期末專題復(fù)習(xí)：平面向量及其應(yīng)用知識精講+解題方法點(diǎn)撥+考點(diǎn)+跟蹤訓(xùn)練-高一數(shù)學(xué)下學(xué)期人教A版2019必修第二冊（解析版）

第=PAGE1*2-11頁共=SECTIONPAGES1*22頁◎第=PAGE1*22頁共=SECTIONPAGES1*22頁平面向量及其應(yīng)用（解析版）知識精講+解題方法點(diǎn)撥+考點(diǎn)+跟蹤訓(xùn)練平面向量的概念與平面向量的?！局R精講】向量概念既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量（物理中的標(biāo)量：身高、體重、年齡）．在數(shù)學(xué)中我們把向量的大小叫做向量的模，這是一個標(biāo)量．向量的幾何表示用有向線段表示向量，有向線段的長度表示有向向量的大小，用箭頭所指的方向表示向量的方向．即用表示有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的字母表示，例如、，…字母表示，用小寫字母、，…表示．有向向量的長度為模，表示為||、||，單位向量表示長度為一個單位的向量；長度為0的向量為零向量．向量的模的大小，也就是的長度（或稱模），記作||．零向量長度為零的向量叫做零向量，記作，零向量的長度為0，方向不確定．單位向量長度為一個單位長度的向量叫做單位向量（與共線的單位向量是）．相等向量長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量，相等向量有傳遞性．平面向量的相等與共線【知識精講】相等向量的定義：長度相等且方向相同的兩個向量叫相等向量．共線向量的定義：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共線向量．規(guī)定：零向量與任一向量平行．注意：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等．表示共線向量的有向線段不一定在同一直線上，向量可以平移．【解題方法點(diǎn)撥】平行向量與相等向量的關(guān)系：（1）平行向量只要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時，向量所在的直線重合或平行；（2）平行向量要求兩個向量均為非零向量，規(guī)定：零向量與任一向量平行．相等向量則沒有這個限制，零向量與零向量相等．（3）借助相等向量，可以把一組平行向量移動到同一直線上．因此，平行向量也叫做共線向量．（4）平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量．【考點(diǎn)】了解向量的實(shí)際背景，掌握向量、零向量、平行向量、共線向量、相等向量、單位向量等概念，理解向量的幾何表示．命題形式只要以選擇、填空題型出現(xiàn)，難度不大，有時候會與向量的坐標(biāo)運(yùn)算等其它知識結(jié)合考察．平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算【知識精講】1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：設(shè)，都是非零向量，是與方向相同的單位向量，與和夾角為θ，則：（1）＝＝||cosθ；（2）?＝0；（判定兩向量垂直的充要條件）（3）當(dāng)，方向相同時，＝||||；當(dāng)，方向相反時，＝﹣||||；特別地：＝||2或||＝（用于計算向量的模）（4）cosθ＝（用于計算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）（5）||≤||||2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律（1）交換律：；（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（λ）?＝λ（）＝?（）；（3）分配律：（）?≠?（）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（±）2＝2±2?+2．②（﹣）（+）＝2﹣2．③?（?）≠（?）?，從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是相同的，有些不一樣．【解題方法點(diǎn)撥】例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“”②“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；③“t≠0，mt＝nt?m＝n”類比得到“?”；④“|m?n|＝|m|?|n|”類比得到“||＝||?||”；⑤“（m?n）t＝m（n?t）”類比得到“（）?＝”；⑥“”類比得到．以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②．解：∵向量的數(shù)量積滿足交換律，∴“mn＝nm”類比得到“”，即①正確；∵向量的數(shù)量積滿足分配律，∴“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”，即②正確；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”，即③錯誤；∵||≠|(zhì)|?||，∴“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；即④錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，∴“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”，即⑤錯誤；∵向量的數(shù)量積不滿足消元律，∴”不能類比得到，即⑥錯誤．故答案為：①②．向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn＝nm”類比得到“”；向量的數(shù)量積滿足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故“t≠0，mt＝nt?m＝n”不能類比得到“?”