新教材人教A版高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)第五章三角函數(shù)2022新高考一輪復(fù)習(xí)練習(xí)題

第五章三角函數(shù)

1任意角弧度制與任意角的三角函數(shù)....................................-1-

2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式..................................-8-

3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)............................................-13-

4三角恒等變換....................................................-20-

5函數(shù)y=Asin3x+6的圖象及應(yīng)用...................................-28-

6正弦定理和余弦定理..............................................-36-

7解三角形應(yīng)用舉例................................................-44-

1任意角弧度制與任意角的三角函數(shù)

A組全考點(diǎn)鞏固練

e9

起

貝i

COS-COS-n-

1.設(shè)。是第三象限角，且2Yj2

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

。

所以?是第二或第四象限角.因?yàn)橐?/p>

B解析：因?yàn)椤Ｊ堑谌笙藿?

￡

2所以cosg<0.所以多是第二象限角.

—COS

2.若a=k360°+8,4=〃上360。一。伙,mGZ）,則角a與夕的終邊的位置關(guān)系

是（）

A.重合B.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

C.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)D.關(guān)于），軸對(duì)稱(chēng)

C解析：角a與。終邊相同，尸與一。終邊相同.又角。與一。的終邊關(guān)于x

軸對(duì)稱(chēng)，所以角a與夕的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng).

3.（2020.百校聯(lián)考高考考前沖刺（二））已知0為坐標(biāo)原點(diǎn)，角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P(3,m)(m<0),JI.sina=^^m,

則sin2a=()

4334

A.5B.5C.—7D.5

。=1〃；+9=喀加,解得"=-1，所以P（3,-

C解析：根據(jù)題意，得sin

1),所以sina=—邛，cosa=4俏，所以sin2a=2sinacosa=一|.

4.（2020.北京卷）2020年3月14日是全球首個(gè)國(guó)際圓周率日（無(wú)Day）.歷史上,

求圓周率無(wú)的方法有多種，與中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似.數(shù)學(xué)家阿爾?卡

西的方法是：當(dāng)正整數(shù)〃充分大時(shí)，計(jì)算單位圓的內(nèi)接正6〃邊形的周長(zhǎng)和外切正

6〃邊形（各邊均與圓相切的正6〃邊形）的周長(zhǎng)，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為271的近似

值.按照阿爾?卡西的方法，兀的近似值的表達(dá)式是（）

A.3〃（sin*+tan*）B.6〃Qin*+tan*）

C.3〃Qin野+tan爭(zhēng)D.6〃gin等+tan等

A解析：?jiǎn)挝粓A內(nèi)接正6〃邊形的每條邊所對(duì)應(yīng)的圓周角為惑=野,每條

邊長(zhǎng)為2sin

所以，單位圓的內(nèi)接正6”邊形的周長(zhǎng)為12〃sin學(xué).

30°30°

單位圓的外切正〃邊形的每條邊長(zhǎng)為,其周長(zhǎng)為〃

62tan--n--12tann----.

.30°30°

12?sin—+12?tan—（,30°30°）

所以2兀=---------------------=6/?lsin—+tan—I,

則兀=3〃（sin乎+tan%.故選A.

5.（2020.濰坊一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)P（小，1）.將向量舁繞點(diǎn)

。按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)方后，得到向量?jī)?，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是（）

A.（一6，1）B.（-1,業(yè)

C.（一小，1）D.（-1,小）

D解析：設(shè)以射線OP為終邊的角為a,以射線OQ為終邊的角為夕，且夕

=a+].由題意可得sina=；,cosa=坐，結(jié)合三角函數(shù)的定義與誘導(dǎo)公式可得XQ

=2cos4=2cos（a+，）=-2sina=-1,y°=2sin4=2sin（a+1]=2cosa=4,即點(diǎn)

。的坐標(biāo)為（一1,?。?故選D.

6.已知點(diǎn)尸（sin。，cos。）是角a終邊上的一點(diǎn)，其中。=至，則與角a終邊相

同的最小正角為.

解析：因?yàn)椤?制，故P（半，一：），故a為第四象限角且cosa=率，

11jr11JT

所以a=2E+k，kGZ,則最小的正角為k.

oo

7.如圖，扇形A08的面積是1,它的弧長(zhǎng)是2,則扇形的圓心角a的弧度數(shù)

為,弦A8的長(zhǎng)為.

1/1ft

22sin1解析：由扇形面積公式S=1/r.又a=;,/=2,可得S=]z=l，所

n

以。=2.易得r=1,結(jié)合圖形知AB=2rsin/=2sin1.

