高考數學第一輪復習第六章　復數與平面向量講義及試題

【標題】第六章復數與平面向量第一節(jié)復數1.通過方程的解，認識復數.2.理解復數的代數表示及其幾何意義，理解兩個復數相等的含義.3.掌握復數代數表示式的四則運算，了解復數加、減運算的幾何意義.1.復數的有關概念（1）復數的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，a，b分別是它的實部和虛部.當且僅當b＝0時，a＋bi為實數；當b≠0時，a＋bi為虛數；當a＝0且b≠0時，a＋bi為純虛數；（2）復數相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）；（3）共軛復數：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）；（4）復數的模：向量OZ的模叫做復數z＝a＋bi（a，b∈R）的?；蚪^對值，記作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝a22.復數的幾何意義（1）復數z＝a＋bi復平面內的點Z（a，b）；（2）復數z＝a＋bi平面向量OZ提醒復數z＝a＋bi（a，b∈R）的對應點的坐標為（a，b），而不是（a，bi）.3.復數的運算（1）復數的加、減、乘、除運算法則：設z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.（2）復數加法的運算律：設z1，z2，z3∈C，則復數加法滿足以下運算律：①交換律：z1＋z2＝z2＋z1；②結合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.（3）復數乘法的運算律：設z1，z2，z3∈C，則復數乘法滿足以下運算律：①交換律：z1z2＝z2z1；②結合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）；③乘法對加法的分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）若a∈C，則a2≥0. （）（2）已知z＝a＋bi（a，b∈R），當a＝0時，復數z為純虛數. （）（3）復數z＝a＋bi（a，b∈R）的虛部為bi. （）（4）方程x2＋x＋1＝0沒有解. （）答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2.（2022·新高考Ⅱ卷）（2＋2i）（1－2i）＝ （）A.－2＋4iB.－2－4iC.6＋2i D.6－2i解析：D（2＋2i）（1－2i）＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故選D.3.在復平面內，向量AB對應的復數是2＋i，向量CB對應的復數是－1－3i，則向量CA對應的復數是（）A.1－2i B.－1＋2iC.3＋4i D.－3－4i解析：D∵CA＝CB＋BA＝CB－AB＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故選D.4.若a＋bi（a，b∈R）是1-i1+i的共軛復數，則a＋b＝解析：由1-i1+i＝(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)＝－i，得a＋bi＝答案：15.已知（a－i）（1－2i）＝－3＋bi，a，b∈R，i是虛數單位，則a＋b＝；若復數z＝a＋bi，則z在復平面內對應的點位于第象限.

解析：由（a－i）（1－2i）＝－3＋bi，得a－2－（1＋2a）i＝－3＋bi，由復數相等的充要條件得a-2=-3,-(1+2a)=b,解得a=-1,b=1,所以a＋b＝答案：0二1.（1±i）2＝±2i，1+i1-i＝i，1-2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N*）.3.z·z＝｜z｜2＝｜z｜2，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，︱z1z2＝|z1||z2|，1.已知z＝1+i1-i，則｜z｜＝ A.22B.C.－2 D.1解析：D由結論3可知｜z｜＝|1+i||1-i|＝2.已知i為虛數單位，則1+i1-i2解析：由結論1可得1+i1-i＝i，又i2024＝i4×506，由結論2可知原式答案：1復數的有關概念1.（2022·全國乙卷）設（1＋2i）a＋b＝2i，其中a，b為實數，則 （）A.a＝1，b＝－1 B.a＝1，b＝1C.a＝－1，b＝1 D.a＝－1，b＝－1解析：A由題意知a＋b＋2ai＝2i，所以a+b=0,22.若復數z滿足（1＋2i）z＝4＋3i，則z＝ （）A.－2＋i B.－2－iC.2＋i D.2－i解析：C由題意，得z＝4+3i1+2i＝(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)＝10-3.復數z＝（3＋i）（1－4i），則復數z的實部與虛部之和是.

