=180°，∴∠FCB=∠AFC=3α+β，△BCF中，由∠CBF+∠BFC+∠BCF=180°得：2α+β+3α+3α+β=180°，∵AB⊥BC，∴β+β+2α=90°，∴α=15°，∴∠ABE=15°，∴∠EBC=∠ABE+∠ABC=15°+90°=105°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質的運用，解決問題的關鍵是作平行線構造內錯角，運用等角的余角（補角）相等進行推導．余角和補角計算的應用，常常與等式的性質、等量代換相關聯(lián)．解題時注意方程思想的運用．7．（1）如圖（1）AB∥CD，猜想∠BPD與∠B、∠D的關系，說出理由．（2）觀察圖（2），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，并說明理由．（3）觀察圖（3）和（4），已知AB∥CD，猜想圖中的∠BPD與∠B、∠D的關系，不需要說明理由．【答案】（1）∠B+∠BPD+∠D=360°，理由見解析；（2）∠BPD=∠B+∠D，理由見解析；（3）∠BPD=∠D-∠B或∠BPD=∠B-∠D，理由見解析【分析】（1）過點P作EF∥AB，根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補即可求解；（2）首先過點P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，則可求得∠BPD=∠B+∠D．（3）由AB∥CD，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等與三角形外角的性質，即可求得∠BPD與∠B、∠D的關系．【解析】解：（1）如圖（1）過點P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°，∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，∴∠EPD+∠D=180°，∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°，∴∠B+∠BPD+∠D=360°．（2）∠BPD=∠B+∠D．理由：如圖2，過點P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D．（3）如圖（3），∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠BPD，∴∠D=∠B+∠BPD，即∠BPD=∠D-∠B；如圖（4），∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠BPD，∴∠B=∠D+∠BPD，即∠BPD=∠B-∠D．【點睛】此題考查了平行線的性質與三角形外角的性質．此題難度不大，解題的關鍵是注意掌握平行線的性質，注意輔助線的作法．8．（1）如圖，AB//CD，CF平分∠DCE，若∠DCF=30°，∠E=20°，求∠ABE的度數(shù)；（2）如圖，AB//CD，∠EBF=2∠ABF，CF平分∠DCE，若∠F的2倍與∠E的補角的和為190°，求∠ABE的度數(shù)．（3）如圖，P為（2）中射線BE上一點，G是CD上任一點，PQ平分∠BPG，GN//PQ，GM平分∠DGP，若∠B＝30°，求∠MGN的度數(shù)．【答案】（1）∠ABE=40°；（2）∠ABE=30°；（3）∠MGN=15°．【分析】（1）過E作EMAB，根據(jù)平行線的判定與性質和角平分線的定義解答即可；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，根據(jù)平行線的判定與性質，角平分線的定義以及解一元一次方程解答即可；（3）過P作PLAB，根據(jù)平行線的判定與性質，三角形的內角和定理，三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和的性質，角平分線的定義解答即可．【解析】解：（1）過E作EMAB，∵ABCD，∴CDEMAB，∴∠ABE＝∠BEM，∠DCE＝∠CEM，∵CF平分∠DCE，∴∠DCE＝2∠DCF，∵∠DCF＝30°，∴∠DCE＝60°，∴∠CEM＝60°，又∵∠CEB＝20°，∴∠BEM＝∠CEM﹣∠CEB＝40°，∴∠ABE＝40°；（2）過E作EMAB，過F作FNAB，∵∠EBF＝2∠ABF，∴設∠ABF＝x，∠EBF＝2x，則∠ABE＝3x，∵CF平分∠DCE，∴設∠DCF＝∠ECF＝y(tǒng)，則∠DCE＝2y，∵ABCD，∴EMABCD，∴∠DCE＝∠CEM＝2y，∠BEM＝∠ABE＝3x，∴∠CEB＝∠CEM﹣∠BEM＝2y﹣3x，同理∠CFB＝y(tǒng)﹣x，∵2∠CFB+（180°﹣∠CEB）＝190°，∴2（y﹣x）+180°﹣（2y﹣3x）＝190°，

