高中數(shù)學(xué)《函數(shù)的極值和最大（?。┲怠氛n后分層作業(yè)與同步檢測(cè)試卷

選擇性必修二《5.3.2函數(shù)的極值和最大(小)值》課后分層作業(yè)

第一課時(shí)函數(shù)的極值

［A級(jí)基礎(chǔ)鞏固］

1.已知函數(shù)f(x)=2x，+ax2+36x—24在x=2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是

()

A.(2,3)B.(3,+8)C.(2,+°°)D.3)

2.已知f(x)=x'+ax2+(a+6)x+l有極大值和極小值，則a的取值范圍是()

A.(-1,2)B.(-3,6)

C.(一°°,—3)U(6,+°°)D.(—8,?—1)□(2,+oo)

3.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值,

則函數(shù)y=xf'(x)的圖象可能是()

ABCD

4.已知函數(shù)￡&)=)-^\一4*的圖象與*軸切于(1,0)點(diǎn),則f(x)的極大值、極小值分

別為()

4444

A.7Z,0B.0,—C.0D.0,——

乙/乙/乙/乙/

5.設(shè)a￡R,若函數(shù)y=e，+ax(x￡R)有大于零的極值點(diǎn)，則()

11

A.a<—1B.a>—1C.a<--D.a>---

ee

1nv

6.函數(shù)y=〒的極大值為

7.若函數(shù)yu-x'+Gd+m的極大值為13,則實(shí)數(shù)m等于.

8.已知函數(shù)y=x3-3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，貝?。輈=.

9.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=e'—2x+2a,xGR,求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

10.已知f(x)=ax"+bx:i+cx(aW0)在x=±l時(shí)取得極值，且f(l)=-1.

(1)試求常數(shù)a,b,c的值；

(2)試判斷x=±l時(shí)函數(shù)取得極小值還是極大值，并說明理由.

［B級(jí)綜合運(yùn)用］

11.(多選)已知函數(shù)f(x)=a/+bx2+cx,其導(dǎo)函數(shù)y=f，(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),

(2,0).如圖，則下列說法中正確的是()

A.當(dāng)x=］時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值

B.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極小值

D.當(dāng)x=l時(shí)函數(shù)取得極大值

12.已知函數(shù)f(x)=e*(sinx-cosx),xG(0,2021”),則函數(shù)知x)的極大值之和為

()

e2"(l-e2021")e"(l-e2<<2<>B)

A.TniB.■

e-11-e

nIOlOnnI010n

「e(I—ex)八e(l—ex)

l-el-e

13.若函數(shù)￡&)=*3+/-2*—4在區(qū)間(一1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為.

14.已知函數(shù)f(x)=e'(ax+b)———4x,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=

4x+4.

(1)求a,b的值；

(2)討論f(x)的單調(diào)性,并求f(x)的極大值.

[C級(jí)拓展探究]

15.已知函數(shù)-X)=--a(aeR,aWO).

e

(D當(dāng)a=-l時(shí)，求函數(shù)f(x)的極值；

(2)若函數(shù)F(x)=f(x)+1沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

答案解析

[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]

1.已知函數(shù)f(x)=2/+ax2+36x—24在x=2處有極值，則該函數(shù)的一個(gè)遞增區(qū)間是

()

A.(2,3)B.(3,+8)C.(2,+8)D.3)

解析：選B因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=2x3+ax?+36x—24在x=2處有極值，又因?yàn)閒'(x)=6x?+

2ax+36,所以f'(2)=0,解得a=-15.令f'(x)>0,解得x>3或x<2,所以函數(shù)的

一個(gè)遞增區(qū)間是(3,+8).

2.已知f(x)=x3+ax?+(a+6)x+l有極大值和極小值，則a的取值范圍是()

A.(-1,2)B.(-3,6)

C.(—8,—3)U(6,+°°)D.(—8,—1)u(2,+°°)

解析:選Cf'(x)=3x?+2ax+a+6,有極大值與極小值，(x)=0有兩不等

實(shí)根，,A=4a2-12(a+6)>0,；.a(一3或a>6.

