高中數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)課（三）概率教學(xué)案 北師大版必修3

復(fù)習(xí)課(三)概率

常考點(diǎn)一

此類問題主要考查古典概型的求法，題型既有選擇題、填空題，也有解答題，且常與統(tǒng)

計(jì)等問題綜合考查.

［考點(diǎn)精要］

1.互斥事件與對立事件的概率

(1)互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件;對立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外,

還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生.因此對立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對立事件,

對立事件是互斥事件的特殊情況.

(2)當(dāng)事件A與8互斥時(shí)，〃(/+面=P(A)+P(而，當(dāng)事件A與8對立時(shí)，R/+歷=P(A)

+/(0=1,即/(力=1一產(chǎn)(7.

(3)求復(fù)雜事件的概率通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；

二是先求其對立事件的概率，然后再應(yīng)用公式產(chǎn)(4=1—P(7)求解.

2.古典概型的求法

對于古典概型概率的計(jì)算，關(guān)鍵是分清基本事件的總數(shù)〃與事件4包含的基本事件的個(gè)

數(shù)小，有時(shí)需用列舉法把基本事件一一列舉出來，再利用公式以制=?求出事件發(fā)生的概率,

這是一個(gè)形象、直觀的好方法，但列舉時(shí)必須按照某種順序，以保證不重復(fù)、不遺漏.

［典例］柜子里有3雙不同的鞋，隨機(jī)地取出2只，試求下列事件的概率：

(1)取出的鞋不成雙；

(2)取出的鞋都是左腳的；

(3)取出的鞋都是同一只腳的；

(4)取出的鞋一只是左腳的，一只是右腳的，但不成雙.

［解］用4,4；B\,G,G分別表示3雙不同的鞋，其中下標(biāo)為奇數(shù)表示左腳，下

標(biāo)為偶數(shù)表示右腳，

則從6只鞋中取2只所有的取法有：

44,AB,A\Bi>AiC\f4G,

AzB\fAB,^242G,

BB,B\C\fBiG,

BG,BG,

CC,共15種.

(1)取出的鞋不成雙的所有取法有：

A\B\f4氏，A\C\9AiQf

AiB\jA2B1,A2Q4C,

BC,B￡,BG,8G,共12種.

1?4

其概率為

10D

(2)取出的鞋都是左腳的所有取法有：

AB,BG,4G,共3種.

31

其概率為

P2=—15=-5.

(3)取出的鞋都是同一只腳的所有取法有：

4品BC,4G,Az艮,4G,&G,共6種.

其概率為8=2='|.

100

(4)取出的鞋一只左腳的，一只右腳的但不成雙的所有取法有：

A展,4G,Az&,4G,BG,反G,共6種.

其概率為/?i='p='|.

103

［類題通法］

在古典概型中，計(jì)算概率的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找到基本事件的數(shù)目，這就需要我們能夠熟練運(yùn)

用圖表和樹狀圖，把基本事件一一列出.而有許多試驗(yàn)，它們的可能結(jié)果非常多，以至于我

們不可能將所有結(jié)果全部列出，這時(shí)我們不妨找找其規(guī)律，算出基本事件的數(shù)目.

［題組訓(xùn)練］

1.如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù),

從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為()

31

A-TOB,5

C±D，

1020

解析：選C從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3),

(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),

其中勾股數(shù)只有(3,4,5),所以概率為卡.故選C.

2.某中學(xué)調(diào)查了某班全部45名同學(xué)參加書法社團(tuán)和演講社團(tuán)的情況，數(shù)據(jù)如下表：(單

位：人)

參加書法社團(tuán)未參加書法社團(tuán)

參加演講社團(tuán)85

2

未參加演講社團(tuán)230

(1)從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，求該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率；

(2)在既參加書法社團(tuán)又參加演講社團(tuán)的8名同學(xué)中，有5名男同學(xué)4,及，4,4,4,3

名女同學(xué)3,氏，氏.現(xiàn)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，求4被選中且4未

被選中的概率.