∴x＝10°，∴∠ABE＝3x＝30°；（3）過P作PLAB，∵GM平分∠DGP，∴設∠DGM＝∠PGM＝y(tǒng)，則∠DGP＝2y，∵PQ平分∠BPG，∴設∠BPQ＝∠GPQ＝x，則∠BPG＝2x，∵PQGN，∴∠PGN＝∠GPQ＝x，∵ABCD，∴PLABCD，

∴∠GPL＝∠DGP＝2y，∠BPL＝∠ABP＝30°，∵∠BPL＝∠GPL﹣∠BPG，∴30°＝2y﹣2x，∴y﹣x＝15°，∵∠MGN＝∠PGM﹣∠PGN＝y(tǒng)﹣x，∴∠MGN＝15°．【點睛】此題考查平行線的判定與性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，解題關鍵在于作輔助線和掌握判定定理．9．已知直線AB∥CD，P為平面內一點，連接PA、PD．（1）如圖1，已知∠A＝50°，∠D＝150°，求∠APD的度數(shù)；（2）如圖2，判斷∠PAB、∠CDP、∠APD之間的數(shù)量關系為．（3）如圖3，在（2）的條件下，AP⊥PD，DN平分∠PDC，若∠PAN+∠PAB＝∠APD，求∠AND的度數(shù)．【答案】（1）∠APD=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）∠AND=45°．【分析】（1）首先過點P作PQ∥AB，則易得AB∥PQ∥CD，然后由兩直線平行，同旁內角互補以及內錯角相等，即可求解；（2）作PQ∥AB，易得AB∥PQ∥CD，根據(jù)平行線的性質，即可證得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；（3）先證明∠NOD=∠PAB，∠ODN=∠PDC，利用（2）的結論即可求解．【解析】解：（1）∵∠A=50°，∠D=150°，過點P作PQ∥AB，∴∠A=∠APQ=50°，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠D+∠DPQ=180°，則∠DPQ=180°-150°=30°，∴∠APD=∠APQ+∠DPQ=50°+30°=80°；（2）∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，如圖，作PQ∥AB，∴∠PAB=∠APQ，∵AB∥CD，∴PQ∥CD，∴∠CDP+∠DPQ=180°，即∠DPQ=180°-∠CDP，∵∠APD=∠APQ-∠DPQ，∴∠APD=∠PAB-(180°-∠CDP)=∠PAB+∠CDP-180°；∴∠PAB+∠CDP-∠APD=180°；(3)設PD交AN于O，如圖，∵AP⊥PD，∴∠APO=90°，由題知∠PAN+∠PAB=∠APD，即∠PAN+∠PAB=90°，又∵∠POA+∠PAN=180°-∠APO=90°，∴∠POA=∠PAB，∵∠POA=∠NOD，∴∠NOD=∠PAB，∵DN平分∠PDC，∴∠ODN=∠PDC，∴∠AND=180°-∠NOD-∠ODN=180°-(∠PAB+∠PDC)，由(2)得∠PAB+∠CDP-∠APD=180°，∴∠PAB+∠PDC=180°+∠APD，∴∠AND=180°-(∠PAB+∠PDC)=180°-(180°+∠APD)=180°-(180°+90°)=45°，即∠AND=45°．【點睛】本題考查了平行線的性質以及角平分線的定義．注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結合思想的應用．10．如圖1，MN∥PQ，點C、B分別在直線MN、PQ上，點A在直線MN、PQ之間．（1）求證：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，CD∥AB，點E在PQ上，∠ECN＝∠CAB，求證：∠MCA＝∠DCE；（3）如圖3，BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，AF∥CG．若∠CAB＝60°，求∠AFB的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）120°．【分析】（1）過點A作AD∥MN，根據(jù)兩直線平行，內錯角相等得到∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，根據(jù)角的和差等量代換即可得解；（2）由兩直線平行，同旁內角互補得到∴、∠CAB+∠ACD＝180°，由鄰補角定義得到∠ECM+∠ECN＝180°，再等量代換即可得解；（3）由平行線的性質得到，∠FAB＝120°﹣∠GCA，再由角平分線的定義及平行線的性質得到∠GCA﹣∠ABF＝60°，最后根據(jù)三角形的內角和是180°即可求解．