3.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且函數(shù)f(x)在x=-2處取得極小值，

則函數(shù)y=xf'(x)的圖象可能是()

解析：選C由題意可得f'(-2)=0,而且當(dāng)xd(—8,—2)時(shí)，*(x)<0,此時(shí)

xf'(x)>0,排除B、D；當(dāng)xG(—2,+8)時(shí)，f'(x)>0,此時(shí)若xW(—2,0),

xfz(x)<0,若xG(O,+8),xf'(x)>0,所以函數(shù)丫=*『(x)的圖象可能是C.

4.已知函數(shù)f(x)=x3—px2-qx的圖象與x軸切于(l,0)點(diǎn),則f(x)的極大值、極小值分

別為()

4444

A.藥,0B.0,藥C.D.0,

一斤°27

解析：選Af'(x)=3x?—2px—q,

由f'(1)=0,f(l)=O,

3—2p—q=0,p=2,

解得/.f(x)=x'?—2X2+X.

1—p—q=0,q=—1,

114

由f'(x)=3x?—4x+l=0得x=彳或x=l,易得當(dāng)x=w時(shí)f(x)取極大值方，當(dāng)x=l時(shí)

f(x)取極小值。

5.設(shè)a￡R,若函數(shù)y=e、+ax(x￡R)有大于零的極值點(diǎn)，則()

11

A.a<—1B.a>—1C.a<—~D.a>—

ee

解析：選AVy=ex+ax,:?寸=e'+a.令y'=ex+a=O,則0、=—a,Ax=ln(—

a).又一a>1,即a<—1.

InV

6.函數(shù)y=——的極大值為

X

解析：函數(shù)y=1nTY的定義域?yàn)?°，+8)，

,1—Inx.,-Inx八/口

y=---2—?令y=0,即----2—=0,得x=e.

xx

當(dāng)X變化時(shí)，y',y的變化情況如下表：

X(0,e)e(e,+°°)

y'+0一

極大反

y單調(diào)遞增單調(diào)遞減

由表可知，當(dāng)x=e時(shí)，函數(shù)有極大值!.

e

答案」

e

7.若函數(shù)y=-x3+6x2+m的極大值為13,則實(shí)數(shù)m等于.

解析：y'=-3x?+12x=-3x(x—4).由y'=0,得x=0或x=4.且xG(―8,o)U

(4,+8)時(shí)，y'<0；xG(0,4)時(shí),y'>0,；.x=4時(shí)取到極大值.故一64+96+m=

13,解得m=-19.

答案：一19

8.已知函數(shù)y=x'一3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c=.

解析:設(shè)f(x)=--3x+c,對(duì)f(x)求導(dǎo)可得，f'(x)=3x2—3,令析(設(shè)=0,可得x=

+1,易知fG)在(-8,-1),(1,+8)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.若f(l)=

1—3+c=0,可得c=2；若￡(一1)——l+3+c—0,可得c=-2.

答案：一2或2

9.設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=e'—2x+2a,xGR,求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值.

解：由f(x)=e'—2x+2a,xGR知f'(x)=e-2,xGR.令f'(x)=0,得x=ln2.

于是當(dāng)x變化時(shí)，f'(x),f(x)的變化情況如下表：

X(-8,In2)In2(In2,+°°)

伊(X)一0+

極小值

f(X)單調(diào)遞減單調(diào)遞增

2(l-ln2+a)

故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,in2),單調(diào)遞增區(qū)間是(In2,+?>)；f(x)在x=ln2

處取得極小值.極小值為f(In2)=2(1—In2+a),無極大值.

10.已知己x)=ax3+bx2+cx(aW0)在x=±l時(shí)取得極值,且f(D=-1.

(1)試求常數(shù)a,b,c的值；

(2)試判斷x=±l時(shí)函數(shù)取得極小值還是極大值，并說明理由.

解：(1)由已知,f*(x)=3ax2+2bx+c,

且f'(-l)=f'(1)=0,得3a+2b+c=0,3a—2b+c=0.

又-1,/.a+b+c=—1.

.1,3

..a=],b=0n,c=--

13

(2)由(1)知f(x)—2x3—2X，

f'(x)=-1x2——1)(x+1).

當(dāng)x〈一1或x>l時(shí)，f'(x)>0；

當(dāng)一l〈x〈l時(shí)，f'(x)<0,

函數(shù)f(x)在(-8,—1)和(1,+8)上單調(diào)遞增，在(-1,1)上單調(diào)遞減.

...當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)取得極大值f(-1)=1；

當(dāng)X=1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1)=-1.

