人教A版（2019）高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)綜合檢測(cè)（解析版）

高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)綜合檢測(cè)

(時(shí)間：120分鐘滿分：150分)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的)

1.若直線/：x-2y+?=0(AGR)過(guò)點(diǎn)(0,2),則A的值為(B)

A.-4B.4C.2D.-2解析：由題意可得，0—4+/=0,解得A=4.

2.已知空間向量a=(i+l,L2),b=(6,1,4),若a〃b,貝!U+"=()

A.3B.—3

C.5D.-5

解析：選C因?yàn)閍〃b,所以-Z—=-7=~i?所以42+4=67,解得2=2,所以一二7=3，解得〃=3,

所以；i+/,=5.故選C.

3.如圖，空間四邊形O48C中，~OA=a,~OB=b,~OC=c,點(diǎn)M為入04的中點(diǎn)，點(diǎn)

N在線段5c上，且CN=2NB,則訴=()%\

B._乎+葩+3c

1,2,,1

D.一即+非+3c

解析：選D^N=~ON~'OM=~dc+~CN04=7)C+^CB-\OA=~OC+^(OB-7)C)-^OA=

乙3乙J乙

4.中國(guó)是世界上最古老的文明中心之一，中國(guó)古代對(duì)世界上最重要的貢獻(xiàn)之一就是發(fā)明了瓷器，中國(guó)

陶瓷是世界上獨(dú)一無(wú)二的.它的發(fā)展過(guò)程蘊(yùn)藏著十分豐富的科學(xué)和藝術(shù)，陶瓷形狀各式各樣，從不同角度詮

釋了數(shù)學(xué)中幾何的形式之美.現(xiàn)有一橢圓形明代瓷盤，經(jīng)測(cè)量得到圖中數(shù)據(jù)，則該橢圓瓷盤的焦距為()

A.8小

C.4^3

解析：選C因?yàn)闄E圓的2a=8,23=4,所以a=4,b=2,因?yàn)閷?"+,2,所以c2=12=＞。=2審，則

2c=4巾.故選C.

5.已知圓工2+爐+2工一27+〃=0截直線x+y+2=0所得弦的長(zhǎng)度為4,則實(shí)數(shù)。的值是()

A.-2B.-4

C.-6D.—8

解析：選B圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+l)2+(y-l)2=2—%/=2—％則圓心(-1,1)到直線x+y+2=0的距

離為^―節(jié)產(chǎn)W=&,由22+(也)2=2—〃，得Q=-4.

6.已知在一個(gè)二面角的棱上有兩個(gè)點(diǎn)A,B,線段AC,50分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直

于棱AB,AB=5,AC=3,BD=4,CD=5yfl9則這個(gè)二面角的度數(shù)為()

A.30°B.45°

C.90°D.150°

解析：選C設(shè)這個(gè)二面角的度數(shù)為a,由題意得而=/+3+說(shuō)，-----、

：JCD2=^CA2+AB2+~BD2-\-2\CA\-\BD\cos(n-a),二(5啦了=9+25+?/16-

2X3X4Xcosa,解得cosa=0,/.a=90°,即這個(gè)二面角的度數(shù)為90。，故選C.

2

7.直線/與拋物線C：V=2x交于A,5兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線OA,?！ǖ男甭赎?duì)，后滿足心左2=§,

則直線/過(guò)定點(diǎn)()

A.(-3,0)B.(0,-3)

C.(3,0)D.(0,3)

解析：選A設(shè)直線/的方程為力，A(xi,ji),B(X29J2),

因?yàn)殓踖g,所以

又%=2xi,於=2x2,所以了,2=6.將直線］:代入拋物線C:產(chǎn)=2^?得產(chǎn)―2小)一26=0,

所以yi)2=—2萬(wàn)=6,所以力=—3,即直線/:x=my—39所以直線/過(guò)定點(diǎn)(一3,0).

8.設(shè)橢圓9+￡=1和雙曲線與一尸1的公共焦點(diǎn)為尸1，F(xiàn)2,尸是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，則cosN尸依2

的值等于()

A-3B4

”展

v-95

解析：選A由題意知，尸1(一2,0),尸2(2,0),

二、多項(xiàng)選擇題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分)

9.下列各組向量中，是平行向量的是()

A.a=(l,2,-2),b=(-2,-4,4)

B.c=(l,0,0),d=(-3,0,0)

C.e=(2,3,0),f=(0,0,0)

D.g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)

解析：選ABC對(duì)于A,有b=-2a,所以a與b是平行向量；

對(duì)于B,有d=-3c,所以c與d是平行向量；

對(duì)于C,f是零向量，與e是平行向量；

對(duì)于D,不滿足g=2h,所以g與h不是平行向量.