【解析】解：（1）證明：如圖1，過點A作AD∥MN，∵MN∥PQ，AD∥MN，∴AD∥MN∥PQ，∴∠MCA＝∠DAC，∠PBA＝∠DAB，∴∠CAB＝∠DAC+∠DAB＝∠MCA+∠PBA，即：∠CAB＝∠MCA+∠PBA；（2）如圖2，∵CD∥AB，∴∠CAB+∠ACD＝180°，∵∠ECM+∠ECN＝180°，∵∠ECN＝∠CAB∴∠ECM＝∠ACD，即∠MCA+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，∴∠MCA＝∠DCE；（3）∵AF∥CG，∴∠GCA+∠FAC＝180°，∵∠CAB＝60°即∠GCA+∠CAB+∠FAB＝180°，∴∠FAB＝180°﹣60°﹣∠GCA＝120°﹣∠GCA，由（1）可知，∠CAB＝∠MCA+∠ABP，∵BF平分∠ABP，CG平分∠ACN，∴∠ACN＝2∠GCA，∠ABP＝2∠ABF，又∵∠MCA＝180°﹣∠ACN，∴∠CAB＝180°﹣2∠GCA+2∠ABF＝60°，∴∠GCA﹣∠ABF＝60°，∵∠AFB+∠ABF+∠FAB＝180°，∴∠AFB＝180°﹣∠FAB﹣∠FBA＝180°﹣（120°﹣∠GCA）﹣∠ABF＝180°﹣120°+∠GCA﹣∠ABF＝120°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，線段、角、相交線與平行線，準確的推導是解決本題的關鍵．二、動態(tài)問題11．如圖，直線ABCD，直線EF與AB、CD分別交于點G、H，∠EHD=α(0°<α<90°)．一個含30°角的直角三角板PMN中∠MPN=90°，∠PMN=60°．(1)小安將直角三角板PMN按如圖①放置，使點N、M分別在直線AB、CD上，且在點G、H的右側，證明：∠PNB+∠PMD=∠MPN；(2)若∠MNG的平分線NO交直線CD于點O，點N、M分別在直線AB、CD上，如圖②．①當NOEF，PMEF時，求α的度數(shù)；②小安將三角板PMN保持PMEF并向左平移，請直接寫出在平移的過程中∠MON的度數(shù)：∠MON=______（用含α的式子表示）．【答案】(1)見解析(2)①60°；②或【分析】（1）過P點作PQAB，根據(jù)平行線的性質可得∠PNB=∠NPQ，∠PMD=∠QPM，進而可求解；（2）①由平行線的性質可得∠ONM=∠PMN=60°，結合角平分線的定義可得∠ANO=∠ONM=60°，再利用平行線的性質可求解；②可分兩種情況：點N在G的右側時，點N在G的左側時，利用平行線的性質及角平分線的定義計算可求解．（1）證明：過P點作PQAB，∴∠PNB=∠NPQ，∵ABCD，∴PQCD，∴∠PMD=∠QPM，∴∠PNB+∠PMD=∠NPQ+∠QPM=∠MPN；（2）解：①∵NOEF，PMEF，∴NOPM，∴∠ONM=∠NMP，∵∠PMN=60°，∴∠ONM=∠PMN=60°，∵NO平分∠MNO，∴∠ANO=∠ONM=60°，∵ABCD，∴∠NOM=∠ANO=60°，∴α=∠NOM=60°；②點N在G的右側時，如圖②，∵PMEF，∠EHD=α，∴∠PMD=α，∴∠NMD=60°+α，∵ABCD，∴∠ANM=∠NMD=60°+α，∵NO平分∠ANM，∴∠ANO=∠ANM=30°+α，∵ABCD，∴∠MON=∠ANO=30°+α；點N在G的左側時，如圖，∵PMEF，∠EHD=α，∴∠PMD=α，∴∠NMD=60°+α，∵ABCD，∴∠BNM+∠NMO=180°，∠BNO=∠MON，∵NO平分∠MNG，∴∠BNO=[180°-（60°+α）]=60°-α，∴∠MON=60°-α，綜上所述，∠MON的度數(shù)為30°+α或60°-α．故答案為：30°+α或60°-α．【點睛】本題主要考查平行線的性質，角平分線的定義，畫出圖形，分類討論是解題的關鍵．12．如圖，已知射線，，，在上，且滿足，平分．(1)求的度數(shù)．(2)若向右平行移動，其他條件不變，那么的值是否發(fā)生變化？若變化，請找出變化規(guī)律；若不變，請求出這個比值．(3)在向右平行移動的過程中，是否存在某種情況，使？若存在，請直接寫出的度數(shù)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)30°(2)不變化，(3)存在，45°【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補求出∠AOC，然后求出∠EOB=∠AOC，計算即可得解；（2）根據(jù)兩直線平行，內錯角相等可得∠OFC=2∠OBC，從而得解；（3）設∠BOA=x°，表示出∠OBA，再根據(jù)∠OEC=∠OBA，列出方程求解．【解析】（1）∵CB∥OA，∴∠COA=180°－∠C=60°，∠FBO=∠BOA，∵，∴，∴，∵OE平分∠COF，∴，∴；（2）∵CB∥OA，∴∠OFC=∠FOA=∠FOB+∠BOA=∠OBC+∠OBC=2∠OBC，∴=1：2=；（3）存在，∠BOA=45°，理由如下：設∠BOA=x°，則∠FBO=∠FOB=x°，∵CB∥OA，∴∠CBA=180°－∠OAB=60°，∠OEC=∠EOA=∠EOB+∠BOA=(30＋x)°，∴∠OBA=∠CBA－∠FBO=(60－x)°∵∠OEC=∠OBA，∴，解得x=15，∴∠OBA=(60-15)°=45°．