高一數學教材同步知識點專題詳解(蘇教版必修第一冊)第2章常用邏輯用語章末小結(原卷版+解析)

第2章常用邏輯用語章末小結TOC\o"1-4"\h\z\u第2章《常用邏輯用語》章末小結 1知識框架 1一、基礎知識點 1知識點1充分條件與必要條件的判斷 2知識點2充分、必要、充要條件的應用 3知識點3全稱量詞命題與存在量詞命題 4二、活學活用培優(yōu)訓練 11一．基礎知識點知識點1充分條件與必要條件的判斷：充分條件、必要條件是高考對邏輯部分的主要考查點，有些題目比較簡單，直接根據定義即可判斷．有些題目與不等式集合等內容結合可借助數軸轉化為集合間的關系解決．采用數形結合的方法，可使問題直觀化、形象化．例1設p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，則p是q成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件例2“a＝0”是“二次函數y＝x2＋ax(x∈R)的圖象關于y軸對稱”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)條件．知識點2充分、必要、充要條件的應用：充分、必要及充要條件的應用主要體現在以下兩類．一類是已知兩個命題的關系求參數的取值范圍，另一類是與充要條件相關的證明題．這部分內容也是考查的重點，常用不等式集合、方程交匯命題．對于第一類問題常轉化為集合間的關系求解，但要注意端點值能否取到，對于證明題要從充分性和必要性兩方面說明．例1已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}．(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數a的取值范圍；(2)是否存在實數a，使“x∈A”是“x∈B”的充要條件？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．例2求證：a2>b2的一個充分不必要條件是a>|b|.知識點3全稱量詞命題與存在量詞命題：全稱量詞命題和存在量詞命題主要包括這兩類命題的判定與否定．對于判定類的題目可直接根據定義判斷，對于否定類的要否定量詞和結論．本知識點常用方程的解、不等式、集合等交匯命題，難度為基礎題，主要考查邏輯推理能力和綜合應用能力．例1命題p：“?x∈R，x2>0”，則()A．p是假命題；p：?x∈R，x2<0B．p是假命題；p：?x∈R，x2≤0C．p是真命題；p：?x∈R，x2<0D．p是真命題；p：?x∈R，x2≤0例2已知命題“?x∈R，使4x2＋x＋eq\f(1,4)(a－2)≤0”是假命題，求實數a的取值范圍．二．活學活用培優(yōu)訓練一、單選題1．命題“任意，”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．2．已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．設，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要4．命題：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，5．下列結論中正確的是（）A．?n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命題B．?n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題C．?n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題D．?n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命題6．命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．二、多選題7．下列說法中正確的有（

）A．“”是“”成立的充分不必要條件B．命題：，均有，則的否定：，使得C．設是兩個數集，則“”是“”的充要條件D．設是兩個數集，若，則，8．已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件.現有下列命題：①是的充要條件；②是的充分條件而不是必要條件；③是的必要條件而不是充分條件；④的必要條件而不是充分條件；則正確命題序號是（

