高中數(shù)學人教新課標B版必修2-《直線與圓的位置關(guān)系》

教學基本信息

課題直線與圓的位置關(guān)系

是否屬于

否

地方課程或校本課程

學科數(shù)學學段：第一學期年級高二

相關(guān)解析幾何

領(lǐng)域

教材書名：人教版《普通高中課程標準實驗教科書?數(shù)學（B）版》必修二

出版社：人民教育出版社出版日期：

教學設(shè)計參與人員

指導思想與理論依據(jù)

課程標準提出，高中數(shù)學課程應(yīng)力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓

學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的過程，發(fā)現(xiàn)他們的創(chuàng)新意識，高中數(shù)學課程應(yīng)發(fā)揮學生學習

的主動性，應(yīng)注重提高學生的數(shù)學思維能力，這是數(shù)學教育的基本目標之一。人們在學

習數(shù)學和運用數(shù)學解決問題的過程中，不斷經(jīng)歷直觀感知、觀察發(fā)現(xiàn)、歸納類比、抽象

概括、符號表示、反思建構(gòu)等思維過程，這些過程是數(shù)學思維能力的具體體現(xiàn)，它們有

助于學生對客觀事物中蘊含的數(shù)學模式做出思考和判斷，數(shù)學思維能力在形成理性思維

能力中發(fā)揮著獨特的作用。數(shù)學過程中的評價要關(guān)注學生學習數(shù)學學習的過程，關(guān)注他

們在數(shù)學活動中所表現(xiàn)出來的情感態(tài)度的變化。

建構(gòu)主義理論認為，知識不是通過教師的講授得到的，而是學習者在一定環(huán)境下，

借助他人的幫助，利用必要的學習資料，通過意義建構(gòu)的方式來獲得的。建構(gòu)主義提倡

在教師指導下以學生為中心的學習，它既強調(diào)學習者的認知主體作用，又不忽視教師的

主導作用，教師是意義建構(gòu)的幫助者、促進者，而不是知識的傳授者與灌輸者；學生是

信息加工的主體，是意義的主動建構(gòu)者，而不是外部刺激的被動接受者和被灌輸?shù)膶ο蟆?/p>

新課程理念提出，教學不只是為了掌握知識的結(jié)論，更重要的是經(jīng)歷知識的過程。

教學的目的不只是掌握現(xiàn)存的知識結(jié)論，而是將習得的知識遷移到新情境中去，也就是

要學生創(chuàng)造性地提出問題和解決問題。培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和實踐能力是新課程的重要

目標之一，在數(shù)學教學中要培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維，就要充分揭示思維過程，這其中就

包括充分揭示概念的形成過程、結(jié)論的發(fā)現(xiàn)過程、問題解決的思路探索過程。

教學背景分析

1.本章的知識結(jié)構(gòu)

2.解析幾何的基本思想方法

“代數(shù)運算”

“翻譯”“翻譯”

幾何問題|—?|代數(shù)問題|-------?|代數(shù)問題的解|一》|幾何問題的解

點<--------?坐標

曲線<-------->方程

幾何特征<-------?數(shù)式和數(shù)量關(guān)系

解析法，就是坐標法，解析幾何就是在坐標系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)的方法研究幾何問

題一門學科。用坐標法研究幾何圖形的性質(zhì)，須先將幾何圖形置于坐標系下，對“形”

進行翻譯轉(zhuǎn)化：把點轉(zhuǎn)化為坐標、把曲線轉(zhuǎn)化為方程，把題目中明顯的或隱含的解題所

需要的一切幾何特征，用數(shù)式和數(shù)量關(guān)系表示出來。把“形”翻譯為“數(shù)”是用坐標法

解決幾何問題時首要工作。

3.教材的地位與作用

《平面解析幾何初步》所蘊涵的數(shù)學思想方法為：數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、

函數(shù)與方程思想、分類討論思想等。數(shù)學思想方法的教學原則為：反復滲透，漸進發(fā)展,

學生反思領(lǐng)悟。

本節(jié)課選自人教（B版）數(shù)學必修2第二章2.3.3《直線與圓的位置關(guān)系》第1課

時。它是學生在已經(jīng)掌握直線方程和圓的方程的基礎(chǔ)上，進一步學習直線與圓的位置關(guān)