【點睛】本題考查了平行線的性質、角平分線的性質及角的和差運算，涉及方程思想，靈活運用這些性質是解題的關鍵．13．請作答：(1)圖，圖均是由一塊三角板和一把直尺拼成的圖形，三角板的兩直角邊與直尺的兩邊重合，，，與相交于點，有一動點在邊上運動，連接，，記，．①如圖，當點在，兩點之間運動時，請直接寫出與，之間的數(shù)量關系；②如圖，當點在，兩點之間運動時，與，之間有何數(shù)量關系？請判斷并說明理由；(2)當點在，兩點之間運動時，若，的角平分線，相交于點，請直接寫出與，之間的數(shù)量關系．【答案】(1)①；②，理由見解析(2)【分析】（1）①過點作，先根據(jù)平行線的性質可得，再根據(jù)即可得；②過點作，先根據(jù)平行線的性質可得，，再根據(jù)即可得；（2）先根據(jù)角平分線的定義可得，過點作，再根據(jù)平行線的性質可得，，然后根據(jù)即可得．（1）解：①，理由如下：如圖，過點作，如圖所示：，，，，；②，理由如下：如圖，過點作，，，，，．（2）解：，理由如下：，分別平分，，，，如圖，過點作，，，，，．【點睛】本題考查了平行線的判定和性質、角平分線的定義等知識點，過拐點作平行線，利用平行線的判定與性質是解題關鍵．14．如圖1，點O為直線AB上一點，過點O作射線OC，使∠AOC＝60°．將一把直角三角尺的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方，其中∠OMN＝30°．(1)將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖2，使一邊OM在∠BOC的內部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度數(shù)；(2)將圖1中的三角尺繞點O按每秒6°的速度繞點O沿順時針方向旋轉一周，OC也以每秒1°的速度繞點O順時針方向旋轉，當三角尺停止運動時，OC也停止運動．①在旋轉的過程中，問運動幾秒時，邊MN恰好與射線OC平行；②將圖1中的三角尺繞點O順時針旋轉至圖3，使ON在∠AOC的內部，請?zhí)骄俊螦OM與∠NOC之間的數(shù)量關系（直接寫出結果）．【答案】(1)∠CON＝150°(2)①18s或54s②5∠AOM=6∠NOC【分析】（1）根據(jù)鄰補角的定義求出∠BOC=120°，再根據(jù)角平分線的定義求出∠COM，然后根據(jù)∠CON=∠COM+90°解答；（2）①根據(jù)∠COM=30°或∠CON=30°時是可以滿足MNOC，即（90°+60°-60°）÷（6°-1°）=18s或（180°+60°+30°）÷（6°-1°）=54s．②設運動的時間為t，則∠AOM=180°-6t=6（30°-t），∠NOC=60°+t-（90°-180°+6t）=5（30°-t），即可得出結論．【解析】（1）解：∵∠AOC＝60°，∴∠BOC＝120°，又∵OM平分∠BOC，∴∠COM＝∠BOC＝60°，∴∠CON＝∠COM+90°＝150°；（2）解：①∵∠OMN＝30°，∴∠COM=30°或∠CON=30°時是可以滿足MNOC，即（90°+60°-60°）÷（6°-1°）=18s，（180°+60°+30°）÷（6°-1°）=54s，故答案為：18s或54s．②設運動的時間為t，則∠AOM=180°-6t=6（30°-t），∠NOC=60°+t-（90°-180°+6t）=5（30°-t），故∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關系為：5∠AOM=6∠NOC．【點睛】本題考查了旋轉的性質，平行線的性質，讀懂題目信息并熟練掌握各性質是解題的關鍵，難點在于（2）要分情況討論．15．如圖1，已知兩條直線AB，CD被直線EF所截，分別交于點E，點F，EM平分∠AEF交CD于點M，且∠FEM＝∠FME．(1)判斷直線AB與直線CD是否平行，并說明理由；(2)如圖2，點G是射線MD上一動點（不與點M，F(xiàn)重合），EH平分∠FEG交CD于點H，過點H作HN⊥EM于點N，設∠EHN＝α，∠EGF＝β．①當點G在點F的右側時，若β＝56°，求α的度數(shù)；②當點G在運動過程中，α和β之間有怎樣的數(shù)量關系？請寫出你的猜想，并加以證明．【答案】(1)AB∥CD，理由見詳解；(2)①；②當點G在點F的右側時，；當點G在點F的左側時，；理由見詳解【分析】（1）依據(jù)角平分線，可得∠AEF=∠FME，根據(jù)∠FEM=∠FME，可得∠AEF=∠FEM，進而得出AB∥CD；（2）①依據(jù)平行線的性質可得∠AEG=124°，再根據(jù)EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，即可得到∠MEH=∠AEG=62°，再根據(jù)HN⊥ME，即可得到Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°；②分兩種情況進行討論：當點G在點F的右側時，．