高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)第六章　復(fù)數(shù)與平面向量講義及試題

【標(biāo)題】第六章復(fù)數(shù)與平面向量第一節(jié)復(fù)數(shù)1.通過(guò)方程的解，認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù).2.理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，理解兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的含義.3.掌握復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的四則運(yùn)算，了解復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的幾何意義.1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念（1）復(fù)數(shù)的概念：形如a＋bi（a，b∈R）的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，a，b分別是它的實(shí)部和虛部.當(dāng)且僅當(dāng)b＝0時(shí)，a＋bi為實(shí)數(shù)；當(dāng)b≠0時(shí)，a＋bi為虛數(shù)；當(dāng)a＝0且b≠0時(shí)，a＋bi為純虛數(shù)；（2）復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d（a，b，c，d∈R）；（3）共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d（a，b，c，d∈R）；（4）復(fù)數(shù)的模：向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）的?；蚪^對(duì)值，記作｜z｜或｜a＋bi｜，即｜z｜＝｜a＋bi｜＝a22.復(fù)數(shù)的幾何意義（1）復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z（a，b）；（2）復(fù)數(shù)z＝a＋bi平面向量OZ提醒復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（a，b），而不是（a，bi）.3.復(fù)數(shù)的運(yùn)算（1）復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di，a，b，c，d∈R.（2）復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律：設(shè)z1，z2，z3∈C，則復(fù)數(shù)加法滿足以下運(yùn)算律：①交換律：z1＋z2＝z2＋z1；②結(jié)合律：（z1＋z2）＋z3＝z1＋（z2＋z3）.（3）復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律：設(shè)z1，z2，z3∈C，則復(fù)數(shù)乘法滿足以下運(yùn)算律：①交換律：z1z2＝z2z1；②結(jié)合律：（z1z2）z3＝z1（z2z3）；③乘法對(duì)加法的分配律：z1（z2＋z3）＝z1z2＋z1z3.1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）若a∈C，則a2≥0. （）（2）已知z＝a＋bi（a，b∈R），當(dāng)a＝0時(shí)，復(fù)數(shù)z為純虛數(shù). （）（3）復(fù)數(shù)z＝a＋bi（a，b∈R）的虛部為bi. （）（4）方程x2＋x＋1＝0沒(méi)有解. （）答案：（1）×（2）×（3）×（4）×2.（2022·新高考Ⅱ卷）（2＋2i）（1－2i）＝ （）A.－2＋4iB.－2－4iC.6＋2i D.6－2i解析：D（2＋2i）（1－2i）＝2－4i＋2i＋4＝6－2i，故選D.3.在復(fù)平面內(nèi)，向量AB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是2＋i，向量CB對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是－1－3i，則向量CA對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是（）A.1－2i B.－1＋2iC.3＋4i D.－3－4i解析：D∵CA＝CB＋BA＝CB－AB＝－1－3i－2－i＝－3－4i，故選D.4.若a＋bi（a，b∈R）是1-i1+i的共軛復(fù)數(shù)，則a＋b＝解析：由1-i1+i＝(1-i)(1-i)(1+i)(1-i)＝－i，得a＋bi＝答案：15.已知（a－i）（1－2i）＝－3＋bi，a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a＋b＝；若復(fù)數(shù)z＝a＋bi，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第象限.

解析：由（a－i）（1－2i）＝－3＋bi，得a－2－（1＋2a）i＝－3＋bi，由復(fù)數(shù)相等的充要條件得a-2=-3,-(1+2a)=b,解得a=-1,b=1,所以a＋b＝答案：0二1.（1±i）2＝±2i，1+i1-i＝i，1-2.i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0（n∈N*）.3.z·z＝｜z｜2＝｜z｜2，｜z1·z2｜＝｜z1｜·｜z2｜，︱z1z2＝|z1||z2|，1.已知z＝1+i1-i，則｜z｜＝ A.22B.C.－2 D.1解析：D由結(jié)論3可知｜z｜＝|1+i||1-i|＝2.已知i為虛數(shù)單位，則1+i1-i2解析：由結(jié)論1可得1+i1-i＝i，又i2024＝i4×506，由結(jié)論2可知原式答案：1復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.（2022·全國(guó)乙卷）設(shè)（1＋2i）a＋b＝2i，其中a，b為實(shí)數(shù)，則 （）A.a＝1，b＝－1 B.a＝1，b＝1C.a＝－1，b＝1 D.a＝－1，b＝－1解析：A由題意知a＋b＋2ai＝2i，所以a+b=0,22.若復(fù)數(shù)z滿足（1＋2i）z＝4＋3i，則z＝ （）A.－2＋i B.－2－iC.2＋i D.2－i解析：C由題意，得z＝4+3i1+2i＝(4+3i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)＝10-3.復(fù)數(shù)z＝（3＋i）（1－4i），則復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部之和是.