；||≠|(zhì)|?||，故“|m?n|＝|m|?|n|”不能類比得到“||＝||?||”；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，故“（m?n）t＝m（n?t）”不能類比得到“（）?＝”；向量的數(shù)量積不滿足消元律，故”不能類比得到．【考點(diǎn)】本知識點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個知識點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個?？键c(diǎn)，題目相對來說也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握．平面向量的投影向量【知識精講】投影向量是指一個向量在另一個向量上的投影．投影向量可以用來求兩個向量之間的夾角，也可以用來求一個向量在另一個向量上的分解．設(shè)，是兩個非零向量，，，考慮如下的變換：過AB的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B分別作所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到A1B1，稱上述變換為向量向向量投影，A1B1叫做向量在向量上的投影向量．向量在向量上的投影向量是．【解題方法點(diǎn)撥】投影，是一個動作．投影向量，是一個向量．我們把叫作向量在向量上的投影．那么投影向量可以理解為投影數(shù)量乘上一個方向上的單位向量．（1）向量在向量上的投影向量為（其中為與同向的單位向量），它是一個向量，且與共線，其方向由向量和夾角θ的余弦值決定．（2）注意：在方向上的投影向量與在方向上的投影向量不同，在方向上的投影向量為．【考點(diǎn)】（1）向量分解：將一個向量分解成與另一個向量垂直和平行的兩個部分．（2）向量夾角計算：通過求兩個向量之間的夾角，則可以判斷它們之間的關(guān)系（如垂直、平行或成銳角或成鈍角）．（3）空間幾何問題：求點(diǎn)到平面的距離．平面向量的基本定理【知識精講】1、平面向量基本定理內(nèi)容：如果e1、e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對這一平面內(nèi)任一，有且僅有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2，使．2、基底：不共線的e1、e2叫做平面內(nèi)表示所有向量的一組基底．3、說明：（1）基底向量肯定是非零向量，且基底并不唯一，只要不共線就行．（2）由定理可將任一向量按基底方向分解且分解形成唯一．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算【知識精講】1、向量的夾角概念：對于兩個非零向量，如果以O(shè)為起點(diǎn)，作＝，＝，那么射線OA，OB的夾角θ叫做向量與向量的夾角，其中0≤θ≤π．2、向量的數(shù)量積概念及其運(yùn)算：（1）定義：如果兩個非零向量，的夾角為θ，那么我們把||||cosθ叫做與的數(shù)量積，記做即：＝||||cosθ．規(guī)定：零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即：?＝0．注意：①表示數(shù)量而不表示向量，符號由cosθ決定；②符號“?”在數(shù)量積運(yùn)算中既不能省略也不能用“×”代替；③在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時，一定要注意向量夾角的取值范圍是：0≤θ≤π．（2）投影：在上的投影是一個數(shù)量||cosθ，它可以為正，可以為負(fù)，也可以為0（3）坐標(biāo)計算公式：若＝（x1，y1），＝（x2，y2），則＝x1x2+y1y2，3、向量的夾角公式：4、向量的模長：5、平面向量數(shù)量積的幾何意義：與的數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||cosθ的積．?dāng)?shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系【知識精講】向量是有方向的，那么在一個空間內(nèi)，不同的向量可能是平行，也可能是重合，也有可能是相交．當(dāng)兩條向量的方向互相垂直的時候，我們就說這兩條向量垂直．假如＝（1，0，1），＝（2，0，﹣2），那么與垂直，有?＝1×2+1×（﹣2）＝0，即互相垂直的向量它們的乘積為0．【解題方法點(diǎn)撥】例：與向量，垂直的向量可能為（）A：（3，﹣4）B：（﹣4，3）C：（4，3）D：（4，﹣3）解：對于A：∵，?（3，﹣4）＝﹣＝﹣5，∴A不成立；對于B：∵，?（﹣4，3）＝，∴B不成立；對于C：∵，?（4，3）＝，∴C成立；對于D：∵，?（4，﹣3）＝，∴D不成立；故選：C．點(diǎn)評：分別求出向量，和A，B，C，D四個備選向量的乘積，如果乘積等于0，則這兩個向量垂直，否則不垂直．【考點(diǎn)】向量垂直是比較喜歡考的一個點(diǎn)，主要性質(zhì)就是垂直的向量積為0，希望大家熟記這個關(guān)系并靈活運(yùn)用．正弦定理【知識精講】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accosB，c2＝a2+b2﹣2abcosC變形形式①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角在△ABC中，已知a，b和角A時，解的情況A為銳角A為鈍角或直角圖形關(guān)系式a＝bsinAbsinA＜a＜ba≥ba＞b解的個數(shù)一解兩解一解一解由上表可知，當(dāng)A為銳角時，a＜bsinA，無解．當(dāng)A為鈍角或直角時，a≤b，無解．2、三角形常用面積公式1．S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；2．S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．3．S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測量兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．