數(shù)據(jù)插值與曲線擬合

大多數(shù)數(shù)學(xué)建模問題都是從實(shí)際工程或生活中提煉出來的，往往帶有大量的離散的實(shí)驗(yàn)觀測數(shù)據(jù)，要對這類問題進(jìn)行建模求解，就必須對這些數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。其目的是為了從大量的數(shù)據(jù)中尋找它們反映出來的規(guī)律。用數(shù)學(xué)語言來講，就是要找出與這些數(shù)據(jù)相應(yīng)的變量之間的近似關(guān)系。對于非確定性關(guān)系，一般用統(tǒng)計(jì)分析的方法來研究，如回歸分析的方法。對于確定性的關(guān)系，即變量間的函數(shù)關(guān)系，一般可用數(shù)據(jù)插值與擬合的方法來研究。本講學(xué)習(xí)數(shù)據(jù)插值與擬和的基本方法和相關(guān)的MATLAB命令。1引例擬合并不要求函數(shù)圖像通過這些點(diǎn)，但要求在某種準(zhǔn)則下，該函數(shù)在這些點(diǎn)處的函數(shù)值與給定的這些值能最接近。簡單地講，插值是對于給定的n組離散數(shù)據(jù)，尋找一個(gè)函數(shù)，使該函數(shù)的圖像能嚴(yán)格通過這些數(shù)據(jù)對應(yīng)的點(diǎn)。例1：對于下面給定的4組數(shù)據(jù)，求在x=175處y的值。x144169225y121315例1：對于下面給定的4組數(shù)據(jù)，求在x=175處y的值。x144169225y121315這就是一個(gè)插值問題。利用所得的函數(shù)來求x=175處y的值。我們可以先確定插值函數(shù)，再需要說明的是這3組數(shù)據(jù)事實(shí)上已經(jīng)反映出x與y的的函數(shù)關(guān)系為：關(guān)系是不明顯的。，當(dāng)數(shù)據(jù)量較大時(shí)，這種函數(shù)也就是說，插值方法在處理數(shù)據(jù)時(shí)，不論數(shù)據(jù)本身對應(yīng)的被插值函數(shù)是否已知，它都要找到一個(gè)通過這些點(diǎn)的插值函數(shù)，此函數(shù)是被插值函數(shù)的一個(gè)近似，從而通過插值函數(shù)來計(jì)算被插值函數(shù)在未知點(diǎn)處的近似值。對于所構(gòu)造的插值函數(shù)要求相對簡單，便于計(jì)算，一般選用多項(xiàng)式函數(shù)來逼近。例2：觀測物體的直線運(yùn)動，得以下數(shù)據(jù)，求物體的運(yùn)動方程。t（秒）00.91.93.03.95.0s（米）010305080110例2：觀測物體的直線運(yùn)動，得以下數(shù)據(jù)，求物體的運(yùn)動方程。t（秒）00.91.93.03.95.0s（米）010305080110這是一個(gè)擬合問題，其明顯的特征是與數(shù)據(jù)對應(yīng)的函數(shù)未知，要找到一個(gè)函數(shù)來比較準(zhǔn)確地表述這些數(shù)據(jù)蘊(yùn)藏的規(guī)律。顯然，我們找出的函數(shù)不一定會通過這些點(diǎn)，也沒有必要，因?yàn)橛^測數(shù)據(jù)本身并不是完全準(zhǔn)確的。2數(shù)據(jù)插值的基本原理一般地，對于給定的n+1組數(shù)據(jù)互不相等，確定一個(gè)n次多項(xiàng)式使。其中稱為插值函數(shù)，為插值節(jié)點(diǎn)，區(qū)間，為插值稱為插值條件。當(dāng)n=1時(shí)為線性插值。表示過兩點(diǎn)的直線方程，即定理：滿足n+1個(gè)插值節(jié)點(diǎn)的次數(shù)不超過n次的多多項(xiàng)式存在且唯一。稍加整理，即得記則它們滿足：稱為基函數(shù)，那么是兩個(gè)基函數(shù)的線性組合,也稱為Lagrange線性插值函數(shù)。當(dāng)n=2時(shí)為拋物插值。表示過三點(diǎn)的拋物線方程，使它們滿足則可表示為三個(gè)基函數(shù)的線性組合，即仿照線性插值的情形取基函數(shù)也稱為Lagrange拋物插值函數(shù)。一般地，滿足插值條件的n次多項(xiàng)式為：其中基函數(shù)滿足上述多項(xiàng)式插值又稱為n次Lagrange插值。說明：1、多項(xiàng)式插值的基函數(shù)僅與節(jié)點(diǎn)有關(guān)，而與被插值的原函數(shù)無關(guān)；2、插值多項(xiàng)式僅由數(shù)對確定，而與數(shù)對的排列次序無關(guān)。3、多項(xiàng)式插值除拉格朗日多項(xiàng)式插值法外，還有牛頓(Newton)插值法、埃爾米特(Hermite)插值法、三次樣條插值法等，可參看有關(guān)數(shù)值分析的書籍。其中Newton插值是拉格朗日插值的一種等價(jià)變形，Hermite插值一種帶導(dǎo)數(shù)插值條件的插值。例將[0,/2]n等分，用