解：(1)由調(diào)查數(shù)據(jù)可知，既未參加書法社團(tuán)又未參加演講社團(tuán)的有30人，

故至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的共有45—30=15(人)，

151

所以從該班隨機(jī)選1名同學(xué)，該同學(xué)至少參加上述一個(gè)社團(tuán)的概率為々金=不

453

(2)從這5名男同學(xué)和3名女同學(xué)中各隨機(jī)選1人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件

有：

{4,B、},{4,良},{4,Bj\,{4，氏］,{A-n民},{An氏}，{4,氏},{4,旦}?{A,

閡，{4,聞，{4,昉,{4,氏},{4,卻，{4,氏},{4,&},共15個(gè).

根據(jù)題意，這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的.

事件“4被選中且名未被選中”所包含的基本事件有：

{4,&］,U，閡,共2個(gè).

2

因此4被選中且81未被選中的概率為-77.

1常考點(diǎn)二"幾何概型

此類問題多以選擇題、填空題的形式考查幾何概型、概率的求法，屬于低檔題.

［考點(diǎn)精要］

1.幾何概型的基本特征：基本事件的無限性、每個(gè)事件發(fā)生的等可能性.

2.幾何概型的概率計(jì)算公式：

..構(gòu)成事件/的區(qū)域長度面積或體積

“加一試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積.

［典例］(1)在半徑為1的圓上隨機(jī)地取兩點(diǎn)，連成一條弦，則其長超過圓內(nèi)接等邊三

角形的邊長的概率是多少？

(2)在半徑為1的圓內(nèi)，過一條直徑上任意一點(diǎn)作垂直于直徑的弦，求弦長超過圓內(nèi)接

等邊三角形的邊長的概率.

(3)以半徑為1的圓內(nèi)任一點(diǎn)為中點(diǎn)作弦，求弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長的概率.

［解］(1)記事件4={弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長},取圓內(nèi)

接等邊△靦的頂點(diǎn)8為弦的一個(gè)端點(diǎn)，當(dāng)另一點(diǎn)在劣弧切上時(shí)，|跖|///\\

D

E

>\BC\,而劣弧0的弧長是圓周長的所以由幾何概率公式得P(4)=*

(2)記事件/=｛弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長｝,如圖所示，不

妨在過等邊△筋的頂點(diǎn)8的直徑跳'上任取一點(diǎn)作垂直于直徑的弦，顯

然當(dāng)弦為切時(shí)就是邊長，弦長大于I切I長的條件是圓心。到弦的距離小

1

5X21

于ImI,由幾何概率公式得P(A)即弦長超過圓內(nèi)接等邊三角

形的邊長的概率是*

(3)記事件4=｛弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長｝,如圖所示，作等

邊三角形的內(nèi)切圓，當(dāng)以小圓上任一點(diǎn)為切點(diǎn)作弦時(shí)，弦長等于等邊三角形

的邊長，所以弦長超過內(nèi)接三角形邊長時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)弦的中點(diǎn)在小圓內(nèi)，小

131XG)1

圓半徑為所以由幾何概率公式得?(冷==不即弦長超過圓內(nèi)接

5Z,JiA14"二二

等邊三角形的邊長的概率是*

［類題通法］

三個(gè)題目都是在圓內(nèi)任意作弦使得弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長，但三個(gè)題目中由

于“等可能”的含義不同，得到的概率不同.因而在解決幾何概率問題時(shí)，必須找準(zhǔn)觀察角

度，明確隨機(jī)選取的含義，判斷好基本事件的等可能性.

［題組訓(xùn)練］

1.在區(qū)間［0,2］上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x,則事件“一IWlogKj+ywi”發(fā)生的概率為

()

32

A-4B-3

C-|D］

解析：選A不等式一1<10皮卜+；卜1可化為10或2—0噂%+義卜10踢，即呆x

二。

1323

+^2,解得故由幾何概型的概率公式得戶=^=不

2乙z—04

4

2.如圖，矩形18（力中，點(diǎn)/在x軸上，點(diǎn)6的坐標(biāo)為（1,0）,

卜+1,x20,

且點(diǎn)。與點(diǎn)〃在函數(shù)/'（"={1,的圖象上.若在矩

一三+1,水0

形力驅(qū)內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于（）

11

6-4-

AC.B.

