高考高中數(shù)學：各章節(jié)必考知識點

高中數(shù)學：各章節(jié)必考知識點匯總

第一部分集合................................................................2

第二部分函數(shù)與導數(shù).........................................................2

第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形..................................7

第四部分立體幾何...........................................................9

第五部分直線與圓..........................................................11

第六部分圓錐曲線..........................................................13

第七部分平面向量..........................................................14

第八部分數(shù)列...............................................................15

第九部分不等式............................................................17

第十部分復數(shù)...............................................................17

第十一部分概率............................................................18

第十二部分統(tǒng)計與統(tǒng)計案例..................................................18

第十三部分算法初步........................................................19

第十四部分常用邏輯用語與推理證明.........................................20

第十五部分推理與證明......................................................21

第一部分集合

1.N,Z,Q,R分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實數(shù)集：

2.交集，4n3={x|xw4且XW8}.并集，4U8={xkw/或符號區(qū)分；

3.(1)含n個元素的集合的廣集數(shù)為2、非空子集數(shù)為2n—k真子集數(shù)為21?—1：非空真f

集的數(shù)為2n-2：

(2)AcBoAr\B=A<=>A\jB=B;注意：討論的時候不要遺忘了A=@的情況。

(3)Q(JU8)=(CjA)m(/Cl8)=(C4)UU/3);

4.。是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。

第二部分函數(shù)與導數(shù)

1.定義域：①抽象函數(shù)；已知/［k(X)］定義域，求,/Ig(x)］定義域，攵(X)與g(x)值

域相同。(具體可以參考本節(jié)第4點復合函數(shù)定義域求法)。

②具體函數(shù)。分母不為0,偶次根號下不為負數(shù)，a°中a不為0,tan<9,logux中的

x為正數(shù)。@簡單高中生

2.值域：①一元二次方程配方法：②換元法：③分離參數(shù)法：

3.解析式：①配方法；②換元法：③待定系數(shù)和；④消去法。

4.復合函數(shù)的有關問題

(1)復合函數(shù)定義域求法：

①若僅)的定義域為［a.b］,則復合函數(shù)f|gx)|的定義域由不等式aggx)Wb解出：

②若［gx)］的定義域為［a,b］,求僅)的定義域,相當于x￡［a,b］時,求gx)的值域。

(2)復合函數(shù)單調(diào)性的判定：

①首先將原函數(shù))=/［g(x)］分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)〃=g(x)與外函數(shù)歹=/(〃)：

②分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；

③根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。

注意：外函數(shù)y=f(u)的定義域是內(nèi)函數(shù)〃=g(x)的值域。

5.函數(shù)的奇偶性

⑴函數(shù)的定義域關于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必攀條件；

(2)是奇函數(shù)Oy(-x)=-/(x)<=>/(-x)+f(x)=0<=>———=-1

/(x)

⑶./(X)是偶函數(shù)of(-x)=f(x)<=>f(-x)-f(x)=0<=>—~~—=1；

/(x)

(4)奇函數(shù)/(x)在原點有定義，則/(0)=0:

(5)在關于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的耳

6.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)性的定義：

①/(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)u>VX],%e%當事<

/(3)一/(々)<°=(七-X2)-[/(Xl)-f(x2)]>0<=>>0

②/(x)在區(qū)間M上是減函數(shù)<=>Vx1,x2GM,當X]<

/3)一/(芍)

X

/(占)一)>。。(/一%2)?[/(1)-f(x2)]<o<=>

(2)單調(diào)性的判定@簡單高中生

①定義法：一般要將式子/(3)-/(工2)化為幾個因式作積或作商的形式，以

號;

②導數(shù)法(見導數(shù)部分);

7.函數(shù)的周期性

(1)周期性的定義：

對定義域內(nèi)的任意x，若有/(x+7)=/(x)(其中T為非零常數(shù))，則稱函數(shù)