）A．① B．② C．③ D．④9．命題“?1≤x≤3，－a≤0”是真命題的一個充分不必要條件是（

）A．a≥9 B．a≥11 C．a≥10 D．a≤10三、填空題10．已知命題p：?x∈R，x2+x﹣a＞0為假命題，則實數a的取值范圍是__.11．已知命題p：，命題q：，使得成立，若p是真命題，q是假命題，則實數a的取值范圍為_____.12．已知集合，或，若“”是“”的必要條件，則實數a的取值范圍是___________．四、解答題13．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，請寫出它們的否定，并判斷其真假：(1)p：對任意的x∈R，都成立；(2)q：?x∈R，使．14．一學校開展小組合作學習模式，高二某班某組王小一同學給組內王小二同學出題如下：若“，”是假命題，求m的取值范圍．王小二略加思索，反手給了王小一一道題：若“，”是真命題，求m的取值范圍．你認為，兩位同學題中m的取值范圍是否一致？并說明理由．15．設全集，集合，非空集合，其中．(1)當時，求；(2)若命題“，”是真命題，求實數a的取值范圍．16．已知集合，，.(1)若，求集合；(2)在，兩個集合中任選一個，補充在下面問題中，，___________，求使p是q的必要不充分條件的的取值范圍.17．設：，：.(1)若，且、均為真命題，求滿足條件的實數構成的集合；(2)若是的充分條件，求實數的取值范圍.第2章常用邏輯用語章末小結TOC\o"1-4"\h\z\u第2章《常用邏輯用語》章末小結 1知識框架 1一、基礎知識點 1知識點1充分條件與必要條件的判斷 3知識點2充分、必要、充要條件的應用 6知識點3全稱量詞命題與存在量詞命題 10二、活學活用培優(yōu)訓練 42一．基礎知識點知識點1充分條件與必要條件的判斷：充分條件、必要條件是高考對邏輯部分的主要考查點，有些題目比較簡單，直接根據定義即可判斷．有些題目與不等式集合等內容結合可借助數軸轉化為集合間的關系解決．采用數形結合的方法，可使問題直觀化、形象化．例1設p：1＜x＜2，q：|x－1|＜1，則p是q成立的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件例2“a＝0”是“二次函數y＝x2＋ax(x∈R)的圖象關于y軸對稱”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)條件．【解答】例1A例2充要[例1當1＜x＜2時，0＜x－1＜1，所以|x－1|＜1，即p?q；但由|x－1|＜1，得0＜x＜2，所以qp.例2當a＝0時，二次函數y＝x2＋ax(x∈R)即為f(x)＝x2，關于y軸對稱；二次函數y＝x2＋ax(x∈R)的對稱軸為x＝－eq\f(a,2)，其關于y軸對稱，則－eq\f(a,2)＝0，解得a＝0.綜上可知，“a＝0”是“二次函數y＝x2＋ax(x∈R)的圖象關于y軸對稱”的充要條件．]知識點2充分、必要、充要條件的應用：充分、必要及充要條件的應用主要體現在以下兩類．一類是已知兩個命題的關系求參數的取值范圍，另一類是與充要條件相關的證明題．這部分內容也是考查的重點，常用不等式集合、方程交匯命題．對于第一類問題常轉化為集合間的關系求解，但要注意端點值能否取到，對于證明題要從充分性和必要性兩方面說明．例1已知非空集合A＝{x|2a－3<x<3a＋1}，集合B＝{x|－5<x<4}．(1)若“x∈A”是“x∈B”的充分條件，求實數a的取值范圍；(2)是否存在實數a，使“x∈A”是“x∈B”的充要條件？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．[解](1)因為“x∈A”是“x∈B”的充分條件，所以A?B，又A≠?，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－3≥－5，,3a＋1≤4，,2a－3<3a＋1，))解得－1≤a≤1，所以a∈[－1,1]．(2)若存在實數a，使“x∈A”是“x∈B”的充要條件，即A＝B，則必有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a－3＝－5，,3a＋1＝4，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,a＝1，))則方程組無解．故不存在實數a，使“x∈A”是“x∈B”的充要條件．例2求證：a2>b2的一個充分不必要條件是a>|b|.[證明]充分性：因為a>|b|，所以a>0，即|a|>|b|≥0，所以a2>b2，所以a>|b|是a2>b2的充分條件，因為a＝－2，b＝1時a2>b2，但a<|b|，所以a>|b|不是a2>b2的必要條件．綜上，a2>b2的一個充分不必要條件是a>|b|.知識點3全稱量詞命題與存在量詞命題：全稱量詞命題和存在量詞命題主要包括這兩類命題的判定與否定．對于判定類的題目可直接根據定義判斷，對于否定類的要否定量詞和結論．本知識點常用方程的解、不等式、集合等交匯命題，難度為基礎題，主要考查邏輯推理能力和綜合應用能力．例1命題p：“?x∈R，x2>0”，則()A．p是假命題；p：?x∈R，x2<0B．p是假命題；p：?x∈R，x2≤0C．p是真命題；p：?x∈R，x2<0D．p是真命題；p：?x∈R，x2≤0【解答】由于02>0不成立，故“?x∈R，x2>0”為假命題，根據全稱量詞命題的否定是存在量詞命題可知，“?x∈R，x2>0”的否定是“?x∈R，x2≤0”，故選B.例2已知命題“?x∈R，使4x2＋x＋eq\f(1,4)(a－2)≤0”是假命題，求實數a的取值范圍．[解]∵命題“?x∈R，使4x2＋x＋eq\f(1,4)(a－2)≤0”是假命題．∴命題“?x∈R，使4x2＋x＋eq\f(1,4)(a－2)>0”是真命題．即判別式Δ＝12－4×4×eq\f(1,4)(a－2)<0.即a>eq\f(9,4).二．活學活用培優(yōu)訓練一、單選題1．命題“任意，”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出命題為真時等價條件（充要條件），然后根據定義判斷．【詳解】任意，，即恒成立，所以，只有A是充分不必要條件．故選：A．2．已知，，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據充分必要條件的定義判斷．【詳解】滿足，但無意義，不成立，不充分，反之，滿足，但無意義，即不成立，因此不必要，從而應為既不充分也不必要條件故選：D．3．設，則“”是“”的（

）條件A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要【答案】B【分析】根據充分條件、必要條件的定義判斷即可求解.【詳解】解：因為，故由可得或，由，可得，故“”是“”必要不充分條件.故選：B.4．命題：“，”的否定是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根據命題的否定的定義判斷．【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，命題：“，”的否定是：，．故選：B5．下列結論中正確的是（）A．?n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是真命題B．?n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題C．?n∈N*，2n2+5n+2不能被2整除是真命題D．?n∈N*，2n2+5n+2能被2整除是假命題【答案】C【分析】使用特值法可以解決，舉例說明n＝1時2n2+5n+2不能被2整除，n＝2時2n2+5n+2能被2整除，從而得出結論．【詳解】當n＝1時，2n2+5n+2不能被2整除，當n＝2時，2n2+5n+2能被2整除，所以A、B、D錯誤，C項正確．故選：C．6．命題“”為真命題的一個充分不必要條件是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據命題是真命題，由，恒成立求解.【詳解】因為命題“，”是真命題，所以，恒成立，所以，結合選項，命題是真命題的一個充分不必要條件是，故選：B二、多選題7．下列說法中正確的有（