3D.1

8-2-

x+1,x20,

解析:選B因?yàn)?Xx）=d13點(diǎn)坐標(biāo)為（1,0）,所以C點(diǎn)坐標(biāo)為（1,2）,

一三+1,K0,

。點(diǎn)坐標(biāo)為（一2,2）,力點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,故矩形力靦的面積為2X3=6,陰影部分的面積

3

、，13一21

為JX3X1=5,故々公=不

乙LO4

3.在區(qū)間［0,1］上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)x,切記R為事件“x+y》；”的概率，出為事件“I*

-y|的概率，"為事件"X/'的概率，則（）

A.p\<p^<PiB.pi<ps<p\

C.RVR<RD.P3</?2<PI

解析：選B滿足條件的x,y構(gòu)成的點(diǎn)（x,y）在正方形如"及其邊界上.事件'"+

星”對應(yīng)的圖形為圖①所示的陰影部分；事件對應(yīng)的圖形為圖②所示的陰

影部分；事件“xyw/”對應(yīng)的圖形為圖③所示的陰影部分.對三者的面積進(jìn)行比較，可得

Pi<Pi<P\.

［回扣驗(yàn)收特訓(xùn)］

1.一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小相同的紅、藍(lán)球各一個(gè)，若有放回地摸出一個(gè)球并記下顏色為

一次試驗(yàn)，試驗(yàn)共進(jìn)行三次，則至少摸到一次紅球的概率是（）

17

--

8B.8

AC.D.

35

8-8-

解析：選B所有的基本事件為：（紅，紅，紅），（紅，紅，藍(lán)），（紅，藍(lán)，紅），（藍(lán),

紅，紅），（紅，藍(lán)，藍(lán)），（藍(lán)，紅，藍(lán)），（藍(lán)，藍(lán)，紅），（藍(lán)，藍(lán)，藍(lán)），共8個(gè).三次都

是藍(lán)球的基本事件只有1個(gè)，其概率是《，根據(jù)對立事件的概率之間的關(guān)系，所求的概率為

O

17

1飛=§.選5

2.已知直線y=x+A,Z?e[-2,3],則直線在y軸上的截距大于1的概率為（）

31

A，8B，3

八2、2

C.~D.~

3o

3—i2

解析：選D直線在y軸上的截距大于1,則b?（1,3],故所求概率P^----------=7.

3——5

3.從含有a,b,c的集合中任取一個(gè)子集，所取的子集是含有兩個(gè)元素的集合的概率

是（）

AAB，

1012

八453

j64-8

解析：選D所有子集共8個(gè)；其中含有2個(gè)元素的為{a,b},{a,c},{b,c].

4.有4根木棍長度分別為2,5,7,10,從這4根木棍中任取3根，則所取的3根木棍首

尾相接能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為（）

11

A-4B-3

12

C—D-

25

解析:選A從4根木棍中任取3根，基本事件有（2,5,7）,（2,5,10）,（2,7,10）,

（5,7,10）,共4個(gè)，能構(gòu)成三角形的只有（5,7,10）這一個(gè)基本事件，故所求概率

5.已知菱形165的邊長為4,ZASC=150°,若在菱形內(nèi)任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)到菱形的

四個(gè)頂點(diǎn)的距離都大于1的概率為（）

6

解析：選D分別以4B,C,〃為圓心，1為半徑作圓，圓與菱形1時(shí)重合部分的面

積為2XHX/X5+2XJiX12x^=n,而菱形4?⑺的面積為8,所以所求概率為二三=

1Z1Zo

n

r

6.一只受傷的丹頂鶴向如圖所示(直角梯形)的區(qū)域上空飛來，其中Dc

AD=y[2km,DC=2km,BC—\km,丹頂鶴隨機(jī)地落在該區(qū)域上任意一處，

AEB

若落在扇形沼澤區(qū)域力原以外，丹頂鶴能生還，則該丹頂鶴生還的概率是()

1JIn

A-----R1——

21510

解析：選B過點(diǎn)。作叩_LA8于點(diǎn)、F,在中，易知力尸=1,N[=45°.

