高中數學 空間幾何體解答題（計算題）訓練含答案

高中數學空間幾何體解答題(計算題)專題訓練含答案

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一、計算題(共20題)

1、一個多面體的直觀圖和三視圖如下:

(其中就川分別是月死死中點)

(1)求證：胸〃平面C公爵；

(2)求多面體8-CDSF的體積.

2、某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖甲所示.墩的上半部分是正四棱錐

P-EFGH,下半部分是長方體-即期.圖乙、圖丙分別是該標識墩的正(主)視

圖和俯視圖.

(1)請畫出該安全標識墩的側(左)視圖；

(2)求該安全標識墩的體積；

(3)證明：直線BD1.平面PEG.

p

3、如圖所示，正方形N88與直角梯形所在平面互相垂直，43忑=90",

?AFHDS,DE=DA=2J4F=2.

(I)求證：/CM平面立麗;

(ID求四面體密:虛尸的體積.

4、某高速公路收費站入口處的安全標識墩如圖甲所示.墩的上半部分是正四棱錐

P-EFGH,下半部分是長方體，密”-酬圖乙、圖丙分別是該標識墩的正(主)視圖和

俯視圖.

(1)請畫出該安全標識墩的側(左)視圖；

(2)求該安全標識墩的體積；

(3)證明：直線初_L平面尸嵐?.

p

5、如圖，在四棱錐力中，底面幻為直角梯形，AD//BC,/A除90°,平面詠J_

￡

底面力靦，0為49的中點，物是氣的中點，PA=PD,BO2AD.

(I)求證：24//平面囪幻；

(II)求證：平面胤見L平面PAD.

6、下圖是一個幾何體的三視圖，根據圖中的數據，計算該幾何體的體積.

即左網

俯視圖

7、下圖是一幾何體的直觀圖、主視圖、俯視圖、左視圖.

(I)若歹為，叨的中點，求證：切，面PCD；

(H)證明此，'，'面尸四7；

(III)求面性。與面F8所成的二面角(銳角)的余弦值.

8、一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中肺，學分別是川5',WC*的中點，仃是廢

上的一動點.

(I)求該幾何體的體積與表面積；

(II)求證：亮

(III)當FG^C/口時，在棱力門上確定一點尹，使得GF〃平面并給出證明.

俯視圖

9、如圖，在四棱錐尸/6切中，AD//BC,AB=AD=2BC,仍=如，"是陽的中點.

(1)求證：平面OAB-,

(2)求證：BDLOA.

10、已知幾何體4—6。物的三視圖

如圖所不，其中俯視圖和側視圖都是

腰長為4的等腰直角三角形，正視圖

為直角梯形.

(1)求此幾何體的體積V的大??；

(2)求異面直線DE與AB所成角的

余弦值；

(3)試探究在DE上是否存在點Q,使得AQ_LBQ并說明理由.

11、如圖所示是一個幾何體的直觀圖、正視圖、俯視圖、側視圖(其中正視圖為直角梯形,

俯視圖為正方形，側視圖為直角三角形，尺寸如圖所示).

(1)求四棱錐人/況》的體積；

(2)證明：劭〃平面比G

⑶若6為8。上的動點，求證：AELPG.

12、如圖，在四面體工￡0C(中，百，NADH=12伊,且必=，3=8=L

(I)設P為線段的中點，試在線段月F上求一點也，使得摩_1口4；

(II)求二面角0-工二-2的平面角的余弦值.

13、右圖是一幾何體的直觀圖、正視圖和俯視圖。

(I)在正視圖右側，按照畫三視圖的要求畫出該幾何體的側視圖;

(II)在所給直觀圖中連結BD,證明BD〃面PEC；

(III)按照給出的尺寸，求該幾何體的體積。

俯視圖

14、如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，側棱PD_L底面ABCD,PD=DC,

E是PC的中點，作EFLPB交FB于點F.

(1)證明：PA〃平面EDE；

(2)證明：PB_L平面EED.

15、一個幾何體的三視圖如右圖所示.已知正視圖是底邊長為1的平行四邊形，側視圖是一個

長為寬為1的矩形，俯視圖為兩個邊長為1的正方形拼成的矩形.