10.已知點(diǎn)4(一1,1),以3,1),直線/過(guò)點(diǎn)C(1⑶且與線段A8相交，則直線/與圓(x-6)2+y2=2的位置

關(guān)系是()

A.相交B.相離

C.相切D.不好確定

解析：選BC因?yàn)镸c=l,kBc=-l,直線/的斜率的范圍是(一8,-1]U[1,+?>),直線5c方程

為x+y-4=0,圓(*-6)2+產(chǎn)=2的圓心(6,0)到直線8c的距離為也，因此圓(工-6)2+產(chǎn)=2與直線8c相切，

結(jié)合圖象可知，直線/與圓(*一6)2+y=2的位置關(guān)系是相切或相離.

11.已知雙曲線C過(guò)點(diǎn)(3,啦)且漸近線為7=號(hào)，則下列結(jié)論正確的是()

A.C的方程為子一步=1

B.C的離心率為由

C.曲線y=eL2—1經(jīng)過(guò)C的一個(gè)焦點(diǎn)

D.直線x—6-1=0與C有兩個(gè)公共點(diǎn)

解析：選AC\?雙曲線的漸近線為y=±乎x,.?.設(shè)雙曲線C的方程為^-y2=：.qwo),又過(guò)點(diǎn)(3,也)

得2=1.故選項(xiàng)A正確；此時(shí)C的離心率6為￥，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；y=e*-2-i經(jīng)過(guò)C的焦點(diǎn)(2,0),故選項(xiàng)

C正確；聯(lián)立直線和雙曲線C的方程，得/=0,故有一個(gè)公共點(diǎn)，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

12.已知過(guò)拋物線C：V=8x的焦點(diǎn)尸的直線/交拋物線于P,。兩點(diǎn)，若R為線段尸。的中點(diǎn)，連接

OR并延長(zhǎng)交拋物線C于點(diǎn)S,則陶的可能取值是()

A.1B.2

C.3D.4

解析：選CD由題意知，V=8x的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2,0).直線/的斜率存在且不為0,設(shè)直線/方程為^=

fy=k(x—2),

k(x—2).由彳消去y整理得RR—4優(yōu)2+2)工+4d=0,設(shè)尸(x】，ji),Q(x2,yi)9K(xo,Jo),

iy=8x,

J3),則*1+*2=4("，2),故Xo=%'=青/，y0=k(x0—2)=jc，所以4<?=券=母5,直線OS的方程為

尸母￥，代入拋物線方程，解得代=氫與津，由條件知A2>0.所以髓=藁=爐+2>2.故選c、D.

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上)

13.已知圓C：(萬(wàn)-2)2+。-1)2=10與直線/：2x+y=0,則圓C與直線/的位置關(guān)系是

|2X2+1|__5_

解析：由題意有圓心C(2,l),半徑廠=師，則圓心到直線/:2x+y=0的距離d==乖<「

較+1―市

=Vio,故直線與圓C相交.

答案：相交

14.已知平行六面體ABCD-AiBiCiDi,AB=AD=AAi=l,NBAD=N

=/。44尸60。，則AG=.

解析：'：AB=AD=AAt=l,ZBAD=ZBAAi=ZDAAt=60°,

：.~ABAD=ADAZ=ABAAJ=1,'：ACi=~AB+'AD+AAi,

2222：：：

：.ACi='AB+^D+AA^+2ABAD+2ADAZ+2ABAAi=6,/.|AG1=^6.

答案：木

15.已知4(2,也)是橢圓方+￡=1上一點(diǎn)，尸是橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)尸到直線x=4的距離為d,則,”

_\AF\_

―------，d---------?

解析：4(2,也)是橢圓，+==1上一點(diǎn)，代入可得'+1=1,解得機(jī)=8,：.c=y]a2—b2=2,F(2,0).

|AF|=A/(2-2)2+(V2-0)2=V2,點(diǎn)F到直線x=4的距離為d=2,?,?午

答案：8申

16.已知尸為雙曲線E：1一￡=l(a>0,/?0)的右焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)/向雙曲線E的一條漸近線引垂線，垂

足為A,且交另一條漸近線于點(diǎn)B,若|。尸|=|尸為，則雙曲線E的離心率是

解析：雙曲線E:$一方=1的漸近線方程為產(chǎn)備，若[0尸|=|尸陰，

角形OA8中，由ZAOF=NBOF=ZABO=30°,可得;=tan30。=拳，

答案：畢

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.(10分)已知直線/的方程為3x+4y—12=0,分別求下列直線，'的方程，/‘滿足：

(1)過(guò)點(diǎn)(-1,3),且與/平行.

(2)與直線/關(guān)于y軸對(duì)稱.

33

解：⑴因?yàn)?〃,所以/'的斜率為一,所以直線/'的方程為y—3=—示*+1),即3x+4y-9=0.

(2)/與y軸交于點(diǎn)(0,3),該點(diǎn)也在直線V上，在直線I上取一點(diǎn)A(4,0),則點(diǎn)A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)A'(一

4,0)在直線/'上，所以直線/'經(jīng)過(guò)(0,3)和(一4,0)兩點(diǎn)，故直線/'的方程為3x-4y+12=0.