解析：z＝（3＋i）（1－4i）＝7－11i，則z的實(shí)部為7，虛部為－11，故實(shí)部與虛部的和是7－11＝－4.答案：－44.如果復(fù)數(shù)m2+i1+mi是純虛數(shù)，那么實(shí)數(shù)解析：m2+i1+mi＝(m2+i)(1-mi)答案：0或－1｜練后悟通｜解決復(fù)數(shù)概念問(wèn)題的兩個(gè)注意事項(xiàng)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算1.（2022·全國(guó)甲卷）若z＝－1＋3i，則zzz-1＝A.－1＋3i B.－1－3iC.－13＋33i D.－13解析：Czzz-1＝-1+3i(-1+3i2.（2022·新高考Ⅰ卷）若i（1－z）＝1，則z＋z＝ （）A.－2 B.－1C.1 D.2解析：D因?yàn)閕（1－z）＝1，所以z＝1－1i＝1＋i，所以z＝1－i，所以z＋z＝（1＋i）＋（1－i）＝2.故選D3.（多選）若復(fù)數(shù)z滿足z-iz+1＝i，則A.z＝1＋iB.｜z｜＝2C.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限D(zhuǎn).z2為純虛數(shù)解析：BD設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R），則z-iz+1＝a+(b-1)i(a+1)+bi＝i，a＋（b－1）i＝i·[（a＋1）＋bi]＝－b＋（a＋1）i，所以a=-b,b-1=a+1,解得a=-1,b=1,所以z＝－1＋i，故z＝－1－i，A錯(cuò)誤；｜z｜＝24.若z＝i20231-i，則｜z｜＝；z解析：z＝i20231-i＝-i1-i＝1-i2，｜z｜＝122+-12答案：22｜練后悟通｜復(fù)數(shù)代數(shù)形式運(yùn)算的策略復(fù)數(shù)的幾何意義【例】（1）（2021·新高考Ⅱ卷）復(fù)數(shù)2-i1-3iA.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限（2）（2022·全國(guó)甲卷）若z＝1＋i，則｜iz＋3z｜＝ （）A.45 B.42C.25 D.22解析（1）2-i1-3i＝(2-i)(1+3i)（2）因?yàn)閦＝1＋i，所以iz＋3z＝i（1＋i）＋3（1－i）＝－1＋i＋3－3i＝2－2i，所以｜iz＋3z｜＝｜2－2i｜＝22+(-2)2＝答案（1）A（2）D｜解題技法｜對(duì)復(fù)數(shù)幾何意義的再理解（1）復(fù)數(shù)z、復(fù)平面上的點(diǎn)Z及向量OZ相互聯(lián)系，即z＝a＋bi（a，b∈R）?Z（a，b）?OZ；（2）由于復(fù)數(shù)、點(diǎn)、向量之間建立了一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，因此可把復(fù)數(shù)、向量與解析幾何聯(lián)系在一起，解題時(shí)可運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，使問(wèn)題的解決更加直觀.1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2i，4對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B.若C為線段AB上的點(diǎn)，且AC＝CB，則點(diǎn)C對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是 （）A.1＋2i B.2＋iC.2－i D.1－2i解析：C由題意知，A（0，2），B（4，0），∵AC＝CB，∴點(diǎn)C為線段AB的中點(diǎn)，∴C（2，1），點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝2＋i，∴z的共軛復(fù)數(shù)z＝2－i，故選C.2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足｜z－2i｜＝1，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值是 （）A.1 B.3C.5 D.3解析：D法一：由題意可知，在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為復(fù)平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)（0，2）的距離為1的點(diǎn)的集合，即以（0，2）為圓心，1為半徑的圓，圓心（0，2）到原點(diǎn)的距離為2，所以圓上任一點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的最大值為2＋1＝3，故選D.法二：設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi（x，y∈R），則x2＋（y－2）2＝1，所以－1≤y－2≤1，即1≤y≤3，所以x2＋y2＝4y－3≤9，所以x2+y2≤3，即在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的最大值是31.（2022·全國(guó)乙卷）已知z＝1－2i，且z＋az＋b＝0，其中a，b為實(shí)數(shù)，則 （）A.a＝1，b＝－2B.a＝－1，b＝2C.a＝1，b＝2 D.a＝－1，b＝－2解析：A由題意知z＝1＋2i，所以z＋az＋b＝1－2i＋a（1＋2i）＋b＝a＋b＋1＋（2a－2）i，又z＋az＋b＝0，所以a＋b＋1＋（2a－2）i＝0，所以a+b+1=0,22.（2022·北京高考）若復(fù)數(shù)z滿足i·z＝3－4i，則｜z｜＝ （）A.1 B.5C.7 D.25解析：B依題意可得z＝3-4ii＝(3-4i)ii2＝－4－3i，所以3.已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（2，－1）對(duì)應(yīng)，則復(fù)數(shù)1-2iz對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限解析：D由復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（2，－1）對(duì)應(yīng)，可知z＝2－i，所以1-2i2-i＝(1-2i)(2+i)(4.已知復(fù)數(shù)z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R），則“a＝2”是“z為純虛數(shù)”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：A因?yàn)閺?fù)數(shù)z＝（a2－4）＋（a－3）i（a∈R）為純虛數(shù)，等價(jià)于a2-4=0,a-3≠0,即a＝±2，由充分條件和必要條件的定義知“a＝2”是“a＝±2”的充分不必要條件，所以“a＝2”是“5.設(shè)z是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù).在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＋2與z＋2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，則1z＝ （A.－1＋i B.－12－C.12－i2 D.－1解析：B設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R），則z＋2＝（a＋2）＋bi，z＋2i＝a＋（2－b）i，因?yàn)閺?fù)數(shù)z＋2與z＋2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱，所以a＋2＋a＝0且b＝2－b，解得a＝－1，b＝1，則z＝－1＋i，1z＝1-1+i＝-1-i(-1+i)(-1-6.（多選）若復(fù)數(shù)z滿足（1＋i）·z＝5＋3i（其中i是虛數(shù)單位），則 （）A.z的虛部為－iB.z的模為17C.z的共軛復(fù)數(shù)為4－iD.z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限解析：BD由（1＋i）·z＝5＋3i得z＝5+3i1+i＝(5+3i)(1-i)(1+i)(1-i)＝8-2i2＝4－i，所以z的虛部為－1，A錯(cuò)誤；z的模為42+(-1)2＝17，B7.（多選）已知復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量為OZ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），OZ與實(shí)軸正向的夾角為120°，且復(fù)數(shù)z的模為2，則復(fù)數(shù)z可能為 （）A.1＋3i B.2C.－1－3i D.－1＋3i解析：CD設(shè)復(fù)數(shù)z＝x＋yi（x，y∈R），∵向量OZ與實(shí)軸正向的夾角為120°且復(fù)數(shù)z的模為2，∴當(dāng)z在第二象限時(shí)，x＝｜OZ｜c(diǎn)os120°＝2×-12＝－1，y＝｜OZ｜sin120°＝2×32＝3，∴z＝－1＋3i；當(dāng)z在第三象限時(shí)，x＝｜OZ｜c(diǎn)os（－120°）＝2×-12＝－1，y＝｜OZ｜sin（－120°）＝2×-32＝－3，∴y＝－1－38.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z＝3-i1+i，則｜iz｜＝解析：法一：iz＝(3-i)i1+i＝1+3i1+i＝(1+3i)(1-i)(1+i)(法二：｜iz｜＝｜i｜｜z｜＝1×︱3-i1+i︱＝|3-i|答案：59.若z＝（a－2）＋ai為純虛數(shù)，其中a∈R，則a+i71+解析：∵z為純虛數(shù)，∴a-2=0,a≠0,∴a＝2，∴a+i答案：－i10.設(shè)復(fù)數(shù)z＝1-i1+in＋1+i1-in，i為虛數(shù)單位，n解析：z＝in＋（－i）n，i為虛數(shù)單位，n∈N，當(dāng)n＝4k（k∈N）時(shí)，z＝2；當(dāng)n＝4k＋1（k∈N）時(shí)，z＝0；當(dāng)n＝4k＋2（k∈N）時(shí)，z＝－2；當(dāng)n＝4k＋3（k∈N）時(shí)，z＝0.答案：{－2，0，2}11.已知復(fù)數(shù)數(shù)列{an}滿足a1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，n∈N*，i為虛數(shù)單位，則a10＝ （）A.2i B.－1＋iC.1＋i D.－2i解析：B法一：因?yàn)閍1＝2i，an＋1＝ian＋i＋1，所以a2＝2i·i＋i＋1＝－1＋i，a3＝（－1＋i）i＋i＋1＝0，a4＝0·i＋i＋1＝1＋i，a5＝（1＋i）i＋i＋1＝2i，…，所以數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列，所以a10＝a4×2＋2＝a2＝－1＋i，故選B.法二：因?yàn)閍n＋1＝ian＋i＋1，所以an＋1－i＝i（an－i），又a1－i＝i≠0，所以數(shù)列{an－i}是以i為首項(xiàng)，i為公比的等比數(shù)列，所以an－i＝in，則an＝i＋in，所以a10＝i＋i10＝i＋i2＝－1＋i，故選B.12.（多選）已知兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足z1z2＝i，且z1＝1－i，則下面說(shuō)法正確的是 （）A.z2＝-1+i2 B.｜z1C.｜z1＋z2｜≥2 D.z1z解析：ABD因?yàn)閦1z2＝i，z1＝1－i，所以z2＝i1-i＝-1+i2，故A正確；｜z1｜＝12+(-1)2＝2，｜z2｜＝-122+122＝22，所以｜z1｜＝1|z2|，故B正確；因?yàn)椋鼁1＋z2｜＝︱1-i2︱＝22＜13.（多選）設(shè)z∈C，則下列說(shuō)法中正確的是 （）A.｜z｜2＝z·zB.｜z1＋z2｜＝｜z1｜＋｜z2｜C.若z12＋z22＝0，則z1＝D.若｜z｜＝1，則｜z－i｜≤2解析：ADA選項(xiàng)，設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R），則z＝a－bi，｜z｜2＝a2＋b2，z·z＝a2＋b2，所以｜z｜2＝z·z，故A正確；B選項(xiàng)，令z1＝1＋i，z2＝1－i，則｜z1＋z2｜＝2，｜z1｜＋｜z2｜＝22，不滿足｜z1＋z2｜＝｜z1｜＋｜z2｜，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若z1＝i，z2＝1，則z12＋z22＝0，但不滿足z1＝z2＝0，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，若｜z｜＝1，不妨令z＝cosθ＋sinθ·i，則｜z－i｜＝cos2θ+(sinθ-1)14.i是虛數(shù)單位，使（1＋i）n為實(shí)數(shù)的最小正整數(shù)n＝.

解析：∵（1＋i）2＝2i，（1＋i）3＝2i－2，（1＋i）4＝－4，∴使（1＋i）n為實(shí)數(shù)的最小正整數(shù)n是4.答案：415.復(fù)數(shù)z滿足｜z－1｜2－｜z＋1｜2＝4，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的軌跡方程是.

解析：設(shè)z＝a＋bi（a，b∈R），則（a－1）2＋b2－[（a＋1）2＋b2]＝4，整理，得a＝－1，∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的軌跡方程是x＝－1.答案：x＝－116.已知復(fù)數(shù)z1滿足（1＋i）z1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i是虛數(shù)單位，a∈R，若｜z1－z2｜＜｜z1｜，則a的取值范圍是.解析：∵z1＝-1+5i1+i＝2＋3i，z2＝a－2＋i，∴｜z1－z2｜＝｜4－a＋2i｜＝(4-a)2+4，｜z1｜＝｜2＋3i｜＝13，∴(4-a)2+4＜13，得a答案：（1，7）第二節(jié)平面向量的概念及線性運(yùn)算1.理解平面向量的意義、幾何表示及向量相等的含義.2.掌握向量的加法、減法運(yùn)算，并理解其幾何意義及向量共線的含義.3.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義.1.向量的有關(guān)概念（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度（模）；（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記作0；（3）單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度的向量；（4）平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共線向量，規(guī)定：零向量與任意向量平行；（5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量；（6）相反向量：長(zhǎng)度相等且方向相反的向量.提醒單位向量有無(wú)數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同；與向量a平行的單位向量有兩個(gè)，即向量a|a|和2.向量的線性運(yùn)算向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）減法求兩個(gè)向量差的運(yùn)算a－b＝a＋（－b）續(xù)表向量運(yùn)算定義法則（或幾何意義）運(yùn)算律數(shù)乘求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算｜λa｜＝｜λ｜｜a｜，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0λ（μa）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b）＝λa＋λb3.共線向量定理向量a（a≠0）與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa.提醒當(dāng)a≠0時(shí)，定理中的實(shí)數(shù)λ才唯一，否則不唯一.1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）｜a｜與｜b｜是否相等，與a，b的方向無(wú)關(guān). （）（2）若向量a與b同向，且｜a｜＞｜b｜，則a＞b.（）（3）若向量AB與向量CD是共線向量，則A，B，C，D四點(diǎn)在一條直線上. （）（4）起點(diǎn)不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量. （）答案：（1）√（2）×（3）×（4）√2.對(duì)于非零向量a，b，“a＋b＝0”是“a∥b”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：A若a＋b＝0，則a＝－b，所以a∥b.若a∥b，則a＋b＝0不一定成立.故前者是后者的充分不必要條件，故選A.3.已知下列各式：①AB＋BC＋CA；②OA＋OB＋BO＋CO；③AB－AC＋BD－CD.其中結(jié)果為零向量的個(gè)數(shù)為 （）A.0B.1C.2 D.3解析：C①中AB＋BC＋CA＝0；②中OA＋OB＋BO＋CO＝OA＋CO＝CA；③AB－AC＋BD－CD＝CB＋BC＝0.故①③結(jié)果為零向量，故選C.4.（2022·新高考Ⅰ卷）在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記CA＝m，CD＝n，則CB＝ （）A.3m－2nB.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n解析：B因?yàn)锽D＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3（CD－CA）＝－2CA＋3CD＝－2m＋3n.故選B.5.化簡(jiǎn)：（1）（AB＋MB）＋BO＋OM＝；