）A．“”是“”成立的充分不必要條件B．命題：，均有，則的否定：，使得C．設是兩個數集，則“”是“”的充要條件D．設是兩個數集，若，則，【答案】ACD【分析】舉反例可判斷A選項；由全稱例題的否定是特稱命題可判斷B選項；由集合間的交集運算和集合間的關系可判斷C選項；由集合非空和集合與元素間的關系可判斷D選項.【詳解】解：對于A，當時，能推出，而由不能推出，如，而，所以“”是“”成立的充分不必要條件，故A正確；對于B，命題：，均有，則命題的否定：，使得，故B不正確；對于C，是兩個數集，則由能推出，反之，由能推出，所以“”是“”的充要條件，故C正確；對于D，是兩個數集，若，即集合A、B存在相同的元素，則，，故D正確，故選：ACD.8．已知是的充分條件而不是必要條件，是的充分條件，是的必要條件，是的必要條件.現有下列命題：①是的充要條件；②是的充分條件而不是必要條件；③是的必要條件而不是充分條件；④的必要條件而不是充分條件；則正確命題序號是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】ABD【分析】根據題設有，但?，即知否定命題的推出關系，判斷各項的正誤.【詳解】由題意，，但?，故①②正確，③錯誤；所以，根據等價關系知：且?，故④正確.故選：ABD9．命題“?1≤x≤3，－a≤0”是真命題的一個充分不必要條件是（

）A．a≥9 B．a≥11 C．a≥10 D．a≤10【答案】BC【分析】由命題為真求出a的范圍，然后由集合的包含關系可得.【詳解】由得，因為命題為真，所以，記為，因為要求命題為真的充分不必要條件，所以所選答案中a的范圍應為集合A的真子集.故選：BC三、填空題10．已知命題p：?x∈R，x2+x﹣a＞0為假命題，則實數a的取值范圍是__.【答案】a【分析】根據命題p為假命題，則它的否定￢p是真命題，利用判別式≥0求出實數a的取值范圍.【詳解】解：因為命題p：?x∈R，x2+x﹣a＞0為假命題，所以它的否定￢p：?x∈R，x2+x﹣a≤0為真命題，所以＝12﹣4×（﹣a）≥0，解得a.故答案為：a11．已知命題p：，命題q：，使得成立，若p是真命題，q是假命題，則實數a的取值范圍為_____.【答案】【分析】根據p是真命題可得，再分析當q是真命題時，進而求得q是假命題時a的取值范圍即可【詳解】命題p：恒成立，若p是真命題，則：，命題q：，使得成立，若命題q為真命題，則.所以命題q是假命題時，，綜上，參數a的取值范圍為：，即故答案為：12．已知集合，或，若“”是“”的必要條件，則實數a的取值范圍是___________．【答案】【分析】根據充分條件和必要條件的概念可得集合A與B的包含關系，畫出數軸即可得不等式組從而求出a的范圍．【詳解】∵“”是”的必要條件，∴，當時，，則；當時，根據題意作出如圖所示的數軸，由圖可知或，解得或，綜上可得，實數a的取值范圍為．四、解答題13．判斷下列命題是全稱量詞命題還是存在量詞命題，請寫出它們的否定，并判斷其真假：(1)p：對任意的x∈R，都成立；(2)q：?x∈R，使．【答案】(1)答案見解析(2)答案見解析【分析】判斷命題是特稱命題還是全稱命題，然后利用否定形式寫出命題的否定，進而判斷真假即可．(1)由于命題中含有全稱量詞“任意的”，因此，該命題是全稱量詞命題，又因為“任意的”的否定為“存在一個”，所以其否定是：存在一個x∈R，使成立，即“?x∈R，使”，因為，所以方程無實數解，此命題為假命題．(2)由于“?x∈R”表示存在一個實數x，即命題中含有存在量詞“存在一個”，因此，該命題是存在量詞命題．又因為“存在一個”的否定為“任意一個”，所以其否定是：對任意一個實數x，都有成立．即“?x∈R，有”，因為，所以對?x∈R，總成立，此命題是真命題．14．一學校開展小組合作學習模式，高二某班某組王小一同學給組內王小二同學出題如下：若“，”是假命題，求m的取值范圍．王小二略加思索，反手給了王小一一道題：若“，”是真命題，求m的取值范圍．你認為，兩位同學題中m的取值范圍是否一致？并說明理由．【答案】兩位同學題中m的取值范圍是一致的，理由見解析【分析】由全稱、特稱命題及其否定的真假