專(zhuān)題05 全等三角形七大模型（知識(shí)串講、熱考題型）-八下期中考點(diǎn)講與練（原卷版）

專(zhuān)題05全等三角形七大模型K型(一線三垂直)模型二、“手拉手”模型三、倍長(zhǎng)中線四、平行線中點(diǎn)五、“雨傘”模型六、半角模型七、胖瘦模型一、K型(一線三垂直)模型兩條手臂之間的距離=長(zhǎng)手十短手，兩條手臂之間的距離-長(zhǎng)手一短手，即DE=AD+CE，即DE=AD-E，一線三重直果中考考試中常見(jiàn)的模型，模型按照常規(guī)的方法需要找到對(duì)應(yīng)三角形邊角關(guān)系，進(jìn)而得全等三角形，根據(jù)全等三角形再找所求的邊角.但很多常見(jiàn)的一線三重直模型可以先嘗試找到“長(zhǎng)手"和“短手”，根據(jù)模型快速解題.二、“手拉手”模型在中考考試中，很多學(xué)生遇到手拉手模型時(shí)，都無(wú)從下手.但其實(shí)只要找到相等的邊或角，找到全等三角形，進(jìn)而找出對(duì)應(yīng)邊或角的關(guān)系即可.熟練掌握手拉手模型的學(xué)生，可以很快找到里面的全等三角形，解決小題就會(huì)很快.三、倍長(zhǎng)中線在中考考試中，幾何中的中點(diǎn)類(lèi)問(wèn)題是很復(fù)雜的一類(lèi)題型，由于它涉及的輔助線類(lèi)別多，同學(xué)們經(jīng)常記不住到底用哪類(lèi)輔助線因此往往在做題的時(shí)候浪費(fèi)了大量的時(shí)間，請(qǐng)記住，實(shí)在不會(huì)做了想想倍長(zhǎng)中線，四、平行線中點(diǎn)在中考考試中，平行線中點(diǎn)是一類(lèi)特點(diǎn)非常鮮明的幾何題，做這類(lèi)題的關(guān)鍵就在于添加延長(zhǎng)線，中考出題人非常喜歡出這類(lèi)題，原因就是能夠讓懂模型的人快速找到答案.五、“雨傘”模型在中考考試中，雨傘模型是一類(lèi)特點(diǎn)非常鮮明的幾何題，做這類(lèi)題的關(guān)鍵就在于添加延長(zhǎng)線，它與平行線中點(diǎn)模型并稱(chēng)為中學(xué)階段兩大必延長(zhǎng)的模型，只要看到這類(lèi)模型，方法就很統(tǒng)一了.六、半角模型在中考考試中，半角模型在選擇題、填空題、解答題中經(jīng)常出現(xiàn)，我們?cè)谔幚磉@類(lèi)問(wèn)題時(shí)，關(guān)鍵在于找到半角和全角，運(yùn)用口訣進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，就能很快地解決此類(lèi)問(wèn)題.七、胖瘦模型全等三角形果中考必考內(nèi)容，是解決有關(guān)線段、角等問(wèn)題的一個(gè)出發(fā)點(diǎn).胖瘦模型的特點(diǎn)很鮮明，但是很多學(xué)生沒(méi)有進(jìn)行總結(jié)，所以看到這種題果沒(méi)有方向的，如果惜這類(lèi)問(wèn)題的解決方法，你會(huì)發(fā)現(xiàn)要做出答案其實(shí)果很輕松的。K型(一線三垂直)模型一．填空題（共2小題）1．（2022春?武昌區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，△ADE是等邊三角形，若，＝．2．（2022春?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)期中）勾股定理有著悠久的歷史，它曾引起很多人的興趣．1955年希臘發(fā)行了以勾股定理為背景的郵票．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4．分別以AB，AC，BC為邊向外作正方形ABMN，正方形ACKL，正方形BCDE，并按如圖所示作長(zhǎng)方形HFPQ，延長(zhǎng)BC交PQ于G．則長(zhǎng)方形CDPG的面積為．二．解答題（共6小題）3．（2021秋?余干縣校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC，AB邊上的高AD，CE相交于點(diǎn)F，且AE＝CE．（1）求證：△AEF≌△CEB；（2）若AF＝12，求CD的長(zhǎng)．4．（2021春?嘉祥縣期中）如圖1，以△ABC的邊AB為邊，向外畫(huà)正方形ABDE，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC于M，過(guò)點(diǎn)E作EP⊥MA交MA延長(zhǎng)線于點(diǎn)P．（1）則EP＝；（直接填寫(xiě)圖中與EP相等的一條線段）（2）如圖2，若∠BAC＝90°，以AC為邊再向外畫(huà)正方形ACFG，連接EG交PM于點(diǎn)N，求證：EN＝GN；（3）若∠BAC是鈍角或銳角，請(qǐng)仿照?qǐng)D2分別在圖3、圖4中補(bǔ)畫(huà)圖形，并選“＞”或“＜”或“＝”其中一個(gè)符號(hào)填空，直接表示此時(shí)EN與GN的大小關(guān)系．如圖3，若∠BAC＞90°，則ENGN；如圖4，若∠BAC＜90°，則ENGN．5．（2021春?禹州市期中）如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝15，CD＝17，AD＝17，連接AC，BD．（1）證明∠ACD是直角；（2）求對(duì)角線BD的長(zhǎng)．6．（2021春?