期函數(shù)，丁為它的一個周期。

所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都引

期。

(2)三角函數(shù)的周期@簡單高中生

二sinx:T=2乃；②y=cosx:T=2不；③y=tanx:7=;r；

④y=4sin(oix+e),y=力cos(6?r+°):T=-----；(^)y=tantax:T=---

|^|

(3)與周期有關的結(jié)論

①/(x+a)=或f(x-2a)=f(x)(<7>0)=>/(x)的周期為2。；

②y二/⑴的圖象關于點(。,0),(“0)中心對稱=>f(x)周期為2,-可；

③歹二f(x)的圖象關于直線x=x=6軸對稱n/(x)周期為21"小

④》=/(x)的圖象關于點(。,0)中心對稱，直線x=6軸對稱=>/(》)周期為z

8.基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)

(1)暴函數(shù)：y=xa(ae火)；(2)指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>0,a1)；

(3)對數(shù)函數(shù):>=logax(a>0,。w1)；(4)正弦函數(shù):y=sinx；

(5)余弦函數(shù)：y=cosx；(6)正切函數(shù)：j?=tanx；(7)一元二次函數(shù)：ax2+b

(8)其它常用函數(shù)：

吊正卜上捌南粉.”

③函數(shù)y=x+—(a>0)；

x

9.二次函數(shù)：@簡單高中生

(1)解析式：

①一般式：/'(X)=ax2+bx+c；

②頂點式：f(x)=a(x-h)2+k,(力,肩為頂點；

③零點式：/(x)=a(x-x1)(x-x2)o

(2)二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：

①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號

(3)二次函數(shù)問題解決方法：①數(shù)形結(jié)合；②分類討論。

10.函數(shù)圖象：

(1)圖象作法：①描點法(特別注意三角函數(shù)的五點作圖)②圖象變換法

(2)圖象變換：

①平移變換：i)=/(x)-^y=f(x+a),(。>0)------左右

ii>=/(x)->歹=f(x)±k,(k>0)-----上“+”下

②伸縮變換：

i;;=/(x)->y=f(cox),(口>0)------縱坐標不變，橫坐標伸長為原寵

ii歹二/(X)fy二Af(x),(A>0)-----橫坐標不變，縱坐標伸長為原來

①對稱變換：i歹二/(x)(°。>/——/(—x)；ii=/(x)—y=-

適V=f(x)y=/(-x)；

②翻轉(zhuǎn)變換:

11.函數(shù)圖象(曲線)對稱性的證明

(1)證明函數(shù)》=/(X)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關于對稱中心(對稱軸用

仍在圖像上；

(2)證明函數(shù)^=/*)與y=g(x)圖象的對稱性，即證明、=/(x)圖象上任意點。

中心(對稱軸)的對稱點在y=g(x)的圖象上，反之亦然；

(注意上述兩點的區(qū)別！)

注：

①曲線Ci：fx,y)=O關于點(a,b)的對稱曲線C2方程為：f2a—x,2b—y)=0;

②曲線Ci：fx,y)=O關于直線x=a的對稱曲線Cz方程為：f2a—x,y)=0;

③曲線Ci：fx,y)=O,關于y=x+a或y=-x+a)的對稱曲線Cz的方程為fy—a,x+a)=O或

—x+a)=O);

@fa+x)=fb—x)(xGR)---->y=僅)圖像關于直線x=^一對稱；

特別地：fa+x)=fa—x)(xGR)---->y=儀)圖像關于直線x=a對稱；

⑤函數(shù)尸僅一a)與y=fb—x)的圖像關于直線對稱；

12.函數(shù)零點的求法：

(1)直接法(求/(x)=0的根)；(2)圖象法；.

13.導數(shù)@簡單高中生

(1)導數(shù)定義：fx)在點X0處的導數(shù)記作M=/Go)=lim八±”+A)二△土;

IEo-

(2)常見函數(shù)的導數(shù)公式：

①C二O；②(x")二〃x"i；③(sinx)=cosx；

@(cosx)=-sinx；⑤(成)=/lna；@(e')=ex；

(3)導數(shù)的四則運算法則：(;/±v)'=u'±v';(〃v)'=u'v+uv';(—y=UV,W；

VV

(4)(理拗復合函數(shù)的導數(shù)：

(5)導數(shù)的應用：

①利用導數(shù)求切線：注意：i)所給點是切點嗎？ii)所求的是“在”還是“過”該點的切線?