解析：z＝（3＋i）（1－4i）＝7－11i，則z的實部為7，虛部為－11，故實部與虛部的和是7－11＝－4.答案：－44.如果復數m2+i1+mi是純虛數，那么實數解析：m2+i1+mi＝(m2+i)(1-mi)答案：0或－1｜練后悟通｜解決復數概念問題的兩個注意事項復數的四則運算1.（2022·全國甲卷）若z＝－1＋3i，則zzz-1＝A.－1＋3i B.－1－3iC.－13＋33i D.－13解析：Czzz-1＝-1+3i(-1+3i2.（2022·新高考Ⅰ卷）若i（1－z）＝1，則z＋z＝ （）A.－2 B.－1C.1 D.2解析：D因為i（1－z）＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故選D3.（多選）若復數z滿足z-iz+1＝i，則A.z＝1＋iB.｜z｜＝2C.z在復平面內對應的點位于第四象限D.z2為純虛數解析：BD設z＝a＋bi（a，b∈R），則z-iz+1＝a+(b-1)i(a+1)+bi＝i，a＋（b－1）i＝i·[（a＋1）＋bi]＝－b＋（a＋1）i，所以a=-b,b-1=a+1,解得a=-1,b=1,所以z＝－1＋i，故z＝－1－i，A錯誤；｜z｜＝24.若z＝i20231-i，則｜z｜＝；z解析：z＝i20231-i＝-i1-i＝1-i2，｜z｜＝122+-12答案：22｜練后悟通｜復數代數形式運算的策略復數的幾何意義【例】（1）（2021·新高考Ⅱ卷）復數2-i1-3iA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限（2）（2022·全國甲卷）若z＝1＋i，則｜iz＋3z｜＝ （）A.45 B.42C.25 D.22解析（1）2-i1-3i＝(2-i)(1+3i)（2）因為z＝1＋i，所以iz＋3z＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3z｜＝｜2－2i｜＝22+(-2)2＝答案（1）A（2）D｜解題技法｜對復數幾何意義的再理解（1）復數z、復平面上的點Z及向量OZ相互聯(lián)系，即z＝a＋bi（a，b∈R）?Z（a，b）?OZ；（2）由于復數、點、向量之間建立了一一對應的關系，因此可把復數、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時可運用數形結合的方法，使問題的解決更加直觀.1.在復平面內，復數2i，4對應的點分別為A，B.若C為線段AB上的點，且AC＝CB，則點C對應復數的共軛復數是 （）A.1＋2i B.2＋iC.2－i D.1－2i解析：C由題意知，A（0，2），B（4，0），∵AC＝CB，∴點C為線段AB的中點，∴C（2，1），點C對應的復數z＝2＋i，∴z的共軛復數z＝2－i，故選C.2.設復數z滿足｜z－2i｜＝1，在復平面內z對應的點到原點距離的最大值是 （）A.1 B.3C.5 D.3解析：D法一：由題意可知，在復平面內復數z對應的點為復平面內一動點到定點（0，2）的距離為1的點的集合，即以（0，2）為圓心，1為半徑的圓，圓心（0，2）到原點的距離為2，所以圓上任一點到原點的距離的最大值為2＋1＝3，故選D.法二：設復數z＝x＋yi（x，y∈R），則x2＋（y－2）2＝1，所以－1≤y－2≤1，即1≤y≤3，所以x2＋y2＝4y－3≤9，所以x2+y2≤3，即在復平面內z對應的點到原點距離的最大值是31.（2022·全國乙卷）已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b為實數，則 （）A.a＝1，b＝－2B.a＝－1，b＝2C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2解析：A由題意知z＝1＋2i，所以z＋az＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋az＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以a+b+1=0,22.（2022·北京高考）若復數z滿足i·z＝3－4i，則｜z｜＝ （）A.1 B.5C.7 D.25解析：B依題意可得z＝3-4ii＝(3-4i)ii2＝－4－3i，所以3.已知i是虛數單位，復數z與復平面內的點（2，－1）對應，則復數1-2iz對應的點在 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：D由復數z與復平面內的點（2，－1）對應，可知z＝2－i，所以1-2i2-i＝(1-2i)(2+i)(4.已知復數z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R），則“a＝2”是“z為純虛數”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：A因為復數z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R）為純虛數，等價于a2-4=0,a-3≠0,即a＝±2，由充分條件和必要條件的定義知“a＝2”是“a＝±2”的充分不必要條件，所以“a＝2”是“5.設z是復數z的共軛復數.在復平面內，復數z＋2與z＋2i對應的點關于y軸對稱，則1z＝ （A.－1＋i B.－12－C.12－i2 D.－1解析：B設z＝a＋bi（a，b∈R），則z＋2＝（a＋2）＋bi，z＋2i＝a＋（2－b）i，因為復數z＋2與z＋2i對應的點關于y軸對稱，所以a＋2＋a＝0且b＝2－b，解得a＝－1，b＝1，則z＝－1＋i，1z＝1-1+i＝-1-i(-1+i)(-1-6.（多選）若復數z滿足（1＋i）·z＝5＋3i（其中i是虛數單位），則 （）A.z的虛部為－iB.z的模為17C.z的共軛復數為4－iD.z在復平面內對應的點位于第四象限解析：BD由（1＋i）·z＝5＋3i得z＝5+3i1+i＝(5+3i)(1-i)(1+i)(1-i)＝8-2i2＝4－i，所以z的虛部為－1，A錯誤；z的模為42+(-1)2＝17，B7.（多選）已知復數z對應的向量為OZ（O為坐標原點），OZ與實軸正向的夾角為120°，且復數z的模為2，則復數z可能為 （）A.1＋3i B.2C.－1－3i D.－1＋3i解析：CD設復數z＝x＋yi（x，y∈R），∵向量OZ與實軸正向的夾角為120°且復數z的模為2，∴當z在第二象限時，x＝｜OZ｜cos120°＝2×-12＝－1，y＝｜OZ｜sin120°＝2×32＝3，∴z＝－1＋3i；當z在第三象限時，x＝｜OZ｜cos（－120°）＝2×-12＝－1，y＝｜OZ｜sin（－120°）＝2×-32＝－3，∴y＝－1－38.已知i為虛數單位，若復數z＝3-i1+i，則｜iz｜＝解析：法一：iz＝(3-i)i1+i＝1+3i1+i＝(1+3i)(1-i)(1+i)(法二：｜iz｜＝｜i｜｜z｜＝1×︱3-i1+i︱＝|3-i|答案：59.若z＝（a－2）＋ai為純虛數，其中a∈R，則a+i71+解析：∵z為純虛數，∴a-2=0,a≠0,∴a＝2，∴a+i答案：－i10.設復數z＝1-i1+in＋1+i1-in，i為虛數單位，n解析：z＝in＋（－i）n，i為虛數單位，n∈N，當n＝4k（k∈N）時，z＝2；當n＝4k＋1（k∈N）時，z＝0；當n＝4k＋2（k∈N）時，z＝－2；當n＝4k＋3（k∈N）時，z＝0.答案：{－2，0，2}11.已知復數數列{an}滿足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i為虛數單位，則a10＝ （）A.2i B.－1＋iC.1＋i D.－2i解析：B法一：因為a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）i＋i＋1＝2i，…，所以數列{an}是以4為周期的周期數列，所以a10＝a4×2＋2＝a2＝－1＋i，故選B.法二：因為an＋1＝ian＋i＋1，所以an＋1－i＝i（an－i），又a1－i＝i≠0，所以數列{an－i}是以i為首項，i為公比的等比數列，所以an－i＝in，則an＝i＋in，所以a10＝i＋i10＝i＋i2＝－1＋i，故選B.12.（多選）已知兩個復數z1，z2滿足z1z2＝i，且z1＝1－i，則下面說法正確的是 （）A.z2＝-1+i2 B.｜z1C.｜z1＋z2｜≥2 D.z1z解析：ABD因為z1z2＝i，z1＝1－i，所以z2＝i1-i＝-1+i2，故A正確；｜z1｜＝12+(-1)2＝2，｜z2｜＝-122+122＝22，所以｜z1｜＝1|z2|，故B正確；因為｜z1＋z2｜＝︱1-i2︱＝22＜13.（多選）設z∈C，則下列說法中正確的是 （）A.｜z｜2＝z·zB.｜z1＋z2｜＝｜z1｜＋｜z2｜C.若z12＋z22＝0，則z1＝D.若｜z｜＝1，則｜z－i｜≤2解析：ADA選項，設z＝a＋bi（a，b∈R），則z＝a－bi，｜z｜2＝a2＋b2，z·z＝a2＋b2，所以｜z｜2＝z·z，故A正確；B選項，令z1＝1＋i，z2＝1－i，則｜z1＋z2｜＝2，｜z1｜＋｜z2｜＝22，不滿足｜z1＋z2｜＝｜z1｜＋｜z2｜，故B錯誤；C選項，若z1＝i，z2＝1，則z12＋z22＝0，但不滿足z1＝z2＝0，故C錯誤；D選項，若｜z｜＝1，不妨令z＝cosθ＋sinθ·i，則｜z－i｜＝cos2θ+(sinθ-1)14.i是虛數單位，使（1＋i）n為實數的最小正整數n＝.

解析：∵（1＋i）2＝2i，（1＋i）3＝2i－2，（1＋i）4＝－4，∴使（1＋i）n為實數的最小正整數n是4.答案：415.復數z滿足｜z－1｜2－｜z＋1｜2＝4，則復數z在復平面內對應的點所在的軌跡方程是.

解析：設z＝a＋bi（a，b∈R），則（a－1）2＋b2－[（a＋1）2＋b2]＝4，整理，得a＝－1，∴復數z在復平面內對應的點所在的軌跡方程是x＝－1.答案：x＝－116.已知復數z1滿足（1＋i）z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i是虛數單位，a∈R，若｜z1－z2｜＜｜z1｜，則a的取值范圍是.解析：∵z1＝-1+5i1+i＝2＋3i，z2＝a－2＋i，∴｜z1－z2｜＝｜4－a＋2i｜＝(4-a)2+4，｜z1｜＝｜2＋3i｜＝13，∴(4-a)2+4＜13，得a答案：（1，7）第二節(jié)平面向量的概念及線性運算1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運算的性質及其幾何意義.1.向量的有關概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度（模）；（2）零向量：長度為0的向量，記作0；（3）單位向量：長度等于1個單位長度的向量；（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行；（5）相等向量：長度相等且方向相同的向量；（6）相反向量：長度相等且方向相反的向量.提醒單位向量有無數個，它們大小相等，但方向不一定相同；與向量a平行的單位向量有兩個，即向量a|a|和2.向量的線性運算向量運算定義法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向量和的運算交換律：a＋b＝b＋a；結合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）減法求兩個向量差的運算a－b＝a＋（－b）續(xù)表向量運算定義法則（或幾何意義）運算律數乘求實數λ與向量a的積的運算｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0λ（μa）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b）＝λa＋λb3.共線向量定理向量a（a≠0）與b共線的充要條件是存在唯一一個實數λ，使得b＝λa.提醒當a≠0時，定理中的實數λ才唯一，否則不唯一.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）｜a｜與｜b｜是否相等，與a，b的方向無關. （）（2）若向量a與b同向，且｜a｜＞｜b｜，則a＞b.（）（3）若向量AB與向量CD是共線向量，則A，B，C，D四點在一條直線上. （）（4）起點不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量. （）答案：（1）√（2）×（3）×（4）√2.對于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：A若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＋b＝0不一定成立.故前者是后者的充分不必要條件，故選A.3.已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②OA＋OB＋BO＋CO；③AB－AC＋BD－CD.其中結果為零向量的個數為 （）A.0B.1C.2 D.3解析：C①中AB＋BC＋CA＝0；②中OA＋OB＋BO＋CO＝OA＋CO＝CA；③AB－AC＋BD－CD＝CB＋BC＝0.故①③結果為零向量，故選C.4.（2022·新高考Ⅰ卷）在△ABC中，點D在邊AB上，BD＝2DA.記CA＝m，CD＝n，則CB＝ （）A.3m－2nB.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n解析：B因為BD＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3（CD－CA）＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故選B.5.化簡：（1）（AB＋MB）＋BO＋OM＝；

