2月大數(shù)據(jù)模擬卷01（江蘇專用）（解析版）高中數(shù)學(xué)

2月大數(shù)據(jù)精選模擬卷01(江蘇專用)

數(shù)學(xué)

本卷滿分150分，考試時間120分鐘

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

1.設(shè)集合4={%|2<%<4},集合5={x|3x—728—2x},則集合AUB=（）

A.[2,+oo)B.[2,3)C.[3,4)D.[3,+00)

【答案】A

【詳解】

解：化簡8={x|3x-7N8—2x}得3={x|xN3},

所以=={x|xN2}

2.復(fù)數(shù)(2+3i)3(其中i為虛數(shù)單位)的虛部為()

A.9/B.-46/C.9D.-46

【答案】C

【詳解】

解：（2+3i）3=（-5+12/）（2+3z）=-46+9z

所以（2+3i）3的虛部為9.

2h1

3.已知2b=1（。＞0力＞0）,則一+一的最小值等于（）

ah

A.3+2V2B.2V2+2C.3D.2V2-1

【答案】B

【詳解】

因為a+2Z?=l（a>0力>0）,所以a=l—28>0,則

2

12b12Z?-1+11,11

所以一+—=-----+—=---------+—=-1+-----+-

abl-2bb\-2bbl-2bb

：）[（1_28+23]=_1+（,2b\-2bQ42bl-2h

-1+1+-----+-----+2=2+-----------F

\-2bb\-2bbJ1一2bh

1

/2bI—2b/T-

22+2./-----------=2+2y]2,

V-2bh

當(dāng)且僅當(dāng)々7=：^,即6=1-立時，等號成立；

\-2bb2

4.函數(shù)〃x)=上變四的部分圖象大致是()

【答案】D

【詳解】

解：函數(shù)的定義域為{X|XHO},故排除A,

、3N-COS(-2X)3W-COS2X

f{-x)=-----7~~=----：—=(x)，故函數(shù)為奇函數(shù),

~x~x

由于時，cos2x>0,故xe(0,71時，/(X)=31，COS2X〉0,故排除BC；

所以D選項為正確答案.

5.設(shè)xeR,則“次|<1"是"d<]，，的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

2

【詳解】

當(dāng)|x|<l時,BP—1<x<1,

x—1=(x—l)(x-+x+l)<O=>x—1<0=>X<1,

因此由|X|<1能推出％3<1，

當(dāng)/<i時，顯然當(dāng)x=—2時成立，但是Ix|<l不成立，

因此由％3<1不一定能推出

所以“1回<1”是“％3<1，，的充分不必要條件，

故選：A

6.琵琶、二胡、編鐘、簫笛、瑟、琴、填、笙和鼓這十種民族樂器被稱為“中國古代十大樂器為弘揚(yáng)中

國傳統(tǒng)文化，某校以這十種樂器為題材，在周末學(xué)生興趣活動中開展了“中國古代樂器”知識講座，共連續(xù)

安排八節(jié)課，一節(jié)課只講一種樂器，一種樂器最多安排一節(jié)課，則琵琶、二胡、編鐘一定安排，且這三種

樂器互不相鄰的概率為()

11-71

A.B.-C.—D.—

36061515

【答案】B

【詳解】

從這十種樂器中挑八種全排列，有情況種數(shù)為41從除琵琶、二胡、編鐘三種樂器外的七種樂器中挑五種

全排列，有種情況，再從排好的五種樂器形成的6個空中挑3個插入琵琶、二胡、編鐘三種樂器，有可

種情況，故琵琶、：胡、編鐘一定安排，且這三種樂器互不相鄰的情況種數(shù)為反用.

1

一

所以所求的概率P一6-

7.我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中“開立圓術(shù)''曰：置積尺數(shù)，以十六乘之，九而一，所得開立方除之,

即立圓徑意思是：球的體積丫乘16,除以9,再開立方，即為球的直徑"，由此我們可以推測當(dāng)時球的表

面積S計算公式為()

A.S=—d2B.S=—d2C.S=-cl2D.S=—d2

82214

【答案】A

【詳解】

3

因為，附=d，所以\/=空=色I(xiàn)。|3,所以乃=*

91632

所以S=4萬(邑

12?=4《*:豹’

22

8.已知橢圓E:工+乙=1的左、右焦點分別為耳，尸2，P為橢圓上一個動點，。為圓

95

M:f+y2_i0x_8y+4O=O上一個動點，則|產(chǎn)制+歸。|的最大值為()