②利用導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：

i/'(x)>On/(x)是增函數(shù)：ii/'(x)<0二>/(x)為減函數(shù)；

iii/'(x)三On/(x)為常數(shù)：

③利用導數(shù)求極值：i求導數(shù)/'(X)：訂求方程/'(x)=O的根：由列表得極值。

④利用導數(shù)最大值與最小值：i求的極值；ii求區(qū)間端點值(如果有)；出得最值。

14.(理科)定積分@簡單高中生

⑴定積分的定,義：Mf/'(X)公=lim工Zjb—?a/?)

Jon

⑵定積分的性質(zhì)：①上外V)公=左，/(》)公(后常數(shù))；

fbfbpb

②￡[fl(x)±八(x)M=]±￡,/,(x)Jx:

③[f(x)dx=ff(x)dx-}-\f(x)dx(其中a<c<b)。

3a3aJc

(3)微積分基本定理(牛頓一萊布尼茲公式)：[bf(x)dx=F(x)\^=F(b)-F(a)

Ja

(4)定積分的應用：

①求曲邊梯形的面積：S=1|/(x)—g(x)|tZr；

②求變速直線運動的路程：S=[；

fb

③求變力做功：W=\F\x)dx.

第三部分三角函數(shù)、三角恒等變換與解三角形

1.(1)角度制與弧度制的互化：乃弧度=180°,1°=急弧度，1弧度=(13

(2)弧長公式：I=BR；扇形面積公式：3=，制2=!.火兒

22

2.三角函數(shù)定義：角a中邊上任意一點P為(xj),設|0夕|二不則：

.yxV

sina二—,cosa=—,tana=—

rrx

3.三角函數(shù)符號規(guī)律：一全正，二正弦，三兩切，四余弦；

4.誘導公式記憶規(guī)律：“奇變偶不變，符號看象限”；

k冗+兀k兀_0

5.(l)y=4sin(w+0)對稱軸：*=乃+20：對稱中心：(----,0)(

coCO

,n

K7C4----(p

⑵y=4COS(GX+⑶對稱軸：*_卜兀一中：對稱中心：(-----?---,0)(左w

COCD

6.同角三角函數(shù)的基本關系：sin2x+cos2x=l;^-=tanx；

COSX

7.三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間@簡單高中生

TT7T

y=sinx的遞增區(qū)間是［2〃萬-~,2k7r+-］(kGZ),遞減區(qū)間是

Jr37r

［2左乃+-,2左左+——］(kGZ)；

y-cosx的遞增區(qū)間是［2左萬一肛2〃萬］(kGZ),遞減區(qū)間是［2%乃,2左乃+

TTTT

y=tanx的遞增區(qū)間是(ATT---，匕r+—)(左GZ)

y=cotx的遞減區(qū)間是(br,br+))(左eZ)

8.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式：①sin(a±/7)=sinacos/?±cos(

tancr±tan/?

②cos(a±/?)=cosacos￡不sinasin月;③tan(a±￡)=

1+tan?tan/3

10.正、余弦定理：

(1)正弦定理：-^—=-^—=-^—=2R(2A是ZU8C外接圓直徑)

sinAsinBsinC

注：①。：:c=sin/：sin8:sinC*；②a=2/?sin力力=2Asin8,c=2火sinC；

-abca-\-h+c

③----=-----=-----=-------------------。

sinAsinBsinCsinA+sinB+sinC

t2.,2_2

(2)余弦定理：a?=〃+/-26ccos4等三個；注：cosJ=-----------------等三個。

2bc

11.幾個公式:@簡單高中生

(1)三角形面積公式：=；。力=gabsinC；

_c—-abc

(2)內(nèi)切圓半徑r=W'MK.；外接圓直徑2R=~：~-=^—

a+b+csirvlsinosine

12.已知4,Z>,4時三角形解的個數(shù)的判定：其中h=bsinA⑴A為銳角時：①a<h時，無解:

②a=h時，一?解(直角)：③h<a<b時，兩解(?銳角，一鈍角)：④a2b時，一解(?銳角)。

(2)A為直角或鈍角時:①aWb時，無解：②a>b時，-解(銳角)。

第四部分立體幾何

1.三視圖與直觀圖：注：原圖形與直觀圖面積之比為2亞：1。

2.表(側(cè))面積與體積公式：

(1)柱體：①表面積：S=SW+2S?；②側(cè)面積：Sw=2"〃；③體積：V=S&h

(2)錐體：①表面積：S=SW+Stt；②側(cè)面積：S廣加7；③體積：V=-Stth：

3

(3)臺體：①表面積：S=SW+St?STK；②側(cè)面積：S*="/?+r')/；

③體積：v=-(s+廊7+s')h；

3

4

(4)球體：①表面積：S=4成2：②體積：V=§成;o

3.位置關系的證明(主要方法)：

(1)直線與直線平行：①公理4；②線面平行的性質(zhì)定理；③面面平行的性質(zhì)定J

(2)直線與平面平行：①線面平行的判定定理；②面面平行二*線面平行。

(3)平面與平面平行：①面面平行的判定定理及推論；②垂直于同一直線的兩平

(4)直線與平面垂直：①直線與平面垂直的判定定理；②面面垂直的性質(zhì)定理。

(5)平面與平面垂直：①定義一兩平面所成二面角為直角；②面面垂直的判定定

注：理科還可用向量法。@簡單高中生

4.求角：(步驟——I。找或作角；Iio求角)

(1)異面直線所成角的求法：

①平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；

②補形法：補成正方體、平行六面體、長方體等，發(fā)現(xiàn)兩條異面直線間的關系

注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為兩直線方向向量的夾角。

(2)直線與平面所成的角：

①直接法(利用線面角定義);②先求斜線上的點到平面距離h,與斜線段長度作艮

注：理科還可用向量法，轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面法向量的夾角。

5.結(jié)論：

(1)長方體從一個頂點出發(fā)地三條棱長分別為a,b,c,則對角線長為，仁+治

面積為2ab+2bc+2ca；

長方體體對角線與過同一頂點的三條棱所成的角分別為a,九則：

cos2a+cos20+cos2y=1；sin2a+sin2p+sin2y=2

直線方程y=kx+bAx+By+C=?

平行直線系y=kx+mAxBy+m=

1

垂直直線系y=——x+mBx—Ay+m='

相交直線系

Axx+Bxy+G+A(A2X+B2y+C2)=0

5.幾個公式

⑴設A(xi,yi)、Bx2,y2)>C(x3,y3),/ABC的重心G：心”乜乂+為+入

33

(2)點P(xo.yo)到直線Ax+By+C=O的距離：d=M+>(,+。；

>JA2+B2

(3)兩條平行線Ax+By+Ci=O與Ax+By+C2=0的距離是［=卜-(3:

6.圓的方程：@簡單高中生

⑴標準方程：?(x-a)2+(y-b)2=r2；(2)x2+y2=r2。

(2)一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)

注：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=O表示圓<=>A=C#O且B=0且D2+E2—4AF>0；

7.圓的方程的求法：(1)待定系數(shù)法；(2)幾何法；(3)圓系法。

8.圓系：

22

⑴/+/++6+2(x+y+D2X+￡2J；+F2)=0,(2^-1)

注：當4=-1時表示兩圓交線。

(2)x2+y2+Dx+Ey+F+^Ax+By+C)=0,^^~^。

9.點、直線與圓的位置關系：(主要掌握幾何法)