（2）NQ＋QP＋MN－MP＝.

解析：（1）原式＝AB＋BO＋OM＋MB＝AB.（2）原式＝NP＋PN＝0.答案：（1）AB（2）01.三點共線的等價轉化A，P，B三點共線?AP＝λAB（λ≠0）?OP＝（1－t）·OA＋tOB（O為平面內異于A，P，B的任一點，t∈R）?OP＝xOA＋yOB（O為平面內異于A，P，B的任一點，x∈R，y∈R，x＋y＝1）.2.向量的中線公式若P為線段AB的中點，O為平面內一點，則OP＝12（OA＋OB1.已知O是△ABC所在平面內一點，P為線段AB的中點，且OA－BO＋3OC＝0，那么 （）A.CO＝23OP B.COC.CO＝32OP D.CO解析：A由結論2可知OA＋OB＝2OP，又因OA－BO＋3OC＝0，則3CO＝2OP?CO＝23OP故選2.已知A，B，C，O四點滿足條件αOA＋βOB＝OC，若α＋β＝1，則能得到.

解析：由結論1可知A，B，C三點共線.答案：A，B，C三點共線平面向量的有關概念1.設a，b都是非零向量，下列四個條件中，使a|a|＝b|bA.a＝－bB.a∥bC.a＝2b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜解析：C因為向量a|a|的方向與向量a相同，向量b|b|的方向與向量b相同，且a|a|＝b|b|.所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項A、B、D.當a＝2b時，a|a|＝2.下列說法正確的是 （）A.若｜a｜＝｜b｜，則a＝b或a＝－bB.若ma＝mb，m∈R，則a＝bC.若a∥b，b∥c，則a∥cD.若ma＝0，m∈R，則m＝0或a＝0解析：D對于A，當a＝（1，1），b＝32,52時，滿足｜a｜＝｜b｜，但a≠±b，故A錯誤；對于B，當a＝（1，1），b＝（1，2），m＝0時，滿足ma＝mb＝0，但a≠b，故B錯誤；對于C，當a＝（1，1），b＝0，c＝（1，2）時，滿足a∥b，c∥b，但不滿足a∥c，故C錯誤；對于D，由ma＝0，得m＝0或a＝0，故D正確.綜上所述3.（多選）給出下列命題，其中正確的有 （）A.若兩個向量相等，則它們的起點相同，終點相同B.若A，B，C，D是不共線的四點，且AB＝DC，則四邊形ABCD為平行四邊形C.a＝b的充要條件是｜a｜＝｜b｜且a∥bD.兩個相等向量的模相等解析：BDA錯誤，兩個向量起點相同，終點相同，則兩個向量相等，但兩個向量相等，不一定有相同的起點和終點；B正確，因為AB＝DC，所以｜AB｜＝｜DC｜且AB∥DC，又A，B，C，D是不共線的四點，所以四邊形ABCD為平行四邊形；C錯誤，當a∥b且方向相反時，即使｜a｜＝｜b｜，也不能得到a＝b；D正確，兩個相等向量的模一定相等，故選B、D.｜練后悟通｜向量有關概念的關鍵點（1）向量定義的關鍵是方向和長度；（2）非零共線向量的關鍵是方向相同或相反，長度沒有限制；（3）相等向量的關鍵是方向相同且長度相等；（4）單位向量的關鍵是長度等于1個單位長度；（5）零向量的關鍵是長度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線.平面向量的線性運算考向1向量的線性運算【例1】在△ABC中，BD＝13BC，若AB＝a，AC＝b，則AD＝ （A.23a＋13b B.13aC.13a－23b D.23a解析法一：如圖，過點D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點E，F，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以AD＝AE＋AF因為BD＝13BC，所以AE＝23AB，AF＝13AC，所以AD＝23AB＋13AC法二：AD＝AB＋BD＝AB＋13BC＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC＝23法三：由BD＝13BC，得AD－AB＝13（AC－AB），所以AD＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC＝2答案A｜解題技法｜平面向量的線性運算的求解策略考向2根據向量線性運算求參數【例2】在△ABC中，延長BC至點M使得BC＝2CM，連接AM，點N為AM上一點且AN＝13AM，若AN＝λAB＋μAC，則λ＋μ＝（A.13 B.C.－12 D.－解析由題意，知AN＝13AM＝13（AB＋BM）＝13AB＋13×32BC＝13AB＋12（AC－AB）＝－16AB＋12AC，又AN＝λAB＋μAC，所以答案A｜解題技法｜與向量的線性運算有關的參數問題，一般是構造三角形，利用向量運算的三角形法則進行加法或減法運算，然后通過相等向量或共線向量等條件列出關于參數的方程（組）求得相關參數的值.1.如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D為半圓弧的兩個三等分點，則AB＝ （）A.AC－AD B.2AC－2ADC.AD－AC D.2AD－2AC解析：D連接CD（圖略），∵C，D是半圓弧的三等分點，∴CD∥AB，且AB＝2CD，因此AB＝2CD＝2（AD－AC）＝2AD－2AC.2.在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，若EB＝λAB＋μAC，則λ＋μ＝ （）A.1 B.3C.12 D.－解析：C因為D為BC的中點，E為AD的中點，所以EB＝AB－AE＝AB－12AD＝AB－1212AB+12AC＝34AB－14AC，因為EB＝λAB＋μAC，所以λ共線向量定理的應用【例3】設兩向量a與b不共線.（1）若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3（a－b）.求證：A，B，D三點共線；（2）試確定實數k，使ka＋b和a＋kb共線.解（1）證明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3（a－b）.∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5AB，∴AB，BD共線.又它們有公共點B，∴A，B，D三點共線.（2）∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實數λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），即ka＋b＝λa＋λkb，∴（k－λ）a＝（λk－1）b.∵a，b是不共線的兩個向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.1.（變條件，變設問）若將本例（1）中“BC＝2a＋8b”改為“BC＝a＋mb”，則m為何值時，A，B，D三點共線？解：BD＝BC＋CD＝（a＋mb）＋3（a－b）＝4a＋（m－3）b，若A，B，D三點共線，則存在實數λ，使BD＝λAB，即4a＋（m－3）b＝λ（a＋b），∴4=λ,m-3=故當m＝7時，A，B，D三點共線.2.（變條件）若將本例（2）中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？解：因為ka＋b與a＋kb反向共線，所以存在實數λ，使ka＋b＝λ（a＋kb）（λ＜0），所以k=λ,kλ=1又λ＜0，k＝λ，所以k＝－1.故當k＝－1時，兩向量反向共線.｜解題技法｜提醒證明三點共線時，需說明共線的兩個向量有公共點.1.已知向量a與b不共線，AB＝a＋mb，AC＝na＋b（m，n∈R），則AB與AC共線的條件是 （）A.m＋n＝0 B.m－n＝0C.mn＋1＝0 D.mn－1＝0解析：D由AB＝a＋mb，AC＝na＋b（m，n∈R）共線，得a＋mb＝λ（na＋b），即1=λn,m=λ,所以2.在四邊形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是 （）A.矩形 B.平行四邊形C.梯形 D.以上都不對解析：C由已知，得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2BC，故AD∥BC.又因為AB與CD不平行，所以四邊形ABCD是梯形.1.如圖，設P，Q兩點把線段AB三等分，則下列向量表達式錯誤的是 （）A.AP＝13ABB.AQC.BP＝－23AB D.AQ解析：D由數乘向量的定義可以得到A，B，C都是正確的，只有D錯誤.2.已知a，b是兩個非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，則下列說法正確的是 （）A.a＋b＝0B.a＝bC.a與b共線反向 D.存在正實數λ，使a＝λb解析：D因為a，b是兩個非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，則a與b共線同向，故D正確.3.已知平面向量a，b不共線，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，CD＝a＋3b，則 （）A.A，B，D三點共線 B.A，B，C三點共線C.B，C，D三點共線 D.A，C，D三點共線解析：DBD＝BC＋CD＝6b，得不出AB＝λBD，∴AB，BD不共線，∴A，B，D三點不共線，A錯誤；得不出AB＝λBC，∴AB，BC不共線，∴A，B，C三點不共線，B錯誤；得不出BC＝λCD，∴BC，CD不共線，∴B，C，D三點不共線，C錯誤；AC＝AB＋BC＝3a＋9b＝3CD，∴A，C，D三點共線，D正確.故選D.4.已知點O為△ABC的外接圓的圓心，且OA＋OB＋CO＝0，則△ABC的內角A等于 （）A.30° B.45°C.60° D.90°解析：A由OA＋OB＋CO＝0，得OA＋OB＝OC，又O為△ABC的外接圓的圓心，根據向量加法的幾何意義，四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.5.已知P是△ABC所在平面內一點，且滿足PA＋PB＋PC＝2AB，若S△ABC＝6，則△PAB的面積為（）A.2 B.3C.4 D.8解析：A∵PA＋PB＋PC＝2AB＝2（PB－PA），∴3PA＝PB－PC＝CB，∴PA∥CB，且兩向量方向相同，∴S△ABCS△PAB＝BCAP＝|CB||PA|＝3，又S△ABC6.在正六邊形ABCDEF中，對角線BD，CF相交于點P.若AP＝xAB＋yAF，則x＋y＝ （）A.2 B.5C.3 D.7解析：B如圖，記正六邊形ABCDEF的中心為點O，連接OB，OD，易證四邊形OBCD為菱形，且P恰為其中心，于是FP＝32FO＝32AB，因此AP＝AF＋FP＝32AB＋AF，因為AP＝xAB＋yAF，所以x＝32且y＝1，7.（多選）如圖，在平行四邊形ABCD中，點E在線段DC上，且滿足CE＝2DE，則下列結論中正確的有 （）A.AB＝DCB.AD＋AB＝ACC.AB－AD＝BDD.AE＝AD＋1解析：ABD因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB＝DC，故A正確；根據向量加法的平行四邊形法則，可得AB＋AD＝AC，故B正確；根據向量的減法法則可得AB－AD＝DB，故C錯誤；由題意知，AE＝AD＋DE＝AD＋13DC＝AD＋13AB，故D正確.故選A、8.若AP＝12PB，AB＝（λ＋1）BP，則λ＝解析：由AP＝12PB可知，點P是線段AB上靠近點A的三等分點，則AB＝－32BP，所以λ＋1＝－32，答案：－59.設向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實數λ＝.