梯形被力的面積S=J義(2+2+1)X1=-1,扇形的面積S=(A/2)2XJT義：=：,

5_^_

故丹頂鶴生還的概率々"@="±=1一喘.

O[01U

2

7.從兩名男生和兩名女生中，任意選擇兩人在星期六、星期日參加某公益活動(dòng)，每天

一人，則星期六安排一名男生、星期日安排一名女生的概率為________.

解析：設(shè)兩名女生為&,及,兩名男生為b\,段，則所有可能的結(jié)果如下：(&,均)，

(&,A),Cai,力2),(如國)，(如仇)，(念，段)，(仇，&),(Z?i,a),(Z;i,a2),(&,A),

34)，(&,魚)，共12種，其中星期六安排一名男生、星期日安排一名女生包括4種情

41

況，所以所求概率為「商=鼻.

JL/o

答案：I

8.已知集合"={1,2,3,4},卅{(a,6)|aSJ/,bw助,4是集合N中任意一點(diǎn)，0為

坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線0A與拋物線y=f+l有交點(diǎn)的概率是.

解析：易知過點(diǎn)(0,0)與拋物線y=/+l相切的直線為尸2x(斜率小于0的無需考慮)，

集合N中共有16個(gè)元素，其中使力斜率不小于2的有(1,2),(1,3),(1,4),(2,4),共4

41

個(gè)，由古典概型的概率計(jì)算公式知概率為「主=不

164

答案：|

9.任意拋擲兩顆骰子，得到的點(diǎn)數(shù)分別為a,6,則點(diǎn)P(a,6)落在區(qū)域Ix|+|y|W3

中的概率為.

解析：基本事件為6X6=36,尸(a,6)落在區(qū)域|x|+|y|W3中的有(1,1),(1,2),(2,1),

Q1

所以P=—~—=——

6X612-

依-1

答案：冠

10.某電腦公司現(xiàn)有4B,C三種型號的甲品牌電腦和〃，后兩種型號的乙品牌電腦，

希望中學(xué)要從甲、乙兩種品牌電腦中各隨機(jī)選購一種型號的電腦.

(1)寫出所有選購方案；

(2)如果(1)中各種選購方案被選中的可能性相同，那么A型號電腦被選中的概率是多

少？(直接寫出結(jié)果即可)

解：(1)畫出樹狀圖如圖：

乙。EDEDE

則選購方案為：(4。)，(4而，(6,9,(6,而，(C,力,(C,￡).

(2)4型號電腦被選中的情形為(49，(/,￡),即基本事件為2種，所以4型號電腦

21

被選中的概率為—

b3

11.已知甲袋中有1只臼球、2只紅球，乙袋中有2只白球、2只紅球，現(xiàn)從兩袋中各

取一球.

(1)求兩球顏色相同的概率；

(2)求至少有一只白球的概率.

解：將甲袋中1只白球記為&.2只紅球記為仇，&；乙袋中2只白球記為檢，前2只紅

球記為b、,所以“從兩袋中各取一球”所包含的基本事件為(國,檢)，(&,a),(a,

bs),(31,從)，(bi,a2),(,bi,aj,(。，bs),(右，僅)，(&,a2),(&,備)，(生&),(6,

方),共有12種.

(1)設(shè)/表示“從兩袋中各取一球，兩球顏色相同”，所以事件力包含基本事件(團(tuán)，aj,

(ai,a3);(bi,&),(bi,b\),(&,bs),(&,從)，共6種.

所以P(A)=^=1.

