高中數(shù)學講義微58 數(shù)學歸納法

微專題58數(shù)學歸納法

一、基礎(chǔ)知識：

1、數(shù)學歸納法適用的范圍：關(guān)于正整數(shù)〃的命題(例如數(shù)列，不等式，整除問題等)，則可以

考慮使用數(shù)學歸納法進行證明

2、第一數(shù)學歸納法：通過假設(shè)〃=%成立，再結(jié)合其它條件去證〃=左+1成立即可。證明的

步驟如下：

(1)歸納驗證：驗證〃(人是滿足條件的最小整數(shù))時，命題成立

(2)歸納假設(shè)：假設(shè)〃=%(左成立，證明當〃=4+1時，命題也成立

(3)歸納結(jié)論：得到結(jié)論：〃2N時，命題均成立

3、第一歸納法要注意的地方：

(1)數(shù)學歸納法所證命題不一定從〃=1開始成立，可從任意一個正整數(shù)“°開始，此時歸納

驗證從n=%開始

(2)歸納假設(shè)中，要注意kN%,保證遞推的連續(xù)性

(3)歸納假設(shè)中的〃=%,命題成立，是證明〃=%+1命題成立的重要條件。在證明的過程

中要注意尋找"=k+l與n=k的聯(lián)系

4、第二數(shù)學歸納法：在第一數(shù)學歸納法中有一個細節(jié)，就是在假設(shè)〃=左命題成立時，可用

的條件只有〃=左，而不能默認其它〃〈女的時依然成立.第二數(shù)學歸納法是對第一歸納法的

補充，將歸納假設(shè)擴充為假設(shè)〃W%，命題均成立，然后證明〃=%+1命題成立?？墒褂玫臈l

件要比第一歸納法多，證明的步驟如下：

(1)歸納驗證：驗證〃=%(〃。是滿足條件的最小整數(shù))時，命題成立

(2)歸納假設(shè)：假設(shè)〃4攵伏2%,〃€“成立，證明當“=女+1時，命題也成立

(3)歸納結(jié)論：得到結(jié)論：時，命題均成立

二、典型例題

例I：己知等比數(shù)列｛怎｝的首項q=2,公比4=3,設(shè)S”是它的前〃項和，求證：

-S-.+--i、-3-〃--+--1

s”_n

思路：根據(jù)等比數(shù)列求和公式可化簡所證不等式：3“22”+1,〃時，不等式為

3*>+1：當〃=左+1時，所證不等式為3"122k+3,可明顯看到〃=左與〃=左+1中，

兩個不等式的聯(lián)系，從而想到利用數(shù)學歸納法進行證明

3"+|-13/7+1

證明：S“=二一^=3"—1,所證不等式為：-——-<—一

"q-\3"-1n

.?.n（3n+1-l）<（3n+l）（3"-l）

<^n-3n+'-n<n-3"+'+3"-3n-\

o3"N2〃+l,下面用數(shù)學歸納法證明：

（1）驗證：〃=1時，左邊=右邊，不等式成立

（2）假設(shè)〃左eN）時，不等式成立，則“=攵+1時，

3川=3?3423（2左+1）=6%+3>2（%+1）+1

所以〃=%+1時，不等式成立

VnGTV',均有k4網(wǎng)把

S.?

小煉有話說：教學歸納法的證明過程，關(guān)鍵的地方在于尋找所證鹿=左+1與條件〃=%之間的

聯(lián)系，一旦找到聯(lián)系，則數(shù)學歸納法即可使用

例2（2015,和平模擬）：已知數(shù)列｛??｝滿足4>0,其前〃項和S〃>1,且

S,=：（&+l）（a“+2）,〃eN*

O

（1）求數(shù)列｛%｝的通項公式

C1

并記為數(shù)列的前〃項和，求證：

（2）設(shè)d=log21+一Tn｛a｝

7

喈）〃eV

解：（1）65〃=+3a〃+2①

6S,I+3a.T+2（〃N2,〃eN*）②

①一②可得：

6%=4_+34-3a,i=3（?！?4-）=。；一<>

an>0所以兩邊同除以4+。〃_]可得：an-an_x=3

.??{〃“}是公差為3的等差數(shù)列

/.an=a}+3（〃-1）,在6S〃=a：+3a〃+2中令〃=1可得:

6S]=a；+3〃]+2=>%=1（舍）或a1=2

/.an=3〃-1

QXQ、JQMi個

---…--

(253n-lJ2

若直接證明則需要進行放縮，難度較大。而如果選擇數(shù)學歸納法證明，則目標相對明確，難

度較小。

1\Q

1+-----=log7—

[3n-1J3n-1

?.,/]（363n

+…+仇=晦匕.二.?…彳7

363〃1371+2

所證不等式為：310g2>*og—

25…3〃一12

363〃丫3〃+2

<=>log2>log2

25372—1）2

363n丫3〃+2

2-53n-lJ>2

下面用數(shù)學歸納法證明:

（3Y5275

當“=1時，不等式為士＞士二二〉士成立

⑶282

假設(shè)當〃=女（女21,攵6"*）時成立，則〃=左+1時,

363k3k+3丫_(363kV(3k+3丫

2-5…-313-+2)一〔2?…3k-J135+2,

3k+2(3&+3丫_(3%+3丫

》二-?[3k+2)=2(3%+2)2

(3左+3丫>3Z+5

所以只需證:即可，嘗試進行等價變形:

2(3&+2)22

(33+3)3

〉o(3左+3)3>(3&+2)2(3A+5)

2(32+2)2

=2743+81左2+81攵+27>2723+81公

小log2c6所證不等式為：37；＞log2（%上^],〃eN*

53n-l）\2J

例3：設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S“，滿足S“=2”怎M—3〃2—4〃,〃eN*,且$3=15

（1）求。1,。2，。3

（2）求數(shù)列｛%｝的通項公式

解：（1）在Sa=2〃?！?1-3〃？一4〃中，〃=1時，有％=2。2-7

幾=2時，邑=4+%=4%-20,另有S3=4+%+q=15

q=2a2—7q=3

。]+。2=4。3-20,解得：<③二5

q+生+%=15“3=7

(2)思路：由S,,=2〃。用一3〃2一4〃可得：S-=2(〃—I)4—3(〃—1)2-4(〃—I),n>2

兩式相減可得：（2〃-1）q=2加“+1—6〃-1（〃22）,從遞推公式很難直接求出通項公式。

觀察q=3,4=5,%=7,可猜想%=2〃+1,從而考慮“先猜再證”利用數(shù)學歸納法證明:

證明：由4=3,。2=5,%=7猜想4=2〃+1,下面用數(shù)學歸納法進行證明:

（1）驗證當〃=1時，q=3符合題意

（2）假設(shè)〃=攵（421,Z￡N*）時，%=2&+1,則〃=&+1時

2

S〃=2nan+}-3n-4〃

Si=2（〃-1"〃-3（〃-1）2-4（〃-1）,n>2

則（2〃-1）??=2也〃+[-6〃-]

/.（2,k—1）%=2k€1匕卜1—6k—1

=>（2Z-1）（2Z+1）=2kcik+i—6k—1

=>4左2-1=2kak+l—6k—I

=>2包+]=4k2+6左=%+]=2攵+3=2（k+1）+1

所以〃=左+1,滿足通項公式

%=2〃+1

例4：在數(shù)列｛4｝中，已知4=々（々>2）,且%+]求證：a>2

2（%T）n

證明：用數(shù)學歸納法證明:

