概率與統(tǒng)計課件

考點1:頻率與概率

一、考點講解：

1.頻數(shù)、頻率、概率：對一個隨機事件做大量實驗時會發(fā)現(xiàn)，隨機事件發(fā)生的次數(shù)（也稱為頻數(shù)）與試

驗次數(shù)的比（也就是頻率人總是在一個固定數(shù)值附近擺動，這個固定數(shù)值就叫隨機事件發(fā)生的概率，

概率的大小反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小.

2.概率的性質：P（必然事件）=1,P（不可能事件）=0,0<P（不確定事件）<1.

3.頻率、概率的區(qū)別與聯(lián)系：頻率與概率是兩個不同的概念，概率是伴隨著隨機事件客觀存在著的，只

要有一個隨機事件存在，那么這個隨機事件的概率就一定存在；而頻率是通過實驗得到的，它隨著實驗

次數(shù)的變化而變化，但當試驗的重復次數(shù)充分大后，頻率在概率附近擺動，為了求出一隨機事件的概率,

我們可以通過多次實驗，用所得的頻率來估計事件的概率.

二、經典考題剖析：

【考題1—1］（2004、成都鄲縣，3分）某校九年級三班在體育畢業(yè)考試中，全班所有學生得分的情況如

下表，那么該班共有人，隨機地抽取1人，恰好是獲得30分的學生的概率是,從表中你

還能獲取的信息是___________________________

（寫出一條即可）

解：65；如：隨機抽了1人恰好獲得24?26分的學生的概率為《

18分18?21~24~27~

分數(shù)段30分

以下20,分23分26分29分

人數(shù)2312201810

【考題1—2］（2004、貴陽，6分）質量檢查員準備從一批產品中抽取10件進行檢查，如果是隨機抽取,

為了保證每件產品被檢的機會均等.

（1）請采用計算器模擬實驗的方法，幫質檢員抽取被檢產品;

（2）如果沒有計算器，你能用什么方法抽取被檢產品.

解：（1）利用計算器模擬產生隨機數(shù)與這批產品編號相對應，產生10個號碼即可；（3）利用摸球游

戲或抽簽等.

【考題1—3］（2004、鹿泉，2分）如圖1—6—1是一個經過改造的臺球桌面的示意圖，圖中四個角上的陰

影部分分別表示四個人球孔，如果一個球按圖

中所示的方向被擊出（球可以經過多次反射人那么該球最后將落人的球袋是（）

A.1號球袋B.2號球袋

C.3號球袋D.4號球袋

解：B點撥：球走的路徑如圖1—6—

圖1-6-1

三、針對性訓練:

1、在對某次實驗次數(shù)整理過程中，某個事件出現(xiàn)的頻

率隨實驗次數(shù)變化折線圖如圖1—6—2,這個圖中折線變化的特點是，估計該事件發(fā)生的概率

為.

2.（2004,南山，3分）如圖1—6—5的兩個圓盤中，指針落在每一個數(shù)上的機會均等，那么兩個指針同時

落在偶數(shù)上的概率是（）

3.（2004,南山，3分）擲2枚1元錢的硬幣和3枚1

角錢的硬幣，1枚1元錢的硬幣和至少1枚1角錢的硬幣的正面朝上的概率是（）

4.（2004,漢中，3分）小紅、小明、小芳在一起做游戲時需要確定做游戲的先后順序，他們約定用“剪子、

包袱、錘子”的方式確定，問在一個回合中三個人都出包袱的概率是

5.（2004,貴陽，3分）口袋中有3只紅球和11只黃球，這兩種球除顏色外沒有任何區(qū)別，從口袋中任取

一只球，取到黃球的概率是.

6.（2004,南山，5分）周聰同學有紅、黃、藍三件T恤和黑、白、灰三條長褲，請你幫他搭配一下，看

看有幾種穿法.

考點2：概率的應用與探究

一、考點講解：

L計算簡單事件發(fā)生的概率：

列舉法：1列表

［畫樹狀圖

2.針對實際問題從多角度研究事件發(fā)生的概率，從而獲給理的猜測

二、經典考題剖析：

【考題2—1］（2004、南寧，3分）中央電視臺的“幸運52”欄目中的“百寶箱”互動環(huán)節(jié)是一種競猜游

戲，游戲規(guī)則如下：在20個商標牌中，有5個商標牌的背面注明一定的獎金額，其余商標牌的背面是

一張哭臉，若翻到哭臉，就不得獎.參與這個游戲的觀眾有3次翻牌的機會（翻過的牌不能再翻）.某

觀眾前兩次翻牌均獲得若干獎金，那么他第三次翻牌獲獎的概率是（）

解：C點撥：由于20個商標中共有5個商標注明獎金，翻2次均獲獎金后，只剩下3個注明獎金的商標,

又由于翻過的牌不能再翻，所以剩余的商標總數(shù)為18個.因此第三次翻牌獲獎的概率為/.