A.12B.V65+1C.11D.18

【答案】A

【詳解】

由題意得：?(—2,0),F式2,0),根據(jù)橢圓的定義可得iP/l+lP/kZanG,

所以B匕|=6一|/乙］，

又圓“：/+/一10犬-8)，+40=0,變形可得(X—5>+(y—4)2=1,即圓心”(5,4),半徑r=1，

所求歸國+|PQ|的最大值，即求歸耳|+歸用|+廠的最大值，

\PF\+\PM\=6-\PF^+\PM\,

如圖所示：

當(dāng)P，B，M共線時，|加|一|0國有最大值，且為優(yōu)M=J(5—2)2+42=5,

所以|尸盟+歸閭=6-|尸圖+|PM|的最大值為5+6=11，

所以|「耳|+|尸0的最大值,即|P￡|+|PM|+r的最大值為11+1=12,

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

4

全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.已知向量￡=(—3,2),b=(—1,0),則下列選項正確的有()

A.(“+坂)B.(a-3^)±b

C.,―*&忖D.a2=b2+4a-b

【答案】ABD

【詳解】

由題意，對于選項A,￡+3=(—4,2),

所以C+人工=—4X(—1)+0=4,故A選項正確；

對于選項8,a-3^=(0,2),所以(￡—3加)工=0，

所以(￡—3加世人故8選項正確：

對于選項C,￡+坂=(一2,2),\a-h\=^-2)2+22=272,呵=1,

所以卜―司=2j羽，故C選項錯誤;

對于選項。,a2=(-3)2+22=13,P+4?^=l+4[(-3)x(-l)+0]=13,

即。2=廬+4無6,故。選項正確；

故選：ABD.

10.空氣質(zhì)量指數(shù)大小分為五級.指數(shù)越大說明污染的情況越嚴(yán)重，對人體危害越大.指數(shù)范圍在：[0,50],

[51,1(X)],[101,2(X)],[201,3(刈，[301,5(刈分別對應(yīng)“優(yōu)”、“良”、“輕(中)度污染”、“中度(重)污染”、“重污

染''五個等級.下面是某市連續(xù)14天的空氣質(zhì)量指數(shù)趨勢圖，下列說法正確的有()

A.這14天中有4天空氣質(zhì)量指數(shù)為“良”

5

B.這14天中空氣質(zhì)量指數(shù)的中位數(shù)是103

C.從2日到5日空氣質(zhì)量越來越差

D.連續(xù)三天中空氣質(zhì)量指數(shù)方差最小的是9日到11日

【答案】ACD

【詳解】

14天中有：I日，3日，12日，13日空氣質(zhì)量指數(shù)為良，共4天，故A對；

14天中的中位數(shù)為：86+121=103.5,故8錯；

2

從2日到5日空氣質(zhì)量指數(shù)越來越高，故空氣質(zhì)量越來越差，故C對；

觀察折線圖可知D答案顯然成立.

故選：ACD.

11.若(l+x)+(l+x)2+L+(l+x)"+L,且q+a2H---1-an_t=125-ZJ,則下

列結(jié)論正確的是()

A.n-6

B.(l+2x)”展開式中二項式系數(shù)和為729

C.(1+X)+(1+%)2+L+(1+力”展開式中所有項系數(shù)和為126

D.4+2a,+3a3H--f-nan=321

【答案】ACD

【詳解】

解：對于A,令x=l,可得2+2-+2,+…+2"=g+q+&+…++4，

rt

t2(l-2)

即-v—=?o+?i+?2+???+?,.->+生j

1—z

,,+l

即CIQ+q+%+,??+a.-1+=2—2,CD

令x=0,得1+V+13+...+1"=%,即4=〃，②

由于(1+x)”的展開式中所以4=1,③

所以①-②-③得：%+/+???+=2n+'-2-n-l=2n+'-n-3,

而q+/---1-125-n,

6

所以2"+|-〃_3=125—〃，解得：〃=6,故A正確;

對于B,由丁〃=6,則(1+2X)"=(1+2X)6,

所以展開式中：項式系數(shù)和為26=64,故B錯誤；

對于C,由丁〃=6,則(1+X)+(1+XY+L+(l+x)6的所有項系數(shù)為

2,,+|-2=27-2=126.故C正確；

對于D,由丁〃=6,則(l+x)+(l+x)~+L+(l+x)6=4+4%+生X2+1,

525

等式兩邊求導(dǎo)得：1+2(1+X)+3(1+X)2+—F6(1+X)=q+2a2x+3a3x+???+6a6x,

令x=l,則1+2X2+3X2~+???4-6x2''=q+2a、+3/+???+64=321,故D正確.

jrTT

12.若將函數(shù)兀v)=cos(2x+V)的圖象向左平移二個單位長度，得到函數(shù)g(x)的圖象，則下列說法正確的是

12o

()