(I)求該幾何體的體積V；

(H)求該幾何體的表面積s.

俯視圖

16、如圖棱柱45c當氏G鼻的底面是菱形，平面“C】C_L平面WC”.

(I)求證：即L“；

(II)設且5=a,Z.SAC-30',四邊形H4G二的面積為3a3，求棱柱如匯?&舄GQi的體

積.

日JS

17、直棱柱.心⑺-耳耳qq中，底面且孔力是直角梯形,

Z5JD=^ADC=-.AB=2AD=2CD=2

2

(I)求證：J_平面田用6。

(H)在4網上是否存一點P,使得門尸與平面8儂與平面月磔i都平行？證明你的結論.

ABi

Ci

Mi

B

DC

18、如圖，在直角梯形超8中，4=/：口=900,孤＜:8,?平面超8,U=

=-J2a.

(I)求證:平面視J_平面工W；

(II)設骸的中點為肝，且功試求出四棱錐S-公CD的體積

19、如圖，多面體ABCD—EFG中，底面ABCD為正方形，GD//FC//AE,AE_L平面ABCD,

其正視圖、俯視圖如下：

(I)求證：平面AEF,平面BDG；

(H)若存在見＞0使得花=工癥，二面角A—BG—K的大小為5IT,求/的值。

20、如圖：梯形口和正ZiF班所在平面互

=ca=—HR

相垂直，其中力04QC,2且。為金石中點.

(I)求證：8C7/平面F8；

(II)求證：ACLPD.

=參考答案=

一、計算題

1、（1）由三視圖知，該多面體是底面為直角三角形的

直三棱柱，且AB=3C="=2,

DE=CF=2近,：.￡CBF=90°,2分

取2F中點C?,連瀛^然仃，由N分別是AF,BC中點，可設：我。療CF,MG//EF,

...面面CDEF：.胸〃面CDSF…

（2）作用另_LZ）豆于丑，由于三棱柱公疸一班茅為直三棱柱

...乩百1面口0宴F,

Fl.3壯=M上??533,

2、解：（1）該安全標識墩側視圖如圖所示.....3分

（2）該安全標識墩的體積

y=+/scb您引Gy=耳乂40區(qū)4。乂60+404。黃￡。

=64000(c??s)…6分

(3)由題設知四邊形用g2門和四邊形的GH均為正方形.

又A3CD-EFQH為長方體，.?.B口8FH.

設點◎是正方形赤心笈的對稱中心，

?.?產一辟強是正四棱錐，

PO1面酬皈，而成f仁面“15/,

：.PO1FH.

*：FHL通F0c置3=。

廣。u面工密白，承7u面尹豆3,

.?.其五_L面至0t.而配)療艮廿，故B0_L面尸敏土…12分

3、(I)證明：設HCT赭門=。，取3百中點仃,

連結F0a3,所以，。行事萬/比

因為且#1萬,DE=之如巴所以如？旦（X?,

從而四邊形且西3。是平行四邊形，

2

分

因為FGc平面BSF,AO^Z平面BEF,

所以/平面班渺，即NC〃平面....................6分

（H）解：因為平面0JL平面且。骸ABLAD,

所以工能」平面加礪.8分

因為用尸療萬，Z.4Z)^=90°,DE=jDA=2AF=2,

—xED'^AD=2

所以&D醉的面積為210分

_=I:S*凸j?wx29

所以四面體密:虛產的體積33????12分

4、解：（1）該安全標識墩側視圖如圖所示3分

(2)該安全標識墩的體積

￥=63-S3H5&￡等=W乂4。x40x60+40x40x20

=64000(c??J)…6分

⑶由題設知四邊形且BC口和四邊形即仃方均為正方形.

:.E八FH

又A3CD-為長方體，,即"WK.

設點。是正方形即心笈的對稱中心，

?.?產一以花"是正四棱錐，

PO1面聆酬,而比f仁面酬皈，

：.PO±FH.

LEG,POnEG=O

FOu面產敏7,面尸百b,

.-.FMJ.面尸演3s.而BD//FH,故SD±面百演五…12分

5、證明：(I)連接交6。于此連接助K……2分

1

YBC//AD且BO2AD,即BetAQ.