余弦定理【知識精講】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理內(nèi)容＝2R（R是△ABC外接圓半徑）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C變形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA＝，sinB＝，sinC＝；③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝，cosB＝，cosC＝解決三角形的問題①已知兩角和任一邊，求另一角和其他兩條邊；②②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其他兩角①已知三邊，求各角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩角【解題方法點(diǎn)撥】正余弦定理的應(yīng)用1、解直角三角形的基本元素．2、判斷三角形的形狀．3、解決與面積有關(guān)的問題．4、利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識（1）測距離問題：測量一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，用正弦定理就可解決．解題關(guān)鍵在于明確：①測量從一個可到達(dá)的點(diǎn)到一個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個角和一邊解三角形的問題，再運(yùn)用正弦定理解決；②測量兩個不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題，首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題，然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題．（2）測量高度問題：解題思路：①測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題，由于底部不可到達(dá)，因此不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理計算出建筑物頂部或底部到一個可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．②對于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測量問題，我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁，然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．點(diǎn)撥：在測量高度時，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi)，視線與水平線的夾角．當(dāng)視線在水平線之上時，成為仰角；當(dāng)視線在水平線之下時，稱為俯角．三角形中的幾何計算【知識精講】1、幾何中的長度計算：（1）利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理可以求解：①已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角．②已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進(jìn)一步求出其他的邊和角）．（2）利用余弦定理可以求解：①解三角形；②判斷三角形的形狀；③實(shí)現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化．包括：a、已知三邊，求三個角；b、已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角．2、與面積有關(guān)的問題：（1）三角形常用面積公式①S＝a?ha（ha表示邊a上的高）；②S＝absinC＝acsinB＝bcsinA．③S＝r（a+b+c）（r為內(nèi)切圓半徑）．（2）面積問題的解法：①公式法：三角形、平行四邊形、矩形等特殊圖形，可用相應(yīng)面積公式解決．②割補(bǔ)法：若是求一般多邊形的面積，可采用作輔助線的辦法，通過分割或補(bǔ)形把不是三角形的幾何圖形分割成不重疊的幾個三角形，再由三角形的面積公式求解．【解題方法點(diǎn)撥】幾何計算最值問題：（1）常見的求函數(shù)值域的求法：①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；②逆求法（反求法）：通過反解，用y來表示x，再由x的取值范圍，通過解不等式，得出y的取值范圍；④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；⑥單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域．⑦數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域．（2）正弦，余弦，正切函數(shù)值在三角形內(nèi)角范圍內(nèi)的變化情況：①當(dāng)角度在0°～90°間變化時，正弦值隨著角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；余弦值隨著角度的增大而減小，且0≤cosα≤1；正切值隨著角度的增大而增大，tanα＞0．②當(dāng)角度在90°～180°間變化時，正弦值隨著角度的增大而減小，且0≤sinα≤1；余弦值隨著角度的增大而減小，且﹣1≤cosα≤0；正切值隨著角度的增大而增大，tanα＜0．解三角形【知識精講】1．已知兩角和一邊（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．2．已知兩邊和夾角（如a、b、c），應(yīng)用余弦定理求c邊；再應(yīng)用正弦定理先求較短邊所對的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．