（2）NQ＋QP＋MN－MP＝.

解析：（1）原式＝AB＋BO＋OM＋MB＝AB.（2）原式＝NP＋PN＝0.答案：（1）AB（2）01.三點(diǎn)共線的等價(jià)轉(zhuǎn)化A，P，B三點(diǎn)共線?AP＝λAB（λ≠0）?OP＝（1－t）·OA＋tOB（O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，t∈R）?OP＝xOA＋yOB（O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，x∈R，y∈R，x＋y＝1）.2.向量的中線公式若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則OP＝12（OA＋OB1.已知O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，P為線段AB的中點(diǎn)，且OA－BO＋3OC＝0，那么 （）A.CO＝23OP B.COC.CO＝32OP D.CO解析：A由結(jié)論2可知OA＋OB＝2OP，又因OA－BO＋3OC＝0，則3CO＝2OP?CO＝23OP故選2.已知A，B，C，O四點(diǎn)滿足條件αOA＋βOB＝OC，若α＋β＝1，則能得到.

解析：由結(jié)論1可知A，B，C三點(diǎn)共線.答案：A，B，C三點(diǎn)共線平面向量的有關(guān)概念1.設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使a|a|＝b|bA.a＝－bB.a∥bC.a＝2b D.a∥b且｜a｜＝｜b｜解析：C因?yàn)橄蛄縜|a|的方向與向量a相同，向量b|b|的方向與向量b相同，且a|a|＝b|b|.所以向量a與向量b方向相同，故可排除選項(xiàng)A、B、D.當(dāng)a＝2b時(shí)，a|a|＝2.下列說(shuō)法正確的是 （）A.若｜a｜＝｜b｜，則a＝b或a＝－bB.若ma＝mb，m∈R，則a＝bC.若a∥b，b∥c，則a∥cD.若ma＝0，m∈R，則m＝0或a＝0解析：D對(duì)于A，當(dāng)a＝（1，1），b＝32,52時(shí)，滿足｜a｜＝｜b｜，但a≠±b，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)a＝（1，1），b＝（1，2），m＝0時(shí)，滿足ma＝mb＝0，但a≠b，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)a＝（1，1），b＝0，c＝（1，2）時(shí)，滿足a∥b，c∥b，但不滿足a∥c，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由ma＝0，得m＝0或a＝0，故D正確.綜上所述3.（多選）給出下列命題，其中正確的有 （）A.若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同B.若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且AB＝DC，則四邊形ABCD為平行四邊形C.a＝b的充要條件是｜a｜＝｜b｜且a∥bD.兩個(gè)相等向量的模相等解析：BDA錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等，但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；B正確，因?yàn)锳B＝DC，所以｜AB｜＝｜DC｜且AB∥DC，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；C錯(cuò)誤，當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使｜a｜＝｜b｜，也不能得到a＝b；D正確，兩個(gè)相等向量的模一定相等，故選B、D.｜練后悟通｜向量有關(guān)概念的關(guān)鍵點(diǎn)（1）向量定義的關(guān)鍵是方向和長(zhǎng)度；（2）非零共線向量的關(guān)鍵是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制；（3）相等向量的關(guān)鍵是方向相同且長(zhǎng)度相等；（4）單位向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度等于1個(gè)單位長(zhǎng)度；（5）零向量的關(guān)鍵是長(zhǎng)度是0，規(guī)定零向量與任意向量共線.平面向量的線性運(yùn)算考向1向量的線性運(yùn)算【例1】在△ABC中，BD＝13BC，若AB＝a，AC＝b，則AD＝ （A.23a＋13b B.13aC.13a－23b D.23a解析法一：如圖，過(guò)點(diǎn)D分別作AC，AB的平行線交AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則四邊形AEDF為平行四邊形，所以AD＝AE＋AF因?yàn)锽D＝13BC，所以AE＝23AB，AF＝13AC，所以AD＝23AB＋13AC法二：AD＝AB＋BD＝AB＋13BC＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC＝23法三：由BD＝13BC，得AD－AB＝13（AC－AB），所以AD＝AB＋13（AC－AB）＝23AB＋13AC＝2答案A｜解題技法｜平面向量的線性運(yùn)算的求解策略考向2根據(jù)向量線性運(yùn)算求參數(shù)【例2】在△ABC中，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)M使得BC＝2CM，連接AM，點(diǎn)N為AM上一點(diǎn)且AN＝13AM，若AN＝λAB＋μAC，則λ＋μ＝（A.13 B.C.－12 D.－解析由題意，知AN＝13AM＝13（AB＋BM）＝13AB＋13×32BC＝13AB＋12（AC－AB）＝－16AB＋12AC，又AN＝λAB＋μAC，所以答案A｜解題技法｜與向量的線性運(yùn)算有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，一般是構(gòu)造三角形，利用向量運(yùn)算的三角形法則進(jìn)行加法或減法運(yùn)算，然后通過(guò)相等向量或共線向量等條件列出關(guān)于參數(shù)的方程（組）求得相關(guān)參數(shù)的值.1.如圖，AB是圓O的一條直徑，C，D為半圓弧的兩個(gè)三等分點(diǎn)，則AB＝ （）A.AC－AD B.2AC－2ADC.AD－AC D.2AD－2AC解析：D連接CD（圖略），∵C，D是半圓弧的三等分點(diǎn)，∴CD∥AB，且AB＝2CD，因此AB＝2CD＝2（AD－AC）＝2AD－2AC.2.在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，若EB＝λAB＋μAC，則λ＋μ＝ （）A.1 B.3C.12 D.－解析：C因?yàn)镈為BC的中點(diǎn)，E為AD的中點(diǎn)，所以EB＝AB－AE＝AB－12AD＝AB－1212AB+12AC＝34AB－14AC，因?yàn)镋B＝λAB＋μAC，所以λ共線向量定理的應(yīng)用【例3】設(shè)兩向量a與b不共線.（1）若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3（a－b）.求證：A，B，D三點(diǎn)共線；（2）試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線.解（1）證明：∵AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3（a－b）.∴BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3（a－b）＝2a＋8b＋3a－3b＝5（a＋b）＝5AB，∴AB，BD共線.又它們有公共點(diǎn)B，∴A，B，D三點(diǎn)共線.（2）∵ka＋b與a＋kb共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ（a＋kb），即ka＋b＝λa＋λkb，∴（k－λ）a＝（λk－1）b.∵a，b是不共線的兩個(gè)向量，∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1.1.（變條件，變?cè)O(shè)問(wèn)）若將本例（1）中“BC＝2a＋8b”改為“BC＝a＋mb”，則m為何值時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線？解：BD＝BC＋CD＝（a＋mb）＋3（a－b）＝4a＋（m－3）b，若A，B，D三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)λ，使BD＝λAB，即4a＋（m－3）b＝λ（a＋b），∴4=λ,m-3=故當(dāng)m＝7時(shí)，A，B，D三點(diǎn)共線.2.（變條件）若將本例（2）中的“共線”改為“反向共線”，則k為何值？解：因?yàn)閗a＋b與a＋kb反向共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ（a＋kb）（λ＜0），所以k=λ,kλ=1又λ＜0，k＝λ，所以k＝－1.故當(dāng)k＝－1時(shí)，兩向量反向共線.｜解題技法｜提醒證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說(shuō)明共線的兩個(gè)向量有公共點(diǎn).1.已知向量a與b不共線，AB＝a＋mb，AC＝na＋b（m，n∈R），則AB與AC共線的條件是 （）A.m＋n＝0 B.m－n＝0C.mn＋1＝0 D.mn－1＝0解析：D由AB＝a＋mb，AC＝na＋b（m，n∈R）共線，得a＋mb＝λ（na＋b），即1=λn,m=λ,所以2.在四邊形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，CD＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是 （）A.矩形 B.平行四邊形C.梯形 D.以上都不對(duì)解析：C由已知，得AD＝AB＋BC＋CD＝－8a－2b＝2（－4a－b）＝2BC，故AD∥BC.又因?yàn)锳B與CD不平行，所以四邊形ABCD是梯形.1.如圖，設(shè)P，Q兩點(diǎn)把線段AB三等分，則下列向量表達(dá)式錯(cuò)誤的是 （）A.AP＝13ABB.AQC.BP＝－23AB D.AQ解析：D由數(shù)乘向量的定義可以得到A，B，C都是正確的，只有D錯(cuò)誤.2.已知a，b是兩個(gè)非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，則下列說(shuō)法正確的是 （）A.a＋b＝0B.a＝bC.a與b共線反向 D.存在正實(shí)數(shù)λ，使a＝λb解析：D因?yàn)閍，b是兩個(gè)非零向量，且｜a＋b｜＝｜a｜＋｜b｜，則a與b共線同向，故D正確.3.已知平面向量a，b不共線，AB＝4a＋6b，BC＝－a＋3b，CD＝a＋3b，則 （）A.A，B，D三點(diǎn)共線 B.A，B，C三點(diǎn)共線C.B，C，D三點(diǎn)共線 D.A，C，D三點(diǎn)共線解析：DBD＝BC＋CD＝6b，得不出AB＝λBD，∴AB，BD不共線，∴A，B，D三點(diǎn)不共線，A錯(cuò)誤；得不出AB＝λBC，∴AB，BC不共線，∴A，B，C三點(diǎn)不共線，B錯(cuò)誤；得不出BC＝λCD，∴BC，CD不共線，∴B，C，D三點(diǎn)不共線，C錯(cuò)誤；AC＝AB＋BC＝3a＋9b＝3CD，∴A，C，D三點(diǎn)共線，D正確.故選D.4.已知點(diǎn)O為△ABC的外接圓的圓心，且OA＋OB＋CO＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于 （）A.30° B.45°C.60° D.90°解析：A由OA＋OB＋CO＝0，得OA＋OB＝OC，又O為△ABC的外接圓的圓心，根據(jù)向量加法的幾何意義，四邊形OACB為菱形，且∠CAO＝60°，因此∠CAB＝30°.5.已知P是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足PA＋PB＋PC＝2AB，若S△ABC＝6，則△PAB的面積為（）A.2 B.3C.4 D.8解析：A∵PA＋PB＋PC＝2AB＝2（PB－PA），∴3PA＝PB－PC＝CB，∴PA∥CB，且兩向量方向相同，∴S△ABCS△PAB＝BCAP＝|CB||PA|＝3，又S△ABC6.在正六邊形ABCDEF中，對(duì)角線BD，CF相交于點(diǎn)P.若AP＝xAB＋yAF，則x＋y＝ （）A.2 B.5C.3 D.7解析：B如圖，記正六邊形ABCDEF的中心為點(diǎn)O，連接OB，OD，易證四邊形OBCD為菱形，且P恰為其中心，于是FP＝32FO＝32AB，因此AP＝AF＋FP＝32AB＋AF，因?yàn)锳P＝xAB＋yAF，所以x＝32且y＝1，7.（多選）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在線段DC上，且滿足CE＝2DE，則下列結(jié)論中正確的有 （）A.AB＝DCB.AD＋AB＝ACC.AB－AD＝BDD.AE＝AD＋1解析：ABD因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形，所以AB＝DC，故A正確；根據(jù)向量加法的平行四邊形法則，可得AB＋AD＝AC，故B正確；根據(jù)向量的減法法則可得AB－AD＝DB，故C錯(cuò)誤；由題意知，AE＝AD＋DE＝AD＋13DC＝AD＋13AB，故D正確.故選A、8.若AP＝12PB，AB＝（λ＋1）BP，則λ＝解析：由AP＝12PB可知，點(diǎn)P是線段AB上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，則AB＝－32BP，所以λ＋1＝－32，答案：－59.設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2b平行，則實(shí)數(shù)λ＝.