...四邊形比3為平行四邊形，且川為/C中點,

又?.?點〃在是棱陽的中點，

/.MN//PA...............4分

?初VU平面旗以為(Z平面』儂，.....5分

PA//平面/跖0..............6分

(II)'：AD//BC,B(=2AD,0為/〃的中點,

...四邊形式制為平行四邊形，

CD//BQ..............8分

?：/AD090°修90°EliQBVAD.

又,/平面PADL平面/況0

且平面為。n平面ABCD=AD,.......10分

.?.60，平面/D......11分

?.?80U平面PQB,

，平面。4厲，平面為D..........12分

￡

另證：AD//BC,BO2AD,0為/〃的中點

，BC//DQ且BC=DQ,

四邊形8C%為平行四邊形，.?.繆〃陽.

,///膝90°g90°即〃，4

*/PA=PD,C.PQLAD.

'：所B9Q,：.ADL平面PBQ.

,：平面必〃，

，平面平面PAD.

6、解:分三部分，一個圓柱,半圓柱和一個四棱柱

1,

F-2x2x1+-(jTxrxl)+7rxrx2

35

=4+一界

2

7、解：(I)由幾何體的三視圖可知，底面ABCD是邊長為4的正方形,PA_L面ABCD,

PA〃EB,PA=2EB=4.丁PA=AD,F為PD的中點,

/.PD±AF,

又"/CD±DA,CD±PA,PAnDA=A,

.?.CD,面ADP,

/.CD±AF.又CDQDP=D,，AF，面PCD.------------4分

(II)取PC的中點M,AC與BD的交點為N,連結MN,

.*.MN=2PA,MN〃PA,

，MN=EB,MN〃EB,故四邊形BEMN為平行四邊形，

，EM〃BN,又EMU面PEC,，BD〃面PEC.------------7分

(III)分別以BC,BA,BE為x,y,z軸建立空間直角坐標系,

則C(4,0,0),D(4,4,0),E(0,0,2),A(0,4,0),P(0,4,4),

2F為PD的中點，AF(2,4,2).

2AFL面PCD,...就為面PCD的一個法向量,

FA=(-2,0,-2),設平面PEC的法向量為G=(x,y,z),

圈"CE=0

則弗?CP=0

z=2x

??.41,一無+"z=0,令x=i,.?.r界=(1-12),

10分

瓦4，四

COS<Hvin,期-A,_>走

|加|問

5k

/.瓦i與］的夾角為了.

也

面PEC與面PDC所成的二面角(銳角)的余弦值為2.------------12分

8、(I)由三視圖可知直觀圖為直三棱柱，

底面月0盧中ADI.DF,口F=AD==?,

一1次5

該幾何體的體積為2表面積為2',,?,44》

(II)證明：連接工該，可知百，◎共線，且

又?.一/：」通口FDLCD,金門08=。,

二尸5上而dBCZ).又?.?/Cu面HRCZ):.FDLAC.

又?.?ZWfW=0,

:.面祝RV又C7?『u面FIW,

:.GN±AC............................8分

(HI)點尸與點d重合時，受〃面產BZ..............................10分

證明：取Fc中點3,連接行達G&a數.

11

???G是酬的中點：..?.?松是力方的中點：金河幺5D。

GH//AM且GH=AM:.四邊形?到必是平行四邊形.

CM//MH.又?.?鮑在c面FMC,CM仁面畫痣，

:CM〃面EMT即GP〃面..........…….........13分

9、證明：(1)設小是力的中點，連結砌￥,A。

因為歷是必的中點，所以?//〃,K2MN=AD............................2分

又ADIIBC,AD=2BC,

所以四邊形6。則是平行四邊形，從而腋7/AE...............................4分

又加Q平面的8,AHu平面的8,

所以.，〃//平面的8；......................................................7分

(2)設〃是劭的中點，連結力〃，0H.

因為所以/〃，龍.

又因為OB=OD,所以OHLBD.............................................9分

因為AHu平面OAH,OHu平面OAH,AHV\0H=H,

所以初，平面力〃.....................................................12分

因為如u平面應0,所以物，如........................................14分

10、解析：(1)由該幾何體的三視圖知/7JL面劭郎，且EC=BC=AC=4,BD=1,

??3=2-°

1140

=^■5L.=-x10x4=—

?333

即該幾何體的體積V為16.