①d=Ko相切；②4<Ru>相交：（直線與圓相交所得的弦長

\AB\=y/r2-d2）③d>Ro相離。

（3）圓與圓的位置關系：（"表示圓心距，尺r表示兩圓半徑，且R>r）

①]>/?+〃<=>相離；②d=H+外切；③R-r<d<R+r。相交；

④d=R-r。內(nèi)切:⑤0<4<火一廣。內(nèi)含。

10.與圓有關的結(jié)論：@簡單高中生

⑴過圓x2+y2=F上的點Mxo,yo）的切線方程為：xox+yoj^r2；

過圓x-a）2+y-b戶寸上的點Mxo,yo）的切線方程為：xo-ajx-aj+yo-bjy-b^r2；

（2）以Ax”yz）、Bx2,yz）為直徑的圓的方程:x—xi）x—x：）+y—yi）y-ya）=Oo

第六部分圓錐曲線

（此部分重點內(nèi)容為三種圓錐曲線的方程、幾何性質(zhì)，下面所列可能是你會疏忽的一些內(nèi)

容）

1.定義：

⑴橢圓：|MF\|+1MF21=2a,（2。>|FXF21）；

（2）雙曲線:||MI\\-\MF2||=2a,（la<|FXF2|）；

（3）拋物線：|M目=4

2.結(jié)論

⑴焦半徑：①橢圓：|尸用=°+用,|尸聞=a-%（e為離心率）:（左"+”右

②拋物線/=2px：|尸尸|=%+勺〃>0）

22:

⑵弦長公式：|力用=Vl+k-|x2-x,|=yj（\+^）[（X]+x:）-4X（X2]

==，（1+、）]（必+必）2-4必必]:

注：（I）拋物線焦點弦長：\AB\=X1+x2+p

（II）通徑（最短弦）：①橢圓、雙曲線：組;②拋物線：2p。

a

（3）過兩點的橢圓、雙曲線標準方程可設為：mx2+ny2=\（加，〃同時大于0時表示橢

圓，加〃<0時表示雙曲線）；@簡單高中生

（4）雙曲線中的結(jié)論：

①雙曲線匕=l（a>0,b>0）的漸近線：__匕=（）：

a2b2a2b2

②共漸進線y=±2x的雙曲線標準方程為二—21="^為參數(shù)，2#））；

aa2b2

③雙曲線為等軸雙曲線。e=J^o漸近線為^=±》。漸近線互相垂直；

3.直線與圓錐曲線問題解法：

（1）直接法（通法）：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，構(gòu)造一元二次方程求解。

注意以下問題：

①聯(lián)立的關于“x”還是關于“y”的一元二次方程？

②直線斜率不存在時考慮了嗎？

③判別式驗證了嗎？

（2）設而不求（代點相減法或叫點差法）：-----處理弦中點問題

步驟如下：①設點Ax】，y。、BX2,2）;②作差得％48=之二……：③解決問題。

XL*?

4.求軌跡的常用方法：@簡單高中生

（1）定義法：利用圓錐曲線的定義：（2）直接法（列等式）；（3）代入法（相關點法或轉(zhuǎn)移法）：（4）

待定系數(shù)法：（5）參數(shù)法；（6）交軌法。

第七部分平面向量

⑴設a=xi,y)b=X2,y2)，則：

?aZ^hb/OJOa=/lb(Ae7?)<=>xiy?—X2yi=()：

②a_Lba、b*0)Oa?b=0OxiX2+yiy2=O

(2)a-b=|a||b|cos<a,b>=X2+yiy2；

注：①|(zhì)a|cos<a,b>叫做a在b方向上的投影；|b|cos<a,b>叫做b在a方向上的投影;