解析：∵向量a，b不平行，∴a＋2b≠0，又向量λa＋b與a＋2b平行，則存在唯一的實(shí)數(shù)μ，使λa＋b＝μ（a＋2b）成立，即λa＋b＝μa＋2μb，則λ=μ,1=2μ,解得答案：110.若｜AB｜＝｜AC｜＝｜AB－AC｜＝2，則｜AB＋AC｜＝.

解析：因?yàn)椋麬B｜＝｜AC｜＝｜AB－AC｜＝2，所以△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，所以｜AB＋AC｜為△ABC的邊BC上的高的2倍，所以｜AB＋AC｜＝23.答案：2311.我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示，在“趙爽弦圖”中，若BC＝a，BA＝b，BE＝3EF，則BF＝ （）A.1225a＋925b B.1625aC.45a＋35b D.35a解析：B由題得BF＝BC＋CF＝BC＋34EA＝BC＋34EB+BA＝BC＋34-34BF+BA，即BF＝BC＋34-34BF+BA12.（多選）設(shè)點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是 （）A.若AM＝12AB＋12AC，則點(diǎn)B.若AM＝2AB－AC，則點(diǎn)M在邊BC的延長(zhǎng)線上C.若AM＝－BM－CM，則點(diǎn)M是△ABC的重心D.若AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，則△MBC的面積是△ABC面積的解析：ACD若AM＝12AB＋12AC，則點(diǎn)M是邊BC的中點(diǎn)，故A正確；若AM＝2AB－AC，即有AM－AB＝AB－AC，即BM＝CB，則點(diǎn)M在邊CB的延長(zhǎng)線上，若AM＝－BM－CM，即AM＋BM＋CM＝0，則點(diǎn)M是△ABC的重心，故C正確；如圖，AM＝xAB＋yAC，且x＋y＝12，可得2AM＝2xAB＋2yAC，設(shè)AN＝2AM，則AN＝2xAB＋2yAC，2x＋2y＝1，可得B，N，C三點(diǎn)共線.又M為AN的中點(diǎn)，則△MBC的面積是△ABC面積的12，故D13.直線l上有不同的三點(diǎn)A，B，C，O是直線l外一點(diǎn)，對(duì)于向量OA＝（1－cosα）OB＋sinαOC（α是銳角）總成立，則α＝.

解析：因?yàn)橹本€l上有不同的三點(diǎn)A，B，C，所以存在實(shí)數(shù)λ，使得BA＝λBC，所以O(shè)A－OB＝λ（OC－OB），即OA＝（1－λ）OB＋λOC，所以1-λ=1-cosα,λ=sinα,所以sinα＝cos答案：45°14.在直角梯形ABCD中，A＝90°，B＝30°，AB＝23，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若AE＝AD＋μAB，則μ的取值范圍是.

解析：由已知得AD＝1，CD＝3，所以AB＝2DC.因?yàn)辄c(diǎn)E在線段CD上，所以DE＝λDC（0≤λ≤1）.因?yàn)锳E＝AD＋DE＝AD＋λDC＝AD＋λ2AB，又AE＝AD＋μAB，所以μ＝λ2.因?yàn)?≤λ≤1，所以0≤μ答案：015.如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O的直線分別交直線AB，AC于不同的兩點(diǎn)M，N，若AB＝mAM，AC＝nAN，則m＋n＝.

