第02講 正弦定理和余弦定理12種常見考法歸類（解析版） -新高二數(shù)學暑假自學課講義

第02講正弦定理和余弦定理12種常見考法歸類通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題．1.正弦定理、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓的半徑，則正弦定理余弦定理文字語言在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等.三角形中任何一邊的平方，等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.公式eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC).a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.常見變形(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC.(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R).(3)三角形的邊長之比等于對應角的正弦比，即a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC.(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA.(5)大邊對大角大角對大邊(6)合分比：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).，，2.三角形內(nèi)角和及三角形常見重要關(guān)系(1)內(nèi)角和定理：，進而有eq\f(B＋C,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(A,2)等式子(2)三角函數(shù)關(guān)系：=1\*GB3①同理有：，.=2\*GB3②；=3\*GB3③斜三角形中，=4\*GB3④；(3)三角形中的射影定理：在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．(4)角平分線定理：三角形一個角的平分線與其對邊所成的兩條線段與這個角的兩邊對應成比例.即若AD為∠A的角平分線，則有比例關(guān)系：eq\f(BD,CD)＝eq\f(AB,AC).3.三角形常用面積公式(1)S＝eq\f(1,2)a·ha(ha表示邊a上的高).(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)bcsinA.(3)（r是三角形內(nèi)切圓的半徑，并可由此計算R，r.）(4)S＝eq\r(p（p－a）（p－b）（p－c）)，即海倫公式，其中p＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)為△ABC的半周長.(5)其中4.解三角形中的常用術(shù)語(1)仰角和俯角：在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖①).(2)方位角：從指北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如B點的方位角為α(如圖②).(3)方向角：相對于某一正方向的水平角.北偏東α，即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向(如圖③).北偏西α，即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α到達目標方向.南偏西等其他方向角類似.(4)坡角與坡度：坡角指坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)(如圖④，角θ為坡角).坡度指坡面的鉛直高度與水平長度之比(如圖④，i為坡度，i＝tanθ).坡度又稱為坡比.1、正弦定理之齊次式結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)特點：每一項中都有邊或sin角且次數(shù)一致，即可實現(xiàn)邊和對應sin角的互化結(jié)構(gòu)示例：（1）整式齊次式：①邊的齊次式②sin角的齊次式（2）分式齊次式：2、拆角合角技巧1、化簡后的式子同時含有三個角時，解題思路是減少角的個數(shù)，方法主要有以下兩種①合角如：②拆角——拆單角（“單身狗角”）如：注：（1），，（2），（3）中①②（舍去）①②，則或射影定理3、三角形最值問題三角形中角度是最基礎(chǔ)的要素之一,圍繞角度展開的范圍問題主要有兩大考查內(nèi)容:一方面對角度大小范圍做出考查;另一方面對角度的正余弦值范圍進行提問.解題難度系數(shù)并不大,但準確高效地解題還取決于對三角形內(nèi)角和特點是否考慮周到.（一）角度范圍問題求解三角形的角度范圍問題,常見解題思路為:(1)對所給條件做出分析,根據(jù)條件特點選擇合適定理表達所求角度,若已知邊長值較多則考慮余弦定理,已知角度大小則考慮正弦定理;(2)根據(jù)角度的具體表達式結(jié)構(gòu)特點,討論有關(guān)變量的具體定義域;(3)選擇三角函數(shù)求值域或基本函數(shù)求值域方式,在所求定義域內(nèi)求得對應值域,即可得到問題所求的角度相關(guān)范圍大小.（二）邊長范圍問題邊長是組成三角形的另一重要元素,因此與三角形邊長有關(guān)的范圍問題也十分常見.由于這一類范圍問題求解并不復雜,故以選擇形式或填空形式出現(xiàn)較為多見.求解這類與邊長有關(guān)的范圍問題,正余弦定理的靈活運用成為解題的關(guān)鍵步驟,常見的解答思路一般表現(xiàn)為:(1)根據(jù)已知條件的特點,選擇合適的定理并代人具體值,得到與問題所求的對應關(guān)系等式;(2)根據(jù)關(guān)系等式以及三角形三邊之和、內(nèi)角和關(guān)系特點,得到具體關(guān)系等式或不等式;(3)通過運算,求出問題所求邊長對應具體取值范圍.（三）面積范圍問題針對三角形面積進行提問的取值范圍問題,屬于中等難度的一類解三角形問題,可在選擇填空或解答題中遇見其“身影”.解答這類問題,主要思路在于借助公式將面積問題等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)求值域或基本不等式求最值,進而對問題作出具體完整的解答,這些解題思路在解題過程中具體可表現(xiàn)為:(1)對所求三角形大致形狀做出分析,明確選擇面積求解公式;(2)運用正余弦定理,取得三角形邊長、角度具體值,將其代人面積公式中得到具體表達式;(3)根據(jù)表達式結(jié)構(gòu)特點,運用函數(shù)求值域思路或基本不等式求臨界值思路,得到具體的范圍大小,即對應問題所求的面積范圍值.考點一：利用正弦、余弦定理解三角形例1．在中，若，，，則（