當〃=1時，a]=a>2,命題成立

假設(shè)〃=%時，命題成立，即%>2,則〃=%+1時

生上cakca1—4-a,+4（%-2）2

考慮4+|—2=——~--2=士~^―

2（4-1）2（q-1）

《一即

ak>21>0-.ak+l-2=^-^->0,4+1>2

2（%-1）

neN*時，均有an>2

例5：已知數(shù)列｛%｝滿足％=0,〃2=1，當〃cN時，4+2=4+1+〃〃

求證：數(shù)列｛4｝的第4m+1仙eN*）項能被3整除

證明：（數(shù)學歸納法）

（1）當〃7=1時，a4m+[=%=+。3=（。3+。2）+（。2+4）=3%+攵]=3,能被3整除

(2)假設(shè)當〃/=左時，。依+i能被3整除，那么當加=左+1時

%僅+1)+1="4*+5=a4k+4+°4*+3=°4?+3+%&+2+04*+2+”4?+1=3a依+2+^44+1

???3。伏+2能被3整除，。4.+1能被3整除...％化+1)+1能被3整除

即加=左+1時，命題成立；.對一切的機GN*,%”,+I均能被3整除

11

---1----

例6：設(shè)正整數(shù)數(shù)列｛%｝滿足：4=4,且對于任何〃€“，由2+」一<產(chǎn)<2+—

“〃+1-------

nn+1

（1）求A，/

(2)求數(shù)列｛〃〃｝的通項公式

解：(1)思路：雖然所給條件為不等式，但因為％為正整數(shù)，所以依然可由不等式確定?！ǖ?/p>

值，可先解出范圍，再求出滿足的整數(shù)即可。

由已知不等式得：2+」一<“(〃+1)<2+—

a〃+iza

1/11、11(11)1

當”=1時，2+—<2—+—<2+—即2+—<2—+-<2+—

a2Ia,a2Jax4144J4

28

得

解<q<4=

3-7-

11]111

當〃=2時,<2+—即2+上<6-+—<2+-

?2%（4到4

解得：8<a3<10,則q=9

綜上：a1=1,%=9

(2)思路：由q=1,4=4,%=9可猜想4=/,且條件為遞推的不等式，剛好能體現(xiàn)怎+1

與鬼的聯(lián)系。所以考慮利用數(shù)學歸納法證明

證明：由q=1,4=4,仆=9,猜想q=〃2,下面用數(shù)學歸納法證明”22的情況：

驗證：”=2時，符合通項公式

2

假設(shè)〃=攵(左22,攵eN*)時，an=k,則〃=&+1時,

c1,111cl

2+——<攵(左+1)—+——<2+—

4+1"K

=K(Z+l)<q

女3(2+1)化+2%+1)(%--%+1)-(A+1)

而

k2-k+lk2-k+ls+i

(11\2%+1

'=()4+k12)--k--+---\-------

k(k2+k-l)(左2+2左+l)(k—1)+1

k,2+2k+1+——1

k-1k-\k—T

=(攵+以+1

k—1

k+l/,\21

.-.(jt+l)2f

k-l

k+11

因為人之2時，—-------€(0,11,——€(0,11(均在左=2時，取到1)

k?-k+l'」Ii」

2

所以左>2時，ak+l€Z(2+1)-<aMK(%+1)

ak+i-(^+1),命題成立

2

V/j>2,an=n而％均符合通項公式

小煉有話說：(1)利用整數(shù)的離散性，在求整數(shù)的值時，不僅可用等式(方程)去解，也可

用不等式先求出范圍，再取范圍內(nèi)的整數(shù)，同樣可以達到求值的目的

k4.11

(2)為什么對〃22開始進行數(shù)學歸納法而不是從“21開始？因為在二-------,——中

k2-k+lk-\

左=1時，不能滿足條件。所以也許一開始入手是從〃=1開始證明，但在證明過程中發(fā)現(xiàn)條件

的對變量取值有所限制，則要進行適當?shù)恼{(diào)整。

例7：已知數(shù)列｛4｝滿足a"十1=ca；+l-c,〃wN*,其中常數(shù)ce(0,；

(1)若出>%,求％的取值范圍

(2)若4?0,1),求證：對任意的“wN*,都有

解：(1)由已知可得：〃=1時

a2-caf+1-c

/.cci^+1—c>4ca；-q+1-c>0[cq-(1-c)](q—1)>0

「.q<1或q>------

c

（2）思路：條件給出遞推公式，故考慮利用巴.的范圍去推出4+]的范圍，可嘗試數(shù)學歸納法

解：（數(shù)學歸納法）

當〃=1時，4￡（0,1）成立

假設(shè)〃=%時，命題成立，即為￡（0,1）,則當拉=k+1時，

4+1—ca"4-1-c—1-c（l-a"）

*:ak￡（0,1）：.或e（0,l）=>l-￡（0,1）

%]=1—C（1一4；）￡（0,1）,即力=Z+1時，命題成立

所以〃￡N*時，均有〃〃￡（0,1）

例8：已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為S“，且q=4,S,="%+2—〃（?。╝22,"wN*）

(1)求

⑵設(shè)也｝滿足：4=4且%]1)2一2(〃eN*),求證：bn>a”(nN2,nwN*)

解:(I)Sn=nan+2-->2,n&N,^①

(H-1)(H-2)

十乙---------------------------（在3）②

2

①一②

???4=加?一(〃—1)*一(b1)("23)

=二4一%=1

.?.{??}從第二項開始成等差數(shù)列

令〃=2則邑=2。2+2—1=>q+%=24+1，代入q=4可得：a2=3

?