②a,b的幾何意義：ab等于|a|與|b|在a方向上的投影|b|cos<a,b>的乘積。

a-b

(4)t7=aa=a="==-Jx2+y2

(5)三點共線的充要條件@簡單高中生

P,A,B三點共線=5?=x53+y35(且x+y=l)；

附：(理科)P，A,B,C四點共面==+y礪+z5。(且x+y+z=l)。

第八部分數(shù)列

1.定義：

(1)等差數(shù)列｛。"｝<=>/.]一/=〃(〃為常數(shù))。2%=?！?]+an)(w>2,/?e^*)

oan=kn+boSn=An。+Bn；

(2)等比數(shù)列｛%｝夕wO)=a；=anA-t7n+1(n>2,neN)

a

n

n

<=>an=cq"(c,夕均為不為0的常數(shù))<=>Sn=k-kq(qw0,qWl,kw0)；

2.等差、等比數(shù)列性質(zhì)

等差數(shù)列等比數(shù)列

通項公式[“=%+(〃-l)d%二%尸

1。=1時，S"=na;

前n項和s二心3迎心,x

“2,2

2.qw1時，Sn=

1-

a「a”q

二j

性質(zhì)①an=am+(n—m)d,①an=amq“m

②m+n=p+q時am+an=aP+aq②m+n=p+q時aman=aPaq

③巢名.-SA.8-S2K??成AP③Sk』--S：

GP

④外，%+m，&+2m，…成APd=md④%，%+m，氏+2m，…成

GP,q'=qm

3.數(shù)列通項的求法：

(1)定義法(利用AP,GP的定義)；

⑵累加法(%+1-％=。為型:

rSin=l)

(3)公式法：an=TSn-Sn-1n22)

(4)累乘法(&包二%型)；

(5)變形構(gòu)造法(。”+]=ka〃+b、an_x-an=^anan_x=>------匚=4等類型

4.前〃項和的求法：@簡單高中生

/1M馴在+口十2土一/。\左位/**口)成、注一/八玄4丁幣+日、酒、注一“、公如旭壬n、注

20“0

(1)(數(shù)列思想)或；(2)(函數(shù)思想)利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)。

40、N0,

第九部分不等式

3在一依1FTa+ba2+b2

1.均值不等式：yjab<-----<J-----------

2V2

注意：①一正二定三相等：②變形，ab<^-Y<^-~~

2.不等式的性質(zhì)：

(l)tz>bob<a；

(2)a>b,b>ca>c；

(3)。>6<=>a+c>6+c：a>b,c>d=>a+c>b+d；

(4)tz>b,cac>bd：a>b,c=ac<be；a>b>0,

c>d>Unac>bd；

(5)a>方>0=a">bn>0(〃wN*)；

(6)67>A>0=>y/a>y[b(ncN*)。

3.不等式等證明(主要)方法：@簡單高中生

(1)比較法：作差或作比；(2)綜合法；(3)分析法。

第十部分復數(shù)

1.概念：

(I)z=a+bieROb=0a,b^R)<=>z=zOz2>0；

(2)z=a+bi是虛數(shù)Ob#0a,b￡R)；

(3)z=a+bi是純虛數(shù)Oa=0旦b#)a,bER)Oz+5=0(z/))Oz2<0；

(4)a+bi=c+diOa=c且c=da,b,c,deR)；

注：①每個個體被抽到的概率為2：②常用的簡單隨機抽樣方法有：抽簽法；隨機數(shù)法。

N

(2)系統(tǒng)抽樣：當總體個數(shù)較多時，可將總體均衡的分成幾個部分，然后按照預先制定的

規(guī)則，從每一個部分抽取一個個體，得到所需樣本，這種抽樣方法叫系統(tǒng)抽樣。

注：步驟：①編號：②分段：③在第一段采用簡單隨機抽樣方法確定其時個體編號/；

④按預先制定的規(guī)則抽取樣本。

(3)分層抽樣：當已知總體有差異比較明顯的幾部分組成時，為使樣本更充分的反映總體的

情況，將總體分成幾部分，然后按照各部分占總體的比例進行抽樣，這種抽樣叫分層抽樣。

注：每個部分所抽取的樣本個體數(shù)=該部分個體數(shù)x2

N

2.總體特征數(shù)的估計：

(1)樣本平均數(shù)7=—(xl+x2+???4-)=—V