解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實數μ，使λa＋b＝μ（a＋2b）成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則λ=μ,1=2μ,解得答案：110.若｜AB｜＝｜AC｜＝｜AB－AC｜＝2，則｜AB＋AC｜＝.

解析：因為｜AB｜＝｜AC｜＝｜AB－AC｜＝2，所以△ABC是邊長為2的正三角形，所以｜AB＋AC｜為△ABC的邊BC上的高的2倍，所以｜AB＋AC｜＝23.答案：2311.我國東漢末數學家趙爽在《周髀算經》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，若BC＝a，BA＝b，BE＝3EF，則BF＝ （）A.1225a＋925b B.1625aC.45a＋35b D.35a解析：B由題得BF＝BC＋CF＝BC＋34EA＝BC＋34EB+BA＝BC＋34-34BF+BA，即BF＝BC＋34-34BF+BA12.（多選）設點M是△ABC所在平面內一點，則下列說法正確的是 （）A.若AM＝12AB＋12AC，則點B.若AM＝2AB－AC，則點M在邊BC的延長線上C.若AM＝－BM－CM，則點M是△ABC的重心D.若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，則△MBC的面積是△ABC面積的解析：ACD若AM＝12AB＋12AC，則點M是邊BC的中點，故A正確；若AM＝2AB－AC，即有AM－AB＝AB－AC，即BM＝CB，則點M在邊CB的延長線上，若AM＝－BM－CM，即AM＋BM＋CM＝0，則點M是△ABC的重心，故C正確；如圖，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，可得2AM＝2xAB＋2yAC，設AN＝2AM，則AN＝2xAB＋2yAC，2x＋2y＝1，可得B，N，C三點共線.又M為AN的中點，則△MBC的面積是△ABC面積的12，故D13.直線l上有不同的三點A，B，C，O是直線l外一點，對于向量OA＝（1－cosα）OB＋sinαOC（α是銳角）總成立，則α＝.

解析：因為直線l上有不同的三點A，B，C，所以存在實數λ，使得BA＝λBC，所以OA－OB＝λ（OC－OB），即OA＝（1－λ）OB＋λOC，所以1-λ=1-cosα,λ=sinα,所以sinα＝cos答案：45°14.在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝23，BC＝2，點E在線段CD上，若AE＝AD＋μAB，則μ的取值范圍是.

解析：由已知得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC.因為點E在線段CD上，所以DE＝λDC（0≤λ≤1）.因為AE＝AD＋DE＝AD＋λDC＝AD＋λ2AB，又AE＝AD＋μAB，所以μ＝λ2.因為0≤λ≤1，所以0≤μ答案：015.如圖所示，在△ABC中，點O是BC的中點，過點O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，則m＋n＝.