）A．3 B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理即可求解【詳解】根據(jù)正弦定理有，結(jié)合，，，則．故選：A變式1：的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，．則（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】首先由誘導公式求出，再根據(jù)正弦定理計算可得；【詳解】解：依題意由正弦定理，即，解得；故選：B變式2：在銳角中，內(nèi)角A?B?C所對的邊分別是，若，，，則____【答案】【分析】利用正弦定理即得.【詳解】由正弦定理可得，，∴.故答案為：.例2．在中，，則______.【答案】【分析】根據(jù)正弦定理求解即可.【詳解】根據(jù)正弦定理可知，代入題中數(shù)據(jù)，可知，所以故答案為：變式1：在中，，，所對的邊分別為a，b，c，其中，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用正弦定理可求解.【詳解】，，，由正弦定理得，.故選：B.變式2：在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊為a，b，c，若，則（

）A． B．或 C． D．或【答案】D【分析】根據(jù)，利用正弦定理求解.【詳解】解：在中，，由正弦定理得，所以，所以或，故選：D例3．若中，，，，則______．【答案】或【分析】由已知可求得.分與兩種情況，根據(jù)余弦定理，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，，所以.當時，由余弦定理，因為，，解得；當時，由余弦定理，因為，，解得.故答案為：或.變式1：在中，內(nèi)角，，所對的邊分別是，，，若，，，則______．【答案】【分析】利用余弦定理列方程求解.【詳解】由余弦定理得即，解得（舍），故答案為:.變式2：在中，已知，，，b＝5，則c＝______．【答案】2【分析】由，得，再結(jié)合，得到角為鈍角，然后利用余弦定理求解.【詳解】解：在中，，b＝5，由，得，因為，所以角為鈍角，則，由余弦定理得，即，解得或（舍去），故答案為：2變式3：在中，若，則（

）A．25 B．5 C．4 D．【答案】B【分析】利用余弦定理直接求解.【詳解】在中，若，，，由余弦定理得.故選：B例4．在中，，則的最小角為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知，根據(jù)條件給出的三邊確定的最小角為，直接利用余弦定理計算，即可完成求解.【詳解】由已知，在中，，因為，所以的最小角為，所以，又因為，所以.故選：C.變式1：在中，，則的值為（

）A． B．－ C．－ D．【答案】C【分析】由題意可設(shè)，再根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】解：因為，所以設(shè)，由余弦定理可得.故選：C.變式2：已知中，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)三邊的比令，，，，進而可知，根據(jù)勾股定理逆定理推斷出，進而根據(jù)推斷出，進而求得，則三個角的比可求．【詳解】解：依題意令，，，，，所以為直角三角形且，又，且，，，故選：A．例5．在中，已知，則____________．【答案】3或1##1或3【分析】利用余弦定理結(jié)合可求出的值.【詳解】在中，，由余弦定理得，所以，得．由，得或所以或1．故答案為：或1．變式1：的三個內(nèi)角所對邊的長分別為，已知，，，則的值為______．【答案】【分析】由的值及,利用余弦定理即可列出關(guān)于的方程,求出方程的解即可得到的值.【詳解】由,根據(jù)余弦定理得：,即,所以.故答案為:變式2：在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】B【分析】利用余弦定理及完全平方公式計算可得.【詳解】解：由余弦定理可得，又因為，所以.因為，所以.故選：B考點二：判斷三角形解的個數(shù)例6．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；對于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；對于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.故選：B.變式1：【多選】在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，根據(jù)下列條件判斷三角形的情況，則正確的是（

）A．，，，有兩解B．，，，有兩解C．，，，只有一解D．，，，只有一解【答案】CD【分析】利用正弦定理，逐項計算判斷作答.【詳解】對于A，因為，，則，由正弦定理，得，顯然有唯一結(jié)果，即只有一解，A錯誤；對于B，，，，由正弦定理得，無解，B錯誤；對于C，，，，有，則，由正弦定理得，有唯一解，C正確；對于D，，，，有，則，此時，有唯一解，D正確.故選：CD變式2：中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知下列條件：①，，；②，，；③，，；④，，.其中滿足上述條件的三角形有唯一解的是（

