高中數(shù)學(xué)圓的方程典型例題

中學(xué)數(shù)學(xué)圓的方程典型例題

類型一：圓的方程

例1求過(guò)兩點(diǎn)41,4)、3(3,2)且圓心在直線y=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程并推斷點(diǎn)

P(2,4)與圓的關(guān)系.

分析：欲求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出圓心坐標(biāo)的圓的半徑的大小，而要推斷點(diǎn)

P與圓的位置關(guān)系，只須看點(diǎn)P與圓心的距離和圓的半徑的大小關(guān)系，若距離大

于半徑，則點(diǎn)在圓外；若距離等于半徑，則點(diǎn)在圓上；若距離小于半徑，則點(diǎn)在

圓內(nèi).

解法一：(待定系數(shù)法)

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(),-份2=r.

,圓心在y=0上，故)=0.

圓的方程為(x-aF+y?=r-.

又「該圓過(guò)A(l,4)、3(3,2)兩點(diǎn).

.J(l-a)2+16=r2

,?[(3-4)2+4=/

解之得：a=-1>r2=20.

所以所求圓的方程為(x+l)2+y2=20.

解法二：(干脆求出圓心坐標(biāo)和半徑)

因?yàn)閳A過(guò)41,4)、8(3,2)兩點(diǎn)，所以圓心C必在線段A8的垂直平分線/上，又

因?yàn)樵?=土工=-1，故/的斜率為1，又A8的中點(diǎn)為(2,3),故43的垂直平分線/

1—3

的方程為：y-3=x-2即x-y+l=0.

又知圓心在直線y=0上，故圓心坐標(biāo)為C(-1,0)

半徑r=[A。=7(1+1)2+42=V20.

故所求圓的方程為(x+l)2+V=20.

又點(diǎn)尸(2,4)到圓心C(-l,0)的距離為

</=|F^=7(2+l)?+4T=V25>r.

...點(diǎn)P在圓外.

說(shuō)明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍圍著求圓的圓心和半徑這兩

個(gè)關(guān)鍵的量，然后依據(jù)圓心與定點(diǎn)之間的距離和半徑的大小關(guān)系來(lái)判定點(diǎn)與圓的

位置關(guān)系，若將點(diǎn)換成直線又該如何來(lái)判定直線與圓的位置關(guān)系呢？

例2求半徑為4,與圓/+丫2_4》-2了-4=0相切，且和直線y=0相切的圓的方程.

分析：依據(jù)問(wèn)題的特征，宜用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求解.

解：則題意，設(shè)所求圓的方程為圓C：(x-a)2+(y-/?)2=/.

圓C與直線y=0相切,且半徑為4,則圓心C的坐標(biāo)為G(a,4)或G(。，-4).

又已知圓/+產(chǎn)_以一2)，-4=0的圓心A的坐標(biāo)為(2,1),半徑為3.

若兩圓相切，則|C4|=4+3=7或|6=4-3=1.

(1)當(dāng)G(a,4)時(shí)，(。-2)2+(4-1>=72,或3-2)2+(4-1尸=「(無(wú)解),故可得

。=2±2炳.

所求圓方程為“一2-2何)2+(y—4)2=4?,或(》一2+2加尸+(y-4)2=42.

(2)當(dāng)G(a，—4)時(shí)，(a-2)2+(-4-l)2=72,或(4—2)?+(—4-1>=/(無(wú)解)，故

a=2±2-76.

??.所求圓的方程為。一2—2通尸+(丁+4尸=42,或“一2+2逐尸+口+4)2=42.

說(shuō)明：對(duì)本題，易發(fā)生以下誤會(huì)：

由題意，所求圓與直線y=0相切且半徑為4,則圓心坐標(biāo)為C(a,4),且方程

形如(x_q)2+(y_4)2=42.X0x2+/-4x-2y-4=0,(x-2)2+(y-l)2=32,其圓心

為A(2,l),半徑為3.若兩圓相切，則|。|=4+3.故(。-2)2+(4-1)2=72,解之得

。=2±2何.所以欲求圓的方程為*-2-2加)2+(尸4尸=42,或

(x-2+2V10)2+(3；-4)2=42.

上述誤會(huì)只考慮了圓心在直線y=0上方的情形,而疏漏了圓心在直線>=0下方的

情形.另外，誤會(huì)中沒(méi)有考慮兩圓內(nèi)切的狀況.也是不全面的.

例3求經(jīng)過(guò)點(diǎn)40,5),且與直線x-2y=0和2x+y=0都相切的圓的方程.

分析：欲確定圓的方程.需確定圓心坐標(biāo)與半徑，由于所求圓過(guò)定點(diǎn)A,故

只需確定圓心坐標(biāo).又圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上.

