新教材2024版高考數(shù)學(xué)微專題小練習(xí)專練55含解析

Page7專練55隨機抽樣與用樣本估計總體[基礎(chǔ)強化]一、選擇題1．某創(chuàng)業(yè)公司共有36名職工，為了了解該公司職工的年齡構(gòu)成狀況，隨機采訪了9位代表，得到的數(shù)據(jù)分別為36，36，37，37，40，43，43，44，44，若用樣本估計總體，年齡在(eq\x\to(x)－s，eq\x\to(x)＋s)內(nèi)的人數(shù)占公司人數(shù)的百分比是(其中eq\x\to(x)是平均數(shù)，s為標準差，結(jié)果精確到1%)()A.14%B．25%C．56%D．67%2．某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時間(單位：小時)，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時間的范圍是[17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30].依據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)是()A.56B．60C．120D．1403．演講競賽共有9位評委分別給出某選手的原始評分，評定該選手的成果時，從9個原始評分中去掉1個最高分、1個最低分，得到7個有效評分.7個有效評分與9個原始評分相比，不變的數(shù)字特征是()A.中位數(shù)B．平均數(shù)C．方差D．極差4．[2024·全國乙卷(文)，4]分別統(tǒng)計了甲、乙兩位同學(xué)16周的各周課外體育運動時長(單位：h)，得如下莖葉圖：則下列結(jié)論中錯誤的是()A.甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本中位數(shù)為7.4B.乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8C.甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.4D.乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的概率的估計值大于0.65．某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟收入變更狀況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：則下面結(jié)論中不正確的是()A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入削減B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟收入的一半6．[2024·全國甲卷(文)，2]某社區(qū)通過公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類學(xué)問．為了解講座效果，隨機抽取10位社區(qū)居民，讓他們在講座前和講座后各回答一份垃圾分類學(xué)問問卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問卷答題的正確率如下圖：則()A.講座前問卷答題的正確率的中位數(shù)小于70%B.講座后問卷答題的正確率的平均數(shù)大于85%C.講座前問卷答題的正確率的標準差小于講座后正確率的標準差D.講座后問卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差7．(多選)[2024·全國新高考Ⅰ卷]有一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn，由這組數(shù)據(jù)得到新樣本數(shù)據(jù)y1，y2，…，yn，其中yi＝xi＋c(i＝1，2，…，n)，c為非零常數(shù)，則()A.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本平均數(shù)相同B.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本中位數(shù)相同C.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本標準差相同D.兩組樣本數(shù)據(jù)的樣本極差相同8．甲、乙兩人在一次射擊競賽中各射靶5次，兩人成果的條形統(tǒng)計圖如圖所示，則()A.甲的成果的平均數(shù)小于乙的成果的平均數(shù)B.甲的成果的中位數(shù)等于乙的成果的中位數(shù)C.甲的成果的方差小于乙的成果的方差D.甲的成果的極差小于乙的成果的極差9．某產(chǎn)品的廣告費用x與銷售額y的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：廣告費用x(萬元)23456銷售額y(萬元)1925343844依據(jù)上表可得閱歷回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))，下列說法正確的是()A．回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))必經(jīng)過樣本點(2，19)，(6，44)B．這組數(shù)據(jù)的樣本點中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))未必在回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))上C．回來系數(shù)6.3的含義是廣告費用每增加1萬元，銷售額實際增加6.3萬元D．據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為7萬元時銷售額約為50.9萬元二、填空題10．[2024·江蘇卷]已知一組數(shù)據(jù)4，2a，3－a，5，6的平均數(shù)為4，則a的值是________．11．