實變函數(shù)測試題3-參考答案

實變函數(shù)測試題3本套試題參考答案由李石玲提供，如有問題聯(lián)系151732587091、作出一個和的1-1對應，并寫出這個對應的解析表達式。解：，對任意，，顯然是到的1-1對應。2、證明：的充要條件是對任意含有的鄰域（不一定以為中心）中，恒有異于的屬于(事實上，這樣的還有無窮多個)。而的充要條件是有含有的鄰域（同樣，不一定以為中心）存在，使。證明：若，則對任一含的鄰域，必有以為中心的鄰域，所以存在且，即任何含有的領(lǐng)域中含有一點異于。反之，若任一含有鄰域有異于的點,當然對任一的鄰域中也有異于的點，所以。若，則有。反之，若，必有，則。證畢。3、可數(shù)點集的外測度為零。證明設對任意,存在開區(qū)間,使,且(在空間中取邊長為的包方的開區(qū)間),所以，且.由的任意性得.證畢。4、設是直線上一有界集合，，則對任意小于的正數(shù)c，恒有的子集，使。證明：設，則。令，則是上的連續(xù)函數(shù)。事實上，當,且時，于是當時,,即是右連續(xù)的。類似的方法可證明時，，所以是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)。又因為因此對任意正數(shù)c，，存在使。即。令。則。5、設,求證存在型集,，使得且。證明：不妨設（否則令即可）。對任意的正整數(shù)，由外測度的定義，存在開集（一列開區(qū)間的并），使得且。令，則，于是，且型集。又對任何正整數(shù)有。即即得。證畢6、設是上的連續(xù)函數(shù)，為上的可測函數(shù)，則是可測函數(shù)。證明：因為是連續(xù)函數(shù)，所以在上可測，且,為集，所以，所以，又因為可測，所以可測。即可測。所以可測。7、設為可測集，，都是上a.e.有限的可測函數(shù)，并且當時，依測度收斂于。求證存在子列在上“基本上”一致收斂于。證明：不妨假設，需證存在一致收斂于,取k,使得。令則，而，若時，則，即在上一致收斂。8、設，，討論為何值時，為[0,1]上L可積函數(shù)或不可積函數(shù)。證明：當時，，因此，當時，非L可積。當時，在中可積，，所以L可積。9、設為上可積函數(shù)列，于,且,為常數(shù)，則可積。證明：由法都（Faou）引理，故有可積，所以10、設在上定義函數(shù)如下：求。解:因為有理數(shù)集是可數(shù)集，于是令。其次令易知在的測度，于是，即.從而a.e.于，