(2)設(shè)6表示“從兩袋中各取一球，至少有一只白球”，所以事件8包含基本事件(切，

ai),(a,,as),(a,&),(a,bi),(A,a2),(A,a3),(&,a2),(&,a3),共8種，所以

5123-

8

12.有7位歌手（1至7號）參加一場歌唱比賽，由500名大眾評委現(xiàn)場投票決定歌手名

次.根據(jù)年齡將大眾評委分為五組，各組的人數(shù)如下：

組別ACDE

人數(shù)5010015015050

（1）為了調(diào)查評委對7位歌手的支持情況，現(xiàn)用分層抽樣方法從各組中抽取若干評委,

其中從6組抽取了6人，請將其余各組抽取的人數(shù)填入下表：

組別ABCDE

人數(shù)5010015015050

抽取人數(shù)6

（2）在（1）中，若48兩組被抽到的評委中各有2人支持1號歌手，現(xiàn)從這兩組被抽到

的評委中分別任選1人，求這2人都支持1號歌手的概率.

解：（1）由題設(shè)知，分層抽樣的抽取比例為6%,所以各組抽到的人數(shù)如下表：

組別ABC［）E

人數(shù)5010015015050

抽取人數(shù)36993

（2）記從/組抽到的3個(gè)評委為a,az,備，其中a,a2支持1號歌手；從占組抽到的6

個(gè)評委為b\,biybz,bij優(yōu)，其中b\,從支持1號歌手.從｛m,329選｝和｛61,bz,b3,

蜃優(yōu)｝中各抽取1人的所有結(jié)果為：

由以上樹狀圖知所有結(jié)果共18種，其中2人都支持1號歌手的有a、b｝,ab,a2b2

42

共4種，故所求概率公布=j

ioy

［模塊綜合檢測］

（時(shí)間120分鐘滿分150分）

一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，

只有一項(xiàng)是符合題目要求的）

1.某校有學(xué)生4500人，其中高三學(xué)生有1500人.為了解學(xué)生的身體素質(zhì)情況，采

用按年級分層抽樣的方法，從該校學(xué)生中抽取一個(gè)300人的樣本，則樣本中高三學(xué)生的人數(shù)

為（）

A.50人B.100人

C.150人D.20人

解析:選B因?yàn)樵摮闃邮欠謱映闃?，所以?yīng)在高三學(xué)生中抽取1500義檔白=100（人）.

4500

2.閱讀如圖所示的算法框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，若輸入x的值為1,則輸出y的值為

（）

C.8D.128

（2*x>2

解析：選C由算法框圖知，

[9-A-,X2.

???輸入x的值為1,比2小，.?.執(zhí)行的程序要實(shí)現(xiàn)的功能為9—1=8,故輸出y的值為

3.閱讀下面的算法框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出，的值為（）

/Wili/

A.2B.3

C.4D.5

解析：選C5=10,7=0,

7=/+l=l,S=5—7=10—l=9,不滿足SW1；

7=7+1=2,S=S-i=9—2=7,不滿足SW1；

/=/+l=3,S=S—/=7—3=4,不滿足SW1；

10

2=74-1=4,S=S—f=4—4=0,滿足SW1,

輸出/=4.

4.已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品，現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一

件次品的概率為（）

A.0.4B.0.6

C.0.8I）.1

解析：選B記3件合格品為a,a,8,2件次品為A,&,則任取2件構(gòu)成的基本事

件空間為。=｛（劭，④，（劭，,（功，Z?l）,（向，㈤，（如麴），（如b\）,（如㈤，（&3,

&）,（8,&）,（4,&）｝,共10個(gè)元素.

記“恰有1件次品”為事件4則力=｛（&,bi）,（4,㈤，（如bi）,（改,㈤，（即

仇），（a3,㈤｝,共6個(gè)元素.

故其概率為P（A）=—=0.6.

5.如圖，正方形4灰力的邊長為2,△￡%為正三角形.若向正方形/況力

內(nèi)隨機(jī)投擲?個(gè)質(zhì)點(diǎn)，則它落在△做C內(nèi)的概率為（）

也C

2V43

1B.!

