2024年高中數(shù)學專題8-5重難點題型培優(yōu)精講列聯(lián)表與獨立性檢驗學生版新人教A版選擇性必修第三冊

專題8.5列聯(lián)表與獨立性檢驗1．分類變量為了表述便利，我們經(jīng)常會運用一種特殊的隨機變量，以區(qū)分不同的現(xiàn)象或性質(zhì)，這類隨機變量稱為分類變量.分類變量的取值可以用實數(shù)表示.2．2×2列聯(lián)表假設兩個分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{,}和{,}，其2×2列聯(lián)表為2×2列聯(lián)表給出了成對分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù).3．等高積累條形圖常用等高積累條形圖展示列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征(如圖)，由此反映出兩個分類變量間是否相互影響.(1)等高積累條形圖中有兩個高度相同的矩形，每一個矩形中都有兩種顏色，視察下方顏色區(qū)域的高度，假如兩個高度相差比較明顯(即和相差很大)，就判定兩個分類變量之間有關系.

(2)利用等高積累條形圖雖可以比較各個部分之間的差異，明確呈現(xiàn)兩個分類變量的關系，但不能知道兩個分類變量有關系的概率大小.4．獨立性檢驗(1)假定通過簡潔隨機抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如下表所示.則.(2)利用的取值推斷分類變量X和Y是否獨立的方法稱為獨立性檢驗，讀作“卡方獨立性檢驗”，簡稱獨立性檢驗.

(3)獨立性檢驗中幾個常用的小概率值和相應的臨界值.【題型1列聯(lián)表的應用】【方法點撥】利用列聯(lián)表干脆計算和，假如兩者相差很大，就推斷兩個分類變量之間有關系的可能性較大.【例1】（2024·全國·高二專題練習）假設有兩個分類變量x與y的2×yyxabxcd對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本能說明x與y有關系的可能性最大的一組為（

）A．a(chǎn)=5，b=4，c=3，d=2 B．a(chǎn)=5，C．a(chǎn)=2，b=3，c=4，d=5 D．a(chǎn)=2，【變式1-1】（2024春·福建廈門·高二階段練習）在一次獨立性檢驗中，得出列聯(lián)表如圖：且最終發(fā)覺，兩個分類變量A和B沒有任何關系，則a的可能值是（

）AA合計B2008001000B180a180+a合計380800+a1180+aA．200 B．720 C．100 D．180單元測試）假設兩個分類變量X和Y，他們的取值分別為{x1,yy總計xabaxcdc總計aba對于以下數(shù)據(jù)，對同一樣本說明X與Y有關的可能性最大的一組是（

）A．a(chǎn)=10，b=5，c=8，d=6 B．a(chǎn)=9，C．a(chǎn)=12，b=6，c=9，d=5 D．a(chǎn)=12，【變式1-3】（2024·全國·高三專題練習）假設有兩個分類變量X和Y的2×2注：K2的觀測值k=n(ad-bcA．a(chǎn)=45,c=15 B．a(chǎn)=40,【題型2等高積累條形圖的應用】【方法點撥】可以從等高積累條形圖中直觀推斷列聯(lián)表數(shù)據(jù)的頻率特征，這種直觀推斷的不足之處在于不能干脆給出推斷“兩個分類變量有關系”犯錯誤的概率.【例2】（2024春·吉林·高二階段練習）為了解戶籍性別對生育二胎選擇傾向的影響，某地從育齡人群中隨機抽取了容量為100的調(diào)查樣本，其中城鎮(zhèn)戶籍與農(nóng)村戶籍各50人，男性40人，女性60人，繪制不同群體中傾向選擇生育二胎與選擇不生育二胎的人數(shù)比例圖（如圖所示），其中陰影部分表示傾向選擇生育二胎的對應比例，則關于樣本下列敘述中正確的是（

）A．是否傾向選擇生育二胎與戶籍無關B．是否傾向選擇生育二胎與性別有關C．傾向選擇生育二胎的人員中，男性人數(shù)與女性人數(shù)相同D．傾向選擇不生育二胎的人員中，農(nóng)村戶籍人數(shù)少于城鎮(zhèn)戶籍人數(shù)【變式2-1】（2024春·全國·高二期末）視察下面頻率等高條形圖，其中兩個分類變量x，y之間的隨機變量χ2的觀測值最小的是（