3．已知兩邊和其中一邊的對角（如a、b、A），應(yīng)用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c邊，要注意解可能有多種情況．4．已知三邊a、b、c，應(yīng)用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．5．方向角一般是指以觀測者的位置為中心，將正北或正南方向作為起始方向旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)的方向線所成的角（一般指銳角），通常表達(dá)成．正北或正南，北偏東××度，北偏西××度，南偏東××度，南偏西××度．6．俯角和仰角的概念：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角．如圖中OD、OE是視線，是仰角，是俯角．7．關(guān)于三角形面積問題①S△ABC＝aha＝bhb＝chc（ha、hb、hc分別表示a、b、c上的高）；②S△ABC＝absinC＝bcsinA＝acsinB；③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R為外接圓半徑）④S△ABC＝；⑤S△ABC＝，（s＝（a+b+c））；⑥S△ABC＝r?s，（r為△ABC內(nèi)切圓的半徑）在解三角形時，常用定理及公式如下表：名稱公式變形內(nèi)角和定理A+B+C＝π+＝﹣，2A+2B＝2π﹣2C余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosAb2＝a2+c2﹣2accosBc2＝a2+b2﹣2abcosCcosA＝cosB＝cosC＝正弦定理＝2RR為△ABC的外接圓半徑a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinCsinA＝，sinB＝，sinC＝射影定理acosB+bcosA＝cacosC+ccosA＝bbcosC+ccosB＝a面積公式①S△＝aha＝bhb＝chc②S△＝absinC＝acsinB＝bcsinA③S△＝④S△＝，（s＝（a+b+c））；⑤S△＝（a+b+c）r（r為△ABC內(nèi)切圓半徑）sinA＝sinB＝sinC＝跟蹤訓(xùn)練參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．設(shè)點(diǎn)O是正三角形ABC的中心，則向量，，是（）A．相同的向量 B．模相等的向量 C．共線向量 D．共起點(diǎn)的向量【分析】根據(jù)正三角形的中心到三個頂點(diǎn)的距離相等，得到這三個向量的模長相等，即可判斷得解．【解答】解：∵O是正△ABC的中心，∴向量，，分別是以三角形的中心和頂點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量，∵O是正三角形的中心，∴O到三個頂點(diǎn)的距離相等，即，但是向量，，它們不是相同的向量，也不是共線向量，也不是起點(diǎn)相同的向量．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查相等向量的定義，屬基礎(chǔ)題，正三角形中心的定義，正確理解相等向量的定義是解決問題的關(guān)鍵．2．已知，是兩個不共線的向量，命題甲：向量t與共線；命題乙：，則甲是乙的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】利用向量共線定理即可判斷．【解答】解：向量與共線，等價于，因為是兩個不共線的非零向量，所以由平面向量基本定理，可得，解得，所以甲是乙的既不充分也不必要條件．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查平面向量共線定理，屬基礎(chǔ)題．3．已知△ABC的外接圓圓心O，且，，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C．﹣ D．﹣【分析】根據(jù)題意，分析可得O是BC的中點(diǎn)，進(jìn)而可得BC為圓O的直徑，由此可得△ABO為等邊三角形，由投影向量的定義分析可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，△ABC中，，則O是BC的中點(diǎn)，又由O是BC的中點(diǎn)，則BC為圓O的直徑，則有||＝||＝||，又由，則△ABO為等邊三角形，∠ABO＝，則向量在向量上的投影向量為||cos×＝．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查投影向量，涉及向量數(shù)量積的性質(zhì)以及應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．4．已知向量，且，則m＝（）A．1 B．﹣1 C． D．0【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示計算即可．【解答】解：由題意知，所以m＝0．故選：D．【點(diǎn)評】本題主要考查向量垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．已知向量滿足，，，則＝（）A． B．1 C． D．2【分析】根據(jù)已知條件，先求出，再將平方，并開方，即可求解．【解答】解：，則，即，解得，，則，＝＝．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的數(shù)量積及其運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．6．如圖所示，點(diǎn)E為△ABC的邊AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段BE上靠近點(diǎn)B的四等分點(diǎn)，則＝（）A． B． C． D．【分析】由已知結(jié)合向量的線性表示及向量共線定理即可求解．【解答】解：由題意得＝＝＝×＝＝．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查了向量的線性表示，屬于基礎(chǔ)題．