解：,圓和直線x-2y=0與2x+y=0相切，

...圓心C在這兩條直線的交角平分線上，

又圓心到兩直線x-2y=0和2x+y=0的距離相等.

?|-r"2y|_|x+2j|

.??兩直線交角的平分線方程是x+3y=0或3x-y=0.

又???圓過(guò)點(diǎn)A(0,5),

圓心C只能在直線3x-y=0上.

設(shè)圓心C?,3f)

?「C到直線2x+y=0的距離等于1A。，

化簡(jiǎn)整理得產(chǎn)-6/+5=0.

解得：，=1或/=5

，圓心是(1,3),半徑為有或圓心是(5,15),半徑為5心.

.?.所求圓的方程為(x-l)2+(y-3)2=5或0-5)2+(,-15)2=125.

說(shuō)明：本題解決的關(guān)鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而

確定圓心坐標(biāo)得到圓的方程，這是過(guò)定點(diǎn)且與兩已知直線相切的圓的方程的常規(guī)

求法.

例4、設(shè)圓滿意：(1)截y軸所得弦長(zhǎng)為2；(2)被x軸分成兩段弧，其弧長(zhǎng)的比

為3:1,在滿意條件(1)(2)的全部圓中，求圓心到直線/：x-2y=0的距離最小的

圓的方程.

分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標(biāo)和半徑，便可求得圓的標(biāo)

準(zhǔn)方程.滿意兩個(gè)條件的圓有多數(shù)個(gè)，其圓心的集合可看作動(dòng)點(diǎn)的軌跡，若能求

出這軌跡的方程，便可利用點(diǎn)到直線的距離公式，通過(guò)求最小值的方法找到符合

題意的圓的圓心坐標(biāo)，進(jìn)而確定圓的半徑，求出圓的方程.

解法一：設(shè)圓心為P(a,?,半徑為r.

則P到x軸、)，軸的距離分別為網(wǎng)和時(shí).

由題設(shè)知：圓截x軸所得劣弧所對(duì)的圓心角為90。，故圓截x軸所得弦長(zhǎng)為

：.r=2/

又圓截y軸所得弦長(zhǎng)為2.

r2=a2+1.

又「P(a,6)到直線x-2y=0的距離為

仁)

75

/.5d2^\a-2hf

=a2+4〃-4ab

>a2+4b2-2(a2+b2)

=2b2-a2=1

當(dāng)且僅當(dāng)a=8時(shí)取“=”號(hào)，此時(shí)41M=4.

這時(shí)有2

[2b2-a2=}

.一=1或k=T

b=l[Z?=-l

又產(chǎn)=2b2=2

故所求圓的方程為。一1)2+口一1)2=2或(》+1)2+('+1)2=2

解法二：同解法一，得

仁用

75

a-2b=±y[5d.

a2-4b2±445bd+5d2.

將/=2〃-1代入上式得：

2b2+445bd+5d2+]=0.

上述方程有實(shí)根，故

A=8(5J2-l)>0,

：.d>—.

5

將〃=當(dāng)代入方程得8=±1.

又2h2=a'+\??a=±1.

由|所明=1知4、6同號(hào).

故所求圓的方程為(x-l)2+(y-l)2=2或(x+l>+(y+l)2=2.

說(shuō)明：本題是求點(diǎn)到直線距離最小時(shí)的圓的方程，若變換為求面積最小呢?

類型二：切線方程、切點(diǎn)弦方程、公共弦方程

例5已知圓。：Y+y2=4,求過(guò)點(diǎn)p(2,4)與圓。相切的切線.

解：?.?點(diǎn)P(2,4)不在圓。上，

切線PT的直線方程可設(shè)為y=&(x-2)+4

依據(jù)d=r

解得&=3

4

所以）=%_2）+4

即3x-4y+10=0

因?yàn)檫^(guò)圓外一點(diǎn)作圓得切線應(yīng)當(dāng)有兩條，可見另一條直線的斜率不存在.易

求另一條切線為x=2.

說(shuō)明：上述解題過(guò)程簡(jiǎn)單漏解斜率不存在的狀況，要留意補(bǔ)回漏掉的解.

本題還有其他解法，例如把所設(shè)的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解

決（也要留意漏解）.還可以運(yùn)用/犬+%片產(chǎn)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)x。、%的值來(lái)解決,

此時(shí)沒(méi)有漏解.

例6兩圓G：r+V+Ox+gy+G=0與。2：/+產(chǎn)+與1/尹心=0相交于A、B兩

點(diǎn)，求它們的公共弦48所在直線的方程.

