清華大學(xué)2023年強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)試卷試題真題（含答案詳解）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2023年清華大學(xué)強(qiáng)基計(jì)劃數(shù)學(xué)測試題1．已知，求的值．2．已知，求的值．3．已知，求的可能取值．4．已知，且整除，則（

）A．所有的和為14.5 B．所有的和為15.5C．可能4組取值 D．可能5組取值5．已知2023可以拆分為幾個(gè)正整數(shù)之和，所有整數(shù)中的最大值和最小值相差不超過1有多少種可能（

）A．2024 B．2023 C．2022 D．20216．已知恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．7．已知的虛部可能為（

）A． B． C．1 D．08．已知，求．9．已知是完全平方數(shù)，則（

）A．的取值有無數(shù)個(gè) B．的最小值小于15C．為奇數(shù) D．10．已知，過點(diǎn)的直線交拋物線于兩點(diǎn)，過兩點(diǎn)作拋物線的切線交與點(diǎn)P，求的最小值和P的軌跡．11．設(shè)正數(shù)滿足，求的最小值．12．得分去掉一個(gè)最高分30，一個(gè)最低分0，剩下個(gè)得分平均數(shù)為10，方差為1，則求不去掉時(shí)的平均分和方差分別為多少？13．有六面旗，兩面藍(lán)，兩面紅，兩面黃，除顏色外完全相同，從這些旗子中去除若干面（至少一面），從上到下懸掛在同一個(gè)旗桿上，可以組成一個(gè)信號(hào)序列，則不同的信號(hào)序列共有多少種？14．已知對任意的恒有解，求的最小值．15．11個(gè)黑球，9個(gè)紅球，依次取出，剩下全是一種顏色就結(jié)束，求最后只剩下紅球的概率？16．三個(gè)復(fù)數(shù)的模分別為，且這三個(gè)復(fù)數(shù)實(shí)部虛部均為整數(shù)，則這三個(gè)復(fù)數(shù)的積有多少個(gè)可能值？17．橢圓為左焦點(diǎn)，為橢圓上兩點(diǎn)且，求直線的斜率的范圍．18．?dāng)?shù)列滿足，求使該數(shù)列有極限的的最大值．19．有幾個(gè)正實(shí)數(shù)解？20．復(fù)數(shù)，則以下正確的是（

）A．（之類） B．（之類） C．（之類） D．（之類）21．已知點(diǎn)，過點(diǎn)的直線上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為．22．兩個(gè)人甲和乙，數(shù)字為2～30之間的共29個(gè)自然數(shù)，現(xiàn)找出兩個(gè)不同的數(shù)，把其和告訴甲，把其積告訴乙．甲說：“雖然我不知道是哪兩個(gè)數(shù)，但是肯定乙也不知道”，再問乙，乙說：“本來我不知道，但是聽到甲說這句話，現(xiàn)在我知道了”甲聽到乙說他知道了，然后就說：“現(xiàn)在我也知道了”，那么這兩個(gè)數(shù)是多少呢？23．都為質(zhì)數(shù)，整除整除，有多少組和．24．正整數(shù)滿足：，則的可能值有（

