平面與平面垂直的性質(zhì)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)

8.6空間直線、平面的垂直

8.6.3平面與平面垂直第2課時(shí)

平面與平面垂直的性質(zhì)引入

上一節(jié)課我們?cè)诙x了二面角的基礎(chǔ)上，給出平面與平面垂直的定義，并學(xué)習(xí)了平面與平面垂直的判定定理.

你還能想平面與平面垂直的判定定理是怎樣的嗎？

如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直.

即簡(jiǎn)述：(2)作用：判定平面與平面垂直直.

將平面與平面的垂直的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直線與平面垂直的問(wèn)題.(1)內(nèi)容：

接下來(lái)，我們自然就應(yīng)該研究平面與平面垂直的性質(zhì)，那么你認(rèn)為到底要研究什么樣的問(wèn)題呢？

以兩個(gè)平面垂直為條件，研究一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面及這個(gè)平面內(nèi)直線的位置關(guān)系，重點(diǎn)是平行和垂直情況.知識(shí)探究(一)

問(wèn)題1：如圖，設(shè)α⊥β，α

∩

β=

a，現(xiàn)在

β

內(nèi)任意畫(huà)一條直線

b

(但不同于a)，則直線

b

與

a

是什么位置關(guān)系？

b

與平面

α

是呢？為什么？直線

b

與

a

有兩種位置關(guān)系：平行或相交①當(dāng)

b//a

時(shí),b//α.②當(dāng)

b

與

a

相交時(shí),b與

α

也相交.

思考(1)：由于交線

a

是聯(lián)系平面α

和β

的紐帶，因此我們要特別重視這條直線的作用.那么當(dāng)當(dāng)

b

⊥

a

時(shí)，b

與

α

又有怎樣的位置關(guān)系？你能證明嗎？

b

⊥

α.

在

α

內(nèi)過(guò)點(diǎn)

A作直線

c⊥a(如圖)，則

∠BAC為二面角

B-a-C的平面角.∵

α

⊥

β，

∴∠BAC=90°,即

b⊥

c又∵

b⊥

a，且a?α，

c?α，a∩

c=A，∴

b⊥

α.

證明：

思考(2)：我們把以上這個(gè)結(jié)論叫“平面與平面垂直的性質(zhì)定理”，你能用三種語(yǔ)言來(lái)敘述嗎？面面垂直的性質(zhì)定理(1)內(nèi)容：

兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一條直線垂直于這兩個(gè)平面的交線，那么這條直線與另一個(gè)平面垂直．即簡(jiǎn)述：(2)作用：思考(3)：這個(gè)定理的本質(zhì)是什么？

兩個(gè)平面垂直時(shí)，在一個(gè)平面一定存在直線垂直于另一個(gè)平面，即平面與平面垂直中蘊(yùn)含著直線與平面垂直.利用面面垂直這個(gè)條件找出平面的垂線返回練習(xí)知識(shí)探究(二)

問(wèn)題2：

剛才我們研究了兩個(gè)平面垂直時(shí)，一個(gè)平面內(nèi)地直線與另一個(gè)平面的關(guān)系，接下來(lái)我們自然就應(yīng)該考慮：如果過(guò)一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，那么這條垂線與這個(gè)平面的關(guān)系.

設(shè)平面α⊥平面

β，點(diǎn)P

在平面α

內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P

作平面β

的垂線

a，則直線

a

與平面α具有什么位置關(guān)系？∴直線a與直線b重合，即

a?α．設(shè)α∩β＝c．過(guò)點(diǎn)P在平面α內(nèi)作直線

b⊥c．由平面與平面垂直的性質(zhì)定理可知，

b⊥β．∵過(guò)一點(diǎn)有且僅有一條直線與平面β垂直，結(jié)論

當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，若過(guò)一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，則這條垂線必在這個(gè)平面內(nèi).例析

例1.已知平面

α⊥平面

β，不在平面

α內(nèi)的直線

a⊥β，判斷

a與α的位置關(guān)系．

∵α⊥β，且b?α

∴a//α，在α

內(nèi)作垂直于α

與β

的交線的直線

b．又

a⊥

β，又

a?α

,b?