[B級(jí)綜合運(yùn)用]

11.(多選)已知函數(shù)f(x)uax'+bx^+cx,其導(dǎo)函數(shù)y=f'(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,0),

(2,0).如圖，則下列說法中正確的是()

3

A.當(dāng)x=E時(shí)，函數(shù)f(x)取得極小值

B.f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)

C.當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)取得極小值

1).當(dāng)x=l時(shí)函數(shù)取得極大值

解析：選BCD由圖象可知，x=l,x=2是函數(shù)的兩極值點(diǎn)，；.B正確；又xG(—8,1)

U(2,+8)時(shí)，f(x)>0；xG(l,2)時(shí)，f'(x)<0,；.x=l是極大值點(diǎn)，x=2是極小

值點(diǎn)，故C、D正確.故選B、C、D.

12.已知函數(shù)f(x)=e'(sinx-cosx),x￡(0,2021n),則函數(shù)f(x)的極大值之和為

()

2n2021J>xnIOlOn、nI0l0?

e(1-e”)e7l-e2020")e(Le)e(1—ex)

Bl2Vr.,2KD.———;~L

n./"?1-e"I—e1—e

解析：選Bf'(x)=2exsinx,令f'(x)=0得sinx=0,.'.x=kn,k《Z,當(dāng)

2kn<x<2kw+Jt時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,當(dāng)(2kT)兀<x<2k”時(shí),fz(x)<0,

f(x)單調(diào)遞減，.?.當(dāng)x=(2k+l)”時(shí)，f(x)取到極大值，021n),.*.0<(2k+

l)n<2021n,.\0^k<l010,k￡Z.If(x)的極大值之和為S=f(n)+f(3")+f(5n)

ri_Z0>?-|?n_2020n.

+…+f(2019n)=e"+e3.+e”+???+e?°.=(2")=(,),故選B.

1—e1—e

13.若函數(shù)￡&)=*3+/—2乂一4在區(qū)間(一1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍

為?

解析：由題意,f'(x)=3x2+2x—a,

則f'(-l)f'(1)<0,即(1一a)(5—a)<0,解得l<a<5,另外，當(dāng)a=l時(shí)，函數(shù)f(x)=x

+x2—X—4在區(qū)間(一1,1)上恰有一個(gè)極值點(diǎn)，當(dāng)a=5時(shí)，函數(shù)f(x)=x3+x2—5x—4在

區(qū)間(一1,1)沒有極值點(diǎn).故實(shí)數(shù)a的范圍為［1,5).

答案：［1,5)

14.已知函數(shù)函x)=eYax+b)—X?—4x,曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=

4x+4.

(1)求a,b的值；

(2)討論f(x)的單調(diào)性，并求f(x)的極大值.

解：(l)f'(x)=ex(ax+a+b)—2x—4.

由已知得f(0)=4,f'(0)=4,故b=4,a+b=8.

從而a=4,b=4.

(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+l)—x2—4x,

f'(x)=4e'(x+2)-2x-4=4(x+2)(e'-；).

令(x)=0得，x=—ln2或x=-2.

從而當(dāng)x￡(—8,—2)U(—In2,+8)時(shí)，『(x)>0；當(dāng)x￡(—2,一In2)時(shí)，

fz(x)<0.

故f(x)在(一8,-2),(-In2,+8)上單調(diào)遞增，在(一2,一In2)上單調(diào)遞減.

當(dāng)x=-2時(shí)，函數(shù)f(x)取得極大值，極大值為￡(-2)=4(1一院2).

[C級(jí)拓展探究]

15.已知函數(shù)函x)="x、&(a￡R,aWO).

e

(1)當(dāng)a=—1時(shí),求函數(shù)f(x)的極值;

(2)若函數(shù)F(x)=f(x)+l沒有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解：(1)當(dāng)a=-l時(shí)，f(x)=-f'(x)=—.

ee

由f'(x)=0,得x=2.