丹陽(yáng)市期中）通過(guò)對(duì)下面數(shù)學(xué)模型的研究學(xué)習(xí)，解決下列問(wèn)題：【模型呈現(xiàn)】（1）如圖1，∠BAD＝90°，AB＝AD，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥AC于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E．由∠1+∠2＝∠2+∠D＝90°，得∠1＝∠D．又∠ACB＝∠AED＝90°，可以推理得到△ABC≌△DAE．進(jìn)而得到AC＝，BC＝AE．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱(chēng)為“K字”模型或“一線三等角”模型；【模型應(yīng)用】（2）如圖2，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，連接BC，DE，且BC⊥AF于點(diǎn)F，DE與直線AF交于點(diǎn)G．求證：點(diǎn)G是DE的中點(diǎn)；【深入探究】（3）如圖3，已知四邊形ABCD和DEGF為正方形，△AFD的面積為S1，△DCE的面積為S2，則有S1S2（填“＞、＝、＜”）；（4）如圖4，分別以△DCE的三條邊為邊，向外作正方形，連接AF、GK、BH．當(dāng)AB＝4，DE＝，∠CDE＝45°時(shí)，圖中的三個(gè)陰影三角形的面積和為；（5）如圖5，點(diǎn)A、B、C、D、E都在同一條直線上，四邊形ABKH、KCMG、DENM都是正方形，若該圖形總面積是16，正方形KCMG的面積是4，則△HKG的面積是．7．（2022春?淮陰區(qū)校級(jí)期中）（1）【問(wèn)題初探】蘇科版教材八年級(jí)下冊(cè)第九章《中心對(duì)稱(chēng)圖形一一平行四邊形》復(fù)習(xí)題中有這樣的問(wèn)題：如圖1正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠EOF的頂點(diǎn)O在正方形ABCD兩條對(duì)角線的交點(diǎn)處，∠EOF＝90°，將∠EOF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，∠EOF的兩邊分別與正方形ABCD的邊BC和CD交于點(diǎn)E和點(diǎn)F（點(diǎn)F與點(diǎn)C，D不重合），問(wèn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，四邊形OECF的面積會(huì)發(fā)生變化嗎？證明你的結(jié)論．愛(ài)思考的浩浩和小航同學(xué)分別探究出了如下兩種解題思路：浩浩：如圖a，充分利用正方形對(duì)角線垂直、相等且互相平分等性質(zhì)證明了△OEC≌△OFD，則S△OEC＝S△OFD，那么S四邊形OECF＝S△OEC+S△OCF＝S△OFD+S△OCF＝S△OCD，這樣，就實(shí)現(xiàn)了四邊形OECF的面積向△OCD面積的轉(zhuǎn)化；小航：如圖b，也是考慮到正方形對(duì)角線的特征，過(guò)點(diǎn)O分別作OG⊥BC于點(diǎn)G，OH⊥CD于點(diǎn)H，證明△OGE≌△OHF，從而將四邊形OECF的面積轉(zhuǎn)化成了小正方形OGCH的面積．通過(guò)他們的思路點(diǎn)撥，你認(rèn)為：S四邊形OECF＝（填一個(gè)數(shù)值），其實(shí)，在這樣的旋轉(zhuǎn)變化過(guò)程中，線段CE與CF的和也是一個(gè)定值，為．（2）【類(lèi)比探究】①如圖2，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，點(diǎn)O是AD邊的中點(diǎn)，∠EOF＝90°，點(diǎn)E在AB上，點(diǎn)F在BC上，則四邊形EBFO的面積為；EB+BF＝；②如圖3，若將（1）中的“正方形ABCD”改為“∠BCD＝120°，邊長(zhǎng)為8的菱形ABCD，其他條件不變，當(dāng)∠EOF＝60°時(shí)，四邊形OECF的面積還是一個(gè)定值嗎？是，請(qǐng)求出來(lái)；不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；③如圖4，在②的條件下，當(dāng)點(diǎn)O在對(duì)角線AC上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)O與B點(diǎn)的距離為7，且∠EOF旋轉(zhuǎn)至CF＝1時(shí)，CE的長(zhǎng)度為．（3）【拓展延伸】如圖5，∠BOD＝α（α為鈍角），∠CAD＝180°﹣α，∠BAC是鈍角，OA平分∠BOD，OD＝，OB＝4，AB＝，OA＝1，點(diǎn)C是OB上一點(diǎn)，那么OC的長(zhǎng)為．8．（2022秋?永年區(qū)期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直線MN經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，（1）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（1）的位置時(shí)，顯然有：DE＝AD+BE；（2）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（2）的位置時(shí)，求證：DE＝AD﹣BE；（3）當(dāng)直線MN繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置時(shí)，試問(wèn)DE、AD、BE具有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出這個(gè)等量關(guān)系．