解析：作BG∥AC，則BG∥NC，|BG||AN|＝|BM||AM|.∵O是BC的中點(diǎn)，∴△NOC≌△GOB，∴｜BG｜＝｜NC｜，又∵｜AC｜＝n｜AN｜，∴｜NC｜＝（n－1）｜AN｜，∴|BG||AN|＝n－1.∵｜AB｜＝m｜AM｜，∴｜BM｜＝（1－m）｜AM｜，∴|BM||AM答案：2第三節(jié)平面向量基本定理及坐標(biāo)表示1.理解平面向量的基本定理及其意義.2.借助平面直角坐標(biāo)系，掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加、減運(yùn)算與數(shù)乘運(yùn)算.4.能用坐標(biāo)表示平面向量共線的條件.1.平面向量基本定理（1）定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2；（2）基底：若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.提醒（1）基底e1，e2必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底；（2）基底給定，同一向量的分解形式唯一.2.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算（1）向量的加法、減法、數(shù)乘及向量的模設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2），λa＝（λx1，λy1），｜a｜＝x1（2）向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；②設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則AB＝（x2－x1，y2－y1），｜AB｜＝(x提醒若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a＝b?x3.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.提醒（1）a∥b的充要條件不能表示為x1x2＝y(tǒng)1y2，因?yàn)閤2，y2有可能為0；（2）當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時(shí)，a∥b與x1x1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）設(shè)a，b是平面內(nèi)的一組基底，若實(shí)數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2. （）（2）若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），則a∥b的充要條件可以表示成x1x2＝y(tǒng)1y（3）平面向量不論經(jīng)過(guò)怎樣的平移變換之后其坐標(biāo)不變. （）答案：（1）√（2）×（3）√2.設(shè)O是平行四邊形ABCD的兩條對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，則給出下列向量組：①AD與AB；②DA與BC；③CA與DC；④OD與OB.其中可作為這個(gè)平行四邊形所在平面的一組基底的是 （）A.①②B.①③C.①④ D.③④解析：B平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量都可以作為基底，如圖，對(duì)于①，AD與AB不共線，可作為基底；對(duì)于②，DA與BC為共線向量，不可作為基底；對(duì)于③，CA與DC是兩個(gè)不共線的向量，可作為基底；對(duì)于④，OD與OB在同一條直線上，是共線向量，不可作為基底.3.已知點(diǎn)A（0，1），B（3，2），向量AC＝（－4，－3），則向量BC＝ （）A.（－7，－4） B.（7，4）C.（－1，4） D.（1，4）解析：A根據(jù)題意得AB＝（3，1），∴BC＝AC－AB＝（－4，－3）－（3，1）＝（－7，－4）.故選A.4.（2021·全國(guó)乙卷）已知向量a＝（2，5），b＝（λ，4），若a∥b，則λ＝.

解析：因?yàn)閍∥b，所以a＝kb，即（2，5）＝k（λ，4），得kλ=2,答案：81.若a與b不共線，λa＋μb＝0，則λ＝μ＝0.2.已知△ABC的頂點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），則△ABC的重心G的坐標(biāo)為x11.已知OA＝（5，－2），OB＝（－4，－3），且OP＋AP＋BP＝0，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則P點(diǎn)坐標(biāo)為 （）A.（－9，－1） B.1C.（1，－5） D.3解析：B因?yàn)镺A＝（5，－2），OB＝（－4，－3），且OP＋AP＋BP＝0，所以P是△OAB的重心，又A（5，－2），B（－4，－3），O（0，0），由結(jié)論2得P點(diǎn)坐標(biāo)為13,-532.（2023·周口模擬）給出以下說(shuō)法，其中正確的是 （）A.若b＝λa（λ∈R），則a∥bB.若a∥b，則存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λaC.若a，b是非零向量，λ，μ∈R，那么λa＋μb＝0?λ＝μ＝0D.平面內(nèi)任意兩個(gè)非零向量都可以作為表示平面內(nèi)任意一個(gè)向量的一組基底解析：AA項(xiàng)，由向量的數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，正確；B項(xiàng)，若a＝0，b≠0，有a∥b，但不存在實(shí)數(shù)λ，使b＝λa，錯(cuò)誤；C項(xiàng)，若a，b為相反向量，則a＋b＝0，此時(shí)λ＝μ∈R，錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由平面向量基本定理可知，作為基底的兩向量是不共線的非零向量，錯(cuò)誤.故選A.平面向量基本定理的應(yīng)用【例1】（1）如圖所示，在△ABC中，CB＝3CD，AD＝2AE，AB＝a，AC＝b，則CE＝（）A.16a－13b B.16aC.a－13b D.16a－（2）如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接CE，DF，交于點(diǎn)G.若CG＝λCD＋μCB（λ，μ∈R），則λμ＝.解析（1）CE＝AE－AC＝12AD－AC＝12AB+23BC－AC＝12AB＋13（AC－AB）－AC＝16（2）由題圖可設(shè)CG＝xCE（0＜x＜1），則CG＝x（CB＋BE）＝xCB+12CD＝x2CD＋xCB.因?yàn)镃G＝λCD＋μCB，CD與CB不共線，所以λ＝x2，μ＝答案（1）B（2）1｜解題技法｜1.應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用三角形法則或平行四邊形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.2.用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.提醒同一個(gè)向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解是唯一的.1.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝π2，AC＝2AB，∠BAC的角平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，設(shè)AB＝a，AC＝b，則向量AD＝ （A.a＋b B.12a＋C.a＋12b D.a＋2解析：C設(shè)圓的半徑為r，在Rt△ABC中，∠ABC＝π2，AC＝2AB，所以∠BAC＝π3，∠ACB＝π6，又∠BAC的角平分線交△ABC的外接圓于點(diǎn)D，所以∠ACB＝∠BAD＝∠CAD＝π6，則根據(jù)圓的性質(zhì)得BD＝AB，又因?yàn)樵赗t△ABC中，AB＝12AC＝r＝OD，所以四邊形ABDO為菱形，所以AD＝AB＋AO＝2.已知在△ABC中，點(diǎn)O滿足OA＋OB＋OC＝0，點(diǎn)P是OC上異于端點(diǎn)的任意一點(diǎn)，且OP＝mOA＋nOB，則m＋n的取值范圍是.

解析：依題意，設(shè)OP＝λOC（0＜λ＜1），由OA＋OB＋OC＝0，知OC＝－（OA＋OB），所以O(shè)P＝－λOA－λOB，由平面向量基本定理可知，m＋n＝－2λ，所以m＋n∈（－2，0）.答案：（－2，0）平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算【例2】（1）已知a＝（5，－2），b＝（－4，－3），若a－2b＋3c＝0，則c＝（）A.133,83C.133,43（2）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點(diǎn)，若CA＝λCE＋μDB（λ，μ∈R），則λ＋μ＝ （）A.65 B.C.2 D.8解析（1）∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－13（a－2b）.∵a－2b＝（5，－2）－（－8，－6）＝（13，4），∴c＝－13（a－2b）＝（2）建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則D（0，0）.不妨設(shè)AB＝1，則CD＝AD＝2，∴C（2，0），A（0，2），B（1，2），E（0，1），∴CA＝（－2，2），CE＝（－2，1），DB＝（1，2），∵CA＝λCE＋μDB，∴（－2，2）＝λ（－2，1）＋μ（1，2），∴-2λ+μ=-2,λ答案（1）D（2）B｜解題技法｜平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧（1）向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)；（2）解題過(guò)程中，常利用“向量相等，則其坐標(biāo)相同”這一原則，通過(guò)列方程（組）來(lái)進(jìn)行求解.1.向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若c＝λa＋μb（λ，μ∈R），則λμ＝ （A.1 B.2C.3 D.4解析：D以向量a和b的交點(diǎn)為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系（設(shè)每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1），則O（0，0），A（1，－1），B（6，2），C（5，－1），∴a＝AO＝（－1，1），b＝OB＝（6，2），c＝BC＝（－1，－3），∵c＝λa＋μb，∴（－1，－3）＝λ（－1，1）＋μ（6，2），則-λ+6μ=-1,λ+22.在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且BP＝2PC，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若PA＝（4，3），PQ＝（1，5），則AQ＝，BC＝.

解析：AQ＝PQ－PA＝（1，5）－（4，3）＝（－3，2），PC＝PA＋AC＝PA＋2AQ＝（4，3）＋2（－3，2）＝（－2，7），BC＝3PC＝3（－2，7）＝（－6，21）.答案：（－3，2）（－6，21）向量共線的坐標(biāo)表示考向1利用向量共線求參數(shù)【例3】（1）已知向量a＝（1，2），b＝（2，－2），c＝（1，λ）.若c∥（2a＋b），則λ＝；

（2）已知向量OA＝（k，12），OB＝（4，5），OC＝（－k，10），且A，B，C三點(diǎn)共線，則k＝.