）A．①④ B．①② C．②③ D．③④【答案】C【分析】對于①，求出頂點到的距離，再與兩邊比較大小即查得出結(jié)論，對于②，求出頂點到的距離，再與兩邊比較大小即查得出結(jié)論，③，利用正弦定理判斷即可，對于④，利用等邊對等角求出角判斷【詳解】對于①，因為，且，所以三角形有兩解；對于②，因為，且，所以三角形一解；對于③，，所以三角形有一解；對于④，，，，則，則，所以三角形無解.所以滿足上述條件的三角形有一解的是②③.故選：C例7．在中，已知，，，滿足此條件的三角形只有一個，則滿足（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】結(jié)合正弦定理得，滿足條件的三角形只有一個，即有唯一的角與其對應，即可確定B的范圍，求得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，則有，.∵滿足條件的三角形只有一個，即有唯一的角與其對應，則，故.故選：D變式1：中，角的對邊分別是，，.若這個三角形有兩解，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由正弦定理結(jié)合已知，可推得.進而根據(jù)三角形解得個數(shù)推得，即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，.要使有兩解，即有兩解，則應有，且，所以，所以.故選：B．變式2：在中，，．分別根據(jù)下列條件，求邊長a的取值范圍．(1)有一解；(2)有兩解；(3)無解．【答案】(1)或；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)正弦定理，得到.分、、討論，即可得出；（2）由已知可得，求解不等式即可得出結(jié)果；（3）由已知可得，求解不等式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）由正弦定理可得，.（?。┊敚磿r，.①若，即，則不存在，無解，此時；②若，即，，有一解，此時；③若，即，因為，此時可能是銳角或鈍角，即此時有兩解，此時，即.綜上所述，當時，有一解；（ⅱ）當，即時，，有一解；（ⅲ）當，即時，，此時只能是銳角，有一解.綜上所述，有一解時，邊長a的取值范圍是或.（2）由（1）知，有兩解，應滿足，由，即，解得.（3）由（1）知，無解，應滿足，即，解得.考點三：正弦定理的應用例8．已知的三個內(nèi)角、、所對的邊分別為、、，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理化簡得出的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值.【詳解】因為，由正弦定理可得，、，則，所以，，所以，，故.故選：C.變式1：已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且，則為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用正弦定理邊化角可化簡求得，由此可得.【詳解】由正弦定理得：，，，，即，，.故選：D.變式2：記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知角，，則角（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由正弦定理把邊轉(zhuǎn)化為角，再展開化簡求得與的關(guān)系，進一步計算得出結(jié)果.【詳解】已知角，，由正弦定理可得，整理得，即，因為，所以，所以.又，所以.故選：C.例9．的內(nèi)角的對邊分別為，且，則的外接圓半徑為__________.【答案】【分析】利用正弦定理可得，進而可得，即得.【詳解】，則，由正弦定理，得故，展開化簡得：，，，故，，即，∴外接圓直徑，故外接圓半徑為.故答案為：.變式1：已知的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且．若，則的外接圓半徑為____________．【答案】【分析】運用余弦定理和正弦定理進行求解即可.【詳解】根據(jù)余弦定理由，而，因此有，因為，所以，由正弦定理可知的外接圓半徑為，故答案為：變式2：在中,角，，所對的邊分別為，，，，則的外接圓面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】首先利用三角恒等變形化簡，并利用同角三角函數(shù)公式求得，并利用正弦定理求外接圓半徑，即可求得三角形的面積.【詳解】由正弦定理可知,,考點四：余弦定理的應用例10．在中，角A，，的對邊分別為，，，且，則角的大小是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接利用余弦定理計算即可.【詳解】，∵，∴.故選：C變式1：【多選】在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則B的值為（

）A． B． C． D．【答案】BD【分析】利用余弦定理代入式子中能得到，結(jié)合的范圍即能得到答案【詳解】解：根據(jù)余弦定理可知，代入，可得，即，因為，所以或，故選：BD.變式2：在中，，則邊所對的角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)式子的特點，聯(lián)想平方差公式，完全平方公式，余弦定理，即可得解.【詳解】因為，所以，即，即，所以.故選：B例11．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由余弦定理求出答案.【詳解】由得：，解得：故選：B變式1：在中，已知三條邊是連續(xù)自然數(shù)，且最大角為鈍角，求三角形三條邊的長．【答案】2，3，4【分析】首先設(shè)的三邊為，且，根據(jù)題意得到，從而得到，再結(jié)合三角形兩邊之和大于第三邊，即可得到答案.【詳解】設(shè)的三邊為，且，因為最大角為鈍角，所以，化簡得：，解得.又因為，即，所以，且，即，三邊為：.例12．若銳角三角形三邊長分別為，則的范圍是（

