線性代數(shù)與概率統(tǒng)計(jì) 課件 第二章 一維隨機(jī)變量及其概率分布

第二章一維隨機(jī)變量及其概率分布引

言本章隨機(jī)變量的概念引進(jìn)隨機(jī)現(xiàn)象中變量的隨機(jī)性的刻畫方法,從而更加深入地研究隨機(jī)現(xiàn)象討論隨機(jī)變量第一節(jié)S={紅色、白色}

非數(shù)量將S數(shù)量化在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個(gè)球,觀察摸出球的顏色。

引例

可采用下列方法紅色白色S隨機(jī)變量的定義X(ω)R

設(shè)Ω是試驗(yàn)E的樣本空間，若對(duì)ω∈Ω，規(guī)定它對(duì)應(yīng)于一個(gè)實(shí)數(shù),記為X(ω),稱定義在Ω上的實(shí)值單值函數(shù)X=X(ω)為一維隨機(jī)變量，通常用大寫字母X,Y,Z來表示.為什么引入隨機(jī)變量?為什么引入隨機(jī)變量？概率論是從數(shù)量上來研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用數(shù)學(xué)分析的方法來研究，需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化。當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來表示時(shí)，就建立起了隨機(jī)變量的概念。隨機(jī)變量與普通變量的區(qū)別？定義域不同：普通函數(shù)的定義域?yàn)閿?shù)集，隨機(jī)變量的定義域?yàn)闃颖究臻g1隨機(jī)變量的取值依賴于試驗(yàn)結(jié)果，取某個(gè)值有一定的概率2隨機(jī)變量舉例拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)X=X(ω)=ω表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)事件A={出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}={2，4，6}.用隨機(jī)變量X可將A表示為“X∈{2，4，6}”從一批燈泡中任取一只，測(cè)試其壽命.Ω={t/t≥0}X=X(t)=t

表示測(cè)試燈泡的壽命事件A={壽命不低于3000小時(shí)}

=

{

t/t≥3000}.用隨機(jī)變量X可將A表示為X∈{t/t≥3000}按照隨機(jī)變量可能取值情況，可以這樣分類：連續(xù)型混合型隨機(jī)變量類型離散型非離散型本小節(jié)結(jié)束！第二章一維隨機(jī)變量及其概率分布離散型隨機(jī)變量第二節(jié)引

言隨機(jī)變量類型·離散型·非離散型·連續(xù)型·混合型1.離散型隨機(jī)變量的定義隨機(jī)變量X

的全部可能取值只有有限個(gè)或可列無(wú)限個(gè).2.分布律設(shè)

X的所有可能取值為

x1,x2,…,

xk,

… .記

pk=

P

{

X

=

xk

}，k

=1,2,

…

,稱此數(shù)列{

pk

}為X的分布律列表表示01非負(fù)性02規(guī)范性3.分布律的性質(zhì)(一)(0―1)分布4.常用特殊離散分布其分布是(0―1)分布的分布律也可寫成4.常用特殊離散分布例1“拋硬幣”試驗(yàn),觀察正、反面情況.

隨機(jī)變量X服從(0―1)分布.

其分布律為(二)伯努利試驗(yàn)、二項(xiàng)分布4.常用特殊離散分布伯努利(Bernoulli)試驗(yàn).則稱這一n重伯努利試驗(yàn)是一種非常重要的概率模型，它有廣泛的應(yīng)用,是研究最多的模型之一.例2拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗(yàn).拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)1點(diǎn)”,就是n重伯努利試驗(yàn).二項(xiàng)概率公式·若X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則X所有可能取的值為且兩兩互不相容.得X的分布律為稱這樣的分布為二項(xiàng)分布.記為·二項(xiàng)分布兩點(diǎn)分布例3在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行5次射擊,每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為0.6,則擊中目標(biāo)的次數(shù)X服從b(5,0.6)的二項(xiàng)分布.(三)泊松分布而取各個(gè)值的概率為例4商店的歷史銷售記錄表明，某種商品每月的銷售量服從參數(shù)為λ=10的泊松分布。為了以95%以上的概率保證該商品不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)該商品多少件？解設(shè)商店每月銷售某種商品X件，月底的進(jìn)貨量為n件，按照題意要求為由附錄的泊松分布表知于是，這家商店只要在月底進(jìn)貨該種商品15件（假定上個(gè)月無(wú)存貨），就可以以95%的概率保證這種商品在下個(gè)月內(nèi)不會(huì)脫銷。小結(jié)離散型隨機(jī)變量的分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布泊松分布2.二項(xiàng)分布與（0-1）分布、泊松分布之間的關(guān)系。二項(xiàng)分布是（0-1）分布的推廣，對(duì)于n次獨(dú)立重復(fù)伯努利試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率為p，設(shè)：若第i次試驗(yàn)成功，若第i次試驗(yàn)失敗。他們都服從（0-1）分布并且相互獨(dú)立，那么:服從二項(xiàng)分布，參數(shù)為（n，p）。以n，p（np=λ）為參數(shù)的二項(xiàng)分布，當(dāng)n→時(shí)趨于以λ為參數(shù)的泊松分布，既本小節(jié)結(jié)束！第二章一維隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量的分布函數(shù)第三節(jié)分布函數(shù)對(duì)于隨機(jī)變量X,我們不僅要知道X