【考題2—2](2004、四省區(qū)，6分)一布袋中放有紅、黃、白三種顏色的球各一個，它們除顏色外其他

都一樣，小亮從布袋中摸出一個球后放回去搖勻，再摸出一個球.請你利用列舉法(列表或畫樹狀圖)

分析并求出小亮兩次都能摸到白球的概率.

2.在一所有1000名學生的學校中隨機調查了100人,其中有85人上學之前吃早餐，在這所學校里隨便

問1人，上學之前吃過早餐的概率是()

A.0.85B.0.085C.0.1D.850

3.有兩只口袋，第一只口袋中裝有紅、黃、藍三個球，第二只口袋中裝有紅、黃、藍、白四個球，試利

用樹狀圖和列表法，求分別從兩只口袋中各取一個球，兩個球都是黃球的概率.

4.為了估計魚塘中有多少條魚，先從塘中撈出100條做上標記，再放回塘中，待有標記的魚完全混人魚

群后，再撈出200條魚，其中有標記的有20條，問你能否估計出魚塘中魚的數(shù)量？若能，魚塘中有多

少條魚？若不能，請說明理由.

5.將分別標有數(shù)字1,2,3的三張卡片洗勻后，背面朝上放在桌面上.

⑴隨機地抽取一張，求P(奇數(shù))

⑵隨機地抽取一張作為十位上的數(shù)字(不放回人再抽取一張作為個位上的數(shù)字，能組成哪些兩位數(shù)？恰

好是“32”的概率為多少？

第1課時隨機事件的概率

1.隨機事件及其概率

(1)必然事件：在一定的條件下必然發(fā)生的事件叫做必然事件.

(2)不可能事件：在一定的條件下不可能發(fā)生的事件叫做不可能事件.

(3)隨機事件：在一定的條件下，也可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件叫做隨機事件.

(4)隨機事件的概率：一般地，在大量重復進行同一試驗時，事件A發(fā)生的頻率上總是接近于某個常數(shù),

n

在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).

(5)概率從數(shù)量上反映了一個事件發(fā)生的可能性的大小，它的取值范圍是OVP(A"1，必然事件的概率是1,

不可能事件的概率是0.

2.等可能性事件的概率

(1)基本事件：一次試驗連同其中可能出現(xiàn)的每一個結果稱為一個基本事件.

(2)等可能性事件的概率：如果一次試驗由n個基本事件組成，而且所有結果出現(xiàn)的可能性都相等，那么

每一個基本事件的概率是如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率：P(A)=-

典型例題

例1.1)一個盒子裝有5個白球3個黑球，這些球除顏色外，完全相同，從中任意取出兩個球，求取出的

兩個球都是白球的概率；

(2)箱中有某種產品a個正品，b個次品，現(xiàn)有放回地從箱中隨機地連續(xù)抽取3次，每次1次，求取出的

全是正品的概率是()

(3)某班有50名學生，其中15人選修A課程，另外35人選修B課程，從班級中任選兩名學生，他們是

選修不同課程的學生的概率是多少？

解：(1)從袋內8個球中任取兩個球共有點=28種不同結果，從5個白球中取出2個白球有點=10種不同

結果，則取出的兩球都是白球的概率為P(A)q$

例2.甲、乙兩袋裝有大小相同的紅球和白球，甲袋裝有2個紅球，2個白球；乙袋裝有2個紅球，n個白

球，兩甲、乙兩袋中各任取2個球.

(1)若n=3,求取到的4個球全是紅球的概率；

(2)若取到4個球中至少有2個紅球的概率為2,求n.

解：⑴記“取到的4個球全是紅球”為事件AP(A)=q.q=K1.

C：C；61060

(2)記“取到的4個球至多有1個紅球”為事件B,“取到的4個球只有1個紅球”為事件Bi,“取到的4

個球全是白球”為事件壓，由題意，得

P(B,)=與"(1)

-C；C>6(〃+2)("+1)

°2

所以P(B)=P(%)+P(B)=---------

23(n+2)(n+l)

+非高化簡,得7n-I-6=0,解得n=2,或(舍去)，故「2

小結歸納

1.實際生活中所遇到的事件包括必然事件、不可能事件及隨機事件.隨機事件在現(xiàn)實世界中是廣泛存在

的.在一次試驗中，事件是否發(fā)生雖然帶有偶然性，當在大量重復試驗下，它的發(fā)生呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性,

即事件發(fā)生的頻率總是接近于某個常數(shù)，這個常數(shù)就叫做這個事件的概率.