2-D.

解析：選B正方形的面積為4,S△的=32義小=小,所以，質(zhì)點(diǎn)落在△皈內(nèi)的概

6.某班的全體學(xué)生參加英語測試，成績的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為：

[20,40）,[40,60）,[60,80）,[80,100].若低于60分的人數(shù)是15,則該班的學(xué)生人數(shù)是（）

A.45B.50

C.55D.60

解析：選B成績在[20,40）和[40,60）的頻率分別是0.1,0.2,則低于60分的頻率是

1R

0.3.設(shè)該班學(xué)生總?cè)藬?shù)為m,則一=0.3,勿=50.

m

7.一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5的5張標(biāo)簽，有放回地隨機(jī)選取兩張標(biāo)簽，兩張

標(biāo)簽上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是()

A23

A，5B-5

129

c—D，25

25

解析：選C基本事件的總數(shù)為25個(gè)，其中兩張標(biāo)簽上的數(shù)字之和為奇數(shù)的情況有：

(1,2),(2,1),(1,4),(4,1),(2,3),(3,2),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),

共12個(gè),

12

所以所求概率為A芯.

8.甲、乙兩位同學(xué)在高三的5次月考中數(shù)學(xué)成績統(tǒng)計(jì)如莖葉圖所示,

若甲、乙兩人的平均成績分別為X"x乙，則下列敘述正確的是()

A.xGx乙；乙比甲成績穩(wěn)定

B.x甲〉x乙；甲比乙成績穩(wěn)定

C.x甲乙；乙比甲成績穩(wěn)定

D.x甲乙；甲比乙成績穩(wěn)定

解析：選C由題意可知，

x甲=：X(72+77+78+86+92)=81,

5

(78+88+88+91+90)=87.

5

故x甲乙.

又由方差公式可得晶=《x[(81—72產(chǎn)+(81—77產(chǎn)+(81—78)?+(81—86尸+(81—92)1

5

=50.4,

sl.=《X[(87-78)2+(87-88)2+(87—88)2+(87-91)?+(87-90)2]=21.6,

5

因?yàn)?<s3故乙的成績波動(dòng)較小，乙的成績比甲穩(wěn)定.

9.閱讀下列程序：

輸入x；

IfxVOThen

n

尸萬葉3

Else

Ifx>0Then

12

y=一5葉5

Else

y=0

EndIf

EndIf

輸出F

如果輸入x=-2,則輸出結(jié)果/為（）

A.3+nB.3—n

C.n-5D.-n—5

ji

解析：選B輸入x=-2,則x=-2V0成立，則尸5X（―2）+3=一冗+3,則輸

出3—元.

10.某農(nóng)科院在2X2的4塊試驗(yàn)田中選出2塊種植某品種水稻進(jìn)行試驗(yàn)，則每行每列

都有一塊試驗(yàn)田種植水稻的概率為（）

21

AA,3B,2

11

6-D.3-

解析：選D如圖紿4塊試驗(yàn)田分別標(biāo)號為4,Ai,Bi,Bi.

EL3

基本事件為：（4,㈤，（4,加，（4,氏），（4,5）,（4,氏），（慶員）共6個(gè)基本

事件，其中“每行每列都有一塊試驗(yàn)田種植水稻”的基本事件有：（4,8）,（4,團(tuán)，共2

個(gè).

,、21

-m=6=3'

11.在面積為S的內(nèi)部任取一點(diǎn)尺則△W的面積大于3的概率為（）

1n3

A-4B-4

c19

33

解析：選D設(shè)四，4C上分別有點(diǎn)〃fAD=-AB^.AE=-ACf則

B

33

DE//BC旦DE=3C.,:煎A到"的距離等于點(diǎn)A到6c的距離的?.?.小到6c的距離等于△

ABC高的/當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在△/龐內(nèi)時(shí)，。到比的距離大于DE到6c的距離，；.當(dāng)月在龐內(nèi)

部運(yùn)動(dòng)時(shí)，△&;0的面積大于W.?.所求概率為警=停|2=白.