當(dāng)x變化時(shí)，f(x),f(x)的變化情況如下表：

X(—8,2)2(2,+8)

f'(X)—0+

f(X)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

所以函數(shù)f(x)的極小值為￡(2)=一5

函數(shù)f(x)無極大值.

ae'二(ax二a)e"二a(x二2)

e

①當(dāng)a<0時(shí),F(x),F'(x)的變化情況如下表:

X(—°°.2)2(2,+8)

F'(x)一0+

F(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增

若使函數(shù)F(x)沒有零點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)F(2)W+1>。,

解得a>—e2,所以此時(shí)一e2<a<0；

②當(dāng)a〉0時(shí)，F(xiàn)(x),F'(x)的變化情況如下表:

X(―°°,2)2(2,+8)

X(X)+0—

F(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減

當(dāng)x>2時(shí)，F(xiàn)(x)=^n+】>i,

當(dāng)x<2時(shí)，令F(x)=aG：D+l<0,

e

即a(x—1)+e*<0,

由于a(x—1)+ex<a(x-1)+e2,

令a(x—1)+eWO,

2

得xWl一旦,

a

2

即xWl一旦時(shí),

a

F(x)<0,所以F(x)總存在零點(diǎn)，

綜上所述，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一不,0).

《5?3.2函數(shù)的極值和最大(小)值》課后分層作業(yè)

第二課時(shí)函數(shù)的最大(小)值

[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]

1.函數(shù)f(x)=x'一4x(|x|〈l)()

A.有最大值，無最小值B.有最大值，也有最小值

C.無最大值，有最小值D.既無最大值，也無最小值

2.函數(shù)f(x)=2#+,，xd(0,5］的最小值為()

1

23D+

17一-

A.B.42

1nY

3.函數(shù)y=——的最大值為()

X

A.e-1B.eC,e2D.10

4.函數(shù)f(x)=——3ax—a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為()

A.［0,1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(0,0

5.若函數(shù)f(x)=x；'-3x'-9x+k在區(qū)間［-4,4］上的最大值為10,則其最小值為()

A.-10B.-71C.-15D.-22

6.函數(shù)y=^/x—x(x^0)的最大值為.

7.若函數(shù)f(x)=x'—3x—a在區(qū)間［0,3］上的最大值、最小值分別為m,n,則m—n=—.

8.設(shè)函數(shù)fG)』/,若當(dāng)xe［-2,2Wh不等式f(x)>m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范

圍是________.

9.設(shè)函數(shù)f(x)=e，一%一x.

⑴若k=0,求f(x)的最小值；

(2)若k=l,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

10.已知函數(shù)f(x)=x'+ax"+bx+5,曲線y=f(x)在點(diǎn)P(Lf(1))處的切線方程為y=3x

+1.

⑴求a,b的值；

⑵求y=f(x)在［-3,1］上的最大值.

［B級(jí)綜合運(yùn)用］

11.設(shè)直線x=t與函數(shù)f(x)=x:g(x)=直x的圖象分別交于點(diǎn)M,N,則當(dāng)|MN|達(dá)到最

小值時(shí)t的值為()

1亞也

A.1B.-C.勺D.^

12.(多選)設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=y」，則下列命題正確的是()

A.不等式g(x)>0的解集為g,+8

B.函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減

C.當(dāng)xi>X2>0時(shí)，彳(X：—xg)>f(xi)—f(X2)恒成立，則

D.若函數(shù)F(x)=f(x)—ax2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a￡(0,1)

15

13.己知函數(shù)y=-x?—2x+3在區(qū)間［a,2］上的最大值為才，則a=

14.已知函數(shù)f(x)In=3x.

x

(1)求f(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)在［1,t］上的最大值.

［C級(jí)拓展探究］

15.已知函數(shù)f(x)=lnx+冬.

x

(1)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在［1,e］上的最小值是|,求a的值.

答案解析

［A級(jí)基礎(chǔ)鞏固］

1.函數(shù)f(x)=x'一4x(|x|〈l)()

A.有最大值，無最小值B.有最大值，也有最小值

C.無最大值，有最小值D.既無最大值，也無最小值

解析：選Df'(x)=4x‘一4=4(x—1)(x?+x+l).

令f'(x)=0,得x=l.又xW(—1,1)且1陣(一1,1),

該方程無解，故函數(shù)f(x)在(一1,1)上既無極值也無最值.故選D.

2.函數(shù)f(x)=2#+g,xC(0,5］的最小值為()

115?—1

解析：選B由f'(x)=-p--=——=0,得x=l,

5xx

且xG(0,1)時(shí)，/(x)<0,xG(l,5］時(shí),f'(x)>0,

???x=l時(shí)，f(x)取得極小值且為最小值，故最小值為f(1)=3.