g(x)=cos(x)產(chǎn)生n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)，作Pn(x)（取n=1,2)，計(jì)算cos(/6)。解:n=1,(x0,y0)=(0,1),(x1,y1)=(/2,0),

P1(x)=1-2x/,cos(/6)=P1(/6)≈0.6667

n=2,(x0,y0)=(0,1),(x1,y1)=(/4,0.7071),(x2,y2)=(/2,0),P2(x)=8(x-/4)(x-/2)/2-16x(x-/2)0.7071/2cos(/6)=P2(/6)≈0.8508精確值：cos(/6)≈0.8660下面來求解引例1(課堂練習(xí))。引例1：對于下面給定的4組數(shù)據(jù)，求在x=175處y的值。x144169225y121315解：用一次拉格朗日插值：所以取為插值節(jié)點(diǎn)，則計(jì)算得因?yàn)椴逯迭c(diǎn)位于和之間，，于是用二次拉格朗日插值：取，則計(jì)算得，于是（的準(zhǔn)確值為）由上例看出，二次插值的精度明顯要比一次插值要高。但對于拉格朗日多項(xiàng)式插值，是否插值其精度就一定越高呢？答案是：對于某些函數(shù)，適當(dāng)?shù)靥岣卟逯刀囗?xiàng)式的次數(shù)，會提高計(jì)算精度。但與此同時(shí)，多項(xiàng)式的次數(shù)增大可能造成插值函數(shù)的收斂性和穩(wěn)定性越來越差，逼近的效果往往不理想，一個(gè)典型的例子是函數(shù)選取不同插值節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)n+1，其中n為插值多項(xiàng)式的次數(shù)，使得它在結(jié)點(diǎn)的值與被插函數(shù)在對應(yīng)結(jié)點(diǎn)的值相等。當(dāng)n分別取2,4,6,8,10時(shí)，繪出的插值圖形如下。從圖中可看出，圖形顯示出振蕩現(xiàn)象，在5和-5附近誤差很大。這種現(xiàn)象叫做Runge現(xiàn)象。這說明，在大范圍內(nèi)使用高次插值，逼近效果往往并不理想。解決此問題的思路是化整為零，采用分段插值，即在小范圍內(nèi)使用低次多項(xiàng)式插值。不是去尋求整個(gè)插值區(qū)間上的一個(gè)高次多項(xiàng)式，也就是說插值區(qū)間劃分為若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上用低而是把次多項(xiàng)式插值，在整個(gè)插值區(qū)間上就得到一個(gè)分段插值函數(shù)。區(qū)間的劃分可以是任意的，各個(gè)區(qū)間上插值多項(xiàng)式的次數(shù)的選取也可按具體問題選擇。在分段插值中，較為簡單的是分段線性插值。實(shí)際數(shù)學(xué)建模中，在光滑性要求不高的條件下，分段線性或二次插值基本可以滿足需要。問題中提出的插值問題，有一些插值函數(shù)曲線要求然而實(shí)際具有較高的光滑性，如飛機(jī)機(jī)翼的下輪廓線。分段線性插值雖然簡單，但插值函數(shù)在結(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)一般不存在，光滑性不高，樣條插值的提出。這就導(dǎo)致了三次在數(shù)學(xué)上，光滑程度的定量描述是：函數(shù)(曲線)的k階導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，則稱該曲線具有k階光滑性。光滑性的階次越高，則越光滑。分段多項(xiàng)式達(dá)到較高階光滑性的方法？是否存在較低次的就是一個(gè)很好的例子。三次樣條插值3三次樣條插值三次樣條插值是一種非常有效的插值方法，它在實(shí)際工程中有著非常重要的應(yīng)用。三次樣條插值的理論推導(dǎo)是比較復(fù)雜的，但在數(shù)學(xué)軟件MATLAB中有現(xiàn)成的調(diào)用程序，這樣我們就可直接借助計(jì)算機(jī)來進(jìn)行運(yùn)算。下面簡單介紹一下三次樣條插值的基本原理。定義：設(shè)給定區(qū)間上的一個(gè)劃分如果函數(shù)滿足條件：定義：設(shè)給定區(qū)間上的一個(gè)劃分如果函數(shù)滿足條件：（1）在每個(gè)子區(qū)間是三次多項(xiàng)式；（2）在區(qū)間上連續(xù)，記作（3）對于在節(jié)點(diǎn)上給定的函數(shù)值滿足則稱為在區(qū)間上的三次樣條插值函數(shù)。簡單地說，已經(jīng)知道函數(shù)在節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值多項(xiàng)式函數(shù)，現(xiàn)要求一個(gè)三次，使?jié)M足且。由定義可知，是區(qū)間上的分段三次插值多項(xiàng)式，即由于，這個(gè)函數(shù)的曲線具有二階光滑度，看起來就很光順了，能滿足一般工程上的需要。其中是子區(qū)間插值于兩點(diǎn)的三次多項(xiàng)式，即下面簡單介紹一下三次樣條插值函數(shù)的推導(dǎo)?，F(xiàn)要求為待定系數(shù)，共4n個(gè)。已知條件：1）共n+1個(gè)方程；2）共3(n-1)