解析：作BG∥AC，則BG∥NC，|BG||AN|＝|BM||AM|.∵O是BC的中點，∴△NOC≌△GOB，∴｜BG｜＝｜NC｜，又∵｜AC｜＝n｜AN｜，∴｜NC｜＝（n－1）｜AN｜，∴|BG||AN|＝n－1.∵｜AB｜＝m｜AM｜，∴｜BM｜＝（1－m）｜AM｜，∴|BM||AM答案：2第三節(jié)平面向量基本定理及坐標表示1.理解平面向量的基本定理及其意義.2.借助平面直角坐標系，掌握平面向量的正交分解及坐標表示.3.會用坐標表示平面向量的加、減運算與數乘運算.4.能用坐標表示平面向量共線的條件.1.平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量a，有且只有一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2；（2）基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內所有向量的一個基底.提醒（1）基底e1，e2必須是同一平面內的兩個不共線向量，零向量不能作為基底；（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一.2.平面向量的坐標運算（1）向量的加法、減法、數乘及向量的模設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），｜a｜＝x1（2）向量坐標的求法①若向量的起點是坐標原點，則終點坐標即為向量的坐標；②設A（x1，y1），B（x2，y2），則AB＝（x2－x1，y2－y1），｜AB｜＝(x提醒若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＝b?x3.平面向量共線的坐標表示設a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.提醒（1）a∥b的充要條件不能表示為x1x2＝y(tǒng)1y2，因為x2，y2有可能為0；（2）當且僅當x2y2≠0時，a∥b與x1x1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）設a，b是平面內的一組基底，若實數λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2. （）（2）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a∥b的充要條件可以表示成x1x2＝y(tǒng)1y（3）平面向量不論經過怎樣的平移變換之后其坐標不變. （）答案：（1）√（2）×（3）√2.設O是平行四邊形ABCD的兩條對角線AC，BD的交點，則給出下列向量組：①AD與AB；②DA與BC；③CA與DC；④OD與OB.其中可作為這個平行四邊形所在平面的一組基底的是 （）A.①②B.①③C.①④ D.③④解析：B平面內任意兩個不共線的向量都可以作為基底，如圖，對于①，AD與AB不共線，可作為基底；對于②，DA與BC為共線向量，不可作為基底；對于③，CA與DC是兩個不共線的向量，可作為基底；對于④，OD與OB在同一條直線上，是共線向量，不可作為基底.3.已知點A（0，1），B（3，2），向量AC＝（－4，－3），則向量BC＝ （）A.（－7，－4） B.（7，4）C.（－1，4） D.（1，4）解析：A根據題意得AB＝（3，1），∴BC＝AC－AB＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故選A.4.（2021·全國乙卷）已知向量a＝（2，5），b＝（λ，4），若a∥b，則λ＝.

解析：因為a∥b，所以a＝kb，即（2，5）＝k（λ，4），得kλ=2,答案：81.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2.已知△ABC的頂點A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則△ABC的重心G的坐標為x11.已知OA＝（5，－2），OB＝（－4，－3），且OP＋AP＋BP＝0，其中O為坐標原點，則P點坐標為 （）A.（－9，－1） B.1C.（1，－5） D.3解析：B因為OA＝（5，－2），OB＝（－4，－3），且OP＋AP＋BP＝0，所以P是△OAB的重心，又A（5，－2），B（－4，－3），O（0，0），由結論2得P點坐標為13,-532.（2023·周口模擬）給出以下說法，其中正確的是 （）A.若b＝λa（λ∈R），則a∥bB.若a∥b，則存在實數λ，使b＝λaC.若a，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0?λ＝μ＝0D.平面內任意兩個非零向量都可以作為表示平面內任意一個向量的一組基底解析：AA項，由向量的數乘運算的幾何意義，正確；B項，若a＝0，b≠0，有a∥b，但不存在實數λ，使b＝λa，錯誤；C項，若a，b為相反向量，則a＋b＝0，此時λ＝μ∈R，錯誤；D項，由平面向量基本定理可知，作為基底的兩向量是不共線的非零向量，錯誤.故選A.平面向量基本定理的應用【例1】（1）如圖所示，在△ABC中，CB＝3CD，AD＝2AE，AB＝a，AC＝b，則CE＝（）A.16a－13b B.16aC.a－13b D.16a－（2）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F分別為邊AB，BC的中點，連接CE，DF，交于點G.若CG＝λCD＋μCB（λ，μ∈R），則λμ＝.解析（1）CE＝AE－AC＝12AD－AC＝12AB+23BC－AC＝12AB＋13（AC－AB）－AC＝16（2）由題圖可設CG＝xCE（0＜x＜1），則CG＝x（CB＋BE）＝xCB+12CD＝x2CD＋xCB.因為CG＝λCD＋μCB，CD與CB不共線，所以λ＝x2，μ＝答案（1）B（2）1｜解題技法｜1.應用平面向量基本定理表示向量的實質是利用三角形法則或平行四邊形法則進行向量的加、減或數乘運算.2.用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決.提醒同一個向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個基底下的分解是唯一的.1.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝π2，AC＝2AB，∠BAC的角平分線交△ABC的外接圓于點D，設AB＝a，AC＝b，則向量AD＝ （A.a＋b B.12a＋C.a＋12b D.a＋2解析：C設圓的半徑為r，在Rt△ABC中，∠ABC＝π2，AC＝2AB，所以∠BAC＝π3，∠ACB＝π6，又∠BAC的角平分線交△ABC的外接圓于點D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝π6，則根據圓的性質得BD＝AB，又因為在Rt△ABC中，AB＝12AC＝r＝OD，所以四邊形ABDO為菱形，所以AD＝AB＋AO＝2.已知在△ABC中，點O滿足OA＋OB＋OC＝0，點P是OC上異于端點的任意一點，且OP＝mOA＋nOB，則m＋n的取值范圍是.

解析：依題意，設OP＝λOC（0＜λ＜1），由OA＋OB＋OC＝0，知OC＝－（OA＋OB），所以OP＝－λOA－λOB，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，0）.答案：（－2，0）平面向量的坐標運算【例2】（1）已知a＝（5，－2），b＝（－4，－3），若a－2b＋3c＝0，則c＝（）A.133,83C.133,43（2）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若CA＝λCE＋μDB（λ，μ∈R），則λ＋μ＝ （）A.65 B.C.2 D.8解析（1）∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－13（a－2b）.∵a－2b＝（5，－2）－（－8，－6）＝（13，4），∴c＝－13（a－2b）＝（2）建立如圖所示的平面直角坐標系，則D（0，0）.不妨設AB＝1，則CD＝AD＝2，∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），∴CA＝（－2，2），CE＝（－2，1），DB＝（1，2），∵CA＝λCE＋μDB，∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），∴-2λ+μ=-2,λ答案（1）D（2）B｜解題技法｜平面向量坐標運算的技巧（1）向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應先求向量的坐標；（2）解題過程中，常利用“向量相等，則其坐標相同”這一原則，通過列方程（組）來進行求解.1.向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），則λμ＝ （A.1 B.2C.3 D.4解析：D以向量a和b的交點為原點建立如圖所示的平面直角坐標系（設每個小正方形邊長為1），則O（0，0），A（1，－1），B（6，2），C（5，－1），∴a＝AO＝（－1，1），b＝OB＝（6，2），c＝BC＝（－1，－3），∵c＝λa＋μb，∴（－1，－3）＝λ（－1，1）＋μ（6，2），則-λ+6μ=-1,λ+22.在△ABC中，點P在BC上，且BP＝2PC，點Q是AC的中點，若PA＝（4，3），PQ＝（1，5），則AQ＝，BC＝.

解析：AQ＝PQ－PA＝（1，5）－（4，3）＝（－3，2），PC＝PA＋AC＝PA＋2AQ＝（4，3）＋2（－3，2）＝（－2，7），BC＝3PC＝3（－2，7）＝（－6，21）.答案：（－3，2）（－6，21）向量共線的坐標表示考向1利用向量共線求參數【例3】（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）.若c∥（2a＋b），則λ＝；

（2）已知向量OA＝（k，12），OB＝（4，5），OC＝（－k，10），且A，B，C三點共線，則k＝.