4S^scw16

12.在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間沒有發(fā)生規(guī)模群體

感染的標(biāo)志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”.根據(jù)過去10天甲、乙、丙、

丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（）

A.甲地：總體平均值為3,中位數(shù)為4

B.乙地：總體平均值為1,總體方差大于0

C.丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3

D.丁地：總體平均值為2,總體方差為3

解析：選D根據(jù)信息可知，連續(xù)10天內(nèi)，每天的新增疑似病例不能有超過7,選項(xiàng)A

中，中位數(shù)為4,可能存在大于7的數(shù)；同理，在選項(xiàng)C中也有可能；選項(xiàng)B中的總體方差

大于0,敘述不明確，如果數(shù)目太大，也有可能存在大于7的數(shù)；選項(xiàng)D中，根據(jù)方差公式,

如果有大于7的數(shù)存在，那么方差不會(huì)為3.

二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.請把正確答案填在題中的橫線上）

13.為了解電視對生活的影響，一個(gè)社會(huì)調(diào)查機(jī)構(gòu)

就平均每天看電視的時(shí)間調(diào)查了某地10000位居民，

并根據(jù)所得數(shù)據(jù)畫出樣本的頻率分布直方圖（如圖），

為了分析該地居民平均每天看電視的時(shí)間與年齡、學(xué)

歷、職業(yè)等方面的關(guān)系，要從這10000位居民中再用

視時(shí)間（小時(shí)）

分層抽樣抽出100位居民做進(jìn)一步調(diào)查，則在［2.5,3.0）（小時(shí)）時(shí)間段內(nèi)應(yīng)抽出的人數(shù)是

解析：抽出的100位居民中平均每天看電視的時(shí)間在［2.5,3.0）（小時(shí)）時(shí)間內(nèi)的頻率為

0.5X0.5=0.25,所以這10000位居民中平均每天看電視的時(shí)間在［2.5,3.0）（小時(shí)）時(shí)間

內(nèi)的人數(shù)是10000X0.25=2500,抽樣比是"^=擊，則在［2.5,3）（小時(shí)）時(shí)間段內(nèi)應(yīng)

抽出的人數(shù)是2500X擊=25.

答案：25

14.已知變量x,y的回歸方程為y=8x+a,若6=0.51,二=61.75,7=38.14,則

14

回歸方程為.

解析：因?yàn)閍=38.14-0.51X61.75=6.6475,所以回歸方程為尸0.51x+6.6475.

答案：尸0.5案+6.6475

15.袋中有形狀、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只紅球，2只黃球.從中一

次隨機(jī)摸出2只球，則這2只球顏色不同的概率為________.

解析：從4只球中一次隨機(jī)摸出2只球，有6種結(jié)果，其中這2只球顏色不同有5種結(jié)

果，故所求概率為會(huì)

答案抵

16.設(shè)點(diǎn)（“°）在）|W3,|q|W3中按均勻分布出現(xiàn)，則方程*+2px-/+l=0的兩

根都是實(shí)數(shù)的概率為

解析：已知點(diǎn)（p,0組成了邊長為6的正方形，S正方形=6?=36.

由方程f+2px-/+1=0的兩根都是實(shí)數(shù)得4=（202—4（一/+

1）20,即.所以當(dāng)點(diǎn)（p,g）落在“正方形內(nèi)且單位圓外”的陰

影區(qū)域時(shí)，方程的兩根都是正數(shù).由圖可知，陰影部分面積d=SM彩一

SM=36—n.

JI

所以原方程兩根都是實(shí)數(shù)的概率為1一記.

答案：1一￡

36

三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演

算步驟）

17.（本小題滿分10分）隨機(jī)抽取一個(gè)年份，對西安市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),

結(jié)果如下：

日期12345678910

天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴

日期11121314151617181920

天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰

日期21222324252627282930

天氣晴陰晴晴晴陰晴口青晴雨

⑴在4月份任取一天，估計(jì)西安市在該天不下電的概率；

（2）西安市某學(xué)校擬從4月份的一個(gè)附不開始舉行連續(xù)2天的運(yùn)動(dòng)會(huì)，估計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)期間

不下兩的概率.