18.(12分)直線/經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)(2,1),(6,3).

(1)求直線/的方程；

(2)圓C的圓心在直線/上，并且與x軸相切于(2,0)點(diǎn)，求圓C的方程.

解：⑴由已知可得，直線/的斜率A=W=；，

所以直線/的方程為x-2j=0.

(2)因?yàn)閳AC的圓心在直線/上，

所以可設(shè)圓心坐標(biāo)為(2a,a),

因?yàn)閳AC與x軸相切于(2,0)點(diǎn)，

所以圓心在直線x=2上，所以a=l,

所以圓心坐標(biāo)為(2,1),半徑為1,

所以圓C的方程為(*-2)2+6-1)2=1.

19.（12分）在長(zhǎng)方體45CD-A131GO1中，AB=BC=1,AAt=2,E為85中點(diǎn).

⑴證明：AC.LD1E；

⑵求DE與平面ADiE所成角的正弦值.

解：(1)證明：連接

ABCD,ACCYWABCD,

：.DiDA.AC.

在長(zhǎng)方形ABC。中，AB=BC,：.BD±AC.

又80noi0=0,.?.AC_L平面88山1￡),

；Z>iEU平面BBiDiD,：.AC±DtE.

(2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D-xyz,

則4(1,0,0),01(0,0,2),E(l,l,l),AE=(0,1,1),同=(-1,0,2),DE=(1,1,1).

設(shè)平面AOiE的法向量為n=(x,y,z),

\n-AD\=09—x+2z=0,

則1:即

y+z=O,

[n-AE=0>

令z=L得n=(2,—1,1).

,―>、2-1+1啦

..cos〈n,DE)=而1=3'

DE與平面ADtE所成角的正弦值為坐.

20.(12分)已知拋物線C：x2=4y的焦點(diǎn)為凡直線y=fcr+,”W>0)與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M,N.

⑴若拋物線C在點(diǎn)M和N處的切線互相垂直，求機(jī)的值；

(2)若m=2,求IMFHNFI的最小值.

解：(1)設(shè)M(xi,ji),N(X2,J2),對(duì)？=，求導(dǎo)得：

故拋物線C在點(diǎn)M和N處切線的斜率分別為冷和經(jīng)，

又切線互相垂直，

?*.yy=-1,即x「x2=14,

把y=kx-\-m代入C的方程得x2—4kx—4m=0.

.".xiX2=~4m.

故m=l.

(2)設(shè)M(xi,yi),N(X2,J2),由拋物線定義可知

|A/F|=ji+1,閃川=及+1,

由(1)和，〃=2,知xiX2=-8,XI+X2=4A,

所以|AfFHNF|=(yi+l)(j2+l)=(hi+3)?(Ax2+3)=A2xiX2+3A(xi+x2)+9=4&2+9,

所以當(dāng)A=0時(shí)，IMFHNFI取得最小值，且最小值為9.

21.(12分汝口圖，在四棱錐P-A8C。中，平面ABC。，CD1.PD,AD//BC,AD=CD=1,8c=2,

二面角尸-CQ-A為45。，E為。。的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在PC上，且不？=3”.

(1)求證：四邊形48。為直角梯形;

⑵求二面角F-AE-D的余弦值.

解：(1)證明：因?yàn)镽1JL平面A5C。，所以

又因?yàn)椤?。J_CD,PACiPD=P,

所以CDJ_平面RW,所以CDLW.

因?yàn)锳O〃3C,且AOW3C,

所以四邊形ABCD為直角梯形.

⑵過(guò)點(diǎn)4作A。的垂線交8c于點(diǎn)M,則PAA.AD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AM,AD,AP

為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)x”,則40,0,0),5(1,-1,0),C(l,l,0),0(0,1,0),

由(1)知CO_LAZ),XCD±PD,

則NPZM為二面角P-CD-4的平面角，

所以NPZM=45。，PA=1,

所以尸(0,0,1),￡(0,1,

所以1^=(0,號(hào)，Tc=(1,1,—1),^AP=

(0,0,1).

所以弁=”=&4)＞看=*+"=&今|

設(shè)平面AE尸的一個(gè)法向量為ni=(x,y,Z),

nrAE=0,j+z=0,

則1一即?

|.ni-AF=0,.x+y+2z=0.

令2=1,則y=—1,x=-1,所以ru=(—1,—1,1),

又平面PAD的一個(gè)法向量為n2=(l,0,0),

npn2-1

所以COS〈ni，112〉

一|小卜|聞一6一3

由圖知二面角F-AE-D為鈍角，

所以二面角F?AE-D的余弦值為一竽

22.(12分)已知橢圓C：￡+￡=13乂＞0)的上、下兩個(gè)焦點(diǎn)分別為凡，F(xiàn)i,過(guò)點(diǎn)尸1與y軸垂直的直線

交橢圓C于M