解析（1）因?yàn)?a＋b＝（4，2），c∥（2a＋b），所以4λ＝2，解得λ＝12（2）AB＝OB－OA＝（4－k，－7），AC＝OC－OA＝（－2k，－2）.因?yàn)锳，B，C三點(diǎn)共線，所以AB，AC共線，所以－2×（4－k）＝－7×（－2k），解得k＝－23答案（1）12（2）－｜解題技法｜利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)的步驟（1）根據(jù)已知條件求出相關(guān)向量的坐標(biāo)；（2）利用向量共線的坐標(biāo)表示列出有關(guān)向量的方程或方程組；（3）根據(jù)方程或方程組求解得到參數(shù)的值.考向2利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)【例4】已知點(diǎn)A（4，0），B（4，4），C（2，6），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

解析法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)OP＝λOB＝（4λ，4λ），則AP＝OP－OA＝（4λ－4，4λ）.又AC＝OC－OA＝（－2，6），由AP與AC共線，得（4λ－4）×6－4λ×（－2）＝0，解得λ＝34，所以O(shè)P＝34OB＝（3，3），所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3法二：設(shè)點(diǎn)P（x，y），則OP＝（x，y），因?yàn)镺B＝（4，4），且OP與OB共線，所以x4＝y(tǒng)4，即x＝y(tǒng).又AP＝（x－4，y），AC＝（－2，6），且AP與AC共線，所以（x－4）×6－y×（－2）＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，答案（3，3）｜解題技法｜利用向量共線求向量或點(diǎn)的坐標(biāo)的一般思路：求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa（λ∈R），然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.求點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，可設(shè)要求點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），根據(jù)向量共線的條件列方程（組），求出x，y的值.1.已知向量e1＝（1，1），e2＝（0，1），若a＝e1＋λe2與b＝－（2e1－3e2）共線，則實(shí)數(shù)λ＝.

解析：由題意知a＝e1＋λe2＝（1，1＋λ），b＝－（2e1－3e2）＝（－2，1）.由于a∥b，所以1×1＋2（1＋λ）＝0，解得λ＝－32答案：－32.已知向量a＝（1，1），點(diǎn)A（3，0），點(diǎn)B為直線y＝2x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若AB∥a，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為.

解析：設(shè)B（x，2x），則AB＝（x－3，2x）.∵AB∥a，∴x－3＝2x，即x＝－3，∴B（－3，－6）.答案：（－3，－6）1.已知點(diǎn)A（8，－1），B（1，－3），若點(diǎn)C（2m－1，m＋2）在直線AB上，則實(shí)數(shù)m＝ （）A.－12B.13C.－13 D.12解析：C因?yàn)辄c(diǎn)C在直線AB上，所以AC與AB共線.又AB＝（－7，－2），AC＝（2m－9，m＋3），故2m-9-7＝m+3-2，2.設(shè)向量a＝（m，2），b＝（1，m＋1），且a與b的方向相反，則實(shí)數(shù)m的值為 （）A.－2 B.1C.－2或1 D.m的值不存在解析：A向量a＝（m，2），b＝（1，m＋1），因?yàn)閍∥b，所以m（m＋1）＝2×1，解得m＝－2或m＝1.當(dāng)m＝1時(shí)，a＝（1，2），b＝（1，2），a與b的方向相同，舍去；當(dāng)m＝－2時(shí)，a＝（－2，2），b＝（1，－1），a與b的方向相反，符合題意.故選A.3.在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E為AC邊上的點(diǎn)，且AE＝2EC，則DE＝ （）A.12AB－16ACBC.12AB－23AC D解析：B如圖，可知DE＝DC＋CE＝12BC－13AC＝12（AC－AB）－13AC4.已知向量a，b，c在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，以{a，b}為基底，則 （）A.c＝－2a＋3b B.c＝－3a＋2bC.c＝3a－2b D.c＝2a－3b解析：C記網(wǎng)格中小正方形的邊長(zhǎng)為1，如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則a＝AC＝（1，1），b＝CB＝（－2，3），c＝BD＝（7，－3），令c＝xa＋yb，則（7，－3）＝x（1，1）＋y（－2，3）＝（x－2y，x＋3y），所以x-2y=7,x+3y=-3,解得x5.已知OB是平行四邊形OABC的一條對(duì)角線，O為坐標(biāo)原點(diǎn).OA＝（2，4），OB＝（1，3），若點(diǎn)E滿足OC＝3EC，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為 （）A.-23,-2C.13,13解析：A易知OC＝OB－OA＝（－1，－1），則C（－1，－1），設(shè)E（x，y），則3EC＝3（－1－x，－1－y）＝（－3－3x，－3－3y），由OC＝3EC知-3-3x=-6.在△ABC中，D是直線AB上一點(diǎn).若2BD＝CB＋λCA，記△ACB的面積為S1，△ACD的面積為S2，則S1S2＝ A.λ6 B.C.13 D.解析：D法一：易知BD＝CD－CB，又2BD＝CB＋λCA，所以2（CD－CB）＝CB＋λCA，得CD＝32CB＋λ2CA因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以32＋λ2＝1，所以λ＝－1.由2BD＝CB－CA，得2BD＝AB，即AB＝23AD，如圖，可知△ACB和△ACD同高，所以S1法二：因?yàn)锳，B，D三點(diǎn)共線，所以存在唯一非零實(shí)數(shù)μ，使得BD＝μAB易知AB＝CB－CA，所以BD＝μAB＝μCB－μCA又由已知得BD＝12CB＋λ2CA，所以μ＝12，－μ＝λ2，所以λ＝－1.則2BD＝CB－CA，可得2BD＝AB，AB＝23AD.又△ACB和△ACD同高，所以S17.（多選）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，－1），B（1，2），則 （）A.與AB同方向的單位向量為-B.若AP＝2PB，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為5C.若a＝（1，－3），則a∥ABD.若C（1，－3），則四邊形OBAC為平行四邊形解析：ACD因?yàn)锳B＝（－1，3），｜AB｜＝10，所以與AB同方向的單位向量為-110,310＝-1010,31010，選項(xiàng)A正確；設(shè)P（x，y），則（x－2，y＋1）＝2（1－x，2－y），所以x-2=2(1-x),y+1=2(2-y),解得x=43,y=1,所以P43,1，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)閍＝（1，－3），AB＝（－1，3），AB＝－a，所以a∥AB，選項(xiàng)C正確；因?yàn)镺B＝（1，2），CA＝（1，2），所以O(shè)B8.（多選）在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，AC與BD交于點(diǎn)M，設(shè)AB＝a，AD＝b，則下列結(jié)論正確的是 （）A.AC＝12a＋B.BC＝－12a＋C.BM＝－13a＋2D.EF＝－14a＋解析：ABDAC＝AD＋DC＝AD＋12AB＝12a＋b，故A正確；BC＝BA＋AD＋DC＝－AB＋AD＋12AB＝－12a＋b，故B正確；BM＝BA＋AM＝－AB＋23AC＝－23a＋23b，故C錯(cuò)誤；EF＝EA＋AD＋DF＝－12AB＋AD9.（多選）如圖所示，點(diǎn)A，B，C是圓O上的三點(diǎn)，線段OC與線段AB交于圓內(nèi)一點(diǎn)P，若AP＝λAB，OC＝μO(píng)A＋3μO(píng)B，則 （）A.P為線段OC的中點(diǎn)時(shí)，μ＝1B.P為線段OC的中點(diǎn)時(shí)，μ＝1C.無(wú)論μ取何值，恒有λ＝3D.存在μ∈R，λ＝1解析：ACOP＝OA＋AP＝OA＋λAB＝OA＋λ（OB－OA）＝（1－λ）OA＋λOB，因?yàn)镺P與OC共線，所以1-λμ＝λ3μ，解得λ＝34，故C正確，D錯(cuò)誤；當(dāng)P為線段OC中點(diǎn)時(shí)，則OP＝12OC＝12μO(píng)A＋12×3μO(píng)B，則1－λ＝12μ，λ＝12×3μ，解得μ＝1210.已知向量a＝（1，3），b＝（－2，k），且（a＋2b）∥（3a－b），則實(shí)數(shù)k＝.

解析：a＋2b＝（－3，3＋2k），3a－b＝（5，9－k），由題意可得，－3（9－k）＝5（3＋2k），解得k＝－6.答案：－611.如圖，矩形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，E為AO的中點(diǎn)，若DE＝λAB＋μAD（λ，μ為實(shí)數(shù)），則λ2＋μ2＝.