二、“手拉手”模型一．解答題（共9小題）1．（2022春?開(kāi)福區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC和△AEF中，點(diǎn)E在BC邊上，∠C＝∠F，AC＝AF，∠CAF＝∠BAE，EF與AC交于點(diǎn)G．（1）求證：AE＝AB；（2）若∠B＝62°，∠C＝24°，求∠EAC的度數(shù)．2．（2021春?銅梁區(qū)校級(jí)期中）已知，如圖，在?ABCD中，點(diǎn)F是?ABCD內(nèi)一點(diǎn)，AB⊥BF，AB＝BF，過(guò)點(diǎn)F作FE⊥AD，垂足為點(diǎn)E．（1）如圖1，若BF＝3EF＝6，求四邊形ABFE的面積；（2）如圖2，連接BE、CE，若BE＝CE，求證：AE+EF＝BC．3．（2022春?章丘區(qū)期中）感知：如圖①，△ABC和△AED都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)B在線段AD上，點(diǎn)C在線段AE上，我們很容易得到BD＝CE，不需證明．探究：如圖②，將△AED繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0＜α＜90°），連結(jié)BD和CE，此時(shí)BD＝CE是否依然成立？若成立，寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，說(shuō)明理由．應(yīng)用：如圖③，當(dāng)△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)D落在BC的延長(zhǎng)線上，連結(jié)CE．①∠ACE的度數(shù)為度；②線段BC、CD、CE之間的數(shù)量關(guān)系是；③若AB＝AC＝，CD＝1，則線段DE的長(zhǎng)為．4．（2022春?清城區(qū)期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），以線段OA為邊在第四象限內(nèi)作等邊三角形AOB，點(diǎn)C為x軸正半軸上動(dòng)點(diǎn)（OC＞1），連接BC，以線段BC為邊在第四象限內(nèi)作等邊△CBD，連接DA并延長(zhǎng)交y軸于點(diǎn)E．（1）求證：△OBC≌△ABD．（2）在點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠CAD的度數(shù)是否會(huì)變化？如果不變，請(qǐng)求出∠CAD的度數(shù)；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．（3）以A，E，C為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)和CD的長(zhǎng)度．5．（2022春?和平區(qū)校級(jí)期中）已知：點(diǎn)D是△ABC邊BC所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B，C不重合），∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，連接DA，點(diǎn)D繞點(diǎn)A順時(shí)針轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)E，連接BE，AE，DE．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D在線段CB的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)你判斷線段BE與線段CD之間的關(guān)系，并證明你判斷的結(jié)論．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上，且BD＝2CD時(shí)，直接寫(xiě)出四邊形AEBC的面積．（3）點(diǎn)D繞點(diǎn)A逆時(shí)針轉(zhuǎn)90°得到點(diǎn)F，連接CF，AF，DF，當(dāng)∠EAB＝15°時(shí)，直接寫(xiě)出線段CF的長(zhǎng)．6．（2022春?介休市期中）已知△ABC和△ADE都是等腰三角形，且AB＝AC，AD＝AE，∠DAE＝∠BAC．（1）[初步感知]如圖①，當(dāng)點(diǎn)D、E分別落在邊AB、AC上時(shí)，那么DBEC．（填＜、＞或＝）（2）[發(fā)現(xiàn)證明]如圖②，將圖①中的△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)D在△ABC外部，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部時(shí)，求證：DB＝EC；（3）[深入研究]如圖③，如果△ABC和△ADE都是等邊三角形，且點(diǎn)C、E、D在同一條直線上，則∠CDB的度數(shù)為；線段CE、BD之間的數(shù)量關(guān)系為；（4）[拓展應(yīng)用]如圖④，如果△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)C、D、E在同一直線上，作AM⊥DE，若AB＝，BD＝，求AM的長(zhǎng)．