某電子商務(wù)公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2024年度的消費狀況進行統(tǒng)計，發(fā)覺消費金額(單位：萬元)都在區(qū)間[0.3，0.9]內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)直方圖中的a＝________；(2)在這些購物者中，消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的人數(shù)為________．12．在一容量為5的樣本中，數(shù)據(jù)均為整數(shù)，已測出其平均數(shù)為10，但墨水污損了兩個數(shù)據(jù)，其中一個數(shù)據(jù)的十位數(shù)字1未被污損，即9，10，11，1■，■，那么這組數(shù)據(jù)的方差s2可能的最大值是________．[實力提升]13．[2024·重慶南開中學(xué)月考]今年入夏以來，我市天氣反復(fù)，降雨頻繁．如圖統(tǒng)計了上個月前15天的氣溫，以及相對去年同期的氣溫差(今年氣溫－去年氣溫，單位：攝氏度)，以下推斷錯誤的是()A．今年每天氣溫都比去年同期的氣溫高B．今年的氣溫的平均值比去年同期的氣溫的平均值低C．去年8～11號氣溫持續(xù)上升D．今年8號氣溫最低14．[2024·全國卷Ⅲ]在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為p1，p2，p3，p4，且eq\i\su(i＝1,4,p)i＝1，則下面四種情形中，對應(yīng)樣本的標準差最大的一組是()A．p1＝p4＝0.1，p2＝p3＝0.4B．p1＝p4＝0.4，p2＝p3＝0.1C．p1＝p4＝0.2，p2＝p3＝0.3D．p1＝p4＝0.3，p2＝p3＝0.215．已知一組正數(shù)x1，x2，x3的方差s2＝eq\f(1,3)(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))＋xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(3))－12)，則數(shù)據(jù)x1＋1，x2＋1，x3＋1的平均數(shù)為________．16．已知樣本容量為200，在樣本的頻率分布直方圖中，共有n個小矩形，若中間一個小矩形的面積等于其余(n－1)個小矩形面積和的eq\f(1,3)，則該組的頻數(shù)為________．專練55隨機抽樣與用樣本估計總體1．C因為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(36＋36＋37＋37＋40＋43＋43＋44＋44,9)＝40，s2＝eq\f(1,9)(16＋16＋9＋9＋0＋9＋9＋16＋16)＝eq\f(100,9)，即s＝eq\f(10,3)，年齡在(eq\o(x,\s\up6(－))－s，eq\o(x,\s\up6(－))＋s)即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(110,3)，\f(130,3)))內(nèi)的人數(shù)為5，所以所求百分比為eq\f(5,9)≈0.56＝56%，故選C.2．D由頻率分布直方圖知，200名學(xué)生每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的頻率為1－(0.02＋0.10)×2.5＝0.7，則這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時間不少于22.5小時的人數(shù)為200×0.7＝140.3．A記9個原始評分分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i(按從小到大的依次排列)，易知e為7個有效評分與9個原始評分的中位數(shù)，故不變的數(shù)字特征是中位數(shù)，故選A.4．C對于A選項，將甲同學(xué)周課外體育運動時長的樣本從小到大排列，其樣本容量為16，中間兩個樣本為7.3和7.5，所以中位數(shù)為eq\f(7.3＋7.5,2)＝7.4，所以A不符合題意．對于B選項，(方法一)乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)為eq\f(1,16)×(6.3＋7.4＋7.6＋8.1＋8.2＋8.2＋8.5＋8.6＋8.6＋8.6＋8.6＋9.0＋9.2＋9.3＋9.8＋10.1)≈8.5，所以B不符合題意．(方法二)由乙的樣本可知，小于8的樣本有6.3，7.4，7.6，其他樣本均大于8.又因為eq\f(10.1＋6.3,2)>8，eq\f(9.8＋7.4,2)>8，eq\f(9.3＋7.6,2)>8，所以乙同學(xué)周課外體育運動時長的樣本平均數(shù)大于8，所以B正確．對于C選項，甲同學(xué)周課外體育運動時長大于8的樣本有8.1，8.2，8.4，8.6，9.2，9.4，共6個，則甲同學(xué)周課外運動時長大于8的概率的估計值為eq\f(6,16)＝eq\f(3,8)<0.4，所以C符合題意．對于D選項，乙同學(xué)周課外體育運動時長大于8的樣本有13個，則乙同學(xué)周課外運動時長大于8的概率的估計值為eq\f(13,16)>0.6，所以D不符合題意．故選C.5．A設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟收入為a，則建設(shè)后經(jīng)濟收入為2a，由題圖可得下表：種植收入第三產(chǎn)業(yè)收入其他收入養(yǎng)殖收入建設(shè)前經(jīng)濟收入0.6a0.06a0.04a0.3a建設(shè)后經(jīng)濟收入0.74a0.56a0.1a0.6a依據(jù)上表可知B、C、D均正確，A不正確，故選A.6．B由統(tǒng)計圖可知，講座前這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率分別為65%，60%，70%，60%，65%，75%，90%，85%，80%，95%.對于A項，將這10個數(shù)據(jù)從小到大排列為60%，60%，65%，65%，70%，75%，80%，85%，90%，95%，因此這10個數(shù)據(jù)的中位數(shù)是第5個與第6個數(shù)的平均數(shù)，為eq\f(70%＋75%,2)＝72.5%＞70%，A錯誤．