解析（1）因為2a＋b＝（4，2），c∥（2a＋b），所以4λ＝2，解得λ＝12（2）AB＝OB－OA＝（4－k，－7），AC＝OC－OA＝（－2k，－2）.因為A，B，C三點共線，所以AB，AC共線，所以－2×（4－k）＝－7×（－2k），解得k＝－23答案（1）12（2）－｜解題技法｜利用向量共線的坐標表示求參數的步驟（1）根據已知條件求出相關向量的坐標；（2）利用向量共線的坐標表示列出有關向量的方程或方程組；（3）根據方程或方程組求解得到參數的值.考向2利用向量共線求向量或點的坐標【例4】已知點A（4，0），B（4，4），C（2，6），O為坐標原點，則AC與OB的交點P的坐標為.

解析法一：由O，P，B三點共線，可設OP＝λOB＝（4λ，4λ），則AP＝OP－OA＝（4λ－4，4λ）.又AC＝OC－OA＝（－2，6），由AP與AC共線，得（4λ－4）×6－4λ×（－2）＝0，解得λ＝34，所以OP＝34OB＝（3，3），所以點P的坐標為（3法二：設點P（x，y），則OP＝（x，y），因為OB＝（4，4），且OP與OB共線，所以x4＝y(tǒng)4，即x＝y(tǒng).又AP＝（x－4，y），AC＝（－2，6），且AP與AC共線，所以（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點P的坐標為（3，答案（3，3）｜解題技法｜利用向量共線求向量或點的坐標的一般思路：求與一個已知向量a共線的向量時，可設所求向量為λa（λ∈R），然后結合其他條件列出關于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.求點的坐標時，可設要求點的坐標為（x，y），根據向量共線的條件列方程（組），求出x，y的值.1.已知向量e1＝（1，1），e2＝（0，1），若a＝e1＋λe2與b＝－（2e1－3e2）共線，則實數λ＝.

解析：由題意知a＝e1＋λe2＝（1，1＋λ），b＝－（2e1－3e2）＝（－2，1）.由于a∥b，所以1×1＋2（1＋λ）＝0，解得λ＝－32答案：－32.已知向量a＝（1，1），點A（3，0），點B為直線y＝2x上的一個動點，若AB∥a，則點B的坐標為.

解析：設B（x，2x），則AB＝（x－3，2x）.∵AB∥a，∴x－3＝2x，即x＝－3，∴B（－3，－6）.答案：（－3，－6）1.已知點A（8，－1），B（1，－3），若點C（2m－1，m＋2）在直線AB上，則實數m＝ （）A.－12B.13C.－13 D.12解析：C因為點C在直線AB上，所以AC與AB共線.又AB＝（－7，－2），AC＝（2m－9，m＋3），故2m-9-7＝m+3-2，2.設向量a＝（m，2），b＝（1，m＋1），且a與b的方向相反，則實數m的值為 （）A.－2 B.1C.－2或1 D.m的值不存在解析：A向量a＝（m，2），b＝（1，m＋1），因為a∥b，所以m（m＋1）＝2×1，解得m＝－2或m＝1.當m＝1時，a＝（1，2），b＝（1，2），a與b的方向相同，舍去；當m＝－2時，a＝（－2，2），b＝（1，－1），a與b的方向相反，符合題意.故選A.3.在△ABC中，D為BC的中點，E為AC邊上的點，且AE＝2EC，則DE＝ （）A.12AB－16ACBC.12AB－23AC D解析：B如圖，可知DE＝DC＋CE＝12BC－13AC＝12（AC－AB）－13AC4.已知向量a，b，c在正方形網格中的位置如圖所示，以{a，b}為基底，則 （）A.c＝－2a＋3b B.c＝－3a＋2bC.c＝3a－2b D.c＝2a－3b解析：C記網格中小正方形的邊長為1，如圖，以O為坐標原點，建立平面直角坐標系，則a＝AC＝（1，1），b＝CB＝（－2，3），c＝BD＝（7，－3），令c＝xa＋yb，則（7，－3）＝x（1，1）＋y（－2，3）＝（x－2y，x＋3y），所以x-2y=7,x+3y=-3,解得x5.已知OB是平行四邊形OABC的一條對角線，O為坐標原點.OA＝（2，4），OB＝（1，3），若點E滿足OC＝3EC，則點E的坐標為 （）A.-23,-2C.13,13解析：A易知OC＝OB－OA＝（－1，－1），則C（－1，－1），設E（x，y），則3EC＝3（－1－x，－1－y）＝（－3－3x，－3－3y），由OC＝3EC知-3-3x=-6.在△ABC中，D是直線AB上一點.若2BD＝CB＋λCA，記△ACB的面積為S1，△ACD的面積為S2，則S1S2＝ A.λ6 B.C.13 D.解析：D法一：易知BD＝CD－CB，又2BD＝CB＋λCA，所以2（CD－CB）＝CB＋λCA，得CD＝32CB＋λ2CA因為A，B，D三點共線，所以32＋λ2＝1，所以λ＝－1.由2BD＝CB－CA，得2BD＝AB，即AB＝23AD，如圖，可知△ACB和△ACD同高，所以S1法二：因為A，B，D三點共線，所以存在唯一非零實數μ，使得BD＝μAB易知AB＝CB－CA，所以BD＝μAB＝μCB－μCA又由已知得BD＝12CB＋λ2CA，所以μ＝12，－μ＝λ2，所以λ＝－1.則2BD＝CB－CA，可得2BD＝AB，AB＝23AD.又△ACB和△ACD同高，所以S17.（多選）已知O為坐標原點，A（2，－1），B（1，2），則 （）A.與AB同方向的單位向量為-B.若AP＝2PB，則點P的坐標為5C.若a＝（1，－3），則a∥ABD.若C（1，－3），則四邊形OBAC為平行四邊形解析：ACD因為AB＝（－1，3），｜AB｜＝10，所以與AB同方向的單位向量為-110,310＝-1010,31010，選項A正確；設P（x，y），則（x－2，y＋1）＝2（1－x，2－y），所以x-2=2(1-x),y+1=2(2-y),解得x=43,y=1,所以P43,1，選項B錯誤；因為a＝（1，－3），AB＝（－1，3），AB＝－a，所以a∥AB，選項C正確；因為OB＝（1，2），CA＝（1，2），所以OB8.（多選）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F分別是AB，CD的中點，AC與BD交于點M，設AB＝a，AD＝b，則下列結論正確的是 （）A.AC＝12a＋B.BC＝－12a＋C.BM＝－13a＋2D.EF＝－14a＋解析：ABDAC＝AD＋DC＝AD＋12AB＝12a＋b，故A正確；BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD＋12AB＝－12a＋b，故B正確；BM＝BA＋AM＝－AB＋23AC＝－23a＋23b，故C錯誤；EF＝EA＋AD＋DF＝－12AB＋AD9.（多選）如圖所示，點A，B，C是圓O上的三點，線段OC與線段AB交于圓內一點P，若AP＝λAB，OC＝μOA＋3μOB，則 （）A.P為線段OC的中點時，μ＝1B.P為線段OC的中點時，μ＝1C.無論μ取何值，恒有λ＝3D.存在μ∈R，λ＝1解析：ACOP＝OA＋AP＝OA＋λAB＝OA＋λ（OB－OA）＝（1－λ）OA＋λOB，因為OP與OC共線，所以1-λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C正確，D錯誤；當P為線段OC中點時，則OP＝12OC＝12μOA＋12×3μOB，則1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝1210.已知向量a＝（1，3），b＝（－2，k），且（a＋2b）∥（3a－b），則實數k＝.

解析：a＋2b＝（－3，3＋2k），3a－b＝（5，9－k），由題意可得，－3（9－k）＝5（3＋2k），解得k＝－6.答案：－611.如圖，矩形ABCD的對角線相交于點O，E為AO的中點，若DE＝λAB＋μAD（λ，μ為實數），則λ2＋μ2＝.

