小學(xué)奧數(shù)匯編教材 第十二講 濃度問題

特級教師小學(xué)奧數(shù)匯編教材

第十二講濃度問題

【專題知識點概述】

溶液濃度問題的內(nèi)容與我們實際的生活聯(lián)系很緊密，就知識點而言它包括

了小學(xué)六年級所學(xué)的2個重點知識：百分?jǐn)?shù)，比例。

在濃度的應(yīng)用題中栗正確理解好溶質(zhì)，溶劑，溶液，溶質(zhì)的質(zhì)量百分?jǐn)?shù)這

幾個基本量的關(guān)系，一般的處理方法都是通過建立方程來解決問題。

與經(jīng)濟(jì)利潤問題一樣，濃度問題也是小升初考試的一個重點內(nèi)容。

［【授課批注】

與經(jīng)濟(jì)問題一樣，基本的定義和概念是關(guān)鍵，可通過一些有趣的題目讓孩子加深對濃度問

題的兩大特點的理解，一是把溶液分成多份，每份濃度一樣；而是兩溶液混合成新溶液，

、新溶液的濃度一定在兩溶液濃度之間（糖水原理）。

一、濃度問題中的基本量

溶液濃度問題中，主要我們要明確如下幾個量以及它們之間的關(guān)系：

溶質(zhì)：通常為鹽水中的“鹽”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等

溶劑：一般為水，部分題目中也會出現(xiàn)煤油等

溶液：溶質(zhì)和溶液的混合液體。

濃度：溶質(zhì)質(zhì)量與溶液質(zhì)量的比值。

'【授課批注】

、幫助孩子弄清溶劑與溶液的區(qū)別

二、幾個基本量之間的運算關(guān)系

1.溶液=溶質(zhì)+溶劑

三、解濃度問題的一般方法

1.尋找溶液配比前后的不變量，依靠不變量建立等量關(guān)系列方程

2.十字交叉法（又稱濃度三角）

【重點難點解析】

1.注意溶液的質(zhì)量，溶質(zhì)的質(zhì)量，溶劑的質(zhì)量之間的關(guān)系

2.會把其它類型的題轉(zhuǎn)化成此類題目

【競賽考點挖掘】

1.百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用題（經(jīng)濟(jì)或濃度）一般是杯賽必考題

2.濃度三角的應(yīng)用

3.分?jǐn)?shù)計算要準(zhǔn)確

士塞【習(xí)題精講】

【例1】（難度等級X）

濃度為10%,重量為80克的糖水中，加入多少克水就能得到濃度為8%的糖水？

【分析與解】

濃度10%,含糖80X10%=8（克），有水80-8=72（克）.

如果要變成濃度為8%,含糖8克，糖和水的總重量是8?8%=100（克），其中有水100-8

=92（克）.還栗加入水92-72=20（克）.

【例2】（難度等級X）

濃度為20%的糖水40克，要把它變成濃度為40%的糖水，需加多少克糖？.

【分析與解】

濃度為20%,含糖40X20%=8（克），有水40-8=32（克）.

如果要變成濃度為40%,32克水中，有糖x克，就有

x：32=40%：(1-40%),

32x40%J

x=-----------=21-

1-40%3

需加糖21工—8=13,

33

【例3】（難度等級冰※）

有濃度為20%的鹽水300克，要配制成40%的鹽水，需加入濃度為70%的鹽水多少克？

【分析與解】

將兩種溶液的濃度分別放在左右兩側(cè)，重量放在旁邊，配制后溶液的濃度放在正下方,

用直線相連；（見圖1）

300克20%70%

直線兩側(cè)標(biāo)著兩個濃度的差，并化成簡單的整數(shù)比。所需溶液的重

2喻/30%

量比就是濃度差的反比；40%

2:3濃度差比

3：2重量比

對“比”的理解應(yīng)上升到“份”，3份對應(yīng)的為300克，自然知道2

圖1

份為200克了。

需加入濃度為70%的鹽水200克。

【例4】（難度等級X）

將75%的酒精溶液32克稀釋成濃度為40%的稀酒精，需加入水多少克？

32克75%0%

【分析與解】

稀釋時加入的水溶液濃度為0%（如果需要加入干物質(zhì)，濃度為100%）,

濃度差之比7：8

標(biāo)注數(shù)值的方法與例1相同。（見圖2）重量比8：7

圖2

324-8X7=28

答：需加水28克。

【例5】（難度等級派※）

98%100%

買來蘑菇10千克，含水量為99%,晾曬一會兒后，含水量為98%,問

蒸發(fā)掉多少水份？99%(10千克)