當點G在點F的左側時，．【解析】（1）解：∵EM平分∠AEF，∴∠AEM=∠MEF，又∵∠FEM=∠FME，∴∠AEM=∠EMF，∴AB∥CD；（2）解：①如圖2，∵AB∥CD，β=56°，∴∠AEG=124°，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，∴∠MEH=∠AEG=62°，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-62°=28°，即α=28°；②分兩種情況討論：如圖2，當點G在點F的右側時，α=β．證明：∵AB∥CD，∴∠AEG=180°-β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，∴∠MEH=∠AEG=（180°β），又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH=90°（180°β）=β，即α=β；如圖3，當點G在點F的左側時，α=90°β．證明：∵AB∥CD，∴∠AEG=∠EGF=β，又∵EH平分∠FEG，EM平分∠AEF，∴∠HEF=∠FEG，∠MEF=∠AEF，∴∠MEH=∠MEF-∠HEF=（∠AEF-∠FEG）=∠AEG=β，又∵HN⊥ME，∴Rt△EHN中，∠EHN=90°-∠MEH，即α=90°β．【點睛】本題主要考查了平行線的性質與判定，角平分線的定義的運用，解決問題的關鍵是掌握：兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；利用角的和差關系進行推算．16．如圖已知直線AB射線CD，∠CEB＝100°，P是射線EB上一動點，過點P作PQEC交射線CD于點Q，連接CP．作∠PCF＝∠PCQ，交直線AB于點F，CG平分∠ECF．(1)若點P，F(xiàn)，G都在點E的右側．①求∠PCG的度數(shù)：②若∠EGC－∠ECG＝40°，求∠CPQ的度數(shù)．(2)在點P的運動過程中，當時，直接寫出∠CPQ的度數(shù)．【答案】(1)①40°；②60°(2)60°或15°【分析】（1）①依據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到∠PCG的度數(shù)；②依據(jù)平行線的性質以及角平分線的定義，即可得到∠ECG=∠GCF=20°，再根據(jù)PQCE，即可得出∠CPQ=∠ECP=60°；（2）設∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，則∠GCF=3x°-2x°=x°，分兩種情況討論：①當點G、F在點E的右側時，②當點G、F在點E的左側時，依據(jù)等量關系列方程求解即可．（1）解：①∵ABCD，∴∠CEB+∠ECQ=180°，∵∠CEB=100°，∴∠ECQ=80°，∵∠PCF=∠PCQ，CG平分∠ECF，∴∠PCF=∠QCF，∠ECG=∠FCG=∠FCE，∴∠PCG=∠PCF+∠FCG=∠QCF+∠FCE=∠ECQ=40°；②∵ABCD，∴∠QCG=∠EGC，∵∠QCG+∠ECG=∠ECQ=80°，∴∠EGC+∠ECG=80°，又∵∠EGC-∠ECG=40°，∴∠EGC=60°，∠ECG=20°，∴∠ECG=∠GCF=20°，∠PCF=∠PCQ=×（80°?40°）=20°，∵PQCE，∴∠CPQ=∠ECP=∠ECQ-∠PCQ=80°-20°=60°；（2）解：設∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，①當點G、F在點E的右側時，∵ABCD，∴∠QCG=∠EGC=3x°，∠QCF=∠EFC=2x°，則∠GCF=∠QCG-∠QCF=3x°-2x°=x°，∴∠PCF=∠PCQ=∠FCQ=∠EFC=x°，則∠ECG=∠GCF=∠PCF=∠PCD=x°，∵∠ECD=80，∴4x=80°，解得x=20，∴∠CPQ=∠ECP=3x°=60°；②當點G、F在點E的左側時，反向延長CD到H，∵∠EGC=3x°，∠EFC=2x°，∴∠GCH=∠EGC=3x°，∠FCH=∠EFC=2x°，∴∠ECG=∠GCF=∠GCH-∠FCH=x°，∴∠ECH=∠GCH+∠GCE=4x°，∴4x+80=180，解得x=25，∴∠FCQ=∠ECF+∠ECQ=25°×2+80°=130°，∴∠PCQ=∠FCQ=65°，∴∠CPQ=∠ECP=80°-65°=15°．故∠CPQ的度數(shù)為60°或15°．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，掌握兩直線平行，同旁內角互補；兩直線平行，內錯角相等是解題的關鍵．