2.如果一次試驗中共有力種等可能出現(xiàn)的結果，其中事件A包含的結果有m種，那么事件A的概率P(A)=%.

n

從集合的角度看，一次試驗中等可能出現(xiàn)的所有結果組成一個集合I,其中事件A包含的結果組成I的一

個子集A,因此P(A)=9坐=里.從排列、組合的角度看，m、n實際上是某些事件的排列數(shù)或組合數(shù).因

此這種“古典概率”的問題，幾乎使有關排列組合的計算與概率的計算成為一回事.

3.利用等可能性的概率公式，關鍵在于尋找基本事件數(shù)和有利事件數(shù).

第2課時互斥事件有一個發(fā)生的概率

基礎過關

1.不能同時發(fā)生的事件的兩個事件叫做互斥事件.

2.必有一個發(fā)的兩個互斥事件叫做對立事件.

3.從集合的角度看，幾個事件彼此互斥，是指由各個事件所含的結果組成的集合彼此不相交.事件A

的對立事件N所含的結果組成的集合，是全集中由事件A所含的結果組成的集合的補集.

4.由于集合是可以進行運算的，故可用集合表示的事件也能進行某些運算.設A、B是兩個事件，那么A+B

表示這樣一個事件：在同一試驗中，A或B中至少一個發(fā)生就表示A+B發(fā)生.我們稱事件A+B為

事件A、B的和.它可以推廣如下：T+4++A””表示這樣一個事件，在同一試驗中，A4,4中

即表示A+4+發(fā)生，事實上，也只有其中的某一個會發(fā)生.

5.如果事件A、B互斥，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于.即P(A+B)=P(A)+P(B).

6.由于A+N是一個必然事件，再加上P(A+B)=P(A)+P(B),故您獷的y母一=1,于是l-P(A),

這個公式很有用，?？墒垢怕实挠嬎愕玫胶喕?當直接求某一事件的概率較為復雜時，可轉化去求其對立

事件的概率.

典型例題

例1.某射手在一次射擊訓練中，射中10環(huán)，9環(huán)，8環(huán)，7環(huán)的概率分別為0.21,0.23,0.25,0.28,

計算這個射手在一次射擊中：①射中10環(huán)或7環(huán)的概率；②不夠7環(huán)的概率.

解：①0.49；②0.03.

例2.袋中有紅、黃、白3種顏色的球各1只，從中每次任取1只，有放回地抽取3次，求：

(1)3只全是紅球的概率.

(2)3只顏色全相同的概率.

(3)3只顏色不全相同的概率.

(4)3只顏色全不相同的概率.

解：(1)記“3只全是紅球”為事件A.從袋中有放回地抽取3次，每次取1只，共會出現(xiàn)3x3x3=27種等

可能的結果，其中3只全是紅球的結果只有一種，故事件A的概率為=

27

(2)“3只顏色全相同”只可能是這樣三種情況：“3只全是紅球"(事件A)；“3只全是黃球”(設為事

件B)；“3只全是白球”(設為事件C).故“3只顏色全相同”這個事件為A+B+C,由于事件A、B、C不可

能同時發(fā)生，因此它們是互斥事件.再由于紅、黃、白球個數(shù)一樣，故不難得P(B)=P(C)=P(A)=，，

27

^.P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)=^-

(3)3只顏色不全相同的情況較多，如是兩只球同色而另一只球不同色，可以兩只同紅色或同黃色或同白

色等等；或三只球顏色全不相同等.考慮起來比較麻煩，現(xiàn)在記“3只顏色不全相同”為事件D,則事件萬

為“3只顏色全相同”，顯然事件D與萬是對立事件.

.-.P(D)=]-P(D)=1-=^.

(4)要使3只顏色全不相同，只可能是紅、黃、白各一只，要分三次抽取，故3次抽到紅、黃、白各一只

的可能結果有C^C}=6種，故3只顏色全不相同的概率為

6_2

27-9?

小結歸納

1.互斥事件概率的加法公式、對立事件概率的加法公式，都必須在各個事件彼此互斥的前提下使用.

2.要搞清兩個重要公式：

P(A+B)=尸(A)+P(B),尸(A)+P(刁=1的運用前提.

3.在求某些稍復雜的事件的概率時，通常有兩種方法：一是將所求事件的概率化成一些彼此互斥事件的

概率的和；二是先去求此事件的對立事件的概率.

第3課時相互獨立事件同時發(fā)生的概率

基礎過關

1.事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響，這樣的兩個事件叫獨立事件.