,3

8.已知角a的終邊在直線y=-3%上，求lOsina+二]的值.

COSCf.

解：（方法一）設(shè)a終邊上任一點(diǎn)為P（A,-3k）,

則r=yl/c+(-3k)2=\[u)\k\.

當(dāng)A>0時(shí)，

-3k3]曙=恒,

一一回'cosa

所以10sina+」-=—3?+3，T6=0;

cosa

當(dāng)MO時(shí)，r=一寸血,

—3k3

所以sina=

一回1瓜，

1—y[10k

cosakVTo,

所以10sina+」一=3，15—3，15=0.

COSot

、3

綜上'10sina+cosa=0.

（方法二）依題意，tana=-3,

所以sina=_3cosa.

3—30cos2a+3

所以—3°cosa+蓊cosa

又sin2a+cos2a=1,

所以ta/a+l=^

1_1

所以cos2a=

1+tan2a10'

所以一30COS2Q+3=—30*春+3=0,所以原式=0.

9.已知sina<0,tana>0.

(1)求角a的集合；

⑵求舞邊所在的象限；

(3)試判斷ta號(hào)in與cos5的符號(hào).

解：(1)因?yàn)閟ina<0且tana>0,

所以a是第三象限角，

故角。的集合為卜2&兀+兀<。<2%兀+當(dāng)，

(2)由(1)知2E+"a<2E+蕓&WZ,故2兀+，途4兀+芋，k^Z.

當(dāng))=2〃(〃GZ)時(shí),2〃兀+5<*2〃無(wú)+手〃ez,即F是第二象限角：

當(dāng)k=2〃+1(〃GZ)時(shí)，2〃無(wú)+咨<5<2〃兀+牛，〃ez,即今是第四象限角，

綜上，方的終邊在第二象限或第四象限.

⑶當(dāng)含第二象限角時(shí),

八八。八

tar”a〈O,si.na]>0,cosg<0,

故ta玲sin*os^>0;

當(dāng)今是第四象限角時(shí),

a,a八a八

tan]<0,s嗎<0,cos]>0,

,,a.aa_

故tan'sinscos,〉。.

綜上，tan胃球cos拼取正號(hào).

B組新高考培優(yōu)練

10.在平面直角坐標(biāo)系中，A3,CD,EF,G”是圓f+^=l上的四段弧（如

圖），點(diǎn)P在其中一段上,角a以O(shè)x為始邊，OP為終邊.若tana<cosa<sina,

則點(diǎn)P所在的圓弧是（)

A.ABB.CDC.EFD.GH

C解析：若點(diǎn)P在A3或CO（不包含端點(diǎn)A,0上，則角a的終邊在第一象

限，此時(shí)tana—sina=tana?（l-cosa）>0,與tana〈sina矛盾，排除A,B.

若點(diǎn)P在誦（不包含端點(diǎn)G）上，則角a的終邊在第三象限，此時(shí)tana>0,cos

a<0,與tana<cosa矛盾，排除D.故選C.

11.（多選題X2020.山東師范大學(xué)附中月考）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角a的

頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,以x軸正半軸為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（l,⑼（機(jī)<0）,則下列各式的

值恒大于0的是（）

sina「.

A.;B.cosa-sma

tana

C.sinacosaD.sina+cosa

AB解析：因?yàn)榻莂以Qx為始邊，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（l,〃z）（加vO）,所以a是第

四象限角，所以sina<0,cosa>0.

所以^---=cosa>0,cosa—sina>0,cosa-sina<0,cosa+sina的符號(hào)不確

tana

定.故選AB.

12.意大利“美術(shù)三杰”（文藝復(fù)興后三杰）之一的達(dá)?芬奇的經(jīng)典之作——《蒙

娜麗莎》舉世聞名，畫(huà)中女子神秘的微笑數(shù)百年來(lái)讓無(wú)數(shù)觀賞者入迷.某數(shù)學(xué)兼

藝術(shù)愛(ài)好者對(duì)《蒙娜麗莎》的同比例影像作品進(jìn)行了測(cè)繪，將畫(huà)中女子的嘴唇近

似看作一個(gè)圓弧，在嘴角A,。處作圓弧的切線，兩條切線交于8點(diǎn)，測(cè)得如下數(shù)

據(jù)：AB=6.9cm,8c=71cm,AC=12.6cm.根據(jù)測(cè)量得到的結(jié)果推算，將《蒙娜

麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角位于區(qū)間（）

，兀兀、"兀、，兀5TI\（5兀TI\

A?64）B.仁，于c.G，司D,后，2；

12.6

B解析：取設(shè)NA3C=2。，則sin。心~1-=0.9￡惇，逅要？）.