濃度差之比1：1

重量比1：1

【分析與解】

圖3

做蒸發(fā)的題目，要改變思考角度，本題就應(yīng)該考慮成“98%的干蘑菇加水后得到99%

的濕蘑菇”，這樣求出加入多少水份即為蒸發(fā)掉的水份，就又轉(zhuǎn)變成“混合配比”的問

題了。但要注意，10千克的標(biāo)注應(yīng)該是含水量為99%的重量。將10千克按1:1分配，

104-2=5

答：蒸發(fā)掉5千克水份。

【例6】（難度等級冰※）

甲容器中有純酒精11升，乙容器中有水15升，第一次將甲容器中的一部分純酒精倒入乙容

器，使酒精與水混合。第二次將乙容器中的混合液倒入甲容器。這樣甲容器中純酒精含量為

62.5%,乙容器中純酒精的含量為40%。那么第二次從乙容器中倒入甲容器的混合液是多

少升?

【分析與解】

乙中酒精含量為40%,是由若干升純酒精（100%）

和15升水混合而成，可以求出倒入乙多少升純酒精。

15+3X2=10升62.5%,是由甲中剩下的純酒精（1162.5%

5：3濃度差之比

濃度差之比

3：5重量比之比3：2

-10=）1升，與40%的乙混合而成，可以求出第二2：3重量之比

2

次乙倒入甲（11—10）+3x5=1§升

【例7】（難度等級※※※）

某班有學(xué)生48人，女生占全班的37.5%,后來又轉(zhuǎn)來女生若干人，這時人數(shù)恰好是占全班

人數(shù)的40%,問轉(zhuǎn)來幾名女生？

【分析與解】

48人37.5%10。%侄:是女生可理解為100%）

濃度差之比1:2448+24X1=2人?XZn%

重量之比24：1這是一道變換單位“1”的分?jǐn)?shù)應(yīng)40%

濃度差之比1：2448+24X1=2人

用題，需抓住男生人數(shù)這個不變量，如果按濃度重量之比24：1由

圖5

問題做，就簡單多了。

答：轉(zhuǎn)來2名女生。

【例8］（難度等級派※※）

甲種酒精純酒精含量為72%,乙種酒精純酒精含量為58%,混合后純酒精含量為62%?如果

每種酒精取的數(shù)量比原來都多取15升，混合后純酒精含量為63.25%。第一次混合時，甲乙

兩種酒精各取了多少升？

【分析與解】

甲、乙兩種酒精各取15升混合后的濃度為（72%+58%）+2=65%,第二次混合后的濃度為

63.25%,則可知第一次混合后的體積與30升的比值為（65—63.25）:（63.25—62）=7:5,

則第一次混合和的體積為30+5X7=42升。又知，第一次混合時甲、乙兩種酒精的體積之

2

比為（62—58）:（72—62）=2:5,則第一次甲酒精取了42x--------=12升，乙酒精取了

5+2

42x^-=30升。

5+2

【例9】（難度等級派※）

某種溶液由40克食鹽濃度15%的溶液和60克食鹽濃度10%的溶液混合后再蒸發(fā)50克水得到,

那么這種溶液的食鹽濃度為多少？

【分析與解】

兩種配置溶液共含食鹽40X15%+60X10%=12克，而溶液質(zhì)量為40+60-50=50克，所以這種

溶液的濃度為124-50=24%.