解析：DE＝12DA＋12DO＝12DA＋14DB＝12DA＋14（DA＋AB）＝14AB－34AD，所以λ＝答案：512.如圖①，蜜蜂蜂房是由嚴(yán)格的正六棱柱構(gòu)成的，它的一端是平整的六邊形開(kāi)口.六邊形開(kāi)口可記為圖②中的正六邊形ABCDEF，其中O為正六邊形ABCDEF的中心，設(shè)AB＝a，AF＝b，若BM＝MC，EF＝3EN，則MN＝.（用a，b表示）

解析：因?yàn)锽M＝MC，EF＝3EN，由正六邊形的性質(zhì)可知AB＝FO＝OC，AF＝OE＝BO，所以O(shè)M＝12（OB＋OC），ON＝OF＋FN＝OF＋23FE＝OF＋23（OE－OF）＝23OE＋13OF，所以MN＝MO＋ON＝－12（OB＋OC）＋23OE＋13OF＝－12（－AF＋AB）＋23AF＋13（－AB）＝1答案：－56a＋713.（多選）如圖，B是AC的中點(diǎn)，BE＝2OB，P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，且OP＝xOA＋yOB（x，y∈R），則下列結(jié)論中正確的是 （）A.當(dāng)x＝0時(shí)，y∈[2，3]B.當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，x＝－12，y＝C.若x＋y為定值1，則在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P的軌跡是一條線段D.當(dāng)P在C點(diǎn)時(shí)，x＝1，y＝2解析：BC當(dāng)OP＝y(tǒng)OB時(shí)，點(diǎn)P在線段BE上，故1≤y≤3，故A錯(cuò)誤；當(dāng)P是線段CE的中點(diǎn)時(shí)，OP＝OE＋EP＝3OB＋12（EB＋BC）＝3OB＋12（－2OB＋AB）＝3OB＋12（－2OB＋OB－OA）＝－12OA＋52OB，故B正確；當(dāng)x＋y為定值1時(shí)，A，B，P三點(diǎn)共線，又P是平行四邊形BCDE內(nèi)（含邊界）的一點(diǎn)，故P的軌跡是一條線段，故C正確；因?yàn)镺B＝12（OC＋OA），所以O(shè)C＝2OB－OA，則OP＝－OA＋2OB，所以x＝－1，y＝2，14.菱形ABCD的邊長(zhǎng)為23，中心為O，∠ABC＝π3，M為菱形ABCD的內(nèi)切圓上任意一點(diǎn)，且BM＝xBA＋yBO，則2x＋y的最大值為.解析：如圖，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OA所在直線分別為x軸，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)內(nèi)切圓與邊AD的切點(diǎn)為E，連接OE.由AB＝23，∠ABC＝π3，易得BO＝OD＝3，AO＝OC＝3，所以內(nèi)切圓半徑r＝OE＝OA×ODAD＝3×323＝32，O（0，0），A（0，3），B（－3，0）.設(shè)M32cosθ,32sinθ，θ∈[0，2π），故BA＝（3，3），BO＝（3，0），BM＝32cosθ+3,32sinθ.因?yàn)锽M＝xBA＋yBO，所以32cosθ+3=3x+3y,32sinθ=3x,答案：215.已知A（－2，4），B（3，－1），C（－3，－4）.設(shè)AB＝a，BC＝b，CA＝c，且CM＝3c，CN＝－2b.（1）求3a＋b－3c；（2）求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n；（3）求M，N的坐標(biāo)及向量MN的坐標(biāo).解：由已知得a＝（5，－5），b＝（－6，－3），c＝（1，8）.（1）3a＋b－3c＝3（5，－5）＋（－6，－3）－3（1，8）＝（15－6－3，－15－3－24）＝（6，－42）.（2）法一：∵mb＋nc＝（－6m＋n，－3m＋8n），∴-6m法二：∵a＋b＋c＝0，∴a＝－b－c，又∵a＝mb＋nc，∴mb＋nc＝－b－c，∴m（3）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，∵CM＝OM－OC＝3c，∴OM＝3c＋OC＝（3，24）＋（－3，－4）＝（0，20）.∴M（0，20）.又∵CN＝ON－OC＝－2b，∴ON＝－2b＋OC＝（12，6）＋（－3，－4）＝（9，2），∴N（9，2），∴MN＝（9，－18）.16.如圖，在△ABC中，AM＝34AB（1）求△ABM與△ABC的面積之比；（2）若N為AB中點(diǎn)，AM與CN交于點(diǎn)P，且AP＝xAB＋yAC（x，y∈R），求x＋y的值.解：（1）在△ABC中，由AM＝34AB＋得4AM－3AB－AC＝0，即3（AM－AB）＝AC－AM，即3BM＝MC，即點(diǎn)M是線段BC上的靠近B的四等分點(diǎn)，∴△ABM與△ABC的面積之比為14（2）∵AM＝34AB＋14AC，AP＝xAB＋yAC（x，y∈R），AP∥AM，∴設(shè)AP＝λAM＝3λ4AB＋λ4∵N，P，C三點(diǎn)共線，∴3λ2＋λ4解得λ＝47，x＝3λ4＝37，y＝14λ＝17，故第四節(jié)平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用1.理解平面向量數(shù)量積的概念及其物理意義，會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積.2.了解平面向量投影的概念及投影向量的意義.3.會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系.4.能用坐標(biāo)表示平面向量的數(shù)量積、平面向量垂直的條件，會(huì)表示兩個(gè)平面向量的夾角.5.會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題以及其他實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)向量在解決數(shù)學(xué)和實(shí)際問(wèn)題中的作用.1.向量的夾角（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a，b，如圖所示，O是平面上的任意一點(diǎn)，作OA＝a，OB＝b，則∠AOB＝θ（0≤θ≤π）叫做向量a與b的夾角，記作<a，b>；（2）范圍：夾角θ的范圍是[0，π].當(dāng)θ＝0時(shí)，兩向量a，b共線且同向；當(dāng)θ＝π2時(shí)，兩向量a，b相互垂直，記作a⊥b；當(dāng)θ＝π時(shí)，兩向量a，b共線但反向提醒只有兩個(gè)向量的起點(diǎn)重合時(shí)所對(duì)應(yīng)的角才是兩向量的夾角.2.平面向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，我們把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫做向量a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記作a·b，即a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ.

規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0.（2）投影向量：如圖，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作OM＝a，ON＝b，過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為M1，則OM1就是向量a在向量b上的投影向量，記為OM1＝（3）運(yùn)算律①交換律：a·b＝b·a；②數(shù)乘結(jié)合律：（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）；③分配律：（a＋b）·c＝a·c＋b·c.提醒（1）乘法結(jié)合律，（a·b）c≠a（b·c）（這是由于（a·b）·c表示一個(gè)與c共線的向量，a·（b·c）表示一個(gè)與a共線的向量，而c與a不一定共線）；（2）乘法消去律，a·b＝a·c?/b＝c（如圖，向量b和c在向量a方向上的投影向量相等，此時(shí)a·b＝a·c，但b≠c，由a·b＝a·c，可推出a⊥（b－c））.3.平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論已知非零向量a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a與b的夾角為θ.#幾何表示#坐標(biāo)表示數(shù)量積a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθa·b＝x1x2＋y1y2模｜a｜＝a｜a｜＝x夾角cosθ＝acosθ＝xa⊥b的充要條件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0a∥b的充要條件a＝λb（λ∈R）x1y2－x2y1＝0｜a·b｜與｜a｜｜b｜的關(guān)系｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立）｜x1x2＋y1y2｜≤(提醒（1）向量平行與垂直的坐標(biāo)公式不要記混；（2）a⊥b?a·b＝0是對(duì)非零向量而言的，若a＝0，雖然有a·b＝0，但不能說(shuō)a⊥b.1.判斷正誤.（正確的畫(huà)“√”，錯(cuò)誤的畫(huà)“×”）（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，向量的數(shù)乘運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果是向量. （）（2）向量a在向量b上的投影向量是一個(gè)向量，而向量a在向量b上的投影是一個(gè)數(shù)量. （）（3）由a·b＝0可得a＝0或b＝0. （）（4）兩個(gè)向量夾角的取值范圍是0,π2. 答案：（1）√（2）√（3）×（4）×2.（2022·全國(guó)乙卷）已知向量a，b滿足｜a｜＝1，｜b｜＝3，｜a－2b｜＝3，則a·b＝ （）A.－2B.－1C.1 D.2解析：C由｜a－2b｜＝3，可得｜a－2b｜2＝a2－4a·b＋4b2＝9，又｜a｜＝1，｜b｜＝3，所以a·b＝1，故選C.3.（多選）已知向量a＋b＝（1，1），a－b＝（－3，1），c＝（1，1），設(shè)a，b的夾角為θ，則 （）A.｜a｜＝｜b｜ B.a⊥cC.b∥c D.θ＝135°解析：BD由a＋b＝（1，1），a－b＝（－3，1），得a＝（－1，1），b＝（2，0），則｜a｜＝2，｜b｜＝2，故A不正確；a·c＝－1×1＋1×1＝0，故B正確；不存在λ∈R，使b＝λc成立，故C不正確；cosθ＝a·b|a|·|b|＝-22×2＝－22，所以θ＝4.已知向量a，b滿足3｜a｜＝2｜b｜＝6，且（a－2b）⊥（2a＋b），則a，b夾角的余弦值為.

解析：設(shè)a，b的夾角為θ，依題意，（a－2b）·（2a＋b）＝0，則2a2－3a·b－2b2＝0，故2×4－3×2×3cosθ－2×32＝0，則cosθ＝－59答案：－55.已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，a與b的夾角θ＝120°，則向量b在向量a上的投影向量的模為.

