5.4 變分方法教學課件

變分方法教學課件§5.4變分方法

微擾方法需要知道與H相近的體系的解。若不知道H0的解，則估計H基態(tài)能量較好的方法是變分法。

變分法有廣泛的應用一、變分原理若以嘗試態(tài)矢表示真正的基態(tài)|0>，則其能量期待值是E0的上限:上述推導表明E為E0的必要條件是為基態(tài)或簡并基態(tài)的線性組合。討論：1.若態(tài)矢誤差為一階小量,則能量誤差是二階小量：用不很精確的嘗試波函數,也可求得相對精確的基態(tài)能量.2.若能減少嘗試波函數的高激發(fā)態(tài)成分，則有益于對E0的估計精度。3.對由參數描述的任意嘗試態(tài)矢，，得到的能量越小越接近E0。故有參數優(yōu)化條件：

利用該極值或變分條件可獲得參數的優(yōu)化值，代入期待值表達式可得E0在下的最佳近似。二、變分法應用舉例例1：對H原子基態(tài)用作為嘗試波函數,其中a為參量。由于用了與基態(tài)波函數形式相同的函數作為嘗試波函數，由變分條件可定出a=a0和嚴格的基態(tài)能量。一般而言，我們只能根據基態(tài)所具有的一些特征而選擇相應的嘗試波函數并優(yōu)化之。例2：取若取則優(yōu)化得雖然使用的嘗試波函數非常簡單,該結果卻很好.例3：考慮：對稱、無節(jié)點、集中于x=0附近，取得誤差：增加變分變量、逼近估計方法如變分法原則上可估計低激發(fā)態(tài)能量。若基態(tài)已知，則選與基態(tài)垂直的嘗試波函數，經變分可求出優(yōu)化的E1。若只知近似基態(tài)(如通過變分求得),則用變分求激發(fā)態(tài)的能量要慎重,因誤差無確定符號,是線性的.第一激發(fā)態(tài)(對稱性等考慮)：高一些的束縛激發(fā)態(tài)（能化為一維的問題）：WKB方法三、WKB解波函數在E>V(x)區(qū)振蕩，在E<V(x)區(qū)指數衰減。匹配條件：I與II區(qū)：II與III區(qū)：由波函數的唯一性，有自洽性(量子化)條件：除部分外,該條件與舊量子理論中的量子化條件相同。量子化條件V(x1)=V(x2)=E波函數的節(jié)點越多，對應的能級越高對V(-x)=V(x),u(-x)=±u(x);n:偶數-偶對稱（u’(0)=0），n：奇數-奇對稱（u(0)=0）量子化條件應用舉例勢阱中粒子的近似能級經典轉折點為：由于無限高勢壘，解在x<0區(qū)必為0.對x>0區(qū)的解，可通過求解修正勢,的奇對稱解得到該問題的WKB轉折點為,量子化條件變?yōu)榧?/p>

與嚴格解：非常接近(近似解略低于嚴格解，誤差隨能級的增高而變小)（-λ是Airy函數為零的根）四、常見電子結構理論計算原理（簡單的變分法常常不能滿足實際需要）一般均可表示為：基函數可有多種選擇

多類型的電子結構計算方法（LCAO/Slater/高斯/數值基函數/平面波/LMTO/LAPW…）

§5.5含時勢：相互作用繪景一、問題：已知,H0(t)=H0,H=H0+V(t),初態(tài)t>t0,,求cn(t)(若V(t)=0,cn(t)=cn(0))二、相互作用繪景三、相互作用繪景中的態(tài)矢與算符變化即：同理，對As(t)=As(0)和，可得：可見態(tài)矢與算符均隨時間變化,分別滿足類薛定諤和類海森堡運動方程四、態(tài)矢方程由和知據有：得即有耦合微分方程組：

五、含時的兩態(tài)問題正弦交變勢中兩能態(tài)體系是可嚴格求解的含時勢問題上式可化為c1（c2）的

二次微分方程，并可求得通解。對：有：五、含時兩能態(tài)問題(續(xù))

振蕩角頻率的1/2：共振：一般情況：六、自旋磁共振自旋1/2體系受沿z向恒定磁場與在xy平面內轉動的磁場作用:相當于：體系自旋在進動基礎上有翻轉行為，可半經典地理解為受磁場的扭矩所引起。當磁場的轉動頻率與自旋進動頻率()相同時，體系產生共振，自旋翻轉的幾率特別大。旋轉磁場不易實現，但固定方向振蕩的磁場可產生相似效果：對B1/B0?1，共振即ω≈ω21時，順時針分量（相當于-ω）可忽略（且相應分量的振蕩頻率遠大于共振分量的頻率）。共振問題在解釋原子分子束和核磁共振實驗有重要意義。通過改變振蕩磁場的頻率，可精確測得體系的磁矩。七、微波激射器NH3分子，|S>與|A>兩