2020-2021學(xué)年上海市松江區(qū)高一下學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題

松江區(qū)2020學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷高一數(shù)學(xué)（滿分150分，完卷時(shí)間120分鐘）2021．06考生注意：1．本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂（選擇題）或?qū)懀ǚ沁x擇題）在答題紙上，做在試卷上一律不得分．2．答題前，務(wù)必在答題紙上填寫學(xué)校、班級(jí)、姓名和考號(hào)．3．答題紙與試卷在試題編號(hào)上是一一對(duì)應(yīng)的，答題時(shí)應(yīng)特別注意，不能錯(cuò)位．一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．計(jì)算______．（為虛數(shù)單位)2．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值是______．3．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)（為虛數(shù)單位），其中，則______．4．已知，則______．5．已知一扇形的弧所對(duì)的圓心角為，半徑，則扇形的周長(zhǎng)為______．6．化簡(jiǎn)：______．7．在中，若，則的形狀是______三角形．8．函數(shù)的部分圖像如圖所示，則______．9．已知，向量，，當(dāng)取到最大值時(shí)，的值是______．10．已知、滿足，在方向上的數(shù)量投影為，則的最小值為______．11．如圖，是線段外一點(diǎn)，，，是線段的垂直平分線上的動(dòng)點(diǎn)，則的值為______．12．已知函數(shù)，，若的所有零點(diǎn)依次記為，，，…，，且，則______．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13．若，則（）A． B． C． D．14．要得到函數(shù)的圖像，只需將函數(shù)的圖像（）A．向左平移個(gè)單位； B．向左平移個(gè)單位；C．向右平移個(gè)單位； D．向右平移個(gè)單位15．歐拉公式（為虛數(shù)單位，，為自然底數(shù))是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”，現(xiàn)有以下兩個(gè)結(jié)論：①；②其中所有正確結(jié)論的編號(hào)是（）16．設(shè)函數(shù)和函數(shù)的圖像公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，，，…，，若，則的值為（）A． B． C． D．三、解答題（本大題滿分76分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．（1）已知角終邊上有一點(diǎn)的坐標(biāo)是，其中，求的值．(2)證明恒等式：．18．(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．已知復(fù)數(shù)，（，是虛數(shù)單位）．(1)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)點(diǎn)落在第一象限，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，求實(shí)數(shù)的值．19．(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分．東西向的鐵路上有兩個(gè)道口、，鐵路兩側(cè)的公路分布如圖，位于的南偏西15°，且位于的南偏東15°方向，位于的正北方向，，處一輛救護(hù)車欲通過道口前往處的醫(yī)院送病人，發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向的處(火車頭位置)有一列火車自東向西駛來，若火車通過每個(gè)道口都需要1分鐘，救護(hù)車和火車的速度均為．(1)判斷救護(hù)車通過道口是否會(huì)受火車影響，并說明理由；(2)為了盡快將病人送到醫(yī)院，救護(hù)車應(yīng)選擇、中的哪個(gè)道口？通過計(jì)算說明．20．(本題滿分16分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分6分．已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的值域；(2)求函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．21．(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分．已知是線段外一點(diǎn)，若，．(1)設(shè)點(diǎn)是的重心，證明：；(2)設(shè)點(diǎn)、是線段的三等分點(diǎn)，、及的重心依次為、、，試用向量、表示；（3）如果在線段上有若干個(gè)等分點(diǎn)，請(qǐng)你寫出一個(gè)正確的結(jié)論？(不必證明)說明：第（3）題將根據(jù)結(jié)論的一般性程度給予不同的評(píng)分．松江區(qū)2020學(xué)年度第二學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷高一數(shù)學(xué)參考答案一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1~6題每題4分，第7~12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．【答案】：2．【答案】：3．【答案】：34．【答案】：65．【答案】：6．【答案】：17．【答案】：等腰8．【答案】：9．【答案】：（或或）10．【答案】：1011．【答案】：12．【答案】：【解析】：令，可得，即函數(shù)的對(duì)稱軸方程為，又的周期為，令，可得，所以函數(shù)在上有9條對(duì)稱軸．根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可知，，，…，，(最后一條對(duì)稱軸為函數(shù)的最大值點(diǎn)，應(yīng)取前一條對(duì)應(yīng)的對(duì)稱軸），將以上各式相加得，．二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13．【答案】C14．【答案】B15．【答案】A16．【答案】C【解析】：因?yàn)?，則有或，，，解得或，，又函數(shù)和函數(shù)的圖象的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)從小到大依次為，，，…，，所以，，，，，，…，故，．所以，即，則，解得，故．三、解答題（本大題滿分76分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟．17．【解析】：解（1）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為，由三角比的定義可得：，原式；（2）證明：．18．【解析】：（1）．∵在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第一象限，∴解得：．∴實(shí)數(shù)的取值范圍是；(2)∵虛數(shù)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，．∴也是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，19．【解析】：（1）依據(jù)題意：在中，正弦定理：，解得：，∴救護(hù)車到達(dá)處需要時(shí)間：，火車到達(dá)處需要時(shí)間：，火車影響道口時(shí)間為，，∴救護(hù)車經(jīng)過會(huì)受影響．(2)若選擇道口：一共需要花費(fèi)時(shí)間為：若選擇道口：由余弦定理求長(zhǎng)：，得：，所以火車到達(dá)處所需時(shí)間為：，救護(hù)車到達(dá)處所需時(shí)間為，所以不受火車影響。．∴一共花費(fèi)時(shí)間為：∴選擇過道．20．【解析】：（1），∵，∴，∴，∴函數(shù)的值域?yàn)椋?2)得，，又，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是；(3)函數(shù)的值域?yàn)?，于是，，原不等式等價(jià)于，由，得的最大值為，所以，實(shí)