17．閱讀情境：如圖①，，，，求的度數(shù)．小明的思路是：過P作，通過平行線性質來求．(1)按小明的思路，易求得的度數(shù)為______，請寫出解題過程；問題遷移：(2)如圖②，，點P在射線OM上運動，記，，當點P在B、D兩點之間運動時，問與，之間有何數(shù)量關系？請說明理由．【答案】(1)110°，過程見解析(2)∠APC=α+β，理由見解析【分析】（1）過P作，通過平行線性質求∠APC即可；（2）過P作交AC于E，推出，根據(jù)平行線的性質得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．（1）解：過點P作，∵，∴，∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，∵∠PAB=130°，∠PCD=120°，∴∠APE=50°，∠CPE=60°，∴∠APC=∠APE+∠CPE=110°．故答案為：110．（2）∠APC=α+β，理由是：如圖2，過P作交AC于E，∵，∴，∴α=∠APE，β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β．【點睛】本題主要考查了平行線的性質和判定的應用，主要考查學生的推理能力，題目是一道比較典型的題目，解題時注意分類思想的運用．18．如圖1，AB∥CD，∠PAB＝125°，∠PCD＝115°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過P作PM∥AB，通過平行線性質來求∠APC．(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數(shù)為度；(2)如圖2，AB∥CD，點P在直線a上運動，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、β之間有何數(shù)量關系？請說明理由；(3)在（2）的條件下，如果點P在B、D兩點外側運動時（點P與點B、D兩點不重合），請直接寫出∠APC與α、β之間的數(shù)量關系【答案】(1)120(2)∠APC=∠α+∠β(3)當P在BD延長線時，∠APC=∠α-∠β；當P在DB延長線時，∠APC=∠β-∠α【分析】（1）過P作PM∥AB，構造同旁內角，通過平行線性質，可得∠APC的度數(shù)；（2）過P作PE∥AE交AC于E，推出AB∥PE∥CD，根據(jù)平行線的性質得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；（3）畫出圖形，分兩種情況：①點P在BD的延長線上，②點P在DB的延長線上，根據(jù)平行線的性質得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案．【解析】（1）解：如圖1，過P作PM∥AB，∴∠APM+∠PAB=180°，∴∠APM=180°-125°=55°，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠CPM+∠PCD=180°，∴∠CPM=180°-115°=65°，∴∠APC=55°+65°=120°；故答案為：120；（2）如圖2，∠APC=∠α+∠β，理由如下：過P作PE∥AB交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE+∠CPE=∠α+∠β；（3）如圖3，當P在BD延長線時，∠APC=∠α-∠β；理由：過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠APE-∠CPE=∠α-∠β；如圖4，當P在DB延長線時，∠APC=∠β-∠α；理由：過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠α=∠APE，∠β=∠CPE，∴∠APC=∠CPE-∠APE=∠β-∠α．【點睛】本題考查了平行線的性質的應用，主要考查學生的推理能力，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角以及同旁內角．19．如圖，已知和互為鄰補角，，將一個三角板的直角頂點放在點C處（注：，）．(1)如圖1，使三角板的短直角邊與射線重合，若，則_________．(2)如圖2，將圖1中的三角板繞點C順時針旋轉，試判斷此時與的位置關系，并說明理由．(3)如圖3，將圖1中的三角板繞點C順時針旋轉，使得，此時和滿足什么關系？請說明理由．(4)將圖1中的三角板繞點C以每秒5的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，恰好與直線重合，求t的值（用含的式子表示）．