A． B．C． D．【變式2-2】（2024·全國·高二專題練習）視察下列各圖，其中兩個分類變量x，y之間關系最強的是（

）A． B．C． D．【變式2-3】（2024·高二課時練習）為考查A，B兩種藥物預防某疾病的效果，進行動物試驗，分別得到如下等高條形圖：依據(jù)圖中信息，在下列各項中，說法最佳的一項是（

）A．藥物B的預防效果優(yōu)于藥物A的預防效果B．藥物A的預防效果優(yōu)于藥物B的預防效果C．藥物A，B對該疾病均有顯著的預防效果D．藥物A，B對該疾病均沒有預防效果【題型3獨立性檢驗的應用】【方法點撥】可以利用獨立性檢驗來推斷兩個分類變量是否有關系，并且能較精確地給出這種推斷的牢靠程度.具體做法：(1)依據(jù)實際問題須要的可信程度(或容許犯錯誤概率的上界)確定臨界值；(2)利用公式，由觀測數(shù)據(jù)計算得到的值；(3)比照臨界值表，即可得出結(jié)論.【例3】（2024·江西上饒·統(tǒng)考一模）新型冠狀病毒感染，主要是由新型冠狀病毒引起的，典型癥狀包括干咳、發(fā)熱、四肢無力等，部分人群會伴有流鼻涕、拉肚子等癥狀.病人痊愈的時間個體差異也是比較大的，新型冠狀病毒一般2－6周左右能復原.某愛好小組為進一步了解新型冠狀病毒復原所需時間，隨機抽取了200名已痊愈的新型冠狀病毒患者（其中有男性100名，女性100名）進行調(diào)查，得到數(shù)據(jù)如下表所示：痊愈周數(shù)性別1周2周3周4周5周6周大于6周男性4502412622女性24022161064若新型冠狀病毒患者在3周內(nèi)（含3周）痊愈，則稱患者“痊愈快”，否則稱患者“痊愈慢”.(1)分別估計男、女新型冠狀病毒患者“痊愈快”的概率？(2)完成下面2×痊愈快慢性別痊愈快痊愈慢總計男性女性總計附：K2P0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【變式3-1】（2024春·河南安陽·高三階段練習）2024年7月24日中共中心辦公廳、國務院辦公廳印發(fā)《關于進一步減輕義務教化階段學生作業(yè)負擔和校外培訓負擔的看法》（以下簡稱“雙減”），各省、市細心組織實施，強化目標管理，治理校外培訓行為.為了調(diào)查人們對“雙減”的滿意程度，抽取了男、女各25人對“雙減”的滿意度進行調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示.滿意特殊滿意合計男性18725女性61925合計242650(1)依據(jù)上表，假如隨機抽查1人，那么抽到此人對“雙減”滿意的概率是多少？抽到此人對“雙減”特殊滿意且是女性的概率是多少？(2)能否有99.9%附：K2=nP0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【變式3-2】（2024·內(nèi)蒙古·模擬預料）國際足聯(lián)世界杯（FIFAWorldCup），簡稱“世界杯”，是由全世界國家級別球隊參加，象征足球界最高榮譽，并具有最大知名度和影響力的足球賽事.2022年卡塔爾世界杯共有32支球隊參加競賽，共有64場競賽.某社區(qū)隨機調(diào)查了街道內(nèi)男、女球迷各200名，統(tǒng)計了他們觀看世界杯球賽直播的場次，得到下面的列聯(lián)表：少于32場競賽不少于32場競賽總計男球迷aa女球迷aa總計(1)求a的值，并完成上述列聯(lián)表；(2)若一名球迷觀看世界杯球賽直播的場次不少于32場競賽，則稱該球迷為“資深球迷”，請推斷能否有95%參考公式：K2=n參考數(shù)據(jù)：P0.100.050.0100.001k2.7063.8416.63510.828【變式3-3】（2024春·湖南·高三階段練習）人們曾經(jīng)信任，藝術家將是最終被AⅠ所取代的職業(yè)，但技術的進步已經(jīng)將這一信念敲出了裂痕，這可能是AⅠ第一次引起人類的恐慌，由novalAⅠ，DALL－E2等軟件創(chuàng)作出來的給畫作品風格各異，乍看之下，已與人類繪畫作品無異，AⅠ會取代人類畫師嗎？某機構隨機對60人進行了一次調(diào)查，統(tǒng)計發(fā)覺認為會取代的有42人，30歲以下認為不會取代的有12人，占30歲以下調(diào)查人數(shù)的25(1)依據(jù)以上數(shù)據(jù)完成如下2×2列聯(lián)表：年齡理解狀況總計會取代不會取代30歲以下1230歲及以上總計4260(2)依據(jù)小概率值α=0.010α0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828參考公式：χ2=n【題型4獨立性檢驗與統(tǒng)計學問的綜合應用】【方法點撥】獨立性檢驗與統(tǒng)計學問結(jié)合在一起考查是一個很好的結(jié)合點，解題的關鍵是正確從圖表中得到相關數(shù)據(jù).