7．（2022春?吉安期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)（2，0），點(diǎn)C是y軸上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C在y軸上移動(dòng)時(shí)，始終保持△ACP是等邊三角形（點(diǎn)A、C、P按逆時(shí)針?lè)较蚺帕校?；?dāng)點(diǎn)C移動(dòng)到O點(diǎn)時(shí)，得到等邊三角形AOB（此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合）．（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為，直線AB的表達(dá)式為．（2）點(diǎn)C在y軸上移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)?shù)冗吶切蜛CP的頂點(diǎn)P在第二象限時(shí)，連接BP，求證：△AOC≌△ABP；（3）當(dāng)點(diǎn)C在y軸上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也隨之運(yùn)動(dòng)，探究點(diǎn)P在移動(dòng)過(guò)程中有怎樣的規(guī)律？請(qǐng)將這個(gè)規(guī)律用函數(shù)關(guān)系式表達(dá)出來(lái)；（4）點(diǎn)C在y軸上移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)△OBP為等腰三角形時(shí)，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．8．（2021春?將樂(lè)縣期中）（1）如圖1，△ABC與△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；（2）如圖2，△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，連接BE．填空：∠AEB的度數(shù)為；線段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是．（3）拓展探究如圖3，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．9．（2022春?椒江區(qū)校級(jí)期中）我們規(guī)定：有一組鄰邊相等，且這組鄰邊的夾角為60°的凸四邊形叫做“準(zhǔn)箏形”．（1）如圖1，在四邊形ABCD中，∠A+∠C＝270°，∠D＝30°，AB＝CB，求證：四邊形ABCD是“準(zhǔn)箏形”；（2）小軍同學(xué)研究“準(zhǔn)箏形”時(shí)，思索這樣一道題：如圖2，“準(zhǔn)箏形”ABCD，AD＝BD，∠BAD＝∠BCD＝60°，BC＝5，CD＝3，求AC的長(zhǎng)．小軍研究后發(fā)現(xiàn)，可以CD為邊向外作等邊三角形，構(gòu)造手拉手全等模型，用轉(zhuǎn)化的思想來(lái)求AC．請(qǐng)你按照小軍的思路求AC的長(zhǎng)．（3）如圖3，在△ABC中，∠A＝45°，∠ABC＝120°，BC＝2，設(shè)D是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)四邊形ABCD是“準(zhǔn)箏形”時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形ABCD的面積．

三、倍長(zhǎng)中線一．填空題（共1小題）1．（2022春?游仙區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，BC＝10，點(diǎn)D是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，BE⊥AD交AD于點(diǎn)E，當(dāng)BE＝4時(shí)，△ABD的面積恰好等于△ADC的面積，連接CE，則此時(shí)CE＝．二．解答題（共4小題）2．（2021春?玉林期中）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC邊上的一點(diǎn)，且EF⊥AE．求證：AE平分∠DAF．李華同學(xué)讀題后有一個(gè)想法，延長(zhǎng)FE，AD交于點(diǎn)M，要證AE平分∠DAF，只需證△AMF是等腰三角形即可．請(qǐng)你參考李華的想法，完成此題的證明．3．（2021秋?甘南縣校級(jí)期中）如圖，AD是△ABC的中線，E、F分別在AB、AC上，且DE⊥DF求證：BE+CF＞EF．4．（2019春?玄武區(qū)期中）課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：（1）如圖1，在△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．