個(gè)方程?，F(xiàn)要求4n個(gè)待定系數(shù)，但只有(n+1)+3(n-1)=4n-2個(gè)方程，故需要補(bǔ)充兩個(gè)方程，即所謂的邊界條件。通常有以下三類邊界條件：3.1）給定兩個(gè)端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，即3.2）給定兩個(gè)端點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即3.3）周期性條件，即4用MATLAB軟件求解插值問題在MATLAB中提供了一個(gè)一維插值函數(shù)interp1，它的調(diào)用格式為cy=interp1(x,y,cx,‘method’)其中x、y是所給數(shù)據(jù)的橫縱坐標(biāo)，要求x的分量按升序或降序排列，cx是待求的插值點(diǎn)的橫坐標(biāo)，返回值cy是待求的插值點(diǎn)的縱坐標(biāo)，method是插值方法，該函數(shù)提供了四種可選的插值方法：nearest——最鄰近點(diǎn)插值。點(diǎn)和這兩已知點(diǎn)間位置的遠(yuǎn)近來進(jìn)行插值，取較近已知它根據(jù)已知兩點(diǎn)間的插值插值點(diǎn)處的函數(shù)值作為未知插值點(diǎn)處的函數(shù)值。linear——線性插值。它將相鄰的數(shù)據(jù)點(diǎn)用直線相連，按所生成的直線進(jìn)行插值。spline——三次樣條插值。它利用已知數(shù)據(jù)求出樣條函數(shù)后，按樣條函數(shù)進(jìn)行插值。cubic——三次插值。它利用已知數(shù)據(jù)求出三次多項(xiàng)式函數(shù)后，按三次多項(xiàng)式函數(shù)進(jìn)行插值。缺省時(shí)插值方法為分段線性插值。下面用該函數(shù)來求解下列插值問題。對于下面給定的4組數(shù)據(jù)，求在x=110處y的值。x100121144169y10111213輸入命令：x=[100121144169];y=[10111213];cx=110;cy=interp1(x,y,cx,'linear');運(yùn)行結(jié)果為cy=10.4762。由于線性插值只需要兩個(gè)點(diǎn)，因而在上述命令中實(shí)際上只用了前兩個(gè)點(diǎn)。若將最后一個(gè)命令中的method改為缺省、nearest、cubic和spline，運(yùn)行結(jié)果為依次為cy=10.4762、cy=10、cy=10.4869、cy=10.4877通過比較，顯然三次樣條插值的結(jié)果最好。例：在1-12的11小時(shí)內(nèi)，每隔1小時(shí)測量一次溫度，測得的溫度依次為：5，8，9，15，25，29，31，30，22，25，27，24。試估計(jì)每隔1/10小時(shí)的溫度值。程序：hours=1:12;temps=[589152529313022252724];h=1:0.1:12;t=interp1(hours,temps,h,'spline');%(直接輸出數(shù)據(jù)將是很多的)plot(hours,temps,'+',h,t,'r:')%作圖xlabel('Hour'),ylabel('DegreesCelsius')