.八5兀、八（2兀5兀、

.小用詞,2夕*卬yj.

設(shè)《蒙娜麗莎》中女子的嘴唇視作的圓弧對(duì)應(yīng)的圓心角為a,則a+20=兀

Aae^,"故選B.

13.如圖，在Rtz^PB。中，ZPBO=90°,以。為圓心、08為半徑作圓弧交

0P于點(diǎn)A.若圓弧A8等分△P03的面積，且NA0B=a,則盤(pán)=.

5解析：設(shè)扇形的半徑為r,則扇形的面積為%，.在RtAiPOB中，PB=rtana,

所以△POB的面積為:廣rtana.由題意得;nrtana=2X^ar9所以tana=2a,所以

a1

tan。-2'

14.已知圓。與直線/相切于點(diǎn)A,點(diǎn)P,。同時(shí)從A點(diǎn)出發(fā)，P沿著直線/

向右，。沿著圓周按逆時(shí)針以相同的速度運(yùn)動(dòng).當(dāng)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)P也停止

運(yùn)動(dòng)，連接OQ，0P(如圖)，則陰影部分面積S,S2的大小關(guān)系是.

Si=S2解析：設(shè)運(yùn)動(dòng)速度為加，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為圓。的半徑為r,則AQ=AP

=祝根據(jù)切線的性質(zhì)知0A1.AP,所以Si=^tm-r-SMAOB,

S2=^tm-r—S扁協(xié)AOB,

所以S1=S2恒成立.

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角a的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合且

與單位圓相交于A點(diǎn)，它的終邊與單位圓相交于龍軸上方一點(diǎn)8,始邊不動(dòng)，終邊

在運(yùn)動(dòng).

⑴若點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為一,，求tana的值；

(2)若AAOB為等邊三角形，寫(xiě)出與角a終邊相同的角尸的集合；

⑶若y],請(qǐng)寫(xiě)出弓形AB的面積S與a的函數(shù)解析式.

解：⑴由題意可得心之，|),根據(jù)三角函數(shù)的定義得tana=『一*

⑵與角a終邊相同的角夕的集合為/4=胃+2匕1,AGZ

(3)若aW(0,亨，則S&衫。八8=$產(chǎn)="而S\AOB=；X1X1義sina=；sina.

11(2-

故弓形AB的面積S=S南卷OAB—SAAOB=]a-]sina,ael0,鏟.

2同角三角函數(shù)的基本關(guān)系與誘導(dǎo)公式

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.10g2（c0S引的值為（）

A.-1B.C.3D.坐

B解析：log2（cos牛）=k）g2（cos：）=log2乎=10g22—3=—故選B.

2.若sin（9cos夕=5,則tan。+不一萬(wàn)的值是（）

zsin（7

A.-2B.2C.±2D.!

介i_cos8sin81.cos0______]

B解析:'an+sincos8十sincosOsin8=2.

3.（2020?全國(guó)100所名校新高考模擬）cos?（一點(diǎn)一0）+cos2g—。）=（）

A.IB.啦C.1D.當(dāng)

C解析：COS?（一點(diǎn)—ej+cos?停一e）=cos2^+jxj+cOS21一（夕+制］=

cos2（e+點(diǎn)）+sin2（。+總=1.故選C.

4.若8陪，兀），則、/l—2sin（ji+e）sin停一0）等于（）

A.sincos0B.cossin0

C.±（sincos6）D.sin8+cos夕

A解析：1—2sin（兀+8）sin^^一。）

=\]1—2sin^cos0=y[（sincos02

=|sin9-cos0\.

因?yàn)??！曜?，兀），所以sin。-cos例＞0,所以原式=§111。一cos8.故選A.

5.已知sin（a—制=；,則cos（a+窄^等于（）

手C.YD.

A.3B,

=!.故選

A解析:cosA.

/。5

6.sins^K-tan的值是

乎解析：原式=

X（一小尸—乎.

7.（2020?嘉定區(qū)一模）已知點(diǎn)（一2,y）在角a終邊上，且tan（無(wú)一a）=2啦，則

sina=

■解析：由題意得tana=y

-2,

因?yàn)閠an（7t—a）=—tana=2巾,

所以tan

解得y=4"\Q.所以sina=.