【例10］（難度等級派※）

現(xiàn)有濃度為10%的鹽水20千克，在該溶液中再加入多少千克濃度為30%的鹽水，可以得到

濃度為22%的鹽水？

【分析與解】

10%與30%的鹽水重量之比為（30%-22%）:（22%-10%）=2:3,因此需要30%的鹽水

204-2X3=30克。

【例11］（難度等級派※）

甲種酒精溶液中有酒精6千克，水9千克；乙種酒精溶液中有酒精9千克，水3千克；要配

制成50%的酒精溶液7千克，問兩種酒精溶液各需多少升？

【分析與解】

甲種酒精濃度為40%,乙種酒精濃度為75%,因此兩種酒精的質(zhì)量之比為

（75%—50%）:（50%—40%）=5:2,因此需要甲種酒精5升、乙種酒精2升.

【例12］（難度等級派※※）

有兩種溶液，甲溶液的酒精濃度為10%,鹽濃度為30%,乙溶液中的酒精濃度為40%,鹽濃

度為0?，F(xiàn)在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，將它與甲溶液混和后所得的溶液

的酒精濃度和鹽濃度相等？

【分析與解】

一千克甲溶液中含有酒精0.1千克，含有鹽0.3千克，鹽比酒精多0.2千克，所以還應(yīng)該

加入0.2千克的酒精，而這部分酒精由濃度為40%的乙溶液提供，每千克乙溶液含有酒精

0.4千克，所以添入0.5千克乙溶液就能使混合溶液中兩種濃度相等.

【例13］（難度等級※※※）

小明到商店買紅、黑兩種筆共66支。紅筆每支定價5元，黑筆每支定價9元。由于買的數(shù)

量較多，商店就給予優(yōu)惠，紅筆按定價85%付錢，黑筆按定價80%付錢，如果他付的錢比

按定價少付了18%,那么他買了紅筆多少支？

【分析與解】

紅筆按85%優(yōu)惠，黑筆按80%優(yōu)惠，結(jié)果少付18%,相當(dāng)于按82%紅黑

85%80%

優(yōu)惠，可按濃度問題進(jìn)行配比。與其他題不同的地方在于紅、黑兩種

每支

元X3

筆的單價不同，要把這個因素考慮進(jìn)去。然后就可以按比例分配這6682%

儂度差之比5：6

重量之比6：5

支筆了。

圖8

66X，=36（支）

5+6

答：他買了36支紅筆。

通過以上例題，我們可以看出，只要我們在解題時善于抓住事物間的聯(lián)系，進(jìn)行適當(dāng)

轉(zhuǎn)化，就能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，找到解決問題的巧妙方法。

【例14](難度等級派※※)

甲容器有濃度為2%的鹽水180克，乙容器中有濃度為9%的鹽水若干克，從乙取出240

克鹽水倒入甲.再往乙倒入水，使兩個容器中有一樣多同樣濃度的鹽水.問：

(1)現(xiàn)在甲容器中食鹽水濃度是多少？

(2)再往乙容器倒入水多少克？

【分析與解】

(1)現(xiàn)在甲容器中鹽水含鹽量是

180X2%+240X9%=25.2(克).

濃度是25.2+(180+240)X100%=6%.

(2)“兩個容器中有一樣多同樣濃度的鹽水”，也就是兩個容器中含鹽量一樣多.在乙

中也含有25.2克鹽.因為后來倒入的是水，所以鹽只在原有的鹽水中.在倒出鹽水240

克后，乙的濃度仍是9%,要含有25.2克鹽，乙容器還剩下鹽水25.2?9%=280(克)，

還要倒入水420-280=140(克).

答：(1)甲容器中鹽水濃度是6%;

(2)乙容器再要倒入140克水.