對于B項，由統(tǒng)計圖可知，講座后這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率分別為90%，85%，80%，90%，85%，85%，95%，100%，85%，100%，所以講座后這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的平均數(shù)為eq\f(1,10)×(90%＋85%＋80%＋90%＋85%＋85%＋95%＋100%＋85%＋100%)＝89.5%＞85%，B正確．對于C項，講座后這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的方差seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(后))＝eq\f(1,10)×[(90%－89.5%)2＋(85%－89.5%)2＋…＋(85%－89.5%)2＋(100%－89.5%)2]＝eq\f(42.25,10000)，所以標準差s后＝6.5%.講座前這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的平均數(shù)為eq\f(1,10)×(60%＋60%＋65%＋65%＋70%＋75%＋80%＋85%＋90%＋95%)＝74.5%，所以講座前這10位社區(qū)居民問卷答題的正確率的方差為seq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(前))＝eq\f(1,10)×[(60%－74.5%)2＋(60%－74.5%)2＋…＋(90%－74.5%)2＋(95%－74.5%)2]＝eq\f(142.25,10000)，所以標準差s前≈11.93%.所以s前＞s后，C錯誤．對于D項，講座前問卷答題的正確率的極差為95%－60%＝35%，講座后問卷答題的正確率的極差為100%－80%＝20%，D錯誤．故選B.7．CDA：E(y)＝E(x＋c)＝E(x)＋c且c≠0，故平均數(shù)不相同，錯誤；B：若第一組中位數(shù)為xi，則其次組的中位數(shù)為yi＝xi＋c，明顯不相同，錯誤；C：D(y)＝D(x)＋D(c)＝D(x)，故方差相同，正確．D：由極差的定義知：若第一組的極差為xmax－xmin，則其次組的極差為ymax－ymin＝(xmax＋c)－(xmin＋c)＝xmax－xmin，故極差相同，正確．故選CD.8．C甲的平均數(shù)是eq\f(4＋5＋6＋7＋8,5)＝6，中位數(shù)是6，極差是4，方差是eq\f(（－2）2＋（－1）2＋02＋12＋22,5)＝2；乙的平均數(shù)是eq\f(5＋5＋5＋6＋9,5)＝6，中位數(shù)是5，極差是4，方差是eq\f(（－1）2＋（－1）2＋（－1）2＋02＋32,5)＝eq\f(12,5)，比較可得選項C正確．9．D由表格中的數(shù)據(jù)可得eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(2＋3＋4＋5＋6,5)＝4，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(19＋25＋34＋38＋44,5)＝32，將點(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))的坐標代入閱歷回來方程得6.3×4＋eq\o(a,\s\up6(^))＝32，解得eq\o(a,\s\up6(^))＝6.8，所以回來方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋6.8.對于A選項，當x＝2時，eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3×2＋6.8＝19.4，A選項錯誤；對于B選項，這組數(shù)據(jù)的樣本點中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))必在回來直線eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3x＋eq\o(a,\s\up6(^))上，B選項錯誤；對于C選項，回來系數(shù)6.3的含義是廣告費用每增加1萬元，銷售額約增加6.3萬元，C選項錯誤；對于D選項，當x＝7時，eq\o(y,\s\up6(^))＝6.3×7＋6.8＝50.9，所以據(jù)此模型預(yù)報廣告費用為7萬元時銷售額約為50.9萬元，D選項正確．故選D.10．2解析：由平均數(shù)公式可得eq\f(4＋2a＋（3－a）＋5＋6,5)＝4，解得a＝2.11．(1)3(2)6000解析：(1)0.1×(0.2＋0.8＋1.5＋2.0＋2.5＋a)＝1，解得a＝3.(2)消費金額在區(qū)間[0.5，0.9]內(nèi)的購物者的頻率為0.1×(3.0＋2.0＋0.8＋0.2)＝0.6，所以所求購物者的人數(shù)為0.6×10000＝6000.12．32.8解析：設(shè)這組數(shù)據(jù)的最終兩個數(shù)據(jù)為10＋x，y(x∈N，x≤9)∵9＋10＋11＋10＋x＋y＝10×5＝50，∴x＋y＝10，∴y＝10－x.∴s2＝eq\f(1,5)[1＋0＋1＋x2＋(y－10)2]＝eq\f(1,5)(2＋2x2).∵x≤9，∴當x＝9時，s2取得最大值32.8.13．A由圖可知，1號溫差為負值，所以今年1號氣溫低于去年同期的氣溫，故選項A不正確；除6，7號，今年氣溫略高于去年同期的氣溫外，其他日子，今年氣溫都低于去年同期的氣溫，所以今年的氣溫的平均值比去年同期的氣溫的平均值低，選項B正確；今年8～11號氣溫上升，但是氣溫差漸漸下降，說明去年8～11號氣溫持續(xù)上升，選項C正確；由圖可知，今年8號氣溫最低，選項D正確．故選A.14．B依據(jù)均值E(X)＝eq\i\su(i＝1,4,x)ipi，方差D(X)＝eq\i\su(i＝1,4,[)xi－E(X)]2·pi以及方差與標準差的關(guān)系，得各選項對應(yīng)樣本的標準差如下表．選項均值E(X)方差D(X)標準差eq\r(D（X）)A2.50.65eq\r(0.65)B2.51.85eq\r(1.85)C2.51.05eq\r(1.05)D2.51.45eq\r(1.45)由此可知選項B對應(yīng)樣本的標準差最大，故選B.15．3解析：∵s2＝＝eq