）．A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)銳角三角形分別應用余弦定理列邊長關(guān)系不等式,計算即可.【詳解】因為三角形是銳角三角形，所以三角形的三個內(nèi)角都是銳角，則設(shè)邊對的銳角為角，根據(jù)余弦定理得，解得；設(shè)邊對的銳角為，根據(jù)余弦定理得，解得，設(shè)邊對的銳角為角,根據(jù)余弦定理得恒成立;所以實數(shù)的取值范圍是.故選:.變式1：在鈍角中，角、、所對的邊分別為、、，若，，則最大邊的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件利用余弦定理建立不等關(guān)系即可計算作答.【詳解】因是鈍角三角形，，，且是最大邊，則由余弦定理得：，于是得，，解得，而有，即，所以最大邊的取值范圍是：.故選：D考點五：判斷三角形的形狀例13．已知中，角，，所對的邊分別是，，，若，且，那么是（

）A．直角三角形 B．等邊三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】將化簡并結(jié)合余弦定理可得的值，再對結(jié)合正、余弦定理化簡可得邊長關(guān)系，進行判定三角形形狀.【詳解】由，得，整理得，則，因為，所以，又由及正弦定理，得，化簡得，所以為等邊三角形，故選：B變式1：在中內(nèi)角的對邊分別為，若，則的形狀為（

）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形【答案】D【分析】由正弦定理，余弦定理化角為邊，化簡已知等式可得，即可判斷的形狀．【詳解】由正弦定理，余弦定理及得，，即，則，即或為等腰三角形或直角三角形．故選：D.變式2：在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則該三角形一定是（

）A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形【答案】A【分析】由余弦定理得到，結(jié)合，得到，判斷出三角形為直角三角形.【詳解】∵，∴，由余弦定理可得：，整理可得：，①∵，∴，②由①②得，∴該三角形是直角三角形.故選：A變式3：【多選】已知，，分別是三個內(nèi)角，，的對邊，下列四個命題中正確的是（

）A．若，則是銳角三角形B．若，則是等腰三角形C．若，則是等腰三角形D．若，則是等邊三角形【答案】ACD【分析】由兩角和的正切公式結(jié)合誘導公式以及，，為的內(nèi)角可判斷A；由正弦定理化邊為角結(jié)合正弦的二倍角公式可判斷B；由正弦定理化邊為角，逆用兩角和的正弦公式可判斷C；利用正弦定理化邊為角結(jié)合同角三角函數(shù)基本關(guān)系可判斷D，進而可得正確選項.【詳解】對于A，因為，所以，所以，因為，，為的內(nèi)角，所以，，都是銳角，所以是銳角三角形，故選項A正確；對于B：由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故選項B錯；對于C：由及正弦定理化邊為角，可知，即，因為，為的內(nèi)角，所以，所以是等腰三角形，故選項C正確；對于D：由和正弦定理化邊為角，易知，所以，因為，，為的內(nèi)角，所以，所以是等邊三角形，故選項D正確；故選：ACD.考點六：正余弦定理的綜合應用例14．在中，若，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角恒等變換及余弦定理即可處理.【詳解】原式=化簡得：由正弦定理角化邊得：，由余弦定理得：故選：B.變式1：在中，已知，且，則__________.【答案】【分析】根據(jù)條件結(jié)合余弦定理求解出的值，再根據(jù)正弦定理可得的關(guān)系，最后利用正弦定理進行邊化角求解出結(jié)果.【詳解】因為，所以化簡可得，又，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，故答案為：.變式2：在中，角的對邊分別為，且．角A等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦定理角化邊化簡，可得，再根據(jù)余弦定理即可求得答案.【詳解】在中,,則,即，即，故，而,故，故選：B變式3：已知的三個內(nèi)角A、B、C的對邊分別是a、b、c，且滿足．(1)求角C的值；(2)若，，且，求的長度．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理即可得，從而可得角C的值；（2）根據(jù)向量共線定理可得，利用向量的模長運算即可得的長度．【詳解】（1）解：由正弦定理得：，因為，所以，即又由余弦定理得，則化簡得，又，所以.（2）解：由可得所以，∴，即的長度為.考點七：與角度、邊長有關(guān)的最值問題例15．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.則的最大值為（