兀

A.g(x)的最小正周期為"B.g(x)在區(qū)間[0,上單調(diào)遞減

C.后白-TT是函數(shù)g(x)的對稱軸D.g(x)在[<TT,J口T上的最小值為1

12662

【答案】AD

【詳解】

函數(shù)y(x)=cos(2r+A)的圖象向左平移g個單位長度后得g(x)=cos2|+J+=cos[2x+g],最

128\8/12\3/

小正周期為兀，A正確；

TT

'：2k兀<2x^-—<7r-\-2k7r(keZ)

71717t7t

:.ki——Kx〈一+br(%￡Z)為g(x)的所有減區(qū)間，其中一個減區(qū)間為一二,；故B錯;

63L63

jr冗k

令2xH—=k兀,得x=---1—肛左￡Z,故C錯；

362

71兀7"八2式TC1

XG[--,—],2xH--€0,—,/.cos(2xH—)w—,1,故D對

663332

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.函數(shù)/(x)=eA+x(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的圖象在點(0,7(0))處的切線方程為.

7

【答案】y=2x+\

【詳解】

因為r(x)=e*+l,所以/'(O)=e°+l=2,/(O)=e°+O=l,

所以切線方程為:y-l=2(x-0),即y=2x+l,

14.如圖，水平廣場上有一盞路燈掛在l()m長的電線桿上，記電線桿的底部為點A.把路燈看作一個點光

源，身高1.5m的女孩站在離點A5m的點8處.若女孩向點A前行4m到達(dá)點。.然后從點。出發(fā)，沿著以

6。為對角線的正方形走一圈，則女孩走一圈時頭頂(視為一點)的影子所圍成封閉圖形的面積為

3200

【答案】

^8?

【詳解】

如圖所示:

8

S

X

I

EA鏟

“BNDA

設(shè)女孩在點BD處頭頂EF的投影點分別為MN,

則EF=B￡>=4,BE=DF=\.5,

EF10-1.5八0「

則——=------=0.85,

MN10

Qf)

所以肱7=巴，

17

因為女孩在移動的過程中比例關(guān)系不變,

所以當(dāng)女孩走一圈時頭頂影子的軌跡形狀為對角線長為一的正方形，

17

匚口、?“不工”斗180803200

所以具面積為：5c=-x—X—=——

21717289

15.歐幾里得在《幾何原本》中，以基本定義、公設(shè)和公理作為全書推理的出發(fā)點.其中第卷命題47是著名

的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股定理），書中給出了一種證明思路:如圖，R/AABC中，NB4C=90°，四邊形ABHL

、ACEG、5CQE都是正方形，ANIDE于■點、N,交8C于點M.先證石與AHBC全等，繼而得

到矩形BENM與正方形ABHL面積相等；同理可得到矩形CDNM與正方形ACTG面積相等；進(jìn)一步定

理可得證.在該圖中，若tan/B4E=J，貝iJsin/BE4=.

3

9

G

LF

【答案】@

10

【詳解】

設(shè)AB=k,AC=m,BC=n,可得公+/=/,

又AABE也△“5C，可得AE=CH=^Hl}+Cl3=^k2+[m+k^,

sinNBAE1

在八旬石中，tanZBAE=

cos/BAE3

13

又sin2N8AE+cos2/8AE=l，解得smZBAE="，cosNBAE=-^

A/IOvl(J

+AE?-BE：k2+(k+/〃y+k2-n2

由cosZBAE=

2ABAE2k^k2+(k+m)2

2k2+2km_k+m_3

Ikylllc+lkm+nr伍7+m2+2kmV10

化為Sk2-2km-nv=0，解得m=2k,

又k2+療=,可得〃=亞k，

k_n

AB_BE

在△ABE中,,即sin/BEA一丁

sinZBEA~sinZBAE

Vio

V2

可得sinNBEA而

10

Y2>2

16.雙曲線C：二=1（。>03>0）的左焦點為￡A、B分別為C的左，右支上的點，。為坐標(biāo)原點,

a~

若四邊形ABOF為菱形，則C的離心率為.

【答案】V3+1.

【詳解】

設(shè)右焦點為尸‘，連接A”'，過A作A“軸于”,

因為雙曲線c關(guān)于y軸對稱，四邊形A3。尸為菱形,

所以|AB|=|O同=|AF|=c,|。川=仁川=],

所以NAFO=6()°，所以AELAE'，所以|AR'|=6C,

根據(jù)雙曲線的定義可得|AF|—|AR|=6c—c=2a,

所以e=]=6+1,

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①2S,,+|=S“+1,②4=；，③S,=l-2q用這三個條件中選擇兩個，補(bǔ)充在下面問題中，給出解

答.