α

即直線a

與平面α平行.∴b⊥β.解：∴

a//b.

思考(1)：反過(guò)來(lái)，你認(rèn)為成立嗎?即若平面

α⊥平面

β，直線

a//α

，那么垂直于

β嗎?不一定

過(guò)a作平面與α

相交于直線b,則

b//a,

但b不一定垂直α與β的交線，即a也不一定垂直于交線，從而不一定垂直平面β.練習(xí)1.判斷下列結(jié)論的正誤√√×√×√例2.如圖所示，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAB．

PABC

思考(1)：要證明直線垂直平面，我們有哪一些思路?

一是利用線面垂直的判定定理：

即證明BC垂直于平面PAB中的兩條相交直線.

二是利用線面垂直的性質(zhì)定理

即一方面證明BC所在的平面垂直平面PAB.另一方面證明BC垂直于這兩平面的交線思考(2)：對(duì)于本題，你認(rèn)為哪一種思路簡(jiǎn)單一些?

思路一相對(duì)來(lái)說(shuō)簡(jiǎn)單一些

因?yàn)樵谒悸?中，雖然已知了“平面PAB⊥平面PBC”，但要證明即證明BC⊥PB的并不容易.事實(shí)上，若能輕易證明BC⊥PB，由“PA⊥平面ABC”可得出

BC⊥PA便可直接證明”BC⊥平面

PAB”.例2.如圖所示，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC．求證：BC⊥平面PAB．

PABC

思考(3)：結(jié)合“平面PAB

⊥平面PBC”，說(shuō)說(shuō)如何才能得出BC垂直于平面PAB內(nèi)的另外一條直線?

可在平面PAB內(nèi)作交線的垂線AE，則

AE⊥

平面PBC

得，從而B(niǎo)C⊥AE.證明：

在平面PAB內(nèi)作AE⊥PB于E例析練習(xí)證明：∵AC⊥AB，CC1⊥AB，且

AC、CC1?平面ACC1A1，AC∩CC1=C∵AC=CC1∴AB⊥平面AA1C1C.∴平面ABC1⊥平面AA1C1C，且交線是AC1∴四邊形AA1C1C為菱形，又∵AB?平面ABC1即A1C⊥AC1.又∵A1C?平面AA1C1C∴A1C⊥平面ABC1證明：∵平面PAB⊥平面ABCD，

平面PAB∩平面ABCD=AB又∵BC?面PBC而AB⊥BC，BC?面ABCD∴BC⊥面PAB∴平面PBC⊥平面PAB2.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAB是等邊三角形，且面PAB⊥面ABCD．

求證：平面PBC⊥平面PAB課堂小結(jié)1.平面與平面垂直的性質(zhì)定理是怎樣的？2.平面與平面垂直還有哪一些性質(zhì)，我們可以從哪一些元素及其關(guān)系去發(fā)現(xiàn)值得研究的問(wèn)題？

研究平面與平面垂直的性質(zhì)時(shí)，我們可以兩個(gè)平面垂直為前提條件，研究一個(gè)平面內(nèi)的元素，如點(diǎn)、線與另一個(gè)平的相互關(guān)系，在此基礎(chǔ)上再拓展到不在平面內(nèi)的其它空間元素。

(1)當(dāng)兩個(gè)平面垂直時(shí)，若過(guò)一個(gè)平面內(nèi)的點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，則這條垂線必在這個(gè)平面內(nèi).3.空間中的線面垂直關(guān)系如何轉(zhuǎn)化？線線垂直線面垂直面面垂直作業(yè)

1.如圖

,

α⊥β

,

α∩

β

=l，AB?α，AB⊥l，BC?β，DE

?β，BC⊥DE.

求證：AC⊥DE.ABCDE

2.如圖，平面AED

⊥平面ABCD，△AED是等邊三角形，四邊形ABCD是矩形.(1)求證：EA⊥CD