8.已知2sina—cosa=0,貝ijsin%—2sinacosa的值為,

31

—X解析：由已知2sina—cosa=0得ztana=/.所以sin2a—2sinacosa=

sin2a2sinacosatan2a2tana3

sirPa+cos2atan2a+l5-

9.已矢口cosa-sina0,

⑴求sinacosa的值;

sin仁一2a

（2）求。的值.

cos|A+a

572

解：（1）因?yàn)閏osa—sina=0

13，

50

平方得1—2sinacosa=

1691

所以sinacosa=1|j.

(2)sina+cosa=q(sina+cosa)2=y]1+2sinacosa=

,rtivcos2a

所以，原式=—~r----：

cosH+a

(cosa-sina)(cosa+sina)

羋(cosa-sina)

廠24

=*\/2(cosa+sin4)=百.

10.（2020.宜昌一中期末）已知a是第三象限角，且cosa=-1%.

⑴求tana的值;

____cos(兀一a)

⑵化簡(jiǎn)并求的值.

.(n'

2sin(a)Isin(2十a(chǎn)

解：（1）因?yàn)閍是第三象限角，cosa=-所以sina=—yj1—cos2a=—

3V15“、,sina「

,所以

10'tana=-c-o-s--a-=3.

小、工v-cosacosa1用。7、如工工

(2)原式=工=7-;=7777.4^tana=3代入，仔原式

—2sina+cosa2sina-cosa2tana—1

_1_1

=2X3-1=5,

B組新高考培優(yōu)練

IL(多選題)(202。濰坊月考)下列化簡(jiǎn)正確的是()

A.tan(7i+l)=tan1

sin(-a)

B.;~7^7^；=cosa

tan(360°—a)

-sin(兀-a)

C?----:~~7=tana

cos(兀十a(chǎn))

cos(7T—a)tan(一兀一a)

D*sin(2n—a)]

AB解析：由誘導(dǎo)公式得tan（兀+l）=tan1,故A正確;

sin(-a)一sina

/c/cc7==cosa,故B正確;

tan(360-a)-tana

sin(兀一a)sina

tana,故C不正確;

cos(7i+a)-cosa

cos（L）an（<—嘰-cos雙―tana）=_】,故D不正確.故選AB.

sm（2兀-a）—sina

人、人口七乙sin（E+a）,cos（E+a）,、

12.（多選題2知〃=，+一I：7"CZ），則na的值s可以為（z）

Olli（XV-VzOLA

A.1B.—2

C.-1D.2

BD解析：當(dāng)左為偶數(shù)時(shí)，。=鬻+懸*=2；

一sina一cosa

當(dāng)女為奇數(shù)時(shí),a2.

sinacosa

13.已知sin(一方—ajcos(一號(hào)+a)=x，且0<a<：,貝ijsina=,cosa

34解析：sin（苫_<x）cos（一與+a)=—cosa(-sina)=sinacosa=1|.

55

兀

又因?yàn)?<a<4，所以0<sina<cosa

f.12

sinacosa=^,

由'

^sin2a+cos2a=1,

得sina=|,cosa=1

14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一個(gè)單位圓的圓心的初始位置在（0』）,

此時(shí)圓上一點(diǎn)P的位置在（0,0）,圓在x軸上沿正向滾動(dòng).當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于C（2,l）

時(shí)，次的坐標(biāo)為.

（2—sin2,1-cos2）解析：如圖，過(guò)圓心C作x軸的垂線，垂足為A,過(guò)點(diǎn)P

作無(wú)軸的垂線與過(guò)點(diǎn)C作>-軸的垂線交于點(diǎn)B.

因?yàn)閳A心移動(dòng)的距離為2,所以劣弧41=2,即圓心角NPC4=2,則NPCB=

2—^,所以|PB|=sin(2—甘=—cos2,\BC\=cosf2—=sin2,所以xp=2~\BC\

=2—sin2,yp=1+|P3|=1—cos2,所以8=(2—sin2,1—cos2).

15.在△ABC中，

⑴求證：cos"；'+cos5=1.

(2)若cos仔+A)sin(竽+qtan(f—兀)<0,

求證：△ABC為鈍角三角形.

證明：(1)在△ABC中，A+B=n-C,

近以A+8兀C

所以丁一丁了

,,A+B(7iC

所以cos-2-=c°s(g-￡=sinf.

所以cos2^^+cos2^=sin2y+cos2y=1.

(2)因?yàn)閏os'+A)sin(^+B).tan(C—冗)<0,

所以(一sinA)(—cos5)tanC<0,

即sinAcosBtanC<0.

因?yàn)樵凇鰽BC中，0<A<兀，0<8〈兀，OvCv兀且sinA>0,?']cosBtanC<0.

cosB<0,[cosB>0,

所以〈或V

ItanOO[tanC<0,

所以8為鈍角或C為鈍角，

所以△ABC為鈍角三角形.