2.設A,B是兩個事件，則A?B表示這樣一個事件：它的發(fā)生，表示事件A,B同時發(fā)生，類似地

可以定義事件&?A2..........A?.

3.兩個相互獨立事件A,B同時發(fā)生的概率，等于每個事件發(fā)生的概率的積，即P(A?B)

=P(A)P(B)一般地，如果事件A，4,4相互獨立，那么：P(Ai?A2.........AJ=.

4.n次獨立重復試驗中恰好發(fā)生上次的概率：如果在一次試驗中某事件發(fā)生的概率是P,那么在“次獨立

重復試驗中這個事件恰好發(fā)生上次的概率是匕(幻=6注"1-尸尸尢.

典型例題

例1.如圖所示，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個系統(tǒng)N]、N2,當元件A、B、C都正常工作時，

系統(tǒng)凹正常工作，當元件A正常工作且元件B、C至少有1個正常工作時系統(tǒng)M正常工作，已知元件A、

B、C正常工作的概率依次為0.8、0.9、0.9,分別求系統(tǒng)乂、M正常工作時的概率.

Ni：—[A]—[B]----叵|一

-E-I

—

Na：―LfcH1

解：分別記元件A、B、C正常工作為事件A、B、C,

由已知條件4)=0.80,B)=0.90,C)=0.90

(I)因為事件A、B、C是相互獨立的，所以，系統(tǒng)乂正常工作的概率

Pi=P(A?B?C)=P(A)?P(B)^P(C)故系統(tǒng)m正常工作的概率為0.648.

=O.8Ox0.90x0.90=0.648

(II)系統(tǒng)M正常工作的概率

P（C）=1-P（C）=1-0.90=0.10,

P（B）=l-P（B）=l-0.90=0.10,=0.80x[1-0.10x0.10]=0.80x0.99=0.792.

故系統(tǒng)正常工作的概率為0.792.

例2.箱內有大小相同的20個紅球，80個黑球，從中任意取出1個，記錄它的顏色后再放回箱內，進行

攪拌后再任意取出1個，記錄它的顏色后又放回，假設三次都是這樣抽取，試回答下列問題：

①求事件A：”第一次取出黑球，第二次取出紅球，第三次取出黑球”的概率；

②求事件B：“三次中恰有一次取出紅球”的概率.

1.當且僅當事件A與事件8互相獨立時，才有P(AB)=尸(A)?P(B),故首先要搞清兩個事件的獨立性.

2.獨立重復試驗在概率論中占有相當重要地地位，這種試驗的結果只有兩種，我們主要研究在n次獨立

重復試驗中某事件發(fā)生k次的概率：耳，(町=其中P是1次試驗中某事件發(fā)生的概率，其實

^戶《(1-尸)'4正好是二項式［(1_尸)+尸了的展開式中的第k+1項，很自然地聯(lián)想起二項式定理.

1.本節(jié)綜合性強，涉及的概念、公式較多，學習時應準確理解這些概念、公式的本質內涵，注意它們的

區(qū)別與聯(lián)系.例如，若獨立重復試驗的結果只有兩種(即A與X,A+X是必然事件)，在〃次獨立重復試

驗中，事件A恰好發(fā)生人次的概率與伏)=￡?，1_尸)—就是二項式［(1-戶)+力"展開式中的第左+1項，故此公

式稱為二項分布公式；又如兩事件A,B的概率均不為0,1時，”若4B互斥，則A,B一定不相互獨立”、

“若AB相互獨立，則A,B一定不互斥”等體現(xiàn)了不同概念、公式之間的內在聯(lián)系.

2.運用尸(A)=Z,P(A+B)=P(A)+P(B),P(A-B)=P(A)?P(B)等概率公式時，應特別注意各自成立的前提條

n

件，切勿混淆不清.例如，當A,B為相互獨立事件時，運用公式?(4+8)=P(4)+尸(8)便錯.

3.獨立重復試驗是指在同樣條件下可重復進行的，各次之間相互獨立的一種試驗，每次試驗都只有兩重

結果(即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生)，并且在任何一次試驗中，事件發(fā)生的概率均相等.

獨立重復試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只是

有“恰好”字樣的用獨立重復試驗的概率公式計算更簡單，就像有“至少”或“至多”字樣的題用對立事

件的概率公式計算更簡單一樣.

4.解決概率問題要注意“三個步驟，一個結合”：

(1)求概率的步驟是：

第一步，確定事件性質，即所給的問題歸結為四類事件中的某一種.

第二步，判斷事件的運算，即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事件.

第三步，運用公式求得.

’等可能事件：P(A)='和事

n件

J互斥事件：P(A+B)=P