分析：首先求A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用兩點(diǎn)式求直線的方程，但是求兩

圓交點(diǎn)坐標(biāo)的過(guò)程太繁.為了避開求交點(diǎn)，可以采納“設(shè)而不求”的技巧.

解：設(shè)兩圓G、G的任一交點(diǎn)坐標(biāo)為（/，％），則有：

V+%2+Dixo+Etyo+Fi=0①

%2+%2+￡>2%+后2%+6=。②

①一②得：（R-2）x0+（g—4力。+耳-工=。?

：A、B的坐標(biāo)滿意方程（R-。2〃+（4-E2）'+4-瑪=。?

方程（R-2）x+（&-4）y+1-8=0是過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線方程.

又過(guò)A、8兩點(diǎn)的直線是唯一的.

...兩圓G、C2的公共弦A3所在直線的方程為（。一2）x+（g—反）y+大一6=0.

說(shuō)明：上述解法中，奇妙地避開了求A、8兩點(diǎn)的坐標(biāo)，雖然設(shè)出了它們的

坐標(biāo)，但并沒(méi)有去求它，而是利用曲線與方程的概念達(dá)到了目標(biāo).從解題的角度

上說(shuō)，這是一種“設(shè)而不求”的技巧，從學(xué)問(wèn)內(nèi)容的角度上說(shuō)，還體現(xiàn)了對(duì)曲線

與方程的關(guān)系的深刻理解以與對(duì)直線方程是一次方程的本質(zhì)相識(shí).它的應(yīng)用很廣

泛.

例7、過(guò)圓/+y2=i外一點(diǎn)“(2,3),作這個(gè)圓的兩條切線MA、MB,切點(diǎn)分別是4、

B,求直線A8的方程。

練習(xí)：

1.求過(guò)點(diǎn)M(3,l),且與圓(》-1尸+產(chǎn)=4相切的直線/的方程.

解：設(shè)切線方程為y-1=Z(x-3),即依-y-3Z+l=0,

?.?圓心(1,0)到切線/的距離等于半徑2,

.?「尸+”=2,解得女=—3,

/+(-1)'4

???切線方程為y-1=-1(》-3),即3x+4y-13=0,

當(dāng)過(guò)點(diǎn)〃的直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x=3,圓心(1,0)到此直線的距離等于

半徑2,

故直線x=3也適合題意。

所以，所求的直線/的方程是3x+4y-13=0或無(wú)=3.

2、過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)且與圓/+y2一八+2"：=0相切的直線的方程為

解：設(shè)直線方程為y=即kx-y=0.?.,圓方程司化為(x-2)2+(y+l)2="|,.,.圓

心為(2,-1),半徑為叵.依題意有用士=巫，解得％=-3或％=」，.?.直線

2VF7T23

方程為y=-3工或y=(x.

3

2

3、已知直線5x+12y+Q=0與圓，-2x+y=0相切，貝！Jo的值為.

解：:圓(x-1)2+y2=\的圓心為(1,0),半徑為1,「?-J，上@_=J,解得〃=8或a=-18.

行+122

類型三：弦長(zhǎng)、弧問(wèn)題

例8＞求直線/:3%-了-6=0被圓。:/+V一2%-4y=0截得的弦A3的長(zhǎng).

例9、直線6x+y-2百=0截圓%?+/=4得的劣弧所對(duì)的圓心角為

解：依題意得，弦心距d=百，故弦長(zhǎng)|4q=2產(chǎn)工7=2,從而AOAB是等邊三

角形，故截得的劣弧所對(duì)的圓心角為NA03=。.

例10、求兩圓/+/一x+y—2=0和x?+y2=5的公共弦長(zhǎng)

類型四：直線與圓的位置關(guān)系

例11、已知直線岳+y-2g=0和圓/+y2=4,推斷此直線與已知圓的位置關(guān)

系.

例12、若直線y=x+m與曲線丁=7^二7有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值

范圍.

解：?.?曲線尸表示半圓/+^=4(”0),.?.利用數(shù)形結(jié)合法，可得實(shí)數(shù)加

的取值范圍是-2M〃?<2或根=25/2.

例13圓(》一3)2+(丁一3)2=9上至1」直線3；1+4>—11=0的距離為1的點(diǎn)有幾個(gè)？

分析：借助圖形直觀求解.或先求出直線4的方程，從代數(shù)計(jì)算中找尋

解答.

解法一:圓(x-3)2+(y-3)2=9的圓心為q(3,3),半徑r=3.

設(shè)圓心。到直線3x+4y-11=0的距離為d,則d」3x3+4x3-ll|=2<3.