3三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.函數(shù)/(?=tan(2x一§的單調(diào)遞增區(qū)間是()

kn兀kn,nkn兀kn.5兀'

A.~212'T+12(kS)B.?5FT+12,l(%ez)

Tl3兀

C.E—記，E+記(AGZ)D.Iht+g,E+*yJ(AGZ)

TV

B解析：由左兀一]<2x一鏟E+2(左￡Z),

仔邢GZ),

所以函數(shù)/(x)=tan(2x一野的單調(diào)遞增區(qū)間為(與一,，與+匍(％WZ).

2.函數(shù)y=2sin信一群(0?9)的最大值與最小值之和為()

A.2-B.0

C.—1D.-1—小

A解析：因?yàn)?XW9.所以一審襲九一畀普，所以sin&—習(xí)e一日,1

所以yW[一小，2],所以ymax+ymin=2一小.

JT

3.已知函數(shù)/(x)=cos尹+1.設(shè)。=/(兀-1),b=f(3~02'),c=/(—311),則a,

b,c的大小關(guān)系為()

A.c>b>aB.c>a>b

C.b>a>cD.a>b>c

C解析：函數(shù)/(x)=cosW；+l的定義域?yàn)镽,/(—x)=cos[—梟)+l=cos緊

IF

+l=/(x),所以函數(shù)y=/(x)為偶函數(shù).所以c=/(-3M)=/(3i/).當(dāng)0<尹<兀，即

0<x<5時(shí)，O(x)=cos，+1在(0,5)上單調(diào)遞減.因?yàn)?<3一。2<]<無(wú)一1<3<31/<335,

所以/(3一°2)"(九-即b>a>c.

4.同時(shí)滿足/(x+n)=/(x)與fe+隹一J的函數(shù)/㈤的解析式可以是

()

A.f(x)=cos2xB./(x)=tanx

C.f(x)=sinxD./(x)=sin2x

TT

D解析：由題意得所求函數(shù)的周期為兀，且圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng).

/(x)=cos2x的周期為兀，而/佯)=。不是最值，所以圖象不關(guān)于直線犬=彳對(duì)

稱(chēng).

7T

/(x)=tanx的周期為兀，但圖象不關(guān)于直線工=^對(duì)稱(chēng).

/(x)=sinx的周期為2兀，不合題意.

三

f(x)=sin2x的周期為兀，且/1為最大值，所以D項(xiàng)滿足條件.故選D.

5.(多選題)下列函數(shù)中，以方為周期且在區(qū)間俘，號(hào)上單調(diào)遞增的是()

A./(x)=|cos2x|B./(x)=|sin2x\

C./(x)=cos|4x|D./(x)=sin\x\

AC解析：作出函數(shù)/(x)=|cos2x|的圖象如圖所示.

由圖象可知/(x)=|cos2x|的周期為壬在區(qū)間件號(hào)上單調(diào)遞增.同理可得/(x)

7T

=|sin2x|的周期為在區(qū)間cos|4x|的周期為壬且在仔,

上單調(diào)遞增；/(x)=sin因不是周期函數(shù).故選AC.

6.函數(shù)/(x)=cos(3x+2在［0,兀］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.

TT7rl97rTTTTTT

解析：因?yàn)橛萕TI,所以=-.由題意可知3X+Z=5，3X+T=

30Wooo02。

3兀v.?兀5兀2兀4兀).7兀..-人e>>

受，或3x+q=g,解付x=g,互或互，故有3個(gè)零點(diǎn).

7..若存在這樣的實(shí)數(shù)為,雙，對(duì)任意的xdR,都有

/(X1)W/(X)守(X2)成立，則M—X21的最小值為

的最小值和最大值，故|xi—X2|的最小值為亨=2.

8.若x=W是函數(shù)/(x)=4^sin((ox—：)(xdR)的一個(gè)零點(diǎn)，且OVtoVlO,則函

數(shù)的最小正周期為.

兀解析：依題意知/低)=/6吊(詈一彳)=0,即詈一j=E,女ez,整理得

口=8攵+2,ZWZ.又因?yàn)镺VtyVIO,所以O(shè)V8k+2V10,得一占＜k〈l.而kGZ,

所以攵=0,co=2,所以/(x)=，Esin(2x—彳)，最小正周期為兀.

9.已知函數(shù)/(x)=sin(tyx+s)(0＜8＜明的最小正周期為兀

(1)當(dāng)/(x)為偶函數(shù)時(shí)，求a的值；

(2)若/(x)的圖象過(guò)點(diǎn)后，坐)，求“X)的單調(diào)遞增區(qū)間.

