實(shí)變函數(shù)測(cè)試題3-參考答案

實(shí)變函數(shù)測(cè)試題3本套試題參考答案由李石玲提供，如有問題聯(lián)系151732587091、作出一個(gè)和的1-1對(duì)應(yīng)，并寫出這個(gè)對(duì)應(yīng)的解析表達(dá)式。解：，對(duì)任意，，顯然是到的1-1對(duì)應(yīng)。2、證明：的充要條件是對(duì)任意含有的鄰域（不一定以為中心）中，恒有異于的屬于(事實(shí)上，這樣的還有無窮多個(gè))。而的充要條件是有含有的鄰域（同樣，不一定以為中心）存在，使。證明：若，則對(duì)任一含的鄰域，必有以為中心的鄰域，所以存在且，即任何含有的領(lǐng)域中含有一點(diǎn)異于。反之，若任一含有鄰域有異于的點(diǎn),當(dāng)然對(duì)任一的鄰域中也有異于的點(diǎn)，所以。若，則有。反之，若，必有，則。證畢。3、可數(shù)點(diǎn)集的外測(cè)度為零。證明設(shè)對(duì)任意,存在開區(qū)間,使,且(在空間中取邊長(zhǎng)為的包方的開區(qū)間),所以，且.由的任意性得.證畢。4、設(shè)是直線上一有界集合，，則對(duì)任意小于的正數(shù)c，恒有的子集，使。證明：設(shè)，則。令，則是上的連續(xù)函數(shù)。事實(shí)上，當(dāng),且時(shí)，于是當(dāng)時(shí),,即是右連續(xù)的。類似的方法可證明時(shí)，，所以是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)。又因?yàn)橐虼藢?duì)任意正數(shù)c，，存在使。即。令。則。5、設(shè),求證存在型集,，使得且。證明：不妨設(shè)（否則令即可）。對(duì)任意的正整數(shù)，由外測(cè)度的定義，存在開集（一列開區(qū)間的并），使得且。令，則，于是，且型集。又對(duì)任何正整數(shù)有。即即得。證畢6、設(shè)是上的連續(xù)函數(shù)，為上的可測(cè)函數(shù)，則是可測(cè)函數(shù)。證明：因?yàn)槭沁B續(xù)函數(shù)，所以在上可測(cè)，且,為集，所以，所以，又因?yàn)榭蓽y(cè)，所以可測(cè)。即可測(cè)。所以可測(cè)。7、設(shè)為可測(cè)集，，都是上a.e.有限的可測(cè)函數(shù)，并且當(dāng)時(shí)，依測(cè)度收斂于。求證存在子列在上“基本上”一致收斂于。證明：不妨假設(shè)，需證存在一致收斂于,取k,使得。令則，而，若時(shí)，則，即在上一致收斂。8、設(shè)，，討論為何值時(shí)，為[0,1]上L可積函數(shù)或不可積函數(shù)。證明：當(dāng)時(shí)，，因此，當(dāng)時(shí)，非L可積。當(dāng)時(shí)，在中可積，，所以L可積。9、設(shè)為上可積函數(shù)列，于,且,為常數(shù)，則可積。證明：由法都（Faou）引理，故有可積，所以10、設(shè)在上定義函數(shù)如下：求。解:因?yàn)橛欣頂?shù)集是可數(shù)集，于是令。其次令易知在的測(cè)度，于是，即.從而a.e.于，