3.函數(shù)y=1nUY的最大值為()

A.e-1B.eC.e2D.10

、〃(Inx)*x—Inx1—Inx?

解析：選A令A(yù)y=-------2------=-------=0得x=e.當(dāng)x>e時(shí),y<0；當(dāng)OVx

xx

Ve時(shí)，y'>0,所以y極大值=f(e)=e，在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以丫即=2一)

4.函數(shù)f(x)=x：'一3ax—a在(0,1)內(nèi)有最小值，則a的取值范圍為()

A.[0,1)B.(0,1)C.(-1,1)D.(0,

解析：選BVf,(x)=3x‘一3a,

令f'(x)=0,可得a=x?,

又：xG(0,1),.,.0<a<l,故選B.

5.若函數(shù)￡?)=(-3*2-9*+1<在區(qū)間[-4,4]上的最大值為10,則其最小值為()

A.-10B.-71C.-15D.一22

解析：選Bff(x)=3x2—6x—9=3(x—3)(x+1).

由f'(x)=0,得x=3或x=-1.

又因?yàn)閒(—4)=k—76,f(3)=k—27,

f(-l)=k+5,f(4)=k—20.

由f(x)max=k+5=10,得k=5,

f(x)min=k—76=—71.

6.函數(shù)y=4—x(x2O)的最大值為.

ell,1l—2\lx.1

解析：y二環(huán)*2市’令y=°得x=w

???0Vxv[ll寸，yf>0；x>；時(shí)，y'<0.

答案：:

7.若函數(shù)f(x)=x，-3x—a在區(qū)間［0,3］上的最大值、最小值分別為m,n,則m—n=

解析：：伊(X)=3X2-3,

...當(dāng)X>1或X<-1時(shí)，f'(x)>0；

當(dāng)一IVxVl時(shí),f'(x)<0.

在［0,1］上單調(diào)遞減，在［1,3］上單調(diào)遞增.

f(x)min=f(1)=1—3—a=—2—a=n.

又??,f(0)=—a,f(3)=18-a,Af(0)<f(3).

??f(x)max=f(3)=18-a=m,

m—n=18—a—(—2—a)=20.

答案：20

1

2

8.設(shè)函數(shù)f(x)2-Xe若當(dāng)xC[-2,2]時(shí)，不等式f(x)>m恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范

圍是.

解析：f'(x)=xe'+%'e'=，?x(x+2),

令f'(x)=0得x=0或x=-2.

當(dāng)xG［—2,2］時(shí),f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:

X-2(—2,0)0(0,2)2

f'(x)0—0+

f(x)單調(diào)遞減極小值0單調(diào)遞增

.?.當(dāng)x=0時(shí)，f(x)mi?=f(0)=0,要使f(x)>m對(duì)x、［-2,2］恒成立,只需m<f(x)」

答案：(一8,0)

|z

9.設(shè)函數(shù)f(x)=e'一那"一x.

(1)若k=0,求f(x)的最小值；

(2)若k=l,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性.

解：⑴k=0時(shí)，f(x)—ex—x,f'(x)=e“—1.

當(dāng)xW(—8,0)時(shí)，當(dāng)(x)<0；

當(dāng)xG(O,+8)時(shí),f'(x)>0,

所以f(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

在(0,+8)上單調(diào)遞增，

故f(x)的最小值為f(O)=L

(2)若k=l,則f(x)=e”一宗一x,定義域?yàn)镽.

所以f'(x)=ex—x—1,令g(x)=e'—x—1,

則g'(x)=e?—1,

由g'(x)》0得xNO,所以g(x)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

由g'(x)<0得x<0,所以g(x)在(-8,0)上單調(diào)遞減，

所以g(x)”i?=g(O)=0,即f'(X)M"=0,故f'(x)20.

所以f(x)在R上單調(diào)遞增.

10.已知函數(shù)f(x)=x3+ax2+bx+5,曲線y=f(x)在點(diǎn)P(l,f(D)處的切線方程為y=3x

+1.

(1)求a,b的值；

(2)求y=f(x)在［-3,1］上的最大值.