解析：DE＝12DA＋12DO＝12DA＋14DB＝12DA＋14（DA＋AB）＝14AB－34AD，所以λ＝答案：512.如圖①，蜜蜂蜂房是由嚴格的正六棱柱構成的，它的一端是平整的六邊形開口.六邊形開口可記為圖②中的正六邊形ABCDEF，其中O為正六邊形ABCDEF的中心，設AB＝a，AF＝b，若BM＝MC，EF＝3EN，則MN＝.（用a，b表示）

解析：因為BM＝MC，EF＝3EN，由正六邊形的性質可知AB＝FO＝OC，AF＝OE＝BO，所以OM＝12（OB＋OC），ON＝OF＋FN＝OF＋23FE＝OF＋23（OE－OF）＝23OE＋13OF，所以MN＝MO＋ON＝－12（OB＋OC）＋23OE＋13OF＝－12（－AF＋AB）＋23AF＋13（－AB）＝1答案：－56a＋713.（多選）如圖，B是AC的中點，BE＝2OB，P是平行四邊形BCDE內（含邊界）的一點，且OP＝xOA＋yOB（x，y∈R），則下列結論中正確的是 （）A.當x＝0時，y∈[2，3]B.當P是線段CE的中點時，x＝－12，y＝C.若x＋y為定值1，則在平面直角坐標系中，點P的軌跡是一條線段D.當P在C點時，x＝1，y＝2解析：BC當OP＝y(tǒng)OB時，點P在線段BE上，故1≤y≤3，故A錯誤；當P是線段CE的中點時，OP＝OE＋EP＝3OB＋12（EB＋BC）＝3OB＋12（－2OB＋AB）＝3OB＋12（－2OB＋OB－OA）＝－12OA＋52OB，故B正確；當x＋y為定值1時，A，B，P三點共線，又P是平行四邊形BCDE內（含邊界）的一點，故P的軌跡是一條線段，故C正確；因為OB＝12（OC＋OA），所以OC＝2OB－OA，則OP＝－OA＋2OB，所以x＝－1，y＝2，14.菱形ABCD的邊長為23，中心為O，∠ABC＝π3，M為菱形ABCD的內切圓上任意一點，且BM＝xBA＋yBO，則2x＋y的最大值為.解析：如圖，以O為坐標原點，OD，OA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標系，設內切圓與邊AD的切點為E，連接OE.由AB＝23，∠ABC＝π3，易得BO＝OD＝3，AO＝OC＝3，所以內切圓半徑r＝OE＝OA×ODAD＝3×323＝32，O（0，0），A（0，3），B（－3，0）.設M32cosθ,32sinθ，θ∈[0，2π），故BA＝（3，3），BO＝（3，0），BM＝32cosθ+3,32sinθ.因為BM＝xBA＋yBO，所以32cosθ+3=3x+3y,32sinθ=3x,答案：215.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4）.設AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.（1）求3a＋b－3c；（2）求滿足a＝mb＋nc的實數m，n；（3）求M，N的坐標及向量MN的坐標.解：由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）.（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）.（2）法一：∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n），∴-6m法二：∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，又∵a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，∴m（3）設O為坐標原點，∵CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝（3，24）＋（－3，－4）＝（0，20）.∴M（0，20）.又∵CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝（12，6）＋（－3，－4）＝（9，2），∴N（9，2），∴MN＝（9，－18）.16.如圖，在△ABC中，AM＝34AB（1）求△ABM與△ABC的面積之比；（2）若N為AB中點，AM與CN交于點P，且AP＝xAB＋yAC（x，y∈R），求x＋y的值.解：（1）在△ABC中，由AM＝34AB＋得4AM－3AB－AC＝0，即3（AM－AB）＝AC－AM，即3BM＝MC，即點M是線段BC上的靠近B的四等分點，∴△ABM與△ABC的面積之比為14（2）∵AM＝34AB＋14AC，AP＝xAB＋yAC（x，y∈R），AP∥AM，∴設AP＝λAM＝3λ4AB＋λ4∵N，P，C三點共線，∴3λ2＋λ4解得λ＝47，x＝3λ4＝37，y＝14λ＝17，故第四節(jié)平面向量的數量積及應用1.理解平面向量數量積的概念及其物理意義，會計算平面向量的數量積.2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意義.3.會用數量積判斷兩個平面向量的垂直關系.4.能用坐標表示平面向量的數量積、平面向量垂直的條件，會表示兩個平面向量的夾角.5.會用向量方法解決簡單的平面幾何問題、力學問題以及其他實際問題，體會向量在解決數學和實際問題中的作用.1.向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量a，b，如圖所示，O是平面上的任意一點，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a與b的夾角，記作<a，b>；（2）范圍：夾角θ的范圍是[0，π].當θ＝0時，兩向量a，b共線且同向；當θ＝π2時，兩向量a，b相互垂直，記作a⊥b；當θ＝π時，兩向量a，b共線但反向提醒只有兩個向量的起點重合時所對應的角才是兩向量的夾角.2.平面向量的數量積（1）定義：已知兩個非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數量｜a｜｜b｜cosθ叫做向量a與b的數量積（或內積），記作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜cosθ.

規(guī)定：零向量與任一向量的數量積為0.（2）投影向量：如圖，在平面內任取一點O，作OM＝a，ON＝b，過點M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量a在向量b上的投影向量，記為OM1＝（3）運算律①交換律：a·b＝b·a；②數乘結合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒（1）乘法結合律，（a·b）c≠a（b·c）（這是由于（a·b）·c表示一個與c共線的向量，a·（b·c）表示一個與a共線的向量，而c與a不一定共線）；（2）乘法消去律，a·b＝a·c?/b＝c（如圖，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此時a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥（b－c））.3.平面向量數量積的有關結論已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ.#幾何表示#坐標表示數量積a·b＝｜a｜｜b｜cosθa·b＝x1x2＋y1y2模｜a｜＝a｜a｜＝x夾角cosθ＝acosθ＝xa⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0a∥b的充要條件a＝λb（λ∈R）x1y2－x2y1＝0｜a·b｜與｜a｜｜b｜的關系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（當且僅當a∥b時等號成立）｜x1x2＋y1y2｜≤(提醒（1）向量平行與垂直的坐標公式不要記混；（2）a⊥b?a·b＝0是對非零向量而言的，若a＝0，雖然有a·b＝0，但不能說a⊥b.1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）兩個向量的數量積是一個實數，向量的數乘運算的運算結果是向量. （）（2）向量a在向量b上的投影向量是一個向量，而向量a在向量b上的投影是一個數量. （）（3）由a·b＝0可得a＝0或b＝0. （）（4）兩個向量夾角的取值范圍是0,π2. 答案：（1）√（2）√（3）×（4）×2.（2022·全國乙卷）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜＝3，｜a－2b｜＝3，則a·b＝ （）A.－2B.－1C.1 D.2解析：C由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又｜a｜＝1，｜b｜＝3，所以a·b＝1，故選C.3.（多選）已知向量a＋b＝（1，1），a－b＝（－3，1），c＝（1，1），設a，b的夾角為θ，則 （）A.｜a｜＝｜b｜ B.a⊥cC.b∥c D.θ＝135°解析：BD由a＋b＝（1，1），a－b＝（－3，1），得a＝（－1，1），b＝（2，0），則｜a｜＝2，｜b｜＝2，故A不正確；a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正確；不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正確；cosθ＝a·b|a|·|b|＝-22×2＝－22，所以θ＝4.已知向量a，b滿足3｜a｜＝2｜b｜＝6，且（a－2b）⊥（2a＋b），則a，b夾角的余弦值為.