己知數(shù)列｛｝的前〃項和為s“，滿足；又知正項等差數(shù)列｛2｝滿足乙=3,且乙，4一2,瓦

成等比數(shù)列.

（1）求｛4｝和｛。,｝的通項公式;

b

（2）設(shè)求數(shù)列｛%｝的前項和7；.

11

【詳解】

(1)選擇①②：

由2S〃+]=S”+ln當(dāng)時，有2Sn=S,』+1,

1

兩式相減得：2?用=〃〃，即--二弓，n>2.

anZ

/、11%1

又當(dāng)〃=1時，有2s2=S]+l=2(q+%),又%,J4=—，7=5也適合，

42"]

所以數(shù)列｛凡｝是首項、公比均為1的等比數(shù)列，所以4=(，]；

選擇：②③：

由S〃=1一2?！?]=當(dāng)〃之2時，S“_]=1-2an,

an^1

兩式相減得：an=-2an+l+2aH,即‘包=5，n>2.

an2

-11%1

又當(dāng)〃=1時，有Siul—Zwnq,又?.?a=一,.?.q=一，-=彳也適合，

-4?2q2

1(1\rt

所以數(shù)列｛4｝是首項、公比均為不的等比數(shù)列，所以%=-:

選擇①③：

由2s“+|=S“+1,Sa=1-2a“+],則2s“+]=+1=2-2an+]

即S.+i=1-,所以S"=1-a“，(〃>1),

兩式相減可得：4用=ga.(〃>1),

當(dāng)〃=1時，由2s“+]=S〃+1,得2s2=3+1,即2(q+%)S2=4+1,即G+2a2=1

ll|5?=l-2a?+l,得號=1-24,即6=1-24,與上式相同，不能求出力的值.

故不能選擇①③

1(1\rt

所以數(shù)列｛4｝是首項、公比均為5的等比數(shù)列，所以%=-;

2\27

設(shè)正項等差數(shù)列他J的公差為“，=3,且4，a一2,打成等比數(shù)列,

12

...(4—2)2=44，即(3+24—2)2=3(3+64),解得：〃=4或。=—；(舍),

二2=3+4(〃-1)=4〃-1,故a“=-,bn=4n-\.

(2)c“=(4〃-l)x2"

所以(=3x2i+7x2?+11x23+…+(4〃-l)x2",

則27；,=3X22+7x23+…+(4〃-5)x2"+(4〃-l)x2"",

兩式相減得-7；=6+4(2?+2?+…+2")-(4"-1)x2"+,

=6+4=4(1-2"’)一(4〃一1*2川=一1。+2用(5一4〃).

1-2''

/.7；,=10+2,,+|(4〃一5)

18.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知氏osA+Y^a=

c.

3

(2)如圖，。為AABC外一點，若在平面四邊形ABCD中，D=2B,且AD=1,C￡>=3,BC=&,求

A3的長.

【詳解】

解(1)在AABC中，山正弦定理得

sinBcosA+V3

sinA=sinC,

3

又C=TT—(A+B),

所以sinBcosA+—sinA=sin(A+B),

3

故sinBcos4+V3

sinA=sinAcosZ?+cosAsinB,

3

13

所以sinAcosB=—sinA,

3

又4￡(0,兀),所以sinA#),故cos8=---

3

(2)因為。=25,所以cos￡)=2cos%—1=—』

3

又在八48中，AO=1,CL>=3,

所以由余弦定理可得+

=1+9-2X3X=12,

所以AC=2&，

巧

在AABC中，BC=a，AC—2s/3>cosB———，

3

所以由余弦定理可得A^nA^+BC2-2AABCcosB,

即12=AB2+6-248XJ^X?I,化簡得AB—2&AB-6=0,

解得AB=372-

19.為檢測某種抗病毒疫苗的免疫效果，某藥物研究所科研人員隨機(jī)選取100只小白鼠，并將該疫苗首次

注射到這些小白鼠體內(nèi).獨(dú)立環(huán)境下試驗一段時間后檢測這些小白鼠的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)值并制成如下的頻率

分布直方圖（以小白鼠醫(yī)學(xué)指標(biāo)值在各個區(qū)間上的頻率代替其概率）:

頻率

0.18

s

06

o.05

03

02O

1113151719212325醫(yī)學(xué)指標(biāo)值

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，估計100只小白鼠該項醫(yī)學(xué)指標(biāo)平均值x（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)區(qū)間的中點