解：(1)依題意可知點(diǎn)P(l,f(D)為切點(diǎn)，代入切線方程y=3x+l可得,

f(l)=3Xl+l=4,

.?,f(l)=l+a+b+5=4,即a+b=-2,

又由f(x)=x3+ax2+bx+5得,

f'(x)=3x'+2ax+b,

而由切線y=3x+l的斜率可知f'(1)=3,

???3+2a+b=3,

即2a+b=0,

a+b=-2,［a=2,

由?！私獾肔』

2a+b=0,〔b=一4,

.*.a=2,b=-4.

(2)由(1)知f(x)=x3+2x2-4x+5,

f(x)=3x?+4x—4=(3x—2)(x+2),

令f'(x)=0,

2

得x=w或x=-2.

當(dāng)X變化時(shí)，f(x),f'(x)的變化情況如下表:

(-3,—2

X-3-21

2)62,(I3

f'(X)+0一0+

f(x)8單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增4

；.f(x)的極大值為f(-2)=13,極小值為

又(-3)=8,又1)=4,

；.f(x)在［-3,1］上的最大值為13.

［B級(jí)綜合運(yùn)用］

11.設(shè)直線x=t與函數(shù)f(x)=x\g(x)=lnx的圖象分別交于點(diǎn)M,N,則當(dāng)|啾|達(dá)到最

小值時(shí)t的值為()

1c乖A/2

A.1B.-C.~~D.

解析：選D因?yàn)閒(x)的圖象始終在g(x)的上方，所以|MN|=f(x)—g(x)=x2—Inx,設(shè)

h(x)=x2—Inx,則h'(x)=2x-----令h'(x)=-----------=0,得*=坐或x=一

xxx2

平(舍去)，所以h(x)在(o,由上單調(diào)遞減，在俘，+8)上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=平時(shí)

有最小值，故1=乎.

12.(多選)設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=—?jiǎng)t下列命題正確的是()

A.不等式g(x)>0的解集為g,+8)

B.函數(shù)g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減

C.當(dāng)Xi>X2>0時(shí)，5(x：—x。>f(xi)—f(X2)恒成立，則mel

D.若函數(shù)F(x)=f(x)—ax?有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)(0,1)

解析：選ACf(x)=xlnx的導(dǎo)函數(shù)為f，(x)=l+lnx,則g(x)=^―

xx

—InY1+InXI

g'(x)=-L,對(duì)于A,g(x)>0,即------->0,解得X>一,故A正確；對(duì)于B,

xxe

—1nY

g，(x)=r^,當(dāng)xe(0,1)時(shí)，gz(x)>0,g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；對(duì)于

C,3(x；—X。>f(X1)-f(X2)可化為f(X2)—能>f(X1)—設(shè)6(x)=f(x)—齊，又X1>X2

>0,???小(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，.?.4)'(x)=l+lnx—mxWO在(0,+8)上恒成

立，即上?口在(0,+8)上恒成立.又g(x)=上￥=在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1,

+8)上單調(diào)遞減，.?.g(x)在x=l處取得最大值，g(l)=l,故C正確；對(duì)于D,

若函數(shù)F(x)=f(x)—ax?有兩個(gè)極值點(diǎn)，則伊(x)=l+lnx—2ax有兩個(gè)零點(diǎn)，即1+ln

x—2ax=0有兩個(gè)不等實(shí)根.2a=l+「x,又=1±詈￡在(0門)上單調(diào)遞增，在(晨

+8)上單調(diào)遞減，g(l)=1,X—+8時(shí)，g(x)-0,即2a￡(0,1),a￡(0,故D錯(cuò)

誤.故選A、C.

15

13.已知函數(shù)y=—x?—2x+3在區(qū)間［a,2］上的最大值為牙，貝I」a=.

解析：y'=-2x—2,令y'=0,得x=-1,

???函數(shù)在(一8,—1)上單調(diào)遞增，

在(-1>+8)上單調(diào)遞減.

15

若a>一1,則最大值為f(a)=—a——2a+3=-p

解得a=一芥=一亭舍去)；

15

若aW-l,則最大值為f(-l)=-1+2+3=421.

1

綜上知,a-2-

答案：一5

14.已知函數(shù)f(x)=1n3.Y

X

(1)求f(x)在點(diǎn)(1,0)處的切線方程;

⑵求函數(shù)f(x)在［1,打上的最大值.

解：f(x)的定義域?yàn)?0,+8),

f(x)的導(dǎo)數(shù)f'(X)」—「x.

(l)f'(1)=1,所以切線方程為y=x-l.