）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理計算即可得到，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，誘導公式，兩角和的正弦公式化簡，進而可求得的最大值．【詳解】由已知，根據(jù)正弦定理得，，則，∴，又，∴，∴∵，∴，∴當，即時，的最大值為1，即的最大值為1．故選：C．變式1：在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意利用正弦定理可得，進而整理，并求的取值范圍，結(jié)合正弦函數(shù)分析運算即可.【詳解】因為，由正弦定理可得，則，因為，，則，所以，即，則，因為，解得，所以，則，即的取值范圍是.故選：B.變式2：在中，角所對的邊分別為，面積為，且.當取得最大值時，的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)面積公式以及正弦定理得，進而根據(jù)不等式求解的最值，即可得，，進而根據(jù)余弦定理即可求解.【詳解】由得,由正弦定理得，因此，當且僅當時取等號，故當時，取到最大值3，此時，，故，故選：A例16．銳角三角形ABC中，a、b、c分別是三內(nèi)角A、B、C的對邊，如果B＝2A，則的取值范圍是()A．(－2,2) B．(0,2) C．(，) D．(，2)【答案】C【詳解】解：因為B＝2A，故sinB=sin2A,故所求的范圍是選C變式1：在中，，則的最小值（

）A．-4 B． C．2 D．【答案】A【分析】利用正弦定理將邊化角，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得.【詳解】在中，，所以，，所以，因為，所以，所以，，則的最小值為.故選：A變式2：銳角中，已知，則取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由余弦定理得：，再由正弦定理得：，則，利用三角形內(nèi)角和定理和三角函數(shù)的恒等變換，轉(zhuǎn)化為求三角函數(shù)的值域，求出范圍即可得到結(jié)果.【詳解】，由余弦定理得：，即，由正弦定理得：，，，又由得：，，，.故選：D【點睛】本題主要考查了正余弦定理的應用，三角函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是將邊化角轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域求解.考點八：三角形的面積的計算及應用例17．在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理求出邊長a，再判斷三角形形狀，求出面積作答.【詳解】在中，由正弦定理得：，因此，則，而，即有是正三角形，所以的面積.故選：B變式1：在中,角的對邊分別為,且滿足.(1)求角的值;(2)若,求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】(1)先用正弦定理邊化角,再逆用兩角和的正弦公式進行化簡即可求解;(2)利用余弦定理求出邊,然后代入三角形面積公式計算即可.【詳解】（1）解:由題意知,在中,將正弦定理代入有,所以,即,即,即,因為,所以,所以,因為,所以；（2）由(1)知,在中,由余弦定理可知,即,解得或（舍）,所以.變式2：記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.(1)證明：；(2)若，求的面積.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由正弦定理邊化角計算可得結(jié)果.（2）由余弦定理解三角形及三角形面積公式計算可得結(jié)果.【詳解】（1）證明：由及正弦定理得：，整理得，.因為，所以，所以或，所以或（舍），所以.（2）由及余弦定理得:，整理得，又因為，可解得，則，所以△是直角三角形，所以△的面積為.例18．在中，，，其面積為，則等于（

）A．4 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)三角形面積公式可得的值，再結(jié)合余弦定理即可求得.【詳解】由題意知，則由余弦定理得即.故選:C.變式1：已知，，分別為三個內(nèi)角，，的對邊，.(1)求；(2)若，的面積為，求，.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理把已知等式中的邊轉(zhuǎn)化為角的正弦，化簡整理可求得的值，進而求得；（2）利用三角形面積公式求得的值進而根據(jù)余弦定理求得的值，最后聯(lián)立方程求得和．【詳解】（1）解：因為，由正弦定理得：，，，，，，，.（2）解：，，由余弦定理得：，，聯(lián)立，解得.變式2：已知的內(nèi)角所對的邊分別為，且滿足．(1)求角B的大小；(2)若，設(shè)的面積為S，滿足，求b的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）切化弦后由正弦定理化邊為角，并利用兩角和的正弦公式、誘導公式化簡變形可得角大?。唬?）由三角形面積公式得，再由正弦定理可求得．【詳解】（1）由，得，根據(jù)正弦定理，得．因為，所以，所以．因為，所以，所以，則．（2）由，得．又由正弦定理得，所以，解得．例19．在中，若，則面積的最大值為__________．【答案】1【分析】由三角恒等變換得出，再由正弦定理結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)得出面積的最大值.【詳解】因為，即．又因為，所以，因為，所以，即，所以，當時，取得最大值1．故答案為：1變式1：的內(nèi)角的對邊分別為a，b，c，滿足.若為銳角三角形，且a=3，則面積最大為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理角化邊，再利用余弦定理、三角形面積公式結(jié)合均值不等式求解作答.【詳解】在中，由及正弦定理得：，即，由余弦定理得，在銳角中，，而，因此，當且僅當時取等號，于是的面積，所以當時，的面積取得最大值.故選：D變式2：在中，內(nèi)角A，B，C對的邊長分別為a，b，C，且.(1)求角A；(2)若，求面積的最大值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理，，據(jù)此可得答案；（2），又由（1）可知，則再利用輔助角公式與三角函數(shù)有界性可得答案.【詳解】（1）由正弦定理，，又在三角形中，.則，又，得，結(jié)合，知.（2）由正弦定理，可知.則.又由（1）可知，則.，因，則，故當，即時，取最大值.變式3：已知的內(nèi)角的對邊分別為，且.(1)求角的大??；(2)若于，求的面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題目信息利用正弦定理可得，再利用余弦定理可得；（2）利用三角形面積公式可以求得，再根據(jù)基本不等式即可求得邊長的取值范圍，即可得面積最小值.【詳解】（1）由可得，由正弦定理可得由余弦定理可得，又，所以.（2）如下圖所示：三角形面積，又，所以，由（1）中可得，當且僅當時，等號成立；即，得.所以面積，故的面積的最小值為考點九：三角形周長的計算及應用例20．在中，若，，，則的周長等于（