值表示）；

（2）若認(rèn)為小白鼠的該項醫(yī)學(xué)指標(biāo)值X服從正態(tài)分布且首次注射疫苗的小白鼠該項醫(yī)學(xué)指

14

標(biāo)值不低于14.77時，則認(rèn)定其體內(nèi)已經(jīng)產(chǎn)生抗體；進(jìn)一步研究還發(fā)現(xiàn)，對第一次注射疫苗的100只小白

鼠中沒有產(chǎn)生抗體的那一部分群體進(jìn)行第二次注射疫苗，約有10只小白鼠又產(chǎn)生了抗體.這里〃近似為小

白鼠醫(yī)學(xué)指標(biāo)平均值工，(7?近似為樣本方差S?.經(jīng)計算得S?=6.92,假設(shè)兩次注射疫苗相互獨(dú)立，求一

只小白鼠注射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率。(精確到0.01).

附：參考數(shù)據(jù)與公式

V6.92?2.63.若則①P(〃一X<//+(T)=0.6827；②

P"-2b<X<j.i+2cr)-0.9545；③3b<XW〃+3cr)=0.9973.

【答案】(1)17.4：(2)0.94.

【詳解】

⑴x=0.02x12x2+0.06x14x2+0.14x16x2+0.18x18x2+0.05x20x2

+0.03x22x2+0.02x24x2=17.4

(2)〃一cr=17.40—2.63=14.77

P(x>//-(T)=0.6827+1-°^82-=0.8414

記事件A表示首先注射疫苗后產(chǎn)生抗體，則

尸(A)=尸(x>14.77)=P(x>ju-a)=0.8414,

因此100只小鼠首先注射疫苗看有100x0.8414,84只產(chǎn)生抗體，有100—84=16只沒有產(chǎn)生抗體.故注

射疫苗后產(chǎn)生抗體的概率P=過蟲=0.94.

100

20.如圖菱形ABC。中，ZABC=60°,AC與BO相交于點O，平面ABC。，CF//AE,

AB=AE=4.

(1)求證：301?平面ACFE；

(2)當(dāng)直線F0與平面BED所成的角為四時，求異面直線■與跖所成的角的余弦值大小.

【詳解】

15

（1）因為四邊形A8CO是菱形，

所以8。，AC.

因為AE，平面ABC。，Mu平面ABC。，

所以5O_LAE.

因為ACcA￡=A,

所以30,平面ACFE.

（2）以。為原點，0A，麗的方向為％,V軸正方向，過。且平行于CF的宜線為z軸（向上為正方向）,

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則3(0,2后0),￡>(0,-2月⑼,E(2,0,4),F(-2,0,a)(a>0).OF=(-2,0,a).

設(shè)平面E8D的法向量為〃=(x,y,z),

,.n-OB=0[VJy=0,

則有｛_，即<-

n-OE=Q[x+2z=0,

令z=l，則A=(-2,0,1),

由題意EO與平面BED所成的正弦值為也，

2

.也COS

"2

因為〃>0,

所以。=6.

所以礪=(—2,0,6),=(2,-273,4),

OFBE-4+2475

所以cos(OF,3E)=

J詞.阿「胸病—4

16

故異面直線OF與班所成的角的余弦值為且.

4

21.已知橢圓C：二+4=1(4>〃>())的離心率為立，右頂點、上頂點分別為A、B,原點。到

a2b22

直線AB的距離為如必.

6

(1)求橢圓C的方程；

(2)若尸，。為橢圓C上兩不同點，線段PQ的中點為M.

①當(dāng)M的坐標(biāo)為(1,1)時，求直線PQ的直線方程

②當(dāng)三角形OPQ面積等于0時，求10Ml的取值范圍.

【詳解】

解：(1)設(shè)直線AN:2+'=1,即法+做一次?=。，

ab

cib

所以。到直線AB的距離為——=,而，所以“2+加=6,

yla2+b2yja2+h26

fc0

e=—=——

a2(2-422

又因為所以1",=,所以橢圓。的方程為：工+二=1;

2=6g42

(2)①因為PQ的中點為且PQ的斜率存在，設(shè)尸(x，y),Q5,%),

所以｛LI：所以儲-引=一2("￡),所以，=-2無資，

%2+，%—4y十)2人1人2

,V.-K1

又因為%+%=2,y+%=2,所以即0=3_^=—彳，

所以PQ的直線方程為：=即x+2y—3=0；

](x2\

②若直線PQ垂直于x軸，則#/x2M=0nxj2--六=2=x；=2

\/

=xj=2,加=0,所以|。制=夜

若直線PQ不垂直于x軸，設(shè)直線P。方程：y=kx+m(m^0),。(3,%),。(々,必),