V32+42

如圖，在圓心。同側(cè)，與直線3x+4y-11=0平行且距離為1的直線4與圓有兩

個(gè)交點(diǎn)，這兩個(gè)交點(diǎn)符合題意.

x

0

又r-d=3-2=l.

與直線3x+4y-11=0平行的圓的切線的兩個(gè)切點(diǎn)中有一個(gè)切點(diǎn)也符合題意.

，符合題意的點(diǎn)共有3個(gè).

解法二：符合題意的點(diǎn)是平行于直線3x+4y-11=0,且與之距離為1的直線和

圓的交點(diǎn).設(shè)所求直線為3x+4y+m=0,則d=%l=l,

V32+42

m+11=±5?即加=—6,或7〃=—16,也即

/1：3x+4_y—6—0>§Si/,：3x+4y—16=0.

設(shè)圓Oi：(x-3)2+(y-3)2=9的圓心到直線4、4的距離為4、d2,則

|3x3+4x3-q_|3x3+4x3-iq_

4==3，&=物+4，=L

??“與。相切，與圓。有一個(gè)公共點(diǎn)；6與圓。相交，與圓a有兩個(gè)公共點(diǎn).即

符合題意的點(diǎn)共3個(gè).

說(shuō)明：對(duì)于本題，若不留神，則易發(fā)生以下誤會(huì)：

設(shè)圓心。倒直線3x+4y-11=0的距離為d,則J3x3+4x3ll|=2<3.

V32+42

二.圓。i至l」3x+4y-ll=0距離為1的點(diǎn)有兩個(gè).

明顯，上述誤會(huì)中的d是圓心到直線3x+4y-11=0的距離，d<r,只能說(shuō)明此

直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，而不能說(shuō)明圓上有兩點(diǎn)到此直線的距離為1.

到一條直線的距離等于定值的點(diǎn)，在與此直線距離為這個(gè)定值的兩條平行直

線上，因此題中所求的點(diǎn)就是這兩條平行直線與圓的公共點(diǎn).求直線與圓的公共

點(diǎn)個(gè)數(shù)，一般依據(jù)圓與直線的位置關(guān)系來(lái)推斷，即依據(jù)圓心與直線的距離和半徑

的大小比較來(lái)推斷.

練習(xí)1:直線x+y=1與圓/+V一2"〉=0(a>0)沒(méi)有公共點(diǎn)，則a的取值范圍是,

解：依題意有與』>a，解得嬤-1.,/a>0,0<a<V2-1.

練習(xí)2:若直線y=Zx+2與圓2尸+(y-3尸=1有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范

圍是，

解：依題意有mm<i,解得0<%<，的取值范圍是(0,，

3、圓/+y2+2x+4y-3=0上到直線x+y+l=O的距離為行的點(diǎn)共有().

(A)1個(gè)(B)2個(gè)(C)3個(gè)(D)4個(gè)

分析：把F+/+2x+4y一3=0化為(x+iy+(y+2)2=8,圓心為(-1,-2),半徑為

r=2V2,圓心到直線的距離為后，所以在圓上共有三個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于行，

所以選C.

4、過(guò)點(diǎn)尸(-3,-4)作直線/,當(dāng)斜率為何值時(shí)，直線/與圓C：(x-iy+(y+2)2=4有

公共點(diǎn)，如圖所示.

分析：視察動(dòng)畫演示，分析思路.

解：設(shè)直線/的方程為

y+4=k(x+3)

即

kx-y+3k-4=0

依據(jù)有

\k+2+3k-4\

<2

J1+G

整理得

3%2—4%=0

解得

4

0<A:<-.

3

類型五：圓與圓的位置關(guān)系

問(wèn)題導(dǎo)學(xué)四：圓與圓位置關(guān)系如何確定？

例14、推斷圓G：x?+y。+2x-6y-26=0與圓：州+y?-4x+2y+4=0的位置關(guān)系,

例15：圓一+/_2》=0和圓，+丁+4>=0的公切線共有條。

解：?圓(X-l)2+y2=1的圓心為"(1,0),半徑八=1,圓Y+(y+2)2=4的圓心為

O2(0,-2),半徑r2=2,\OtO2\=V5,f|+々=3,々一外=1.二?外一八<|0,(?2|<4+弓，兩

圓相交.共有2條公切線。

練習(xí)

1：若圓/+y2一2/HT+—4=0與圓X?++2x-4沖+462一8=0相切，貝I］實(shí)數(shù)m的

取值集合是.

解:,圓(x-/n)2+y2=4的圓心為。|(/?,0),半徑外=2,圓(x+1)2+(>-2附2=9的圓

心為。2(-1,2m)，半徑「2=3,且兩圓相切，gal=八+〃或|aa|=々-^，*,?