27r

解：因?yàn)?Q)的最小正周期為兀，所以7=五=兀.

所以①=2.所以/(x)=sin(2x+^).

(1)當(dāng)/(x)為偶函數(shù)時(shí)，/(-x)=/(x).

所以sin(2x+s)=sin(—2x+g).

展開(kāi)整理，得sin2xcos(p=0.

上式對(duì)任意x￡R都成立，

2兀71

所以cos9=0.因?yàn)?＜9＜了，所以夕=,

(2)因?yàn)?⑴的圖象過(guò)點(diǎn)總明

所以sin(2X5+9)=乎，

即sin修+夕)=坐

27r7T7T

又因?yàn)?<9Vy,所以§<1+夕<兀.

所以胃+3=與，所以

所以/(x)=sin(2x+"

T^.

令2&兀-2<2X+§<2E+2，kGZ,

57r7t

解得攵兀一五WxWE+3，kRZ.

57rTT

所以/(尤)的單調(diào)遞增區(qū)間為桁―五，E+p，%ez.

10.已知函數(shù)/(x)=[^asin(尤+；)+a+0.

⑴若。=一1,求函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)若xd[0,捫，函數(shù)/(x)的值域是[5,8],求。，。的值.

解：(1)若a=—1,則/(x)=-g-sin(x+T+b—L

由竽(AGZ).

TT5兀

得2&兀+wW%W2&兀+彳(4￡2).

TTJ7T

所以/(X)的單調(diào)遞增區(qū)間為2%i+&2E+]*(AdZ).

TTTT57r

(2)因?yàn)?WxW兀，所以彳.

所以一乎<sinQ+彳)W1.

依題意知QWO.

y[2a+a+b=S

當(dāng)a>0時(shí)，\9

1^=5,

解得〃=3啦一3,b=5;

伍=8,

當(dāng).時(shí),U+^^5,

解得a=3—3啦，b=8.

綜上所述，a=3啦一3,人=5或a=3—36，b=8.

B組新高考培優(yōu)練

11.(多選題)已知函數(shù)/(x)=cosxsinx(xeR),則下列說(shuō)法正確的是()

A.若/(xi)=-f(九2)，則XI=~X2

B./(幻的最小正周期是2兀

C./⑴在區(qū)間［譚手上遞增

D./(x)的圖象關(guān)于直線產(chǎn)于對(duì)稱(chēng)

1jr

CD解析：/(x)=/sin2x,當(dāng)xi=O,九2=/時(shí)，/(xi)=—/(%2),但尤iW—X2,

故A錯(cuò)誤：f(x)的最小正周期為兀，故B錯(cuò)誤；當(dāng)一不W時(shí)，2xe—］，2,

故C正確；因?yàn)?僵)=￡sin與=一1，故/(x)的圖象關(guān)于直線工=斗對(duì)稱(chēng)，故D

正確.

12.(2020.衡水中學(xué)調(diào)研)直線產(chǎn)a與函數(shù)/(x)=tan|yx+飄>>0)的圖象的相

鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為2兀.若/㈤在(一〃z,加)(,心0)上單調(diào)遞增，則m的取值范圍是

()

A.(0,彳B,(0,方

C.(0,華D.(0,當(dāng)

B解析：因?yàn)橹本€y=a與函數(shù)/(x)的圖象的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為一個(gè)周

期，所以co=g,所以/(x)=tan&+：).

jr1jrjr37rir

由攵兀一5<$V+I<E+5(Z：￡Z),得2E—3~<x<2E+5(攵￡Z),

所以/⑴在(一竽，上單調(diào)遞增，故(一加，〃2)=(一華，3，解得0<"2§.故

選B.

13.重慶被譽(yù)為“橋都”，數(shù)十座各式各樣的大橋橫跨長(zhǎng)江、嘉陵江兩岸，

其中朝天門(mén)長(zhǎng)江大橋是世界第一大拱橋，其主體造型為：橋拱部分(開(kāi)口向下的拋

物線)與主桁(圖中粗線)部分(可視為余弦函數(shù)一個(gè)周期的圖象)相結(jié)合.已知拱橋部

分長(zhǎng)552m,兩端引橋各有190m,主桁最高處距離橋面89.5m,則將下列函數(shù)等

比放大后，與主桁形狀最相似的是()

2

A.y=0.45cos^x

3

C.y=0.9cos/

A解析：設(shè)主桁部分對(duì)應(yīng)的余弦函數(shù)為f(x)=Acoswx,

27rTC

可得周期即川乃=而.