）A．8 B．16 C．10 D．20【答案】C【分析】由已知條件利用余弦定理求出，從而可求出的周長【詳解】因為，，，由余弦定理得，所以.所以的周長為.故選：C.變式1：在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，，且外接圓的周長為，則的周長為（

）A．20 B． C．27 D．【答案】D【分析】利用三角形的外接圓周長求出外接圓半徑，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出，從而得到的長，結(jié)合及正弦定理得到，從而得到三角形周長.【詳解】設(shè)的外接圓半徑為，則，解得：，因為，由，，可得，，所以，，因為，由正弦定理可得：，所以的周長為.故選：D.變式2：在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，，且的周長和面積分別是10和，則______.【答案】3【分析】根據(jù)三角形的面積公式和余弦定理求解.【詳解】因為，所以，所以，所以.因為，所以，所以，所以.由余弦定理可得，即，所以，則，解得.故答案為:3.例21．已知在銳角△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，且A＝60°，BC=4，則△ABC的周長的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正弦定理將周長表達為關(guān)于B的函數(shù)，然后利用△ABC為銳角三角形求出定義域，再算值域即可.【詳解】由正弦定理，又A＝60°，BC=4所以因為△ABC為銳角三角形，所以所以，所以所以周長的取值范圍是.故選：A.變式1：三角形的三邊所對的角為，，則下列說法不正確的是（

）A． B．若面積為，則周長的最小值為12C．當，時， D．若，，則面積為【答案】C【分析】對于A，根據(jù)正弦定理和余弦定理可求出；對于B，由面積為，求出，由余弦定理得到，再根據(jù)基本不等式可求出周長的最小值；對于C，由余弦定理可求出結(jié)果；對于D，由正弦定理求出，再根據(jù)三角形的面積公式可求出結(jié)果.【詳解】對于A，由，得，得，由正弦定理得，所以，因為，所以，故A說法正確；對于B，因為面積為，所以，所以，所以，由余弦定理得，所以，所以，當且僅當時，等號成立，故的周長的最小值為.故B說法正確；對于C，當，時，由余弦定理得，所以，得，解得或（舍），故C說法不正確；對于D，若，，由正弦定理得，得，所以面積為，因為，所以面積為.故D說法正確.故選：C變式2：在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，已知，且△ABC的面積為，則△ABC周長的最小值為（

）A． B．6 C． D．【答案】B【分析】首先利用正弦定理及誘導公式，二倍角公式對原式化簡得，即求出的大小，再利用三角形面積公式得，從而求出的最小值，最后得到，利用函數(shù)單調(diào)性即可求出其最小值.【詳解】由題設(shè)及三角形內(nèi)角和性質(zhì)：，根據(jù)正弦定理及誘導公式得，，，，即，，則，則，解得,則，所以，則，又僅當時等號成立，根據(jù)余弦定理得，即，設(shè)的周長為，則，設(shè)，則，根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性：增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)得：在上為單調(diào)增函數(shù)，故，故，當且僅當時取等.故選：B考點十：解三角形的實際應用例22．海洋藍洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界上最深的海洋藍洞，若要測量如圖所示的藍洞的口徑A，B兩點間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點C，D，測得，，，，則A、B兩點的距離為___________m．【答案】【分析】根據(jù)已知的邊和角，在中，由正弦定理解得，在中，由余弦定理得.【詳解】因為，，所以，，所以，又因為，所以，，在中，由正弦定理得，即，解得，在中，由余弦定理得，所以，解得．故答案為：:變式1：喜來登月亮酒店是浙江省湖州市地標性建筑，某學生為測量其高度，在遠處選取了與該建筑物的底端在同一水平面內(nèi)的兩個測量基點與，現(xiàn)測得，，米，在點處測得酒店頂端的仰角，則酒店的高度約是（

）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．91米 B．101米 C．111米 D．121米【答案】B【分析】在△中應用正弦定理求，注意應用和角正弦公式求，再由求建筑物的高.【詳解】由題設(shè)，在△中，又，所以，又米.故選：B變式2：【多選】某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東，距離為；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為.貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東，則下列說法正確的是（