【例4】（2024·全國·模擬預料）某省級綜合醫(yī)院共有1000名醫(yī)護員工參加防疫學問和技能競賽，其中男性450人，為了解該醫(yī)院醫(yī)護員工在防疫學問和技能競賽中的狀況，現(xiàn)按性別接受分層抽樣的方法從中抽取100名醫(yī)護員工的成果（單位：分）作為樣本進行統(tǒng)計，成果均分布在400~700分之間，依據(jù)統(tǒng)計結(jié)果繪制的醫(yī)護員工成果的頻率分布直方圖如圖所示，將成果不低于600分的醫(yī)護員工稱為優(yōu)秀防疫員工(1)求a的值，并估計該醫(yī)院醫(yī)護員工成果的平均數(shù)、中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；(2)若樣本中優(yōu)秀防疫員工有女性10人，完成下列2×2列聯(lián)表，并依據(jù)小概率值α=0.05優(yōu)秀防疫員工非優(yōu)秀防疫員工合計男女合計(3)接受分層抽樣的方法從樣本中成果在450,500，600,700的醫(yī)護員工中抽取8人，再從這8人中隨機抽取3人，記被抽取的3名醫(yī)護員工中優(yōu)秀防疫員工的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列及數(shù)學期望.附：χ2=nα0.100.050.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【變式4-1】（2024·高二單元測試）相關統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，中國經(jīng)常參加體育熬煉的人數(shù)比例為37.2%，城鄉(xiāng)居民達到《國民體質(zhì)測定標準》合格以上的人數(shù)比例達到90%以上．某市一健身連鎖機構對其會員進行了統(tǒng)計，制作成如下兩個統(tǒng)計圖，圖1為會員年齡分布圖（年齡為整數(shù)），圖2為會員一個月內(nèi)到健身房次數(shù)分布扇形圖．若將會員按年齡分為“年輕人”（20歲-39歲）和“非年輕人”（19歲及以下或40歲及以上）兩類，將一個月內(nèi)到健身房熬煉16次及以上的會員稱為”健身達人”，15次及以下的會員稱為“健身愛好者”，且已知在“健身達人”中有56(1)現(xiàn)從該健身連鎖機構會員中隨機抽取一個容量為100的樣本，依據(jù)圖的數(shù)據(jù)，補全下方2×2列聯(lián)表，并推斷是否有95%的把握認為“健身達人”與年齡有關？年輕人非年輕人合計健身達人健身愛好者合計附：P0.100.050.0250.0100.0050.001k2.7063.8415.0246.6357.87910.828K(2)將（1）中相應的頻率作為概率，該健身連鎖機構隨機選取3名會員進行回訪，設3名會員中既是“年輕人”又是“健身達人”的人數(shù)為隨機變量X，求X的分布列和數(shù)學期望．【變式4-2】（2024春·河南安陽·高三階段練習）某超市為改善某產(chǎn)品的銷售狀況并制訂銷售策略，統(tǒng)計了過去100天該產(chǎn)品的日銷售收入（單位：萬元）并分成六組制成如圖所示的頻率分布直方圖.(1)求a的值并估計過去100天該產(chǎn)品的日銷售收入的平均值x；（同一區(qū)間數(shù)據(jù)以中點值作代表）(2)該超市過去100天中有30天將該商品降價銷售，在該商品降價的30天中有18天該產(chǎn)品的日銷售收入不低于0.6萬元，推斷能否有97.5%的把握認為該商品的日銷售收入不低于0.6萬元與該日是否降價有關.附：K2=nP0.0500.0250.010k3.8415.0246.635【變式4-3】（2024秋·浙江嘉興·高三期末）為主動響應“反詐”宣揚教化活動的要求，某企業(yè)特舉辦了一次“反詐”學問競賽，規(guī)定：滿分為100分，60分及以上為合格.該企業(yè)從甲?乙兩個車間中各抽取了100位職工的競賽成果作為樣本.對甲車間100位職工的成果進行統(tǒng)計后，得到了如圖所示的成果頻率分布直方圖.(1)估算甲車間職工此