1—1nY

⑵令f'(x)=——=0,解得x=e.

X

當(dāng)x￡(0,e)時(shí)，f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增,

當(dāng)xW(e,+8)時(shí),fz(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,

當(dāng)l〈t<e時(shí)，f(x)在［1,t］上單調(diào)遞增,

f(X)max=f(t)=3工，

當(dāng)t2e時(shí),門外在口，當(dāng)上單調(diào)遞增,

在［e,t］上單調(diào)遞減，f(x)=f(e)

maxe

［C級(jí)拓展探究］

15.已知函數(shù)函x)=lnx+-.

x

(1)當(dāng)a<0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)f(x)在［1,e］上的最小值是5,求a的值.

解：函數(shù)f(x)=lnx+色的定義域?yàn)?0,+8),

x

”/、1ax-a

f(x)----2=——,

XXX

(1)Va<0,：.f'(x)>0,

故函數(shù)在其定義域(0,+8)上單調(diào)遞增.

(2)xG［l,e］時(shí)，分如下情況討論：

①當(dāng)a〈l時(shí)，f'(x)>0,

函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，其最小值為f(l)=a〈L

這與函數(shù)在［1,e］上的最小值是］相矛盾；

②當(dāng)a=l時(shí);函數(shù)f(x)在［1,e］上單調(diào)遞增，其最小值為f(l)=l，同樣與最小值是5相

矛盾；

③當(dāng)l<a<e時(shí)，函數(shù)f(x)在［1,a)上有f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減,在(a,e］上有

f(x)>0,f(x)單調(diào)遞增，

Q

所以，函數(shù)f(X)的最小值為f(a)=lna+1,由Ina+l=］,得a=?.

④當(dāng)a=e時(shí)，函數(shù)f(x)在［1,e］上有f'(x)〈函f(x)單調(diào)遞減，其最小值為f(e)=2,

這與最小值是那矛盾；

⑤當(dāng)a>e時(shí)，顯然函數(shù)f(x)在［1,e］上單調(diào)遞減，其最小值為f(e)=1+當(dāng)2,仍與最小值

e

是郛矛盾；

綜上所述，a的值為十.

《5.3.2函數(shù)的極值和最大(小)值》同步檢測(cè)試卷

注意事項(xiàng):

本試卷滿分100分，考試時(shí)間45分鐘，試題共16題.答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色

簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置.

一、單選題

1.已知函數(shù)=則（）

A.函數(shù)/（%）的極大值點(diǎn)為戶血

B.函數(shù)/（力在卜8,—0）上單調(diào)遞減

C.函數(shù)/（X）在R上有3個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)“X）在原點(diǎn)處的切線方程為y=-3e3工

2.已知函數(shù)f（x）=d—p/—/的圖象與x軸相切于點(diǎn)（1,0）,則“X）的極小值為

（）

3.若函數(shù)y=有小于零的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

A.m<-B.0<m<—C.m>—D.0<m<l

222

4.已知可導(dǎo)函數(shù)/（x）的導(dǎo)函數(shù)為尸（x）,則“1（%）=0"是=是函數(shù)/（x）的

一個(gè)極值點(diǎn)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知函數(shù)/（刈=^^（。>0）在口,”）上的最大值為@，則a的值為（）

+a3

「34

A.A/3—1B.—C.一D.G+l

“43

6.若函數(shù)/(幻=(/+》2一1在區(qū)間(九m+3)上存在最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

()

A.[-5,0)B.(-5,0)C.[-3,0)D.(-3,0)

7.已知函數(shù)/(x)=x2—21nx,若在定義域內(nèi)存在看,使得不等式/(/)—，％,0成立，

則實(shí)數(shù)m的最小值是()

A.2B.-2C.1D.-1

8.若函數(shù)=+如2+1(加力0)在區(qū)間(0,2)上的極大值為最大值，則m的取值范

圍是()

A.(0,3)B.(-3,0)C.(一8,-3)D.(3,+?))