）A．處與處之間的距離是 B．燈塔與處之間的距離是C．燈塔在處的西偏南 D．在燈塔的北偏西【答案】ABC【分析】作圖，運用正弦定理和余弦定理解相應的三角形即可.【詳解】在中，由已知得，，則，．由正弦定理得，所以處與處之間的距離為，故A正確；在中，由余弦定理得，，又，解得．所以燈塔與處之間的距離為，故B正確，，，燈塔在處的西偏南，故C正確；燈塔在的南偏東，在燈塔的北偏西，故D錯誤；故選：ABC．變式3：寶塔山是延安的標志，是革命圣地的象征，也是中國革命的搖籃，見證了中國革命的進程，在中國老百姓的心中具有重要地位.如圖，在寶塔山的山坡A處測得，從A處沿山坡直線往上前進到達B處，在山坡B處測得，，則寶塔CD的高約為_________m.（，，結(jié)果取整數(shù)）【答案】44【分析】根據(jù)題意可得為等腰三角形，即可得，然后在中利用正弦定理可求得結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，所以，所以，因為，所以，，在中，由正弦定理得，，所以所以，故答案為：44.考點十一：正、余弦定理解決幾何問題例23．如圖所示，在中，，點D在線段AB上，且滿足，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形的邊角關(guān)系，結(jié)合角平分線定理、二倍角公式、正弦定理即可求得的值.【詳解】在中，角對應的邊分別為，又點D在線段AB上，且滿足，所以，又，由角平分線定理可得，所以，則，又，所以，則，由正弦定理得.故選：B.變式1：在中，，，為邊上的中點，且的長度為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)，結(jié)合余弦定理可得到，由此可整理得到；在中，利用余弦定理可得，解方程組可求得.【詳解】在中，；在中，；，，又，，整理可得：，即，，；在中，，，解得：（舍）或，.故選：A.變式2：如圖，在平面四邊形中，，，，，，則（

）A．1 B．3 C．2 D．4【答案】C【分析】設(shè)，由正弦定理得，，兩式相除即可求出.【詳解】設(shè)，在中，由正弦定理可得①，由可得，則，，在中，由正弦定理可得②，①②兩式相除，得，即，整理得，化簡得，故.故選:C【點睛】本題主要考查正弦定理與余弦定理在解三角形中的應用，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題.變式3：在四邊形ABCD中，，，則的最大值為（

）A．25 B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)（），在中，根據(jù)正弦定理得到，在中，根據(jù)余弦定理和三角函數(shù)值得到，從而得到，再在中，由余弦定理得到，結(jié)合正弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，即可求解.【詳解】設(shè)（），則，在中，由正弦定理可得，又，在中，，，則，則，在中，由余弦定理可得，即，又，則，所以當，即時，取得最大值為．故選：B．考點十二：解三角形與三角函數(shù)的綜合問題例24．已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；（Ⅱ）在銳角中，設(shè)角、、所對的邊分別是、、，若且，求的取值范圍.【答案】（Ⅰ）最小正周期為，，；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）化簡函數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，即可求解；（Ⅱ）由（1）及，求得，根據(jù)正弦定理得到，，得到，結(jié)合，即可求解.【詳解】（Ⅰ）由題意，函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，.（Ⅱ）由（1）可得，因為，可得，由正弦定理可知，所以，，由及為銳角三角形，解得，則.因為，可得，所以，所以.變式1：已知，，（1）求的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）已知銳角的內(nèi)角的對邊分別為，且，，求邊上的高的最大值．【答案】（1）最小正周期為；單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）．【分析】（1）整理得，可得其最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）由，可得，設(shè)邊上的高為，所以有，由余弦定理可知：，得出，最后可得最大值.【詳解】解：（1）．的最小正周期為：；當時，即當時，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為：；（2）因為，所以，，，．設(shè)邊上的高為，所以有，由余弦定理可知：，，，（當用僅當時，取等號），所以，因此邊上的高的最大值.1．在中，已知，，，則（

）A．1 B． C． D．3【答案】D【分析】利用余弦定理得到關(guān)于BC長度的方程，解方程即可求得邊長.【詳解】設(shè)，結(jié)合余弦定理：可得：，即：，解得：（舍去），故.故選：D.【點睛】利用余弦定理及其推論解三角形的類型：(1)已知三角形的三條邊求三個角；(2)已知三角形的兩邊及其夾角求第三邊及兩角；(3)已知三角形的兩邊與其中一邊的對角，解三角形．2．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，面積為，，，則________．【答案】【分析】由三角形面積公式可得，再結(jié)合余弦定理即可得解.【詳解】由題意，，所以，所以，解得（負值舍去）.故答案為：.3．在中，內(nèi)角，，的對邊分別是，，，若，且，則等于（