【答案】(1)(2)，理由見詳解(3)(4)或【分析】（1）根據(jù)題意可直接進行求解；（2）由旋轉的性質可得，然后問題可求解；（3）由選項的性質可得，然后可得，則有，進而分類討論求解即可；（4）由題意可分當射線CA與射線CF互為反向延長線和當射線CA與射線CF重合時，然后進行分類討論求解即可．(1)解：由三角板的短直角邊與射線重合，且，可得：；故答案為；(2)解：，理由如下：由旋轉的性質可得：，∴；(3)解：，理由如下：由旋轉可知：，∵，∴，∵，∴，∵，∴，即，若，則，即；若，則，即；∵，∴不符合題意；∴和滿足的關系是；(4)解：將圖1中的三角板繞點C以每秒5的速度沿順時針方向旋轉一周，在旋轉的過程中，第t秒時，恰好與直線重合，∴當射線CA與射線CF互為反向延長線，如圖，則，∴此時AC旋轉了，∴；當射線CA與射線CF重合時，如圖所示：則AC旋轉了，∴；綜上所述：AC恰好與直線CF重合時，t的值為或．【點睛】本題主要考查旋轉的性質、角的和差關系、平行線的判定及一元一次方程的應用，熟練掌握旋轉的性質、角的和差關系、平行線的判定及一元一次方程的應用是解題的關鍵．20．如圖①，已知直線//，且和，分別交于，兩點，和，分別交于，兩點，點在線段上，，，．(1)若，，則______．(2)試找出，，之間的數(shù)量關系，并說明理由．(3)應用（2）中的結論解答下面的問題：如圖②，點在的北偏東的方向上，在的北偏西的方向上，求的度數(shù)．(4)如果點在直線上且在線段外側運動（點和，兩點不重合），其他條件不變，試探究，，之間的關系．【答案】(1)∠3=55°(2)(3)(4)點在的延長線上時，；點在的延長線上時，【分析】（1）過點作，由平行線的性質可得，，即可得，代入計算可求解的度數(shù)；（2）過點作，由平行線的性質可得，，即可求解；（3）根據(jù)（2）的結論，再代入即可求解；（4）分兩種情況：①當點在點的上方時，②當點在點的下方時，利用平行線的性質可求解．（1）解：過點P作，∵，∴，∴，，∵，∴；（2）解：由（1）知．理由如下：過點P作，∵，∴，∴，，∵，∴；（3）解：由（2）可知；（4）解：當點在的延長線上時，如圖①所示，過作，交于，則．∵，∴．∴．∵，∴．故當點在的延長線上時，；當點在的延長線上時，如圖②所示，過作，交于，則，∵，∴．∴．∵，∴．故當點在的延長線上時，．【點睛】本題主要考查平行線的性質，方向角，掌握平行線的性質是解題的關鍵．21．綜合與實踐問題情境：在數(shù)學實踐課上，給出兩個大小形狀完全相同的含有，的直角三角板如圖1放置，在直線上，且三角板和三角板均可以點P為頂點運動．操作探究：(1)如圖2，若三角板保持不動，三角板繞點P逆時針旋轉一定角度，平分平分，求；(2)如圖3，在圖1基礎上，若三角板開始繞點P以每秒的速度逆時針旋轉，同時三角板繞點P以每秒的速度逆時針旋轉，當轉到與重合時，兩三角板都停止轉動．在旋轉過程中，當三條射線中的其中一條射線平分另兩條射線的夾角時，請求出旋轉的時間；拓廣探究：(3)如圖4，作三角板關于直線的對稱圖形．三角板保持不動，三角板繞點P逆時針旋轉，當時，請直接寫出旋轉角的度數(shù)．【答案】(1)30°(2)15秒或秒(3)30°或210°．【分析】（1）結合角平分線的定義，利用各角之間的關系可求解；（2）分三種情況討論，建立與時間t有關的方程求解即可；（3）分兩種情況，結合平行線的判定與性質討論求解即可．【解析】（1）∵平分∠∴設∠則∠∠∴∴∴∠（2）設t秒時，其中一條射線平分另兩條射線的夾角，∵當PA轉到與PM重合時，兩三角板都停止轉動，∴秒，分三種情況討論：①當PD平分∠BPC時，根據(jù)題意可列方程，解得，，符合題意；②當PC平分∠BPD時，根據(jù)題意可列方程,解得，，符合題意；③當PB平分∠CPD時，根據(jù)題意可列方程,解得，，不符合題意舍去，所以，旋轉時間為15秒或秒時，三條射線中的其中一條射線平分另兩條射線的夾角；（3）①如圖①，∵與關于PB對稱，∴若，則∴∴∴旋轉角度數(shù)為：；②如圖②，若，則∴∴旋轉角度數(shù)為：；綜上，當時，旋轉角的度數(shù)為30°或210°．【點睛】本題考查直角三角形的性質，角平分線的定義及角的和與差，圖形的旋轉.掌握圖形旋轉的特征，找出等量關系列出方程式是解答本題的關鍵三、三角板問題22．如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上．(1)填空：∠1＝°，∠2＝°；(2)現(xiàn)把三角板繞B點逆時針旋轉n°．如圖2，當0＜n＜90，且點C恰好落在DG邊上時，①請直接寫出∠2＝°（結果用含n的代數(shù)式表示）；②若∠1與∠2恰好有一個角是另一個角的倍，求n的值．(3)若把三角板繞B點順時針旋轉n°．當0＜n＜180時，是否會存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線平行？如果存在，請直接寫出所有n的值；如果不存在，請說明理由．