7=552+190X2=932,=8yJZ40。

又由2A=89.5,得4=當(dāng)之所以/(x)=^los比1c

按1：100的比例等比變換，可得/(x)=^cos嘿、，對(duì)比選項(xiàng)，可得與函數(shù)

2

y=0.45cosQx相似.故選A.

14.已知函數(shù)/(x)=2sin(s—看)+l(x￡R)的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為直線尤=兀，

其中①為常數(shù)，且①￡(1,2),則①=；函數(shù)/(九)的零點(diǎn)是.

|或x=?^一尊女￡Z解析：由函數(shù)/(x)=2sin(①x—*)+l(x￡R)

7TTT2

的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸為x=n,可得60冗一%=尿+己,k?Z,所以G=Z+Q.又①￡(1,2),

所以①=.所以函數(shù)/(x)=2singx—看)+1.令/(幻=0,即singx—,)=-g,所以

57T_.兀*-75兀____々訂,06&兀v62兀2兀__a,"7業(yè),“/、

%=2%兀一％或2E—不，kGZ,解付■"或■一歹，kGZ,即函數(shù)/(x)

的零點(diǎn)為一或工=有一一行，kez.

15.設(shè)定義在R上的函數(shù)/(x)=sin(￡yx+s)(⑦>0,一言<夕〈5，給出以下四

個(gè)論斷：

①/"(X)的最小正周期為兀；

②/Xx)在區(qū)間(一會(huì)0)上單調(diào)遞增;

③/Xx)的圖象關(guān)于點(diǎn)停0)對(duì)稱(chēng)；

④/Xx)的圖象關(guān)于直線尸盍對(duì)稱(chēng).

以其中兩個(gè)論斷作為條件，另兩個(gè)論斷作為結(jié)論，寫(xiě)出你認(rèn)為正確的一個(gè)命

題(寫(xiě)成“p0q”的形式).(用到的論斷都用序號(hào)表示)

①④今②③或①③0②④解析：若/(x)的最小正周期為兀，則⑦=2,函數(shù)/

(x)=sin(2x+s).同時(shí)，若/(x)的圖象關(guān)于直線*=強(qiáng)對(duì)稱(chēng)，則sin(2X盍+夕)=±].

TTTTif7Tjr(兀、

又一行V8V5,所以2X石+夕=5,所以(p=c，此時(shí)/(x)=sinl2^+71,②③成立.故

①④二②③.若/(x)的最小正周期為兀，則①=2,函數(shù)/(x)=sin(2x+9)?同時(shí)，若

./"(X)的圖象關(guān)于點(diǎn)G，oj對(duì)稱(chēng)，則2Xg+s=E,%ez.又一伙所以8=1,

此時(shí)./"(x)=sin(2x+1),②④成立.故①③。②④.

16.已知a=(sinx,事cosx),Q(cosx,—cosx),函數(shù)/(x)=aS+竽

⑴求函數(shù)y=/(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程；

(2)若方程/(無(wú))=g在(0,兀)上的解為XI,XI,求COS(X1—X2)的值.

解：(l?(x)=a?A+曰=(sinx,小cosx>(cosx,-cosx)+^=sinx-cosx-y[3

cos2%+坐=/in2x一殺os2x=sin(2r一n.

jrjr

令2%—兀+](k￡Z),

得%=居+第%WZ),

即函數(shù)y=/(x)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為X=|^+"(AGZ).

5JT

⑵由(1)及已知條件可知(XI,/(X1))與(X2,/(⑼)關(guān)于尤=五對(duì)稱(chēng),

,571

貝n1IXl+x2=W，

所以COS（X1—X2）=COS

=cos2x1

71

：2xi—

=co-2

71）c1

=sin2xi—3）=/（XI）=3.

3

4三角恒等變換

A組全考點(diǎn)鞏固練

1.（2020?山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)第二次診斷）已知cos住一j=2cos（兀+a）,且tan（a+

份=3，則tan4的值為（）

A.-7B.7C.1D.-1

B解析：因?yàn)閏os俘-a）=2cos（兀+a）,所以sina=—2cosa,即tana=—2.

又tan（a+^）=i,則⑦口"tan夕='將a=—2代入，解得tan4=7.故選B.