J(/?7+l)2+(2附2=5或J(帆+1)2+(2勿)2=1,解得"2=，或帆=2,或機(jī)=0或加=_,,

???實(shí)數(shù)機(jī)的取值集合是0,21.

2:求與圓/+y2=5外切于點(diǎn)P(T2),且半徑為2方的圓的方程.

解：設(shè)所求圓的圓心為。|(凡。,則所求圓的方程為(x—)2+(y-療=20.,兩圓外

切于點(diǎn)P,???麗.,.(T,2)=g(a,?,。=-3/=6,.,.所求圓的方程為

(x+3)2+(y-6產(chǎn)=20.

類型六：圓中的對(duì)稱問(wèn)題

例16、圓/+產(chǎn)-2x-6y+9=0關(guān)于直線2x+y+5=0對(duì)稱的圓的方程是

例17自點(diǎn)A(-3,3)發(fā)出的光線/射到X軸上，被X軸反射，

反射光線所在的直線與圓c：V+y2_4x_4y+7=o相切

(1)求光線/和反射光線所在的直線方程.

(2)光線自A到切點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路程.

分析、略解：視察動(dòng)畫演示，分析思路.依據(jù)對(duì)稱

關(guān)系，首先求出點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-3,-3),其次

設(shè)過(guò)A的圓C的切線方程為

y=%(x+3)-3

依據(jù)d=即求出圓C的切線的斜率為

左=3或z=3

34

進(jìn)一步求出反射光線所在的直線的方程為

4x-3y+3=0或3x-4y-3=0

最終依據(jù)入射光與反射光關(guān)于x軸對(duì)稱，求出入射光所在直線方程為

4》+3>3=0或3%+4、-3=0

光路的距離為|AM|,可由勾股定理求得|4〃『=|4[2-總照2=7.

說(shuō)明：本題亦可把圓對(duì)稱到x軸下方，再求解.

類型七：圓中的最值問(wèn)題

例18:圓一4%一分一10=0上的點(diǎn)至IJ直線x+y—14=0的最大距離與最小距離

的差是_______

解：?.?圓(x-2)2+(尸2)2=18的圓心為(2,2),半徑「=3忘，.?.圓心到直線的距

1()

離d=5后>r，...直線與圓相離，.?.圓上的點(diǎn)到直線的最大距離與最小距離

的差是3+r）—（d—r）=2〃=65/2.

例19⑴已知圓。傘-3)2+(y-4)2=1,P(x,y)為圓。上的動(dòng)點(diǎn)，求[二/+/的最

大、最小值.

(2)已知圓Q：(x+2)2+y2=i,P(x,y)為圓上任一點(diǎn).求工E的最大、最小值,

x-1

求x-2y的最大、最小值.

分析：(1)、(2)兩小題都涉與到圓上點(diǎn)的坐標(biāo)，可考慮用圓的參數(shù)方程或數(shù)

形結(jié)合解決.

解：（1）（法1）由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程（X-3尸+（y-4）2=1.

可設(shè)圓的參數(shù)方程為F=3+cos,‘（。是參數(shù)）.

y=4+sin。，

則d=x2+y2=9+6cos0+cos2^+16+8sin^+sin20

=26+6cos6+8sine=26+10cos（6-0）（其中tanO=g）.

所以"max=26+10=36，dmin=26-10=16.

(法2)圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值/等于圓心到原點(diǎn)的距離小加上半徑1,

圓上點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最小值乙等于圓心到原點(diǎn)的距離d；減去半徑1.

所以4=打+#+1=6.

d2="+42-1=4.

所以“max=36?=16.

⑵(法1)由(x+2)2+y2=i得圓的參數(shù)方程：卜-2+cosQ是參數(shù).

[y=sin6,

則y-2sine-2.令sin"2」,

x-1cos。-3cos。-3

得sin9-fcos8=2-3f，J1+產(chǎn)sin(e-0)=2-3/

=1;^卜卜"°一姆’1=苧"/苧.

rrpI3+VS3—V3

所以fmax=：-''min=：-"

即上匚的最大值為三且，最小值為

x-144

止匕時(shí)x-2y=-2+cos。-2sin9=-2+V^cos(e+0).

所以x-2)，的最大值為-2+6，最小值為-2-右.

(法2)設(shè)匕工=%,則％x-y-&+2=0.由于PCr,y)是圓上點(diǎn)，當(dāng)直線與圓有

x-1

由公|一27+2|=],得心也I.

所以上工的最大值為學(xué)，最小值為學(xué).

x-l44

令x-2y=f,同理兩條切線在x軸上的截距分別是最大、最小值.