xy機(jī)翼下輪廓線例已知飛機(jī)下輪廓線上數(shù)據(jù)如下，求X每改變0.1時(shí)的Y值。程序：lch(lagr1)functiony=lagr1(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);fori=1:mz=x(i);s=0.0;fork=1:np=1.0;forj=1:nifj~=kp=p*(z-x0(j))/(x0(k)-x0(j));endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;endx0=[035791112131415];y0=[01.21.72.02.12.01.81.21.01.6];x=0:0.1:15;y1=lagr1(x0,y0,x);y2=interp1(x0,y0,x);y3=interp1(x0,y0,x,'spline');subplot(3,1,1)plot(x0,y0,'k+',x,y1,'r')gridtitle('lagrange')subplot(3,1,2)plot(x0,y0,'k+',x,y2,'r')gridtitle('piecewiselinear')subplot(3,1,3)plot(x0,y0,'k+',x,y3,'r')gridtitle('spline')曲線擬合是指：已知平面上n個(gè)點(diǎn)（xi,yi)i=1,…n,尋求一個(gè)函數(shù)（曲線）y=f(x),使f(x)在某種準(zhǔn)則下與所有數(shù)據(jù)點(diǎn)最為接近，即曲線擬合得最好。

+++++++++xyy=f(x)(xi,yi)

i

i

為點(diǎn)（xi,yi)與曲線y=f(x)的距離5曲線擬合的基本原理擬合與插值的區(qū)別函數(shù)插值與曲線擬合都是要根據(jù)一組數(shù)據(jù)構(gòu)造一個(gè)函數(shù)作為近似，由于近似的要求不同，二者的數(shù)學(xué)方法上是完全不同的。問題：給定一批數(shù)據(jù)點(diǎn)，需確定滿足特定要求的曲線或曲面。解決方案：若不要求曲線（面）通過所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，而是要求它反映對象整體的變化趨勢，這就是曲線數(shù)據(jù)擬合，又稱曲線擬合或曲面擬合。若要求所求曲線（面）通過所給所有數(shù)據(jù)點(diǎn)，就是插值問題；根據(jù)曲線擬合問題的定義，其關(guān)鍵在于準(zhǔn)則的選取，選取的準(zhǔn)則不同，其對應(yīng)的擬合方法及其復(fù)雜程度也不相同。對于一維曲線擬合，設(shè)n個(gè)不同的離散數(shù)據(jù)點(diǎn)為，要尋找的擬合曲線方程為記擬合函數(shù)在處的偏差為常用的準(zhǔn)則有：準(zhǔn)則1：選取，使所有偏差的絕對值之和最小，即準(zhǔn)則2：選取，使所有偏差的絕對值的最大值最小，即準(zhǔn)則3：選取，使所有偏差的平方和最小，即相對而言，準(zhǔn)則3最便于計(jì)算，因而通常根據(jù)準(zhǔn)則3來選取擬合曲線。準(zhǔn)則3又稱為最小二乘準(zhǔn)則，對應(yīng)的曲線擬合方法稱為最小二乘法。線性最小二乘法的基本思路第一步:先選定一組函數(shù)