[感悟]解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（2）解決問(wèn)題：受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下列命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．求證：BE+CF＞EF，若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明．5．（2019春?秦淮區(qū)期中）閱讀理解：課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如下問(wèn)題：如圖1，△ABC中，若AB＝5，AC＝3，求BC邊上的中線AD的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過(guò)合作交流，得到了如下的解決方法：延長(zhǎng)AD到E，使得DE＝AD，再連接BE（或?qū)ⅰ鰽CD繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△EBD），把AB、AC、2AD集中在△ABE中，利用三角形的三邊關(guān)系可得2＜AE＜8，則1＜AD＜4．感悟：解題時(shí)，條件中若出現(xiàn)“中點(diǎn)”“中線”字樣，可以考慮構(gòu)造以中點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論集中到同一個(gè)三角形中．（1）問(wèn)題解決：受到（1）的啟發(fā)，請(qǐng)你證明下面命題：如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點(diǎn)，DE⊥DF，DE交AB于點(diǎn)E，DF交AC于點(diǎn)F，連接EF．①求證：BE+CF＞EF；②若∠A＝90°，探索線段BE、CF、EF之間的等量關(guān)系，并加以證明；（2）問(wèn)題拓展：如圖3，在平行四邊形ABCD中，AD＝2AB，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，聯(lián)結(jié)EF、CF，那么下列結(jié)論①∠DCF＝∠BCD；②EF＝CF；③S△BEC＝2S△CEF；④∠DFE＝3∠AEF．其中一定成立是（填序號(hào)）．

四、平行線中點(diǎn)一．選擇題（共2小題）1．（2021春?鄞州區(qū)校級(jí)期中）矩形ABCD與ECFG如圖放置，點(diǎn)B，C，F(xiàn)共線，點(diǎn)C，E，D共線，連接AG，取AG的中點(diǎn)H，連接EH．若AB＝CF＝4，BC＝CE＝2，則EH＝（）A． B．2 C． D．2．（2022春?鄞州區(qū)期中）如圖，在平行四邊形ABCD中，AD＝2，AB＝，∠B是銳角，AE⊥BC于點(diǎn)E，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，連接DF、EF．若∠EFD＝90°，則AE長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．二．填空題（共1小題）3．（2022春?清江浦區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ACD中，∠CAD＝90°，AC＝6，AD＝10，AB∥CD，E是CD上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，若AB＝DE，則圖中陰影部分的面積為．三．解答題（共2小題）4．（2021春?扶溝縣期中）如圖，已知AB＝12，AB⊥BC于B，AB⊥AD于A，AD＝5，BC＝10．點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，求AE的長(zhǎng)．5．（2022春?澄邁縣期中）（1）方法回顧證明：三角形中位線定理．已知：如圖1，DE是△ABC的中位線．求證：．證明：（2）問(wèn)題解決：如圖2，在正方形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，G、F分別為AB、CD邊上的點(diǎn)，若AG＝3，DF＝4，∠GEF＝90°，求GF的長(zhǎng)．五、“雨傘”模型一．選擇題（共1小題）1．（2022秋?新洲區(qū)期中）如圖，BP是∠ABC的平分線，AP⊥BP于P，連接PC，若△ABC的面積為1cm2，則△PBC的面積為（）A．0.4cm2 B．0.5cm2 C．0.6cm2 D．不能確定二．填空題（共1小題）2．（2022春?芙蓉區(qū)校級(jí)期中）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE垂直平分AC，垂足為點(diǎn)E，若BD＝1，則BC的長(zhǎng)為．三．解答題（共3小題）3．（2021春?高州市期中）如圖，在△ABC中，已知D是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作BC的垂線交∠BAC的平分線于點(diǎn)E，EF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G．（1）求證：BF＝CG；（2）若AB＝12，AC＝8，求線段CG的長(zhǎng)．