）A．0個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．無窮多個(gè)答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．【詳解】解：由題意可知此時(shí)2．【分析】設(shè)，則可用表示，利用放縮法和換元法可求模的最小值.【詳解】解：設(shè)，此時(shí)又于是令，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍?hào)成立，故，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)中模的最值的計(jì)算，可以借助復(fù)數(shù)的三角形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，注意在模的范圍的討論中，可結(jié)合多變量代數(shù)式的特征合理放縮.3．10或【詳解】解：由題意可知①同理可得②①+②可得則或4．B【詳解】解：由題意可知整理可得則情形一：當(dāng)時(shí)，此時(shí)情形二：當(dāng)時(shí)，此時(shí)情形三：當(dāng)時(shí)，此時(shí)于是，的可能值的和為15.5故正確答案選B5．B【分析】就是否整除2023分類討論，每一種情況均可以利用調(diào)整法來處理，故可得正確的選項(xiàng).【詳解】解：假設(shè)2023可以拆分成個(gè)正整數(shù)之和，現(xiàn)在分兩類討論：情形一：當(dāng)整除2023時(shí)，此時(shí)只有一種分拆，即這個(gè)數(shù)每一個(gè)都是，原因如下：如果把其中一個(gè)數(shù)拿出一個(gè)，這個(gè)必定會(huì)放進(jìn)某些中，至少使得某個(gè)數(shù)大于等于，此時(shí)這兩個(gè)數(shù)之差為，不滿足題意；情形二：當(dāng)無法整除2023時(shí)，設(shè).此時(shí)也只有一種分拆，即個(gè)，個(gè)，原因如下：（1）當(dāng)在個(gè)各拿一個(gè)1時(shí)，為了滿足所有整數(shù)中的最大值和最小值相差不超過1只能將這這個(gè)數(shù)均分成個(gè)1使得個(gè)變成，此時(shí)還是個(gè)，個(gè)（2）當(dāng)在個(gè)中拿出個(gè)1時(shí)，此時(shí)一定有某兩個(gè)數(shù)之差出現(xiàn)，不滿足題意綜上所述：可以取遍1到2023之間的所有整數(shù)，即共有2023種可能，故選：B6．【分析】設(shè)方程的兩個(gè)根分別為，根據(jù)可得方程必有一個(gè)正根，再根據(jù)韋達(dá)定理可得正根與的關(guān)系，從而可求的取值范圍.【詳解】由題意可知，則，又，則，此時(shí)又則，故的取值范圍為.7．ABD【詳解】解：設(shè)此時(shí)則情形一：當(dāng)時(shí)，此時(shí)（矛盾），不滿足題意情形二：當(dāng)時(shí)，此時(shí)，當(dāng)，滿足題意情形三：當(dāng)時(shí)，此時(shí)則故正確答案選ABD8．【詳解】解：由題意可知9．ABD【分析】根據(jù)特例可判斷BC的正誤，根據(jù)同余的性質(zhì)可判斷D的正誤，根據(jù)二項(xiàng)式定理及特例可判斷A的正誤.【詳解】由題意可知，當(dāng)時(shí)，，故B正確；當(dāng)時(shí)，，故C錯(cuò)誤.又可整理可得，對于任意整數(shù)，，故，故，而對任意的整數(shù)，設(shè)則，而，所以，故，若，則，整理得到：，故為3的倍數(shù)，設(shè)，則，故，但，故，而，故不成立，所以即，故D成立.取，，下證：均為正整數(shù).證明：由二項(xiàng)式定理可得，，所以，因?yàn)?，故，故，故?的倍數(shù)，故為4的倍數(shù)，故為正整數(shù).又，故為正整數(shù)即為正整數(shù).下面回到問題本身，此時(shí)，由的任意性可得有無窮多個(gè)，故選：ABD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于二次不定方程的整數(shù)的處理測量有如下幾種：（1）利用同余確定滿足方程的解的特征；（2）利用二項(xiàng)式定理判斷方程的解的性質(zhì)；（3）利用因式分解確定方程解的特征.10．最小值為4，點(diǎn)的軌跡方程為【詳解】設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理可得由韋達(dá)定理可知設(shè)切線AP方程為設(shè)切線BP方程為聯(lián)立解得；則P的軌跡方程為此時(shí)當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立11．【分析】設(shè)，利用數(shù)式變形可求.【詳解】設(shè)，則，其中，故且，故，而，故，結(jié)合，所以，，故或，若，則，故，若，則故即其最小值為1，12．答案解析懸賞征集中,歡迎大牛老師們踴躍投稿!【詳解】答案解析懸賞征集中，歡迎大牛老師們踴躍投稿！聯(lián)系人QQ:285327969813．【分析】先就信號(hào)序列中顏色的種數(shù)分類討論，再就旗子的個(gè)數(shù)分類計(jì)算即可.【詳解】如果信號(hào)序列中有一種顏色，則有不同的信號(hào)序列種數(shù)為，如果信號(hào)序列中有兩種顏色，（1）若有兩面旗子，則有不同的信號(hào)序列種數(shù)為，（2）若有三面旗子，則有不同的信號(hào)序列種數(shù)為，（3）若有四面旗子，則有不同的信號(hào)序列種數(shù)為，故信號(hào)序列中有兩種顏色時(shí)有不同的信號(hào)序列個(gè)數(shù)為，如果信號(hào)序列中有三種顏色，（1）若有三面旗子，則有不同的信號(hào)序列種數(shù)為，（2）若有四面旗子，則有不同的信號(hào)序列種數(shù)為，（3）若有五面旗子，則有不同的信號(hào)序列種數(shù)為，故信號(hào)序列中有三種顏色是不同的信號(hào)序列個(gè)數(shù)為，故共有不同的信號(hào)序列的種數(shù)為種.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題中使用的排列組合的計(jì)數(shù)策略為：（1）先選后排；（2）分類與分步的合理使用；（3）有限制元素采取“優(yōu)先法”；14．【分析】利用參變分離結(jié)合導(dǎo)數(shù)刻畫函數(shù)的值域后可求的最小值．【詳解】由題設(shè)可得無論取何值，方程總有解.