7．已知△ABC是銳角三角形，若sin2A﹣sin2B＝sinBsinC，則的取值范圍是（）A．（0，2） B． C． D．【分析】由題意及正弦定理，余弦定理可得sinB＝sinC﹣2sinBcosA，整理可得即sinB＝sin（A﹣B），可得A＝2B，再由銳角三角形中可得角B的范圍，由正弦定理可得的范圍．【解答】解：因為sin2A﹣sin2B＝sinBsinC，由正弦定理可得a2﹣b2＝bc，即a2＝b2+bc，由余弦定理得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，則b2+bc＝b2+c2﹣2bccosA，即b＝c﹣2bcosA，由正弦定理得sinB＝sinC﹣2sinBcosA，在△ABC中，sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，所以sinB＝sinAcosB﹣cosAsinB＝sin（A﹣B），即sinB＝sin（A﹣B），因為△ABC為銳角三角形，，，則，又y＝sinx在上單調(diào)遞增，所以B＝A﹣B，則A＝2B，因為△ABC為銳角三角形，則，解得，所以cosB∈（，），所以．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查正弦定理，余弦定理及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，屬于中檔題．8．海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑A，B兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)C，D，測得CD＝80，∠ADB＝135°，∠BDC＝∠DCA＝15°，∠ACB＝120°，則A，B兩點(diǎn)的距離為（）A．80 B．80 C．160 D．80【分析】根據(jù)題意畫出圖形，△BCD中利用正弦定理求出BD的值，△ACD中利用等角對等邊求出AD的值，再在△ABD中由余弦定理求出AB的值．【解答】解：如圖所示：△BCD中，CD＝80，∠BDC＝15°，∠BCD＝∠ACB+∠DCA＝120°+15°＝135°，∴∠CBD＝30°，由正弦定理，得＝，解得BD＝80，△ACD中，CD＝80，∠DCA＝15°，∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝135°+15°＝150°，∴∠CAD＝15°，∴AD＝CD＝80，△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2+BD2﹣2AD?BD?cos∠ADB＝802+（80）2﹣2×80×80×cos135°＝802×5，∴AB＝80，即A，B兩點(diǎn)間的距離為80，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，考查學(xué)生邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．二．多選題（共3小題）（多選）9．在△ABC中，AC＝4，AB＝5，BC＝6，D為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，延長AE交線段BC于點(diǎn)F，則（）A． B． C．△BEF的面積為 D．【分析】A中，由余弦定理可得∠CAB的余弦值，由E為BD的中點(diǎn)及平面向量的基本定理可得，平方整理可得AE的值，判斷出A的真假；B中，由C，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線及向量的基本定理可得，即＝3，判斷出B的真假；C中，由B選項可知△BEF的面積與△ABC的面積的關(guān)系，判斷出C的真假；D中，由向量的運(yùn)算性質(zhì)可得?的表達(dá)式，進(jìn)而求出它的值，判斷出D的真假．【解答】解：在△ABC中，AC＝4，AB＝5，BC＝6，對于A，由題可得，因為D為AC的中點(diǎn)，E為BD的中點(diǎn)，所以，所以，所以，故A正確；對于B，由，設(shè)，所以，因為C，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，則，解得，則，所以＝3，故B正確；對于C，由于，所以E為AF靠近F的四等分點(diǎn)，由于，所以F為CB靠近B的三等分點(diǎn)，故，由于，∠CAB∈（0，π），所以，則，所以，故C不正確；對于D，?＝（+）?（﹣）＝2+?﹣2＝4+5×﹣＝﹣，故D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查余弦定理及向量的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）10．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，（，則下列說法正確的是（）A． B．cosA?cosC的取值范圍是 C．若D為邊AC的中點(diǎn)，且，則△ABC面積的最大值為 D．若角B的平分線交AC于點(diǎn)E，且，則a+4c的最小值為18【分析】A項，根據(jù)面積公式，余弦定理即可得；B項，利用三角函數(shù)性質(zhì)即可得；C項，利用向量關(guān)系，基本不等式可得最值；D項，利用面積相等，基本不等式可得最值．【解答】解：由題意知，整理得，由余弦定理知a2+c2﹣b2＝2accosB，所以，即．再由B∈（0，π），所以，故A正確；對于B，cosAcosC＝＝sinAcosA﹣cos2A＝sin2A﹣＝，因為，所以，所以，所以cosAcosC的取值范圍為，故B不正確；對于C，因為D為邊AC的中點(diǎn)，所以，則，所以ac≤4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝c時，等號成立，所以，故C正確；對于D，由題意得S△ABE+S△BCE＝S△ABC，即，整理得a+c＝ac，即＝，所以＝18，當(dāng)且僅當(dāng)a＝2c時，等號成立，故D正確．