）A．3 B． C．3或 D．-3或【答案】A【分析】利用余弦定理求出，并進一步判斷，由正弦定理可得，最后利用兩角和的正切公式，即可得到答案；【詳解】，，，，，，，，故選：A.4．在中，角A、B、C的對邊分別為a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)余弦定理以及解方程組即可求出；（2）由（1）可求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（3）先根據(jù)二倍角公式求出，再根據(jù)兩角差的正弦公式即可求出．【詳解】（1）因為，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因為，所以，故，又，所以，，而，所以，故．5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面積．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）先由平方關(guān)系求出，再根據(jù)正弦定理即可解出；（2）根據(jù)余弦定理的推論以及可解出，即可由三角形面積公式求出面積．【詳解】（1）由于，，則．因為，由正弦定理知，則．（2）因為，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面積．6．在中，．(1)求；(2)若，且的面積為，求的周長．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用二倍角的正弦公式化簡可得的值，結(jié)合角的取值范圍可求得角的值；（2）利用三角形的面積公式可求得的值，由余弦定理可求得的值，即可求得的周長.【詳解】（1）解：因為，則，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面積公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周長為.7．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)證明：【答案】(1)；(2)證明見解析．【分析】（1）根據(jù)題意可得，，再結(jié)合三角形內(nèi)角和定理即可解出；（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據(jù)正弦定理，余弦定理化簡即可證出．【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根據(jù)余弦定理可知，，化簡得：，故原等式成立．8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在邊BC上取一點D，使得，求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）方法一：利用余弦定理求得，利用正弦定理求得.（2）方法一：根據(jù)的值，求得的值，由（1）求得的值，從而求得的值，進而求得的值.【詳解】（1）[方法一]：正余弦定理綜合法由余弦定理得，所以.由正弦定理得.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法過點A作，垂足為E．在中，由，可得，又，所以．在中，，因此．（2）[方法一]：兩角和的正弦公式法由于，，所以.由于，所以，所以.所以.由于，所以.所以.[方法二]【最優(yōu)解】：幾何法+兩角差的正切公式法

在（1）的方法二的圖中，由，可得，從而．又由（1）可得，所以．[方法三]：幾何法+正弦定理法

在（1）的方法二中可得．在中，，所以．在中，由正弦定理可得，由此可得．[方法四]：構(gòu)造直角三角形法

如圖，作，垂足為E，作，垂足為點G．在（1）的方法二中可得．由，可得．在中，．由（1）知，所以在中，，從而．在中，．所以．【整體點評】（1）方法一：使用余弦定理求得，然后使用正弦定理求得；方法二：抓住45°角的特點，作出輔助線，利用幾何方法簡單計算即得答案，運算尤其簡潔，為最優(yōu)解；（2）方法一：使用兩角和的正弦公式求得的正弦值，進而求解；方法二：適當作出輔助線，利用兩角差的正切公式求解，運算更為簡潔，為最優(yōu)解；方法三：在幾何法的基礎(chǔ)上，使用正弦定理求得的正弦值，進而得解；方法四：更多的使用幾何的思維方式，直接作出含有的直角三角形，進而求解，也是很優(yōu)美的方法.9．記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結(jié)合，即可求出；（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．【詳解】（1）因為，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．當且僅當時取等號，所以的最小值為．1．在中，若，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合正弦定理求得，再由余弦定理，即可求解.【詳解】因為，由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.故選：C．2．在△ABC中，，則此三角形中的最大角的大小為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由正弦定理可得出，設(shè)，則，，然后根據(jù)余弦定理求出即可得出答案.【詳解】由正弦定理可得，，設(shè)，則，，所以最大.由余弦定理可得，.因為，所以.故選：C.3．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知a=，b=，，則角A為（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】由正弦定理即可求解.【詳解】由正弦定理，得，又，所以，所以為銳角，所以．故選：C．4．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，且，則的形狀為（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【分析】先利用余弦定理求出角，再根據(jù)正弦定理化角為邊，再結(jié)合已知求出，即可得解.【詳解】因為，所以，又，所以，因為，由正弦定理得，則，則，所以為有一個角為的直角三角形.故選：B.5．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，則（

）A．2023 B．2024 C．4046 D．4047【答案】D【分析】根據(jù)同角的三角函數(shù)關(guān)系結(jié)合兩角和的正弦公式化簡可得，利用正余弦定理角化邊可得，即可得答案.【詳解】由在中，得，即，故，即,所以，所以，即，故，故選：D6．的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，則下列命題正確的個數(shù)是（

）（1）若，則（2）若，，．則有兩解（3）已知的外接圓的圓心