由d=?2/”=],得m=一2土百.

V5

所以x-2y的最大值為-2+6，最小值為-2-6.

例20:已知A(-2,0),8(2,0),點(diǎn)P在圓3產(chǎn)+(y-4>=4上運(yùn)動(dòng)，貝期葉+歸爐的

最小值是.

解：設(shè)P(x,y),貝可尸才+伊耳2=(%+2)2+/+(%一2)2+丫2=2(/+丫2)+8=2|0葉+8.設(shè)圓心

為C(3,4),貝1o4『|0。_/=5-2=3，|尸4°+歸卻2的最小值為2*3?+8=26.

練習(xí)：

1：已知點(diǎn)P(X,y)在圓/+(y—l)2=1上運(yùn)動(dòng).

(1)求二的最大值與最小值；(2)求2x+y的最大值與最小值.

x-2

解：(1)設(shè)匕=%,則k表示點(diǎn)P(x,y)與點(diǎn)(2,1)連線的斜率.當(dāng)該直線與圓

x-2

相切時(shí)，k取得最大值與最小值.由，些L=i,解得％=±如，上的最大值為

Jl+i3x-2

且，最小值為-蟲.

33

(2)設(shè)2x+y=m，則機(jī)表示直線2x+y=〃?在)，軸上的截距.當(dāng)該直線與圓相切

時(shí)，機(jī)取得最大值與最小值.由,解得帆=1土石，.)2x+y的最大值為

1+V5,最小值為1-石.

2設(shè)點(diǎn)尸(XQ)是圓/+y2=］是任一點(diǎn)，求“=212的取值范圍.

X+1

分析一：利用圓上任一點(diǎn)的參數(shù)坐標(biāo)代替尤、y,轉(zhuǎn)化為三角問(wèn)題來(lái)解決.

解法一：設(shè)圓/+)/=］上任一點(diǎn)p(cos6,sin。)

則有x=cosC，y=sin0?！闧0,24)

?sin。一2?八.八八

??u=----------9??WCOS6/+W=sin”—2

cos6+l

:?ucosff-sin。=—(〃+2).

BPvw2+lsin(6-0)=〃+2(tan夕=〃)

sin/-)："?)

Vw24-1

又丁酬(。-°)|41

解之得：“4-3.

4

分析二：〃=匕工的幾何意義是過(guò)圓/+/=］上一動(dòng)點(diǎn)和定點(diǎn)(—1,2)的連線的

X+1

斜率，利用此直線與圓/+/=］有公共點(diǎn)，可確定出“的取值范圍.

解法二：由〃~~^得：y-2=〃(x+l),此直線與圓/+丫2=1有公共點(diǎn)，故點(diǎn)

x+1

(0,0)到直線的距離d41.

解得：〃W-3.

4

另外，直線y-2=〃(x+l)與圓/+y2=l的公共點(diǎn)還可以這樣來(lái)處理：

由<2消去y后得：(/+1)Y+(2i?+4")x+(〃2+4〃+3)=0,

x2+y2=l

此方程有實(shí)根，故△=(2M2+4M)2-4(/+1)(W2+4M+3)>0,

解之得：“￡-3.

4

說(shuō)明：這里將圓上的點(diǎn)用它的參數(shù)式表示出來(lái)，從而將求變量〃的范圍問(wèn)題

轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)的有關(guān)學(xué)問(wèn)來(lái)求解.或者是利用其幾何意義轉(zhuǎn)化成斜率來(lái)求解,

使問(wèn)題變得簡(jiǎn)捷便利.

3、已知點(diǎn)A(-2,-2),伙-2,6),C(4,-2),點(diǎn)P在圓Y+y2=4上運(yùn)動(dòng)，求儼才+|PCf

的最大值和最小值.

類型八：軌跡問(wèn)題

例21、基礎(chǔ)訓(xùn)練：已知點(diǎn)M與兩個(gè)定點(diǎn)。(0,0),A(3,0)的距離的比為;，求點(diǎn)M的

軌跡方程.

例22、已知線段的端點(diǎn)5的坐標(biāo)是(4,3),端點(diǎn)A在圓*+1尸+/=4上運(yùn)動(dòng),

求線段的中點(diǎn)M的軌跡方程.

例23如圖所示，已知圓。：/+^=4與y軸的正方向交于A點(diǎn)，點(diǎn)8在直線y=2

上運(yùn)動(dòng)，過(guò)5做圓。的切線，切點(diǎn)為C,求AA5C垂心”的軌跡.

分析：按常規(guī)求軌跡的方法，設(shè)〃(x,y),找的關(guān)系特別難.由于”點(diǎn)隨

B,C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，可考慮“，B,C三點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系.