解析：設a，b的夾角為θ，依題意，（a－2b）·（2a＋b）＝0，則2a2－3a·b－2b2＝0，故2×4－3×2×3cosθ－2×32＝0，則cosθ＝－59答案：－55.已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a上的投影向量的模為.

解析：由數量積的定義知，向量b在向量a上的投影向量的模為｜｜b｜cosθ｜＝｜4×cos120°｜＝2.答案：21.平面向量數量積運算的常用公式（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.2.有關向量夾角的兩個結論（1）兩個向量a與b的夾角為銳角，則有a·b＞0，反之不成立（因為夾角為0時不成立）；（2）兩個向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b＜0，反之不成立（因為夾角為π時不成立）.1.已知a，b為非零向量，則“a·b＞0”是“a與b的夾角為銳角”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：B由結論2可得選B.2.若非零向量a，b滿足｜a｜＝2｜b｜＝｜a＋2b｜，則a，b的夾角為.

解析：因為｜a＋2b｜2＝（a＋2b）2，由結論1得｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝｜a｜2＋4｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＋4｜b｜2＝8｜b｜2＋8｜b｜2cos＜a，b＞＝4｜b｜2，解得cos＜a，b＞＝－12，所以a，b的夾角為2π答案：2π第一課時平面向量的數量積平面向量數量積的基本運算1.已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，則AB·BC＝（）A.－3B.－2C.2 D.3解析：C因為BC＝AC－AB＝（1，t－3），所以｜BC｜＝12+(t-3)2＝1，解得t＝3，所以BC＝（1，0），所以AB·BC＝2×2.（2022·全國甲卷）設向量a，b的夾角的余弦值為13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，則（2a＋b）·b＝.解析：（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜·｜b｜·cos＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×13＋32＝11答案：113.在△ABC中，C＝π2，AC＝BC＝2，M為邊AC的中點，若點P在邊AB上運動（點P可與A，B重合），則MP·CP的最小值為.解析：法一：如圖，以C為坐標原點，建立平面直角坐標系，則C（0，0），A（0，2），B（2，0），M（0，1），依題意可設P（x，2－x），0≤x≤2，則MP＝（x，1－x），CP＝（x，2－x），所以MP·CP＝（x，1－x）·（x，2－x）＝2x2－3x＋2＝2x-342＋78≥78.故法二：取MC的中點為Q，連接PQ，則｜QC｜＝12，所以MP·CP＝PM·PC＝PQ2－QC2＝PQ2－14≥3222－14＝答案：74.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，則AB·AD＝.

解析：取{AB，AD}為平面向量的一組基底.在平行四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，∵CP＝3PD，∴DP＝14AB，CP＝34CD＝－34AB，∴AP＝AD＋DP＝AD＋14AB，BP＝BC＋CP＝AD－34AB，∵AP·BP＝2，∴AD+14AB·AD-34AB＝2，∴｜AD｜2－12AD·AB－316答案：22｜練后悟通｜求非零向量a，b的數量積的3種方法（1）定義法：已知或可求兩個向量的模和夾角；（2）基底法：直接利用定義法求數量積不可行時，可選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數量積的兩個向量分別表示出來，進而根據數量積的運算律和定義求解；（3）坐標法：①已知或可求兩個向量的坐標；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標系，使用坐標法求數量積.平面向量數量積的性質考向1平面向量的?！纠?】（1）已知向量a，b滿足｜a｜＝6，｜b｜＝4，且a與b的夾角為60°，則｜a＋b｜＝，｜a－3b｜＝；

（2）在平面直角坐標系xOy中，若A（1，0），B（3，4），OC＝xOA＋yOB，x＋y＝6，則｜AC｜的最小值為.

解析（1）因為｜a｜＝6，｜b｜＝4，a與b的夾角為60°，所以a·b＝｜a｜｜b｜cos＜a，b＞＝6×4×12＝12，（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，（a－3b）2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108，所以｜a＋b｜＝219，｜a－3b｜＝63（2）由題意得OA＝（1，0），OB＝（3，4），由OC＝xOA＋yOB，得OC＝（x＋3y，4y），所以AC＝OC－OA＝（x＋3y－1，4y），又x＋y＝6，所以AC＝（5＋2y，4y），則｜AC｜＝(5+2y)2+(4y)2＝20y2+20y+25＝25y+答案（1）21963（2）25｜解題技法｜求平面向量的模的兩種方法考向2平面向量的夾角【例2】（1）（2022·新高考Ⅱ卷）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，則t＝ （）A.－6 B.－5C.5 D.6（2）（2020·全國Ⅲ卷）已知向量a，b滿足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，則cos＜a，a＋b＞＝ （）A.－3135 B.－C.1735 D.解析（1）由題意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因為＜a，c＞＝＜b，c＞，所以cos<a，c>＝cos<b，c>，即a·c|a||c|＝b·c|b||c|，即（2）由題意，得a·（a＋b）＝a2＋a·b＝25－6＝19，｜a＋b｜＝a2+2a·b+b2＝25-12+36＝7，所以cos＜a，a＋b答案（1）C（2）D｜解題技法｜求平面向量的夾角的方法考向3平面向量的垂直【例3】（1）（2020·全國Ⅱ卷）已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是 （）A.a＋2b B.2a＋bC.a－2b D.2a－b（2）已知向量AB與AC的夾角為120°，且｜AB｜＝3，｜AC｜＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，則實數λ＝.

解析（1）法一：由題意，得a·b＝｜a｜·｜b｜cos60°＝12.對于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合題意；對于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合題意；對于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合題意；對于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）⊥法二：不妨設a＝12,32，b＝（1，0），則a＋2b＝52,32，2a＋b＝（2，3），a－2b＝-32,32，2a－b＝（0，3），易知，只有（2a－b）·b＝0，（2）因為AP⊥BC，所以AP·BC＝0.又AP＝λAB＋AC，BC＝AC－AB，所以（λAB＋AC）·（AC－AB）＝0，即（λ－1）AC·AB－λAB2＋AC2＝0，所以（λ－1）｜AC｜｜AB｜cos120°－9λ＋4＝0.所以（λ－1）×3×2×-12－9λ＋4＝0.解得答案（1）D（2）7｜解題技法｜有關平面向量垂直的兩類題型1.已知非零向量a，b滿足｜a｜＝2｜b｜，且（a－b）⊥b，則a與b的夾角為 （）A.π6 B.C.2π3 D.解析：B設a與b的夾角為α，∵（a－b）⊥b，∴（a－b）·b＝0，∴a·b＝b2，∴｜a｜·｜b｜cosα＝｜b｜2，又｜a｜＝2｜b｜，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π2.已知｜AB｜＝3，｜BC｜＝2，｜AB－3BC｜＝6，則｜AB＋CB｜＝ （）A.4 B.10C.10 D.16解析：B因為｜AB－3BC｜＝6，所以｜AB－3BC｜2＝36，則｜AB｜2－6AB·BC＋9｜BC｜2＝36，又｜AB｜＝3，｜BC｜＝2，所以9－6AB·BC＋36＝36，即AB·BC＝32.因為｜AB＋CB｜＝｜AB－BC｜，所以｜AB＋CB｜2＝｜AB－BC｜2＝AB2－2AB·BC＋BC2＝9－2×32＋4＝10，所以｜AB＋CB｜＝103.已知平面向量a，b，c均為單位向量，且｜a－b｜＝1，則（a－b