解析：由數(shù)量積的定義知，向量b在向量a上的投影向量的模為｜｜b｜c(diǎn)osθ｜＝｜4×cos120°｜＝2.答案：21.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式（1）（a＋b）·（a－b）＝a2－b2；（2）（a±b）2＝a2±2a·b＋b2.2.有關(guān)向量夾角的兩個(gè)結(jié)論（1）兩個(gè)向量a與b的夾角為銳角，則有a·b＞0，反之不成立（因?yàn)閵A角為0時(shí)不成立）；（2）兩個(gè)向量a與b的夾角為鈍角，則有a·b＜0，反之不成立（因?yàn)閵A角為π時(shí)不成立）.1.已知a，b為非零向量，則“a·b＞0”是“a與b的夾角為銳角”的 （）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析：B由結(jié)論2可得選B.2.若非零向量a，b滿足｜a｜＝2｜b｜＝｜a＋2b｜，則a，b的夾角為.

解析：因?yàn)椋黙＋2b｜2＝（a＋2b）2，由結(jié)論1得｜a＋2b｜2＝a2＋4a·b＋4b2＝｜a｜2＋4｜a｜｜b｜c(diǎn)os＜a，b＞＋4｜b｜2＝8｜b｜2＋8｜b｜2cos＜a，b＞＝4｜b｜2，解得cos＜a，b＞＝－12，所以a，b的夾角為2π答案：2π第一課時(shí)平面向量的數(shù)量積平面向量數(shù)量積的基本運(yùn)算1.已知AB＝（2，3），AC＝（3，t），｜BC｜＝1，則AB·BC＝（）A.－3B.－2C.2 D.3解析：C因?yàn)锽C＝AC－AB＝（1，t－3），所以｜BC｜＝12+(t-3)2＝1，解得t＝3，所以BC＝（1，0），所以AB·BC＝2×2.（2022·全國(guó)甲卷）設(shè)向量a，b的夾角的余弦值為13，且｜a｜＝1，｜b｜＝3，則（2a＋b）·b＝.解析：（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝2｜a｜·｜b｜·cos＜a，b＞＋｜b｜2＝2×1×3×13＋32＝11答案：113.在△ABC中，C＝π2，AC＝BC＝2，M為邊AC的中點(diǎn)，若點(diǎn)P在邊AB上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P可與A，B重合），則MP·CP的最小值為.解析：法一：如圖，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則C（0，0），A（0，2），B（2，0），M（0，1），依題意可設(shè)P（x，2－x），0≤x≤2，則MP＝（x，1－x），CP＝（x，2－x），所以MP·CP＝（x，1－x）·（x，2－x）＝2x2－3x＋2＝2x-342＋78≥78.故法二：取MC的中點(diǎn)為Q，連接PQ，則｜QC｜＝12，所以MP·CP＝PM·PC＝PQ2－QC2＝PQ2－14≥3222－14＝答案：74.如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，CP＝3PD，AP·BP＝2，則AB·AD＝.

解析：取{AB，AD}為平面向量的一組基底.在平行四邊形ABCD中，AB＝DC，AD＝BC，∵CP＝3PD，∴DP＝14AB，CP＝34CD＝－34AB，∴AP＝AD＋DP＝AD＋14AB，BP＝BC＋CP＝AD－34AB，∵AP·BP＝2，∴AD+14AB·AD-34AB＝2，∴｜AD｜2－12AD·AB－316答案：22｜練后悟通｜求非零向量a，b的數(shù)量積的3種方法（1）定義法：已知或可求兩個(gè)向量的模和夾角；（2）基底法：直接利用定義法求數(shù)量積不可行時(shí)，可選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個(gè)向量分別表示出來(lái)，進(jìn)而根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律和定義求解；（3）坐標(biāo)法：①已知或可求兩個(gè)向量的坐標(biāo)；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標(biāo)系，使用坐標(biāo)法求數(shù)量積.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)考向1平面向量的?！纠?】（1）已知向量a，b滿足｜a｜＝6，｜b｜＝4，且a與b的夾角為60°，則｜a＋b｜＝，｜a－3b｜＝；

（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若A（1，0），B（3，4），OC＝xOA＋yOB，x＋y＝6，則｜AC｜的最小值為.

解析（1）因?yàn)椋黙｜＝6，｜b｜＝4，a與b的夾角為60°，所以a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os＜a，b＞＝6×4×12＝12，（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝36＋24＋16＝76，（a－3b）2＝a2－6a·b＋9b2＝36－72＋144＝108，所以｜a＋b｜＝219，｜a－3b｜＝63（2）由題意得OA＝（1，0），OB＝（3，4），由OC＝xOA＋yOB，得OC＝（x＋3y，4y），所以AC＝OC－OA＝（x＋3y－1，4y），又x＋y＝6，所以AC＝（5＋2y，4y），則｜AC｜＝(5+2y)2+(4y)2＝20y2+20y+25＝25y+答案（1）21963（2）25｜解題技法｜求平面向量的模的兩種方法考向2平面向量的夾角【例2】（1）（2022·新高考Ⅱ卷）已知向量a＝（3，4），b＝（1，0），c＝a＋tb，若＜a，c＞＝＜b，c＞，則t＝ （）A.－6 B.－5C.5 D.6（2）（2020·全國(guó)Ⅲ卷）已知向量a，b滿足｜a｜＝5，｜b｜＝6，a·b＝－6，則cos＜a，a＋b＞＝ （）A.－3135 B.－C.1735 D.解析（1）由題意，得c＝a＋tb＝（3＋t，4），所以a·c＝3×（3＋t）＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×（3＋t）＋0×4＝3＋t.因?yàn)椋糰，c＞＝＜b，c＞，所以cos<a，c>＝cos<b，c>，即a·c|a||c|＝b·c|b||c|，即（2）由題意，得a·（a＋b）＝a2＋a·b＝25－6＝19，｜a＋b｜＝a2+2a·b+b2＝25-12+36＝7，所以cos＜a，a＋b答案（1）C（2）D｜解題技法｜求平面向量的夾角的方法考向3平面向量的垂直【例3】（1）（2020·全國(guó)Ⅱ卷）已知單位向量a，b的夾角為60°，則在下列向量中，與b垂直的是 （）A.a＋2b B.2a＋bC.a－2b D.2a－b（2）已知向量AB與AC的夾角為120°，且｜AB｜＝3，｜AC｜＝2.若AP＝λAB＋AC，且AP⊥BC，則實(shí)數(shù)λ＝.

解析（1）法一：由題意，得a·b＝｜a｜·｜b｜c(diǎn)os60°＝12.對(duì)于A，（a＋2b）·b＝a·b＋2b2＝12＋2＝52≠0，故A不符合題意；對(duì)于B，（2a＋b）·b＝2a·b＋b2＝1＋1＝2≠0，故B不符合題意；對(duì)于C，（a－2b）·b＝a·b－2b2＝12－2＝－32≠0，故C不符合題意；對(duì)于D，（2a－b）·b＝2a·b－b2＝1－1＝0，所以（2a－b）⊥法二：不妨設(shè)a＝12,32，b＝（1，0），則a＋2b＝52,32，2a＋b＝（2，3），a－2b＝-32,32，2a－b＝（0，3），易知，只有（2a－b）·b＝0，（2）因?yàn)锳P⊥BC，所以AP·BC＝0.又AP＝λAB＋AC，BC＝AC－AB，所以（λAB＋AC）·（AC－AB）＝0，即（λ－1）AC·AB－λAB2＋AC2＝0，所以（λ－1）｜AC｜｜AB｜c(diǎn)os120°－9λ＋4＝0.所以（λ－1）×3×2×-12－9λ＋4＝0.解得答案（1）D（2）7｜解題技法｜有關(guān)平面向量垂直的兩類題型1.已知非零向量a，b滿足｜a｜＝2｜b｜，且（a－b）⊥b，則a與b的夾角為 （）A.π6 B.C.2π3 D.解析：B設(shè)a與b的夾角為α，∵（a－b）⊥b，∴（a－b）·b＝0，∴a·b＝b2，∴｜a｜·｜b｜c(diǎn)osα＝｜b｜2，又｜a｜＝2｜b｜，∴cosα＝12，∵α∈[0，π]，∴α＝π2.已知｜AB｜＝3，｜BC｜＝2，｜AB－3BC｜＝6，則｜AB＋CB｜＝ （）A.4 B.10C.10 D.16解析：B因?yàn)椋麬B－3BC｜＝6，所以｜AB－3BC｜2＝36，則｜AB｜2－6AB·BC＋9｜BC｜2＝36，又｜AB｜＝3，｜BC｜＝2，所以9－6AB·BC＋36＝36，即AB·BC＝32.因?yàn)椋麬B＋CB｜＝｜AB－BC｜，所以｜AB＋CB｜2＝｜AB－BC｜2＝AB2－2AB·BC＋BC2＝9－2×32＋4＝10，所以｜AB＋CB｜＝103.已知平面向量a，b，c均為單位向量，且｜a－b｜＝1，則（a－b