r1(x),r2(x),…rm(x),m<n,令

f(x)=a1r1(x)+a2r2(x)+…+amrm(x)其中

a1,a2,…am

為待定系數(shù)。第二步:確定a1,a2,…am

的最小二乘準(zhǔn)則：使n個(gè)點(diǎn)（xi,yi)與曲線y=P(x)的距離

i的平方和最小

。記

問題歸結(jié)為，求

a1,a2,…am

使

J(a1,a2,…am)最小。線性最小二乘法的求解要使J(a1,a2,…am)最小，的必要條件得則由多元函數(shù)取得極值即亦即是未知量的線性方程組，稱之為正定方程組。選定一組函數(shù)組解出后，就可由正規(guī)方程，于是就可得線性最小二乘擬合函數(shù)所給數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，觀察數(shù)據(jù)所呈現(xiàn)出來的曲線的大致一般的做法是首先繪出形狀，再結(jié)合該問題所在專業(yè)領(lǐng)域內(nèi)的相關(guān)規(guī)律和結(jié)論，來確定擬合函數(shù)的形式。實(shí)際操作時(shí)可在直觀判斷的基礎(chǔ)上，選幾種常用的曲線分別進(jìn)行擬合，比較選擇擬合效果最好的曲線。面對一組數(shù)據(jù)，作線性最小二乘擬合時(shí)，恰當(dāng)選定函是一個(gè)難點(diǎn)。數(shù)常用的曲線有直線、多項(xiàng)式、雙曲線和指數(shù)曲線等。另外，曲線擬合又可分為線性曲線擬合和非線性曲線擬合。一般地，如果擬合函數(shù)中的系數(shù)以線性形式出現(xiàn)，全部如擬合函數(shù)為線性擬合，也稱為多項(xiàng)式擬合；若擬合函數(shù)中的系數(shù)不能全部以線性形式出現(xiàn)，如指數(shù)擬合函數(shù)為非線性曲線擬合。實(shí)際應(yīng)用中，多項(xiàng)式最小二乘擬合用的較多，MATLAB中也有專用函數(shù)。線性最小二乘擬合f(x)=a1r1(x)+…+amrm(x)中函數(shù){r1(x),…rm(x)}的選取方法1.通過機(jī)理分析建立數(shù)學(xué)模型來確定f(x)；++++++++++++++++++++++++++++++f=a1+a2xf=a1+a2x+a3x2f=a1+a2x+a3x2f=a1+a2/xf=aebxf=ae-bx

2.將數(shù)據(jù)(xi,yi)i=1,…n

作圖，通過直觀判斷確定f(x)：6用MATLAB軟件求解擬合問題在MATLAB中提供了一個(gè)多項(xiàng)式最小二乘擬合函數(shù)polyfit(x,y,n)，它的調(diào)用格式為P=polyfit(x,y,n)擬合多項(xiàng)式按自變量降冪排列的系數(shù)向量

輸入同長度的數(shù)組X，Y擬合多項(xiàng)式次數(shù)下面用該函數(shù)來求解擬合問題引例2：例2：觀測物體的直線運(yùn)動，得以下數(shù)據(jù)，求物體的運(yùn)動方程。t（秒）00.91.93.03.95.0s（米）010305080110輸入命令：t=[00.91.933.95];s=[010305080110];plot(t,s,'*-')xlabel('運(yùn)動時(shí)間——t（秒）')ylabel('運(yùn)動位移——s（米）')gtext('物體運(yùn)動的時(shí)間與位移散點(diǎn)圖')下面顯示的是物體運(yùn)動的時(shí)間與位移散點(diǎn)圖：不難看出圖形近似為一條直線，因此猜測用一次多項(xiàng)式來擬合，輸入命令：