取哪些值,

X

取這些值的概率;而且更重要的是想知道X

在任意有限區(qū)間內(nèi)取值的概率.引例

例如

分布函數(shù)的定義設(shè)X是一個(gè)隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，函數(shù)稱為X的分布函數(shù)。說明01分布函數(shù)主要研究隨機(jī)變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率情況02分布函數(shù)F(x)是x的一個(gè)普通實(shí)函數(shù)分布函數(shù)的性質(zhì)

01且0203重要公式12例題講解例1解設(shè)H—正面，T—反面，則因此分布律為求分布函數(shù)例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為求X的分布函數(shù)，并求解X僅在-1,2,3三點(diǎn)處的概率不為0，而F(x)的值是X≤x的累積概率值，由概率的有限可加性本小節(jié)結(jié)束！第二章一維隨機(jī)變量及其概率分布連續(xù)型隨機(jī)變量第四節(jié)如果對(duì)于隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x),存在非負(fù)可積函數(shù)f(x)，使對(duì)于任意實(shí)數(shù)x有則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量，其中函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡(jiǎn)稱概率密度。連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù).連續(xù)型隨機(jī)變量的定義概率密度的性質(zhì)關(guān)于連續(xù)型隨機(jī)變量X概率密度f(wàn)

(x

)并不是

X在點(diǎn)x處的概率值，f

(

x

)

越大，說明X

落在點(diǎn)x的小鄰域內(nèi)的概率越大1F(

x

)

是連續(xù)函數(shù)。

由此可知：X

落在任一區(qū)間上的概率與區(qū)間端點(diǎn)無(wú)關(guān)。即對(duì)任意實(shí)數(shù)a有：P{X=a}=0.2其他

計(jì)算舉例例1設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量

X

的概率密度為1確定常數(shù)k2求X的分布函數(shù)3求其他.得于是X的概率密度為解解即

解其他,常用特殊連續(xù)分布均勻分布一均勻分布函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度若稱X在(a,b)上服從均勻分布，記為X~U(a,b)則其他.例設(shè)電阻值R是一個(gè)隨機(jī)變量，均勻分布在900Ω~1100Ω。求R的概率密度及R落在950Ω~1050Ω的概率。按題意,R的概率密度為

解故有指數(shù)分布二連續(xù)型隨機(jī)變量X具有概率密度為若其中

隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為易知

應(yīng)用背景某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布。無(wú)線電元件的壽命、電力設(shè)備的壽命、動(dòng)物的壽命例如于是

例

{

X>0X≤0由題意，X的概率密度為解

正態(tài)分布三正態(tài)分布的概率密度函數(shù)若連續(xù)型隨機(jī)變量X的概率密度為其中

f(x)的圖形如圖所示分布函數(shù)為

即有易知正態(tài)分布的應(yīng)用背景正態(tài)分布是最常見最重要的一種分布,例如測(cè)量誤差,人的生理特征尺寸如身高、體重等；正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸、直徑、長(zhǎng)度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布原函數(shù)不是初等函數(shù)正態(tài)分布的計(jì)算方法轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布查表計(jì)算引理則例

正態(tài)分布的重要性

正態(tài)分布有極其廣泛的實(shí)際背景,是自然界和社會(huì)現(xiàn)象中最為常見的一種分布,一個(gè)變量如果受到大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響,那么這個(gè)變量一般是一個(gè)正態(tài)隨機(jī)變量。

二項(xiàng)分布、泊松分布等的極限分布是正態(tài)分布。所以，無(wú)論在實(shí)踐中，還是在理論上，正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布。

小結(jié)1.連續(xù)型隨機(jī)變量分布函數(shù)概率密度均勻分布正態(tài)分布指數(shù)分布2.常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布本小節(jié)結(jié)束！第二章一維隨機(jī)變量及其概率分布隨機(jī)變量的函數(shù)的分布第五節(jié)引言某種商品的需求量是隨機(jī)變量X，其銷售收入就是需求量的函數(shù)，對(duì)于這類問題，用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言來描述就是：例如

已知X

的概率分布，如何求其函數(shù)Y=g(x)

的概率分布？設(shè)f(x)是定義在隨機(jī)變量X的一切可能值x的集合上的函數(shù)，若隨機(jī)變量Y隨著X的取值x的值而取y=f(x)的值，則稱隨機(jī)變量Y為隨機(jī)變量X的函數(shù)，記作Y=f(X)若已知的隨機(jī)變量X的分布，如何來求隨機(jī)變量Y=f(X)的分布？問題離散型隨機(jī)變量的函數(shù)分布例1

解Y所有可能取的值為0,1,4如果X是離散型隨機(jī)變量，其函數(shù)Y=g(X）也是離散型隨機(jī)變量若X分布律為則Y=g(X）的分布律為

連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)分布