若，則取，此時(shí)；若，此時(shí)，若，則，與矛盾，故的解不為零，故等價(jià)于，設(shè)，其中，則，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在，為減函數(shù)，而，故在上，有，故在為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，時(shí)（從的左邊趨于零），，故當(dāng)時(shí)的值域?yàn)?，故此時(shí).當(dāng)時(shí)，必有解，故此時(shí).當(dāng)時(shí)，同理可得的解不為零，此時(shí)，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，而，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上存在一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在，上，為增函數(shù)，在，上，為減函數(shù)，而時(shí)，，時(shí)（從的左邊趨于），，（從的右邊趨于）時(shí)，，時(shí)，，故的值域?yàn)?，而，但，故，而，故，同理，而，故，故?當(dāng)時(shí)，，且函數(shù)的定義域?yàn)?，此時(shí)，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在為減函數(shù)，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故此時(shí)在上存在一個(gè)零點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故在上，為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)?，故，而時(shí)，，時(shí)，，故此時(shí)的值域?yàn)?，故，其中綜上，對確定的，有，但當(dāng)時(shí)，時(shí)，且，故.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：多變量的方程的解的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)方程的特征選擇直接函數(shù)討論還是參變分離；（2）如果導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)不易求得，可利用隱零點(diǎn)處理；（3）解析過程過程注意借助不同函數(shù)的增長率來幫助討論.15．【分析】利用事件的轉(zhuǎn)化可求最后只剩下紅球的概率.【詳解】設(shè)為“依次取出，最后只剩紅球”，為“依次取出，最后一只為紅球”，下證：中含有的基本事件與含有的基本事件一樣多.設(shè)為中的基本事件，則至少余有一個(gè)紅球且沒有黑球，故為中的基本事件，設(shè)為中的基本事件，則的最后一球?yàn)榧t球，則也為中基本事件，故中含有的基本事件與含有的基本事件一樣多.故問題轉(zhuǎn)化為求，由古典概型的概率公式可得，故最后只剩下紅球的概率為.16．【分析】先根據(jù)模長及實(shí)部虛部均為整數(shù)可求三個(gè)復(fù)數(shù)的形式，再結(jié)合復(fù)數(shù)的三角形式探究三個(gè)復(fù)數(shù)的幅角與復(fù)數(shù)乘積對應(yīng)的幅角的關(guān)系，從而可求積的可能值的個(gè)數(shù).【詳解】設(shè)，由題設(shè)可得、為整數(shù)，故，或或或，故，故，設(shè)，，由可得，故，因?yàn)橐矠檎麛?shù)，故，故，故或，或，其中，，且.設(shè)，，由可得，同理，故或或，其中且，且.又，，，，故，，，所以，，，又，結(jié)合，故共有種不同的和即它們的終邊不重合且不在坐標(biāo)軸上，而其中且，而，故共有種不同的終邊，故的可能值共有種.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：與復(fù)數(shù)乘積有關(guān)的計(jì)算問題，應(yīng)該結(jié)合三角形式來處理，在處理過程中注意結(jié)合幅角的性質(zhì)和范圍來討論.17．【分析】利用三角換元結(jié)合三角變換公式及余弦函數(shù)值域可求斜率的范圍.【詳解】由題意可知：，設(shè).設(shè)，，故，故，故，同理，其中，故.而，故故，整理得到：，而，故且，故且，整理得到：且，因?yàn)?，故由可得，而，且，故，又，故即，故，所?【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：當(dāng)點(diǎn)在橢圓上變化時(shí)，我們可以利用三角換元把點(diǎn)的坐標(biāo)表示為三角函數(shù)，再結(jié)合三角變換公式和三角函數(shù)的性質(zhì)來某些目標(biāo)代數(shù)式的范圍.18．答案解析懸賞征集中，歡迎大牛老師們踴躍投稿！【詳解】答案解析懸賞征集中，歡迎大牛老師們踴躍投稿！聯(lián)系人QQ:285327969819．原方程有2個(gè)正實(shí)數(shù)解【分析】觀察式子結(jié)構(gòu)，通過等價(jià)變形分析得到原方程等價(jià)于，從而或，我們只需要構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性以及零點(diǎn)存在定理判斷其零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.【詳解】原式可以變形為，即，即，即，即，所以或，令，容易知道在上單調(diào)遞減，且注意到，，從而存在唯一的，有且，即在上存在唯一零點(diǎn)，綜上所述，有2個(gè)正實(shí)數(shù)解：，1.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是通過等價(jià)變形得到原方程等價(jià)于，由此即可順利得解.20．A【詳解】答案解析懸賞征集中，歡迎大牛老師們踴躍投稿！聯(lián)系人QQ:285327969821．答案解析懸賞征集中，歡迎大牛老師們踴躍投稿！【詳解】答案解析懸賞征集中，歡迎大牛老師們踴躍投稿！聯(lián)系人QQ:285327969822．答案解析懸賞征集中，歡迎大牛老師們踴躍投稿！【詳解】答案解析懸賞征集中，歡迎大牛老師們踴躍投稿！聯(lián)系人QQ:285327969823．答案解析懸賞征集中，歡迎大牛老師們踴躍投稿！【詳解】答案解析懸賞征集中，歡迎大牛老師們踴躍投稿！聯(lián)系人QQ:285327969824．B【分析】利用對稱性可設(shè)，結(jié)合不等式的性質(zhì)可得或，據(jù)此分