(2)解法1:過點B作BF//ED交EC于F,連結AF,

則ZFBA或其補角即為異面直線DE與AB所成的角.

在4BAF中，AB=4應，BF=AF==皿+9=5.

解法2：以C為原點，以CA,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系.

則A(4,0,0),B(0,4,0),D(0,4,1),E(0,0,4)

二￡琳=(0,-4,取且5=(T,4,0),

—2

cos<DEAB>=-

：._________t________5

殛

異面直線DE與AB所成的角的余弦值為虧.

(3)解法1:在DE上存在點Q,使得AQJLBQ.取BC中點0,過點0作0Q1DE于點Q,

E

則點Q滿足題設.

連結EO、0D,在RtAECO和RtAOBD中

SCOBc

COOD：.RihECORiAQBD：.ZSOC=OBD

VZ￡（?C+ZC3O=50aAZWC+ZW5=9Q'Z5O5=90".

?.?OE=初審Mb=2.75,OD=1朋+M=第

ccOSOD鼠及忑?

???ED5

...以0為圓心、以BC為直徑的圓與DE相切.切點為Q/.SQ1CQ

?.?小江面冽陽以鴕匚面仁雙里BQLAC.?.距上面月儂

?月您U面ACQw.w.w.k.s.5.u.c.o.m.

解法2:以C為原點，以CA,CB,CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系.

設滿足題設的點Q存在，其坐標為（0,m,n）,則蔡=（T，然㈤，苑=由履-4㈤

后。二（0戶力幽-4）,謖）二（"4一%1-海）

VAQ±BQ.?.那O-4）+/=0----------------------------①

...點Q在ED上，，存在4￡正儀＞0)使得至=&

4a_w+兄

◎掰/-4)=4Q4一灌,1一曲1人-五二T二二1+鼻----------②

(^―)4=,n矛-84+16=0

②代入①得'1+2。+&，解得2=4

f03當

???滿足題設的點Q存在，其坐標為'"5'5'

11、解：⑴由幾何體的三視圖可知，底面力發(fā)力是邊長為4的正方形，為，平面48切,為〃窈,

且必=4我,BE=2收,AB=AD=CD=CB=\,

11640

3PAXS，tncD=3X4X4X4=3

⑵證明：連結力C交物于。點，

取PC中點凡連結明

■:EB〃PA,且必=5必,

1

又0F//PA,且0F=2PA,

:.EB〃0F,且EB=0F,，四邊形段/為平行四邊形，:.EF〃BD.

又必t平面在T,則平面PEC,所以切〃平面也:

(3)連結朋?.?劉=麗='2，/EBA=/BAP=90°,

二△煙s△從尸，：.ZPBA=ABEA,：.ZPBA+ABAE=ZBEA+ZBAE=90°,：.PBVAE.

又：BCJ_平面APEB,...BCJLAE,...AE，平面PBG,AAE1PG.

12、解：在平面內過點01作廢_LCM交AS于點N.

以。為坐標原點，分別以3、W、8所在直線為x軸、t軸、z軸，建立空間直角坐

標系(如圖)......................................................1分

則接L0A,m0j、a：。,A。,卞!)、5(——22-,0)\f'f—2,0,~2)...................…..3分

——3中...

(I)設京=五國。女兄口,因為也7一1三'3,

所以場=由+海=L+題-，，芋◎=Q-g4鞏0)

P￡=OE-OP=(---Ji,^-2-^)

1_3

04=-

因為FW_LCM,所以麗.無1=0.即,解得3.

故所求點為

即點￡為線段弱的三等分點（靠近點H）..............................7分

（ID設平面抽。的法向量為硝c5=ao,-i）,

__'x-2=0

嗎~LC用,，石

,"77一二方+上升0

由.用工加得〔22*.