解：設(shè)H(x,y),C(x,y),連結(jié)A",CH,

則AHLBC,CHLAB,BC是切線OCL3C,

所以O(shè)C7/A",CH//OA,OA=OC,

所以四邊形AOC”是菱形.

所以|田=儂=2,得)：=)'一)

X=x.

又C(x',yj滿意x~+y'"=4,

所以/+(y_2尸=4(XH0)即是所求軌跡方程.

說(shuō)明：題目奇妙運(yùn)用了三角形垂心的性質(zhì)與菱形的相關(guān)學(xué)問(wèn).實(shí)行代入法求

軌跡方程.做題時(shí)應(yīng)留意分析圖形的幾何性質(zhì)，求軌跡時(shí)應(yīng)留意分析與動(dòng)點(diǎn)相關(guān)

聯(lián)的點(diǎn)，如相關(guān)聯(lián)點(diǎn)軌跡方程已知，可考慮代入法.

例24已知圓的方程為Y+y2=產(chǎn)，圓內(nèi)有定點(diǎn)外即切，圓周上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A、B,

使PALPB,求矩形AP3Q的頂點(diǎn)Q的軌跡方程.

分析：利用幾何法求解，或利用轉(zhuǎn)移法求解，或利用參數(shù)法求解.

解法一：如圖，在矩形APBQ中，連結(jié)A3,PQ交于M,明顯

陷=闿，

￡n芋J

在直角三角形AOM中，若設(shè)Q(x,y),則“(簽,營(yíng)).

由|。閭2+g航『=|0>2,即

/X+Q、2/丁+久21r/、2/7、2】2

(~^~)+C2—)+(y-。)]=/，

也即/+V=2r2-(a2+y),這便是Q的軌跡方程.

222

解法二：設(shè)Q(x,y)、4芭，M)、B(X2,y2),則科+才=/,%2+y2=r.

又1尸@2=伊耳二即

22222

(x-a)+(y-b)=(%]-x2)+(yt-y2)=2r-2(x,x2+yty2).①

又AB與PQ的中點(diǎn)重合，^Lx+a=xi+x2,y+b=yt+y2,即

222

(x+a)+(y+b)=2r+2(X]X2+y,y2)②

①+②,有爐+丁=2/-(/+/).

這就是所求的軌跡方程.

解法二：設(shè)A(rcosa,rsina)、B(rcos￡,rsin/?)、Q(x,y),

由于APBQ為矩形，故AB與PQ的中點(diǎn)重合，即有

x+a=rcosc+rcos/7,①

y+b=rsina+rsinJ3,②

又由PALPB有③

rcosa-arcos（3-a

聯(lián)立①、②、③消去a、即可得。點(diǎn)的軌跡方程為/+/=2，_（/+〃）.

說(shuō)明：本題的條件較多且較隱含，解題時(shí)，思路應(yīng)清楚，且應(yīng)充分利用圖形

的幾何性質(zhì)，否則，將使解題陷入逆境之中.

本題給出三種解法.其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的

數(shù)量關(guān)系.而解法二與解法三，從本質(zhì)上是一樣的，都可以稱為參數(shù)方法.解法

二涉與到了再、X1、弘、力四個(gè)參數(shù)，故需列出五個(gè)方程；而解法三中，由于借

助了圓1+丁=r2的參數(shù)方程，只涉與到兩個(gè)參數(shù)a、P，故只需列出三個(gè)方程

便可.上述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數(shù)形結(jié)合的思

想方法求解.

練習(xí):

1、由動(dòng)點(diǎn)P向圓/+y2=1引兩條切線PA、PB,切點(diǎn)分別為A、B,ZAP3=60°,

則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是.

解：設(shè)P(x,y).：ZAPB=60°,/.ZOPA=30°.VOALAP,：.\OF\=2|O^=2,/.

y]x2+y2=2,化簡(jiǎn)得/+y2=4,.?.動(dòng)點(diǎn)p的軌跡方程是+y2=4.

練習(xí)鞏固：設(shè)A(-GO),3(C,O)(C>O)為兩定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)「到A點(diǎn)的距離與到8點(diǎn)的距離

的比為定值a(a>0)，求P點(diǎn)的軌跡.

設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(x,y).由粵=a(a>0),

解:

222

化簡(jiǎn)得（1-+（i_〃2）y2+2c（i4-n）x+c（1-a）=0.

當(dāng)時(shí)，化簡(jiǎn)得X、y2+鄴匕0》+,2=0,整理得(X-Mc)2+y2=(學(xué)1)2；

1-a-a~-1a"-1

當(dāng)Q=1時(shí)，化簡(jiǎn)得無(wú)=O.