【例15](難度等級派※※)

有A、B、C三種鹽水，按A與B數(shù)量之比為2：1混合，得到濃度為13%的鹽水；按A與B

數(shù)量之比為1：2混合，得到濃度為14%的鹽水。如果A、B、C數(shù)量之比為1：1：3,混合成

的鹽水濃度為10.2%,問鹽水C的濃度是多少？

【分析與解】

A與B按數(shù)量之比為2:4混合時，濃度仍為14%,而這樣的混合溶液也相當(dāng)于A與B

按數(shù)量之比為2：1混合后再混入三份鹽水，則B鹽水濃度為—13%義3)

士(4—1)=15%,人鹽水的濃度為14%x3_15%x2=12%,再根據(jù)A、B、C三種溶

液混合的情況那么C鹽水的濃度為

[(10.2%x(l+l+3)-12%xl-15%xl]-3=8%

【例16］（難度等級派※※）

有兩包糖，第一包糖由奶糖和水果糖組成，其中工為奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖組成，

4

其中:為酥糖。將兩包糖混合后，水果糖占78%,那么奶糖與酥糖的比例是

【分析與解】

34

第一包水果糖占一，第二包水果糖占一。由濃度三角知：即第一包糖與第二包糖的比

45

為2:3。所以，奶糖與酥糖的比為（2><工）：（3x1）=5:6

45

【例17］（難度等級派※※）

使用甲種農(nóng)藥每千克要兌水20千克，使用乙種農(nóng)藥每千克要兌水40千克。根據(jù)農(nóng)科院專家

的意見，把兩種農(nóng)藥混合使用能提高藥效?，F(xiàn)有兩種農(nóng)藥共5千克，要配藥水140千克，其

中甲種農(nóng)藥需藥千克。

【分析與解】

設(shè)甲種農(nóng)藥x千克，則乙種農(nóng)藥（5-x）千克。列方程：

%（1+20）+（5-%）（1+40）=140

21%+205-41%=140

20%=65

%=3.25

【例18］（難度等級派※※※）

甲種酒精4千克，乙種酒精6千克，混合成的酒精含純酒精62%。如果甲種酒精和乙種酒精

一樣多，混合成的酒精含純酒精61%。甲、乙兩種酒精中含純酒精的百分比各是多少？

【分析與解】

不妨設(shè)甲、乙兩種酒精各取4千克，則混合后的濃度為61%,含純酒精4X2X61%=4.88千

克；又知，4千克甲酒精與6千克乙酒精，混合后的濃度為62%,含純酒精（4+6）X62%=6.2

千克。相差6.2-4.88=1.32千克，說明6-4=2千克甲酒精中含純酒精1.32千克，則甲酒精

中純酒精的百分比為1.32+2xl00%=66%,那么乙酒精中純酒精百分比為61%X

2-66%=56%.

【例19](難度等級派※※※)

有兩種溶液，甲溶液的酒精濃度為15%,鹽濃度為10%,乙溶液中的酒精濃度為45%,鹽濃

度為5%?，F(xiàn)在有甲溶液1千克，那么需要多少千克乙溶液，將它與甲溶液混和后所得的溶

液的酒精濃度是鹽濃度的3倍？

【分析與解】

可以這樣來看，將溶液中的水剔出或者說蒸發(fā)掉(事實上這種情況不符合物理規(guī)律，但只

是假設(shè))，那么所得到的溶液就是鹽溶在酒精中(事實上不可能)這時的處理后甲溶液鹽濃

度為10%+(15%+10%)=0.4,處理后乙溶液的鹽濃度為5%+(45%+5%)=0.1,需要配置的

溶液的鹽濃度為1+(1+3)=0.25,由這些得出的條件使用十字交叉法得到兩種處理后溶液

的質(zhì)量比應(yīng)該為(0.25-0.1):(0.4-0.25)=1:1,

一千克原甲溶液中有10%+15%=25%的處理后甲溶液，即0.25千克，所以另需要0.25千克的

處理后乙溶液，而每千克原乙溶液中含有5%+45%=50%的處理后乙溶液，即0.5千克，所以

只需要0.5千克的乙溶液就能構(gòu)成0.25千克的處理后乙溶液.所以需要0.5千克的乙溶液.

【例20](難度等級派※※※)

有兩種溶液，甲溶液的酒精濃度為