P=polyfit(t,s,1)運(yùn)行結(jié)果為：P=22.2538-7.8550即下面繪出的是擬合曲線和散點(diǎn)圖對比圖形，可以看出擬合效果并不理想。根據(jù)物理學(xué)中物體運(yùn)動的方程，我們用二次曲線來擬合，輸入命令：P=polyfit(t,s,2)得到擬合函數(shù)為：對比圖形如下，可見曲線擬合本身就是一個(gè)猜測的過程，通常是不斷地修正擬合函數(shù)，使擬合效果達(dá)到滿意的程度?？梢钥闯鰯M合效果有明顯改善，擬合曲線與散點(diǎn)圖基本上是吻合的，因此該物體運(yùn)動的方程是7建模案例(1992年A題：農(nóng)作物施肥效果分析)某地區(qū)作物生長所需要的營養(yǎng)元素主要有氮（N）、鉀（K）、磷（P）。某作物研究所在該地區(qū)對土豆與生菜做了一定數(shù)量的實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下列表格所示，其中ha表示公頃，t表示噸，kg表示公斤。當(dāng)一個(gè)營養(yǎng)素的施肥量變化時(shí)，總將另兩個(gè)營養(yǎng)素的施肥量保持在第七個(gè)水平上，于N的施肥量做實(shí)驗(yàn)時(shí)，P與K的施肥量分別取為如對土豆產(chǎn)量關(guān)196kg/ha與372kg/ha。試分析施肥量與產(chǎn)量之間的關(guān)系。土豆：

NPK施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)0346710113520225933640447115.1821.3625.7232.2934.0339.4543.1543.4640.8330.7502449739814719624529434233.4632.4736.0637.9641.0440.0941.2642.1740.3642.730479314018627937246555865118.9827.3534.8638.5238.4437.7338.4343.8742.7746.22生菜：NPK施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)施肥量(kg/ha)產(chǎn)量(t/ha)028568411216822428033639211.0212.7014.5616.2717.7522.5921.6319.3416.1214.11049981471962943914895876856.399.4812.4614.3817.1021.9422.6421.3422.0724.530479314018627937246555865115.7516.7616.8916.2417.5619.2017.9715.8420.1119.40模型假設(shè)：1、研究所的實(shí)驗(yàn)是在相同的正常實(shí)驗(yàn)條件(如充足的水分供應(yīng)，正常的耕作程序)下進(jìn)行的，產(chǎn)量的變化是由施肥量的改變引起的，產(chǎn)量與施肥量之間存在一定的規(guī)律。（此假設(shè)的目的是抓住影響產(chǎn)量的主要因素而剔除次要因素，使要研究的問題內(nèi)部諸因素明朗化，即抓住主要矛盾）2、土壤本身已含有一定數(shù)量的氮、磷、鉀等肥料，即具有一定的天然肥力。2、土壤本身已含有一定數(shù)量的氮、磷、鉀等肥料，即具有一定的天然肥力。（此假設(shè)非常符合常理，而且實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)也證明了此假設(shè)的合理性，因而此假設(shè)將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)中所隱藏的信息清晰化）3、每次實(shí)驗(yàn)是相互獨(dú)立的，互不影響。（此假設(shè)澄清了在連續(xù)進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)中，后期實(shí)驗(yàn)產(chǎn)量與前期施肥無關(guān)）符號說明：

：農(nóng)作物產(chǎn)量；：施肥量；N、K、P

：氮、磷、鉀肥的施肥量；：農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格；：肥料價(jià)格；Tn、Tp、Tk：氮、磷、鉀肥的價(jià)格；：常數(shù)。問題分析：1、普遍規(guī)律施肥量與產(chǎn)量滿足下圖所示關(guān)系，它分為三個(gè)不同的區(qū)段，第二區(qū)段，隨著施肥量的增加，作物產(chǎn)量平緩上升，一定限度后，第三區(qū)段，當(dāng)施肥量超過產(chǎn)量反而隨施肥量的增加而減少。施肥量的增加而迅速增加，在第一區(qū)段，當(dāng)施肥量較小時(shí)，作物產(chǎn)量隨2、數(shù)據(jù)分析通過繪制散點(diǎn)圖，初步得到農(nóng)作物產(chǎn)量與施肥量間的定性認(rèn)識。從散點(diǎn)圖可以發(fā)現(xiàn)，氮肥施加量與農(nóng)作物的產(chǎn)量大致呈指數(shù)關(guān)系，磷肥施加量與農(nóng)作物產(chǎn)量大致呈分段直線關(guān)系