所以當(dāng)axl時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是以(黑c,O)為圓心，怒為半徑的圓；

當(dāng)a=l時(shí)，P點(diǎn)的軌跡是y軸.

2、已知兩定點(diǎn)A(-2,0),3(1,0),假如動(dòng)點(diǎn)P滿意|曰=2|心，則點(diǎn)P的軌跡所包圍

的面積等于

解：設(shè)點(diǎn)尸的坐標(biāo)是(x,y).由|曰=2|「牛得"(x+2)2+y2=2j(x-l)2+/,化簡(jiǎn)得

(X-2)2+y2=4,.,.點(diǎn)P的軌跡是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓，，所求面積

為4萬(wàn)?

4、已知定點(diǎn)5(3,0),點(diǎn)A在圓，+y2=i上運(yùn)動(dòng)，知是線段A區(qū)上的一點(diǎn)，且

AM=-MB,問(wèn)點(diǎn)M的軌跡是什么？

3

解：設(shè)M(x,y),丁AM二?(工一冷、一切)=g(3-羽一y),

’1小、4.

x-x=-(3-x)%,=-x-l

13[,；I3.?點(diǎn)A在圓》2+y2=i上運(yùn)動(dòng)，...22+必2=],...

y-力=5,

(-x-l)2+(-y)2=1,E[J(X--)2+/=—,，點(diǎn)”的軌跡方程是a一3尸+尸=2.

33416416

例5、已知定點(diǎn)8(3,0),點(diǎn)A在圓爐+>2=]上運(yùn)動(dòng)，ZAOB的平分線交45于點(diǎn)M,

則點(diǎn)M的軌跡方程是.

解：設(shè)M(x,y),A4，M).丁OM是ZAOB的平分線，.?.她L㈣」,「?1M=-MB-

眼卻|。耳33

由變式1可得點(diǎn)M的軌跡方程是(X-V=2.

416

練習(xí)鞏固：已知直線>=日+1與圓X、y2=4相交于4、8兩點(diǎn)，以O(shè)A、03為鄰

邊作平行四邊形。APB,求點(diǎn)P的軌跡方程.

解：設(shè)P(x,y),AB的中點(diǎn)為MOAP8是平行四邊形，M是。P的中點(diǎn)，...點(diǎn)

M的坐標(biāo)為(二馬，且OM_LA3.,直線y=Zx+l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)C(0,l),

22'

麗.麗=(二馬.臣"1)=心2+々紇])=。化簡(jiǎn)得/+(y_l)2=l..?.點(diǎn)p的軌跡方程

2222222

是一+(y-l)2=1.

類型九：圓的綜合應(yīng)用

例25、已知圓x2+y2+x_6y+〃z=0與直線x+2y-3=0相交于P、Q兩點(diǎn)，。為原

點(diǎn)，且OPLOQ,求實(shí)數(shù)〃?的值.

分析：設(shè)P、Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)為（％,y）、（x2,y2）,則由%，?殳2=-1,可得

玉々+M乂=0,再利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解.或因?yàn)橥ㄟ^(guò)原點(diǎn)的直

線的斜率為上，由直線/與圓的方程構(gòu)造以上為未知數(shù)的一元二次方程，由根與

XX

系數(shù)關(guān)系得出的值，從而使問(wèn)題得以解決.

解法一：設(shè)點(diǎn)P、。的坐標(biāo)為（％，x）、（々，巴）?一方面，由OPLOQ，得

kOP-kOQ=-\,即工.乂=7,也即：%比2+/%=。?①

X)x2

另一方面，區(qū)，y）、（々，%）是方程組*273=°的實(shí)數(shù)解，即苞、々

x4-y+x-6y+〃z=0

是方程5犬+10冗+4加-27=0②

的兩個(gè)根.

?_4m-27③

??X]+工2=-2,x)x2=---------

又P、。在直線x+2y-3=0上，

=—(3-A：1)-—(3-x2)=-[9-3(A^+x2)+xtx2].

將③代入，得必當(dāng)=喈④

將③、④代入①，解得機(jī)=3,代入方程②，檢驗(yàn)△＞（）成立,

/?m=3.

解法二：由直線方程可得3=x+2y,代入圓的方程r+y2+x-6y+m=(),有

1?2?

F+,2+1(x+2y)(x-6))+§(x+2y1=0,

整理，得(12+，〃)1+4("?一3)孫+(4〃?-27))2=。.

由于XH0,故可得

(4m-27)(少+4(加一3)上+12+m=0.

XX

*?*kop,&02是上述方程兩根.故％OK%。。=-1.得