【答案】(1)120，90(2)①②或(3)【分析】（1）根據(jù)鄰補角的定義和平行線的性質解答即可；（2）①根據(jù)兩直線平行，同旁內角互補求出∠BCG，然后根據(jù)周角等于360°計算即可得到∠2；②根據(jù)鄰補角的定義求出∠ABE，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得∠1＝∠ABE，再利用∠1與∠2恰好有一個角是另一個角的倍，分兩種情況列方程，計算可求解；（3）結合圖形，分AB、BC、AC三條邊與直尺平行討論求解．（1）解：∠1＝180°﹣60°＝120°，∠2＝90°；故答案為：120，90．（2）解：①如圖2，∵DG//EF，∴∠BCG＝180°﹣∠CBF＝180°﹣n°，∵∠ACB+∠BCG+∠2＝360°，∴∠2＝360°﹣∠ACB﹣∠BCG＝360°﹣90°﹣（180°﹣n°）＝（90+n）°；故答案為：（90+n）．②∵∠ABC＝60°，∴∠ABE＝180°﹣60°﹣n°＝120°﹣n°，∵DG//EF∴∠1＝∠ABE＝120°﹣n°，當∠1＝∠2時，120﹣n＝（90+n），解得n＝；當∠1＝∠2時，（120﹣n）＝90+n，解得n＝；綜上所述，n值為或．（3）解：當n＝60°時，AB//DE；當n＝90°時，BC//DE；當n＝150°時，AC//DG；綜上所述，當n＝60°，90°，150°時，會存在三角板某一邊所在的直線與直尺（有四條邊）某一邊所在的直線平行．【點睛】本題主要考查了領補角、直角的性質，平行線的性質、旋轉的性質等知識點，靈活運用相關性質成為解答本題的關鍵．23．如圖1，將一副三角板中的兩個直角頂點疊放在一起，其中，，．(1)觀察猜想，∠BCD與∠ACE的數(shù)量關系是________；∠BCE與∠ACD的數(shù)量關系是________；(2)類比探究，若按住三角板不動，順時針繞直角頂點轉動三角形，試探究當∠ACD等于多少度時CE//AB，畫出圖形并簡要說明理由；(3)拓展應用，若∠BCE＝3∠ACD，求∠ACD的度數(shù)；并直接寫出此時DE與AC的位置關系．【答案】(1)，(2)當或時，CE//AB(3)，或AC//DE【分析】（1）由三角板的特點可知，即可求出．再根據(jù)，，即可求出；（2）分類討論結合平行線的性質即可求解；（3）由（1），即可求出，再分類討論結合平行線的判定和性質即可得出DE與AC的位置關系．（1）∵，∴，即．∵，，∴．故答案為：，；（2）分類討論：①如圖1所示，∵CE//AB，∴，∴；②如圖2所示，∵CE//AB，∴，∴．綜上可知當或時，CE//AB；（3）根據(jù)（1）可知，∴，∴．分類討論：①如圖3所示，∵，∴，∴BC//DE．∵，即，∴；②如圖4所示，∵，∴，∴AC//DE．【點睛】本題考查三角板中的角度計算，平行線的判定和性質．利用數(shù)形結合和分類討論的思想是解題關鍵．24．如圖，一副三角板的兩個直角頂點重合在一起，交叉擺放．(1)如圖1，若∠CBD=35°，則∠ABE=______；(2)如圖1，若∠CBD：∠ABE=2：7，求∠CBD的度數(shù)；(3)如圖2，若∠CBD=α，射線BM，射線BN分別是∠ABE和∠CBE的平分線，試判斷當∠CBD的度數(shù)改變時，∠MBN的度數(shù)是否隨之改變．若改變，請說明理由；若不改變，求它的度數(shù)；(4)如圖1，若保持三角板ABC不動，繞直角頂點B順時針轉動三角板DBE，當∠CBD的度數(shù)為______時，BE∥AC．【答案】(1)145(2)∠CBD=40°(3)不變，(4)60°或120°【分析】（1）根據(jù)進行計算即可．（2）由比例關系設∠CBD=2x，∠ABE=7x，再利用計算即可．（3）用（1）的方法可得，根據(jù)角平分線的性質求解即可．（4）旋轉過程中有兩種情況，畫出圖分別進行求解即可．（1）解：∠ABE＝∠ABC＋∠DBE?∠CBD＝90°＋90°?35°＝145°；故答案為：145．（2）∵∠CBD∶∠ABE=2∶7，設∠CBD=2x，則∠ABE=7x，∵∠ABC+∠DBE=90°＋90°=180°，∴∠ABC+∠CBE+∠CBD=180°，∴∠ABE+∠CBD=180°，∴7x+2x=180°，∴x=20°，∴∠CBD=2x=40°；（3）不變，理由如下：∵∴∠ABE＝∠ABC＋∠DBE?∠CBD＝90°＋90°?α＝180°-α；∵BM平分，∴，∵BN平分，∴，∴；（4）有如下兩種情況：，，，，，，，，．或者．【點睛】本題考查了特殊三角形的性質，余角定義和性質，角平分線性質，平行線性質；靈活運用角的和差關系進行計算是關鍵．25．如圖1，把一塊含30°的直角三角板ABC的BC邊放置于長方形直尺DEFG的EF邊上．（1）填空：1＝_____°，2＝_____°；（2）現(xiàn)把三角板繞B點逆時針旋轉n°．如圖2，當0＜n＜90，且點C恰好落在DG邊上時，①請直接寫出2＝_____°（結果用含n的代數(shù)式表示）②若1與2恰好有一個角是另一個角的倍，求