解：(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26,以頻率估計(jì)概率，4月份任選一天,

2613

西安市不下雨的概率為京

3U10

(2)稱相鄰的兩個(gè)日期為“互鄰日期對"(如，1日與2日，2日與3日等).這樣，在4

月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個(gè)，其中后一天不下雨的有14個(gè)，所以晴天的次

7

日不下雨的頻率為事

O

7

以頻率估計(jì)概率，運(yùn)動(dòng)會(huì)期間不下雨的概率為3

O

18.(本小題滿分12分)(廣東高考)某城市100戶居民的月平均用電量(單位：度)，以

[160,180),[180,200),[200,220),[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]分組

的頻率分布直方圖如圖所示.

(1)求直方圖中x的值；

(2)求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；

(3)在月平均用電量為[220,240),[240,260),[260,280),[280,300]的四組用戶中，

用分層抽樣的方法抽取11戶居民，則月平均用電量在[220,240)的用戶中應(yīng)抽取多少戶？

解：(1)由(0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025)X20=1得x=0.007

5,

.?.直方圖中x的值為0.0075.

220+240

(2)月平均用電量的眾數(shù)是.；?=230.

V(0.002+0.0095+0.Oil)X20=0.45<0.5,

二月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為a,則0.45+0.0125X(a—220)

=0.5,解得a=224,即中位數(shù)為224.

(3)月平均用電量在[220,240)的用戶有0.0125X20X100=25(戶)，同理可求月平均

用電量為[240,260),[260,280),[280,300)的用戶分別有15戶、10戶、5戶,故抽取比例

11_1

為725+15+10+5-5'

16

，從月平均用電量在［220,240）的用戶中應(yīng)抽取25X1=5（戶）.

□

19.（本小題滿分12分）全網(wǎng)傳播的融合指數(shù)是衡量電視媒體在中國網(wǎng)民中影響力的綜

合指標(biāo).根據(jù)相關(guān)報(bào)道提供的全網(wǎng)傳播2015年某全國性大型活動(dòng)的“省級衛(wèi)視新聞臺(tái)”融

合指數(shù)的數(shù)據(jù)，對名列前20名的“省級衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)進(jìn)行分組統(tǒng)計(jì)，結(jié)果如表

所示.

組號分組頻數(shù)

1[4,5)2

2[5,6)8

3[6,7)7

4[7,8]3

（1）現(xiàn)從融合指數(shù)在［4,5）和［7,8］內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺(tái)”中隨機(jī)抽取2家進(jìn)行調(diào)研，

求至少有1家的融合指數(shù)在［7,8］內(nèi)的概率；

（2）根據(jù)分組統(tǒng)計(jì)表求這20家“省級衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)的平均數(shù).

解：（D融合指數(shù)在［7,8］內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為4,4,4；融合指數(shù)在［4,5）

內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺(tái)”記為B、,員從融合指數(shù)在［4,5）和［7,8］內(nèi)的“省級衛(wèi)視新聞臺(tái)”

中隨機(jī)抽取2家的所有基本事件是：

{4,A-2）t{A},4},{42,A},{4,B\\,{4,序},{4,B\\,{4，B工,{力3,Bi},{4,

&}9仍，盼,共10個(gè).

其中，沒有1家的融合指數(shù)在［7,8］內(nèi)的基本事件是：{笈，&},共1個(gè).

1Q

所以所求的概率々1一元=方

（2）這20家“省級衛(wèi)視新聞臺(tái)”的融合指數(shù)平均數(shù)等于

2873

4.5X—+5.5X—+6.5X—+7.5X—=6.05.

乙U乙U乙U乙U

20.（本小題滿分12分）隨機(jī)抽取某中學(xué)甲