『31—tanatanp5"

,3

2.（2020?威海一模）ti知sin伊一a）cos4一cos（a—』）sina為第三象限角,

則cos,+g=（）

A_也R_謹(jǐn)「正口也

八.10010J10510

3

A解析：因?yàn)閟in0-Q）COS4一cos（a一夕）sin^=sin[Q§—a）—^]=-sina=g,

所以sina=—"

4

又a為第三象限角,則cosa=-q,

所以cos（a+；，=cosacos^-sinasin^=-|x^+|x^

IO-

3.（2020?全國(guó)卷HI）已知2tan。一tan（。+可=7,則tan0=（）

A.-2B.-1C.1D.2

D解析：2tan。-tan（9+用=2tan（9—-7=7,整理可得tan2^-4tan8+4

I4/1—tan0

=0,所以1211，=2.故選口.

4.已知函數(shù)/(x)=2cos2x—sin?x+2,則()

A./(x)的最小正周期為兀，最大值為3

B./(x)的最小正周期為兀，最大值為4

C./(%)的最小正周期為2兀，最大值為3

D./(x)的最小正周期為2無(wú)，最大值為4

cos2%+13

B解析：易知/(x)=2cos2x—sin?尤+2=3cos2x+1=3義-------+l=/cos2x

+1,所以/(x)的最小正周期為兀當(dāng)2x=2E,即x=E(ZCZ)時(shí)，/(x)取得最大值,

最大值為4.

5.若cos低-a）=（,則cos律+2a）的值為（）

A17n17「18「18

A-18B'一而C-19D-―西

A解析：因?yàn)閏os（1-a）=\,

=_cos1_2a）=j^.故選A.

6.（2020?山西模擬）已知函數(shù)/（x）=45sinZr+Zsin?%.若/（加＞/（九2）=—3,則3

+刈的最小值是（）

7U7C—1兀27r

A.7B.7C.TD.-7

6435

A解析：/(x)=*\/3sin2x+2sin2x

,1-cos2x

=y]r3sin2x+2X-----------

=，5sin2x-cos2x+1

=2sin(2x-1+1.

所以函數(shù)/(x)的最大值為3,最小值為一1.

又/(XI)/(12)=—3,所以/(X)在尤1,X2處取到最大值和最小值.不妨設(shè)在XI

JTTT

處有最大值，則尤1=41兀+§；在無(wú)2處取到最小值，則X2=42兀一不

兀

所以|九1+刈=(41+&2)兀+不,k\,k2Gz.

jr

所以|xi+x2|的最小值為4.故選A.

1+coslx,

7.已知函數(shù)/(x)=--京---r+asin的最大值為2,則常數(shù)。的值

4sin(]+xJ

為_(kāi)_______

±715解析：因?yàn)?(x)=^K：-%sinx=x-asin,)=^cos(x+

8)(其中tans=a),所以"2,解得a=±\/T^.

sinasin1373兀

8.定義運(yùn)算=ad—bc,若cosa

cosacos/

則B=.

?解析:由題意有sinacos夕一cosasin￡=sin(a一夕.又0</?<a<^,得0<a

一尸專(zhuān)故cos(a—(i)=yj1—sin2(a—/?)=因?yàn)閏osa=；，所以sin0!=42所以sin4

=sin[a—(a—￡)]=sincc-cos(a-^)-cos0(6畝(。一夕)=砰><*一；*嗜=坐.又

TTTT

0</?<2，故P=y

9.已知函數(shù)/(x)=(sinx+cos尤產(chǎn)—cos2x.

(1)求函數(shù)/(x)的最小正周期；

兀

⑵求證:當(dāng)％e[0,.時(shí),/(x)^0.

(1)解：因?yàn)閒(x)=sin2x+cos2x+sin2x—cos2x=1+sin2x—cos2x=啦

sin(2%-g)+l，

所以函數(shù)f(X)的最小正周期為71.

(2)證明：由⑴可知/(x)=^/2sin^2x—+1.

?「八兀]??！肛?元

當(dāng)小時(shí)，陵一彳氣一不yj,

所以sin(2x—[w—乎，1，

所以啦sin(2x-：)+lW[0,y/2+1].

TTJr

當(dāng)2x—a=一不即x=。時(shí)，/(x)取得最小值0?

兀

所以,當(dāng)xG0,2時(shí),/(九)20.

10.已知函數(shù)f(x)=Sin^x—7)+cosLr—,g(x)=2sin21.

(1)若a是第一象限角，且求g(a)的值；

⑵求使成立的x的取值集合.

解：(iy(x)=-^sinx-；cosx+；cosx+乎sinx=*\/3sinx.

所以f(a)=d^sin。=邛^,解得sin?=1.

4

因?yàn)?。是第一^象限角，所以cos〃=予

所以^(a)=2sin21=1—cosa=1.

⑵由得小sinx21—cosx.

所以坐sinx

TT

所以x+'G