..九22時，an=%+(九一2)。=〃+1

4,n=1

n+l,n>2

(2)解：由(1)可得所證不等式為：勿>〃+1,考慮使用數(shù)學歸納法：

當〃=2時，—2=14>3=出

假設(shè)〃=攵時，命題成立，即4〉&+1,則〃=4+1時

%="ST+I)_2

而外一%+1>左+1-左+1=2;.仇+|〉2”一2>2伙+1)—2=2左

\-2k>k+2/.bk+i>k+2

所以〃=2+1時，命題成立

22時，么>〃+1=an

例9：已知△ABC的三邊長為有理數(shù)

(1)求證：cosA是有理數(shù)

(2)求證：對任意的正整數(shù)〃，COSHA是有理數(shù)

證明：(1),/cosA=+<:———又a,b,cwQ

2bc

/.--------------€Q,即cosA是有理數(shù)

2bc

(2)思路：題目條件很少，無法直接入手，所以考慮利用數(shù)學歸納法制造條件并找到與條件

的聯(lián)系，假設(shè)COSZAE。，則cos(左+1)A=COSA>4cosA+sinAAsinA,可知cosAAcosA為

有理數(shù)，但sin姑sinA未知，且題目中再無可用條件。所以要想證明，則需將制造條件加強，

設(shè)sinMsinAeQ,代價就是在證明時也要證明sin(4+l)AsinA《Q成立。只需

sin(k+1)AsinA=sinMsinAcosA+cosAsin2A,是可證明的

證明：使用數(shù)學歸納法證明cosnA與sinzzAsinA均為有理數(shù)

當〃=1時，由(1)可得COSAEQ,且sin2A=1-COS?AEQ

假設(shè)〃=攵時丁命題成立，即cosAAsin九AsinA^Q,則〃=攵+1時

sin(2+1)AsinA=(sinMcosAd-sinAcosM)sinA=sinMsinAcosA+cosAsin2A

?/(sinMsinA)cosAeQ,cosAsin2AeQ

sin(左+1)AsinAEQ

cos(%+1)A=cosMcosA+sinMsinA,由假設(shè)可得coskA,sinziAsinAeQ

「.COS(A+1)A￡Q

綜上所述：力=Z+1時，命題成立

/.neN*時，cos為有理數(shù)

小煉有話說：

(1)涉及到關(guān)于〃的命題，若所給條件過少，則可通過數(shù)學歸納法制造條件，以便于證明題

目

(2)本題在利用數(shù)學歸納法證明時，對所證問題做了一個加強，即對于同一個〃，有兩個命

題同時成立，這樣做的好處在于在歸納假設(shè)時會再多一個條件進行使用，但是代價就是歸納

證明時也要多證明一個結(jié)論。有時針對條件較少的題目還是值得的

例10：(2014,安徽)設(shè)實數(shù)c>0,整數(shù)〃

⑴證明：當X>一1且九時，(l+x)”〉l+px

pp

(2)數(shù)列｛凡｝滿足q>〃+]=?——an+—a1~,求證：an>an+]>c

PP

解：(1)思路：所證不等式含有兩個變量，若以P為核心變量，則P為大于1的正整數(shù)，且

在不等式左邊位于指數(shù)的位置，在證明不等式時可以考慮利用數(shù)學歸納法，從而證明p=k+\

時，左邊(1+X)""=(1+(1+X),與〃=%取得聯(lián)系。

證明：用數(shù)學歸納法證明：

當〃=2時，(1+^)2=1+2X+X2>1+2X,原不等式成立

假設(shè)P=MZ22,ZGN*)時，不等式成立，即(1+域>1+依，則〃=%+1時，

(1+X廣?=(l+x)(l+x)*>(l+x)(l+云)=1+(攵+1)》+依2

>1+(Z+1)X

所以〃=左+1時，不等式成立

pN2,peN*時,(1+x)P>1+px

"一1Q

(2)思路：本題證明a.>a”+|易想到對勺+?=-——an+-a,：/'兩邊同時除以％與1進行比

pP

\_

較：2±L=I+_L(￡_]],進而要證明，

—<l=>a>cp所以只能先證后面的不等式，

anf

小,：)n

由遞推公式可想到利用數(shù)學歸納法證明。

證明：用