二、多選題

9.已知函數(shù)/(x)="-Inx-2,則下列說法正確的是()

A.f(x)有且僅有一個(gè)極值點(diǎn)

B./(x)有零點(diǎn)

C.若/(x)的極小值點(diǎn)為/,則0</(/)<g

D.若/(x)的極小值點(diǎn)為則;</(/)<1

10.(多選)已知函數(shù)/(x)=or—Inx(aeR),則下列說法正確的是()

A.若a40,則函數(shù)/(x)沒有極值

B.若。>0,則函數(shù)/(x)有極值

C.若函數(shù)/(X)有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是1-8,3)

D.若函數(shù)/(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(—8,0]

11.定義在R上的函數(shù)/(x),若存在函數(shù)g(x)=，w+8(a,b為常數(shù))，使得

/(x)Ng(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則稱g(x)為函數(shù)/(X)的一個(gè)承托函數(shù)，下列命題中

正確的是()

一Inx,x>0

A.函數(shù)g(x)=-2是函數(shù)/口)=4,的一個(gè)承托函數(shù)

i,x,o

B.函數(shù)g(x)=x-l是函數(shù)/(x)=x+sinx的一個(gè)承托函數(shù)

C.若函數(shù)g(x)=ca是函數(shù)“r)="的一個(gè)承托函數(shù)，則a的取值范圍是［0,e］

D.值域是R的函數(shù)〃x)不存在承托函數(shù)

12.設(shè)函數(shù)八力=優(yōu)-4“>1)的定義域?yàn)?0,+“)，己知/(X)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，下

列結(jié)論正確的有()

A.a=eB./(x)在區(qū)間(l,e)單調(diào)遞增

C.x=l是/(力的極大值點(diǎn)D./(e)是“X)的最小值

三、填空題

13.已知x=l是函數(shù)〃力=￡+/的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的值為.

14.已知函數(shù)/(》)=63+2彳2-4x+5,當(dāng)x=g時(shí)，函數(shù)“X)有極值，則函數(shù)在

［-3,1］上的最大值為.

2x-e\x<0

15.對(duì)于函數(shù)/(九)=721有下列命題：

x—2xH—,x>0

2

2

①在該函數(shù)圖象上一點(diǎn)(-2,f(-2))處的切線的斜率為T-；

e

2

②函數(shù)f(x)的最小值為--；

e

③該函數(shù)圖象與x軸有4個(gè)交點(diǎn)；

④函數(shù)f(x)在(-8,-1］上為減函數(shù)，在(0,1］上也為減函數(shù).

其中正確命題的序號(hào)是.

四、雙空題

]nx

16.已知函數(shù)f(x)=——.

X

(1)函數(shù)的最大值等于;

(2)若對(duì)任意看,工2e[a,xo),都有成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是

答案解析

一、單選題

1.已知函數(shù)/(%)=1#-3x|",則()

A.函數(shù)/(x)的極大值點(diǎn)為x=V5

B.函數(shù)/(x)在卜8,_應(yīng))上單調(diào)遞減

C.函數(shù)“X)在R上有3個(gè)零點(diǎn)

D.函數(shù)/(x)在原點(diǎn)處的切線方程為y=-3e'x

【答案】D

【解析】A選項(xiàng)：由/(尤)=(|尤2-3x卜，得r(x)=e3(3x—3),令f(x)=O,

得x=l,故xe(-oo,l),f'(x)<0,/(x)=[Tf-3x卜3為減函數(shù)，

XG(L+OO),/'(x)>0,/(x)=(Tx2—3x}e3為增函數(shù)，所以x=l

是函數(shù)/(x)的極小值點(diǎn)，無極大值點(diǎn)，故A錯(cuò);

(5),/(幻=(#-3%)

B選項(xiàng)：當(dāng)xe/為減函數(shù)，故B錯(cuò);

C選項(xiàng)：由函數(shù)單調(diào)性可知函數(shù)至多有兩個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò);

D選項(xiàng)：切線斜率左=/'(0)=-3e3,所以切線方程為y=-3e3x,D正確.故選：D

2.己知函數(shù)〃X)=X3—/的圖象與工軸相切于點(diǎn)(1,0),則/(%)的極小值為

()

45

A.0B.---C.——D.1

2727

【答案】A

【解析】由題知/'(x)=3%2-2Px-q,由于函數(shù)“力=/一〃/一"的圖象與x軸相

2。工。,解得彳P=2

切于點(diǎn)(1,。)，則，

f(\)=\-p-q=Q4=一1

.\/(x)=x3-2x2+x,「./'(%)=3x2-4x+l,

令r(無)=o,可得x=g或x=i,列表如下:

X1。,+8)

H)3

r(x)