4．（2021春?驛城區(qū)校級(jí)期中）如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB于點(diǎn)E，點(diǎn)F在AC上，BD＝DF．（1）求證：CF＝EB．（2）若AB＝20，AC＝16，求AF的長(zhǎng)．5．（2021春?黃驊市期中）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在△ABC內(nèi)，AE平分∠BAC，CE⊥AE，點(diǎn)F在AB上，且BF＝DE．（1）求證：四邊形BDEF是平行四邊形；（2）線段AB，BF，AC之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？證明你所得到的結(jié)論．六、半角模型一．選擇題（共1小題）1．（2021春?牡丹區(qū)期中）如圖，在Rt△ABC中，AB＝AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE＝45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF，下列結(jié)論：①△AED≌△AEF；②∠FAD＝90°；③BE+DC＝DE④BE2+DC2＝DE2，其中一定正確的是（）A．①③ B．①②④ C．①②③④ D．②④二．解答題（共7小題）2．（2021秋?同江市期中）已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)（如圖1），易證BM+DN＝MN．（1）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)（如圖2），線段BM、DN和MN之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出猜想，并加以證明；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM、DN和MN之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)直接寫(xiě)出你的猜想．3．（2021春?麗水期中）已知正方形ABCD中，M，N是邊BC，CD上任意兩點(diǎn)，∠MAN＝45°，連結(jié)MN．（1）如圖①，請(qǐng)直接寫(xiě)出BM，DN，MN三條線段的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，過(guò)點(diǎn)A作AH⊥MN于點(diǎn)H，求證：AB＝AH；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長(zhǎng)．4．（2021春?福田區(qū)校級(jí)期中）探究：（1）如圖1，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝45°，試判斷BE、DF與EF三條線段之間的數(shù)量關(guān)系，直接寫(xiě)出判斷結(jié)果：；（2）如圖2，若把（1）問(wèn)中的條件變?yōu)椤霸谒倪呅蜛BCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD”，則（1）問(wèn)中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明，若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）在（2）問(wèn)中，若將△AEF繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)分別E、F運(yùn)動(dòng)到BC、CD延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3所示，其它條件不變，則（1）問(wèn)中的結(jié)論是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)給出結(jié)論并予以證明．5．（2022秋?市南區(qū)期中）已知正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M，N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，AH＝6，求NH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）6．（2022春?鄞州區(qū)校級(jí)期中）已知，正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N，AH⊥MN于點(diǎn)H．（1）如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出AH與AB的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，（1）中發(fā)現(xiàn)的AH與AB的數(shù)量關(guān)系還成立嗎？如果不成立請(qǐng)寫(xiě)出理由，如果成立請(qǐng)證明；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長(zhǎng)．（可利用（2）得到的結(jié)論）7．（2021秋?千山區(qū)期中）（1）如圖1