故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用，基本不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．（多選）11．在銳角△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，B的角平分線交AC于D，，則（）A． B． C． D．16＜ac≤24【分析】根據(jù)已知條件及角平分線的定義，利用三角形的面積公式、三角形的內(nèi)角和定理及銳角三角形限制角的范圍，結(jié)合正弦定理的邊角化及兩角差的正弦公式，再利用二倍角的正弦余弦公式及三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【解答】解：因為BD是角∠ABC的平分線，所以．由題意可知S△ABC＝S△ABD+S△ACD，即，所以，即，因為△ABC為銳角三角形，所以，所以，所以，所以，即，所以，即，故A錯誤；在△ABC中，A+B+C＝π，即，因為△ABC為銳角三角形，所以，解得，故B正確；由正弦定理得，即，因為，所以，即，所以，故C正確；由正弦定理，所以，所以＝，因為，所以，所以，所以，所以16＜ac≤24，故D正確．故選：BCD．【點(diǎn)評】本題考查解三角形問題，正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，函數(shù)思想，屬中檔題．三．填空題（共3小題）12．已知向量，則向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為（）．【分析】由投影向量的定義和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算計算即可．【解答】解：因為，所以，，所以向量在方向上的投影向量的坐標(biāo)為＝＝．故答案為：（）．【點(diǎn)評】本題考查投影向量的求法，平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．13．如圖，直徑AB＝4的半圓，D為圓心，點(diǎn)C在半圓弧上，，線段AC上有動點(diǎn)P，則的最小值為．【分析】根據(jù)向量投影數(shù)量的幾何意義，即可求解．【解答】解：根據(jù)向量投影數(shù)量的幾何意義可得：的最小值為|BA||CD|cos＝4×2×＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查向量投影數(shù)量的幾何意義的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題．14．如圖，某體育公園廣場放置著一塊高為3米的大屏幕滾動播放各項體育賽事，大屏幕下端離地面高度3.5米，若小明同學(xué)的眼睛離地面高度1.5米，則為了獲得最佳視野（最佳視野指看到大屏幕的上下夾角最大），小明應(yīng)在距離大屏幕所在的平面3.2米處觀看？（精確到0.1米）【分析】根據(jù)題意作出示意圖，設(shè)CD＝t，分別在Rt△DBC與Rt△ACD中利用銳角三角函數(shù)的定義，將tan∠BCD與tan∠ACD表示為t的式子，然后利用兩角差的正切公式與基本不等式，算出tan∠ACB的最大值，從而算出獲得最佳視野時小明與大屏幕所在平面的距離．【解答】解：設(shè)點(diǎn)C在直線AB上的射影為D，則CD就是小明與大屏幕所在平面的距離，由題意得AB＝3m，BD＝3.5﹣1.5＝2m，設(shè)CD＝tm，則，，可得＝，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，結(jié)合正切函數(shù)在銳角范圍內(nèi)是增函數(shù)，可知：當(dāng)≈3.2m時，小明可以獲得觀看的最佳視野．故答案為：3.2．【點(diǎn)評】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義、兩角差的正切公式、運(yùn)用基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．四．解答題（共5小題）15．已知，．（1）若，同向共線，求的坐標(biāo)．（2）若，且，求與的夾角．【分析】（1）根據(jù)，同向共線，設(shè)出的坐標(biāo)，在根據(jù)模長公式列方程求得參數(shù)λ即可．（2）由已知條件，求得，再根據(jù)夾角公式即可求得夾角．【解答】解：（1）由，同向共線，可設(shè)，且λ＞0，由，可得，解得，則；（2）由，可得，由，可得，即，令與的夾角為θ，則，因為θ∈[0，π]，，即與的夾角為．【點(diǎn)評】本題考查向量共線定理及數(shù)量積運(yùn)算，屬中檔題．16．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，設(shè)向量，，且．（Ⅰ）求角C的大??；（Ⅱ）若，△ABC的面積為，求△ABC的周長，【分析】（Ⅰ）由向量平行，可得（a+b）sinA﹣（b+c）（sinC﹣sinB）＝0，再由正弦定理和余弦定理可得cosC的值，進(jìn)而求出角C的大?。唬á颍┯扇切蔚拿娣e可得ab＝2，再由余弦定理可得a+b的值，即可求得周長．【解答】解：（Ⅰ）由，，且，可得：（a+b）sinA﹣（b+c）（sinC﹣sinB）＝0，由正弦定理可得（a+b）a﹣（b+c）（c﹣b）＝0，整理得﹣ab＝a2+b2﹣c2，由余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2abcosC，所以，又C∈（0，π），所以；（Ⅱ）由，可得S△ABC＝，解得ab＝2，又，由余弦定理，可得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab，即7＝（a+b）2﹣2，解得a+b＝3，所以△ABC的周長為．【點(diǎn)評】本題考查正弦定及余弦定理的應(yīng)用，考查解三角形，屬中檔題．17．已知向量＝（2cosx，1），＝（﹣cos（x+），），x∈[0，]．（1）若，求x的值；（2）記f（x）＝，若對于任意x1，x2∈[0，]，|f（x1）﹣f（x2）|≤λ恒成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值．【分析】（1）由，則，再求解即可；（2）由f（x）＝＝，又x∈[0，]，則f（x）