令z=1得*=L3"=^3.即強i=（L君＞D...................................9分

又嗎=電1，°）是平面aic的法向量,...................................io分

…3國空3居

所以V'5'l5

故二面角口-金。一8的平面角的余弦值為5............................12分

13、解（I）如圖所示。

情視圖

（H）證明，取PC的中點M,設AC與BD的交點為N,連結MN、ME,丁尸孫=］齷4第=亡我

2//PA

；.MN=EB,MN〃EB,故BEMN為平行四邊形。

，EM〃BN,又EMU平面PEC,BD<Z面PEC,，BD〃平面PEC。

(III)32$23

14、證明：(1)連結AC交ED與。，連結E。.

?.?底面ABCD是正方形，

.?.點。是AC的中點.

又?.?就是PC的中點

.?.在△F,C中，EQ為中位線

PA//E0.…3分

而E。u平面EDB,PAU平面EDE,

.,.PA〃平面EDE.…6分

(2)由PD_L底面ABCD,得PDLBC.

?.?底面ABCD是正方形，

DC±BC,

/.BC±平面PDC.而DEc平面PDC,

BC1DE.@…8分

?；PD=DC,E是PC的中點,

/.△PDC是等腰三角形，DE±PC.(2)??,10分

由①和②得DE，平面PBC.

而FBu平面：PEC,

/.DE±PB.…12分

又EF_LPB且DE「1EF=E

，PE_L平面EFD.…13分

15、解：⑴由三視圖可知，該幾何體是一個平行六面體(如右圖)，

其底面是邊長為1的正方形，高為—，------3分

所以曠=1*1乂依=忑.------------------6分

⑵由三視圖可知，該平行六面體中，

1.面筋L面為7G片,

所以乩4=之，----------9分

側面，超我-&?SAG均為矩形,

￡—2x(lxl-rlx.nj^-f-lx2)=6+2、512分

昨3

16、(I)略6分(II)212分

17、證明：（I）直棱柱?但D-W用0口中,

郎，平面ABCD,

..BB^LAC.“O分

又?：/BAD=/ADC=9C,

.45=2.9=28=?,

A.4C=V2,NO8=45°,

...萬號=也，BCLAC...5分

又㈣Cl卻兩出Cu平面SAGG

力入平面BBCC…7分

(H)在4星上是否存一點尹，使得￡中與平面

就喝與平面總都平行？證明你的結論.

解：存在點尸，戶為/龍的中點..................8分

證明：由。為43的中點，

￡

有PR"AB,且PR=2AB..................9分

￡

又,：DCMAB,DC=2AB,

：,DC〃陽，且DC=PB、,

，加身尸為平行四邊形，

從而綏〃廢..............11分

又第u面/絡，DP(Z面4CR,

:.DP//而ACK.............12分

同理，0F"面BCB\.............................................................13分

故尸為44的中點符合題意...................14分

18、證明：丫乙工=,二怒-L月0

又的上平面乩直拓c平面ABCD,

.........................2分

.?一平面,SW.......................................................4分

又超u平面展斐，

：.平面SABJL平面SAD6分

(II)設劭的中點為財，且Q四"La綸，試求出四棱錐￡-48的體積

—BD,/^BDA—451

又放為頷中點,

DM_LM...........8分

由條件加，■C.MCn^S=M

:.DM1面勖U，又RCu面1S3c,

則aMJL3cr,.....io分

由(1)可知初，￡C,Me口數=心，；EC_L面'總，則8C_L9口,

12分

由平面幾何知識，則△￡口是等腰直角三角形,

則DC=42DB=2X,13分

T”1r.ec1,（z+2a,后t

*3=5\陽=補丁）&五&=萬）

故14分

19、

19.(I)證明：連AC,BD,在正方形ABCD中，AC1BD,又

AEHGDHFC'

>=GD，面月88又ACu面A3CD,則月C_LGR/月CJ.BD,GDC1

AE1面月88

則AC1面瓦?G,MCu面月或P,故面/EMCJL面%X7……4'

GD=FC=入

(II)解：由三視圖知'=>四邊形DCFG為平行四邊形nbG"CD且FG=CD

GDHFCJ

正方形ABCD中，AB//CD且AB=CD

=且FG=AB=4瓦G,9共面=>平面ABG即平面ABFGnKFfl平面ABG=F.

作K0J.4G干0,連接F0,屋_L平面ABCD=松J.J1B：

正方形ABCD中，ADLAB=>J1B_L平面AEGD……6分］

AE//GD=AE,G