系。本節(jié)課既是對直線與圓的方程應(yīng)用的延續(xù)和拓展，又是后續(xù)研究圓與圓的位置關(guān)系

的基礎(chǔ)。用解析法研究直線與圓的位置關(guān)系是從初等數(shù)學過渡到高等數(shù)學的開始和階

梯，也是在為后面研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系打好基礎(chǔ)，因此本節(jié)課起著承前啟后

的作用。

4.教學內(nèi)容分析

本節(jié)主要內(nèi)容：直線與圓的位置關(guān)系的判定。為了突出重點，突破難點，落實本節(jié)

設(shè)定的教學目標，安排了思考、探究、應(yīng)用新知、拓展新知、自主編題、歸納反思等環(huán)

節(jié)，通過師生共同合作探究，解決以下三個問題：（1）直線與圓的位置關(guān)系的判定及弦

長問題；（2）代數(shù)法、幾何法的理解及應(yīng)用；（3）數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)。

5.學生情況分析

北京四十三中是北京市西城區(qū)的一所普通中學，學生的數(shù)學基礎(chǔ)不太好。我所任教

的班級是我校高二文科3班。本班學生在我的培養(yǎng)下，對學習數(shù)學有很大的興趣，課堂

思維較為活躍，經(jīng)常開展分組學習，合作探究的活動。

在初中，利用平面幾何知識來判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法學生們并不陌生，前

面又學過直線、圓的方程，直線與直線的位置關(guān)系和點與圓的位置關(guān)系，學生對“坐標

法”、特殊到一般、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想已初步了解，為本節(jié)課的學習奠定了一定

的基礎(chǔ)。

本節(jié)內(nèi)容容量大，對學生的建模能力和數(shù)形結(jié)合、歸納推理能力有較高要求。學生

對新內(nèi)容的學習有一定的興趣和積極性，但在探究能力和合作交流發(fā)展上還不夠均衡，

學生在靈活運用數(shù)形結(jié)合思想、方程思想解題的能力還有待加強。

6.教學方式

教師啟發(fā)引導與學生自主探究相結(jié)合。從學生的認知規(guī)律出發(fā)，運用啟發(fā)式、探究

式等引導學生主動思考，積極參與。

7.教學手段

（1）計算機：PPT展示，幾何畫板軟件演示動畫。

（2）實物展臺：用于學生交流時，展示學生自己的作品。

（3）技術(shù)準備：學生用課堂學案和“自主編題報告單”。

8.課前準備工作

（1）為便于管理，采用異質(zhì)分組，每組5人左右，共4組，安排小組長。組內(nèi)要

求有分工，有合作，有交流，并推選代表發(fā)言。

（2）印發(fā)課堂學案和“自主編題報告單”，每名學生明確學習任務(wù)，同時便于交

流。

9.課堂自主探究、合作探究過程

這節(jié)課的內(nèi)容較多，同時也是本節(jié)課的重點和難點，因此采用自主探究后，小組內(nèi)

合作探究、組間交流、質(zhì)疑、點評。

教師巡視、指導、參與探究，適時引導學生學會用坐標法去解決幾何問題，用運動

變化的觀點去看問題。

10.課堂組間交流過程

(1)小組匯報

小組內(nèi)推選發(fā)言代表，其他同學自由補充。

(2)組間質(zhì)疑

小組匯報后，對不同意見或不清楚的地方，提出質(zhì)疑。

(3)師生點評

對匯報展示與質(zhì)疑的同學進行點評，及時鼓勵、表揚，保持學生學習熱情。通過交

流，學習他人的研究成果，充實自己。

教學目標(內(nèi)容框架)

《新課程標準》指出：在平面解析幾何初步的教學中，教師應(yīng)幫助學生經(jīng)歷如下的

過程：首先將幾何問題代數(shù)化，用代數(shù)的語言描述幾何要素及其關(guān)系，進而將幾何問題

轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；處理代數(shù)問題；分析代數(shù)結(jié)果的幾何意義，最終解決幾何問題。

數(shù)學家華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微”。因此，在數(shù)學教學中

要注意引導學生學會以形助數(shù)，借數(shù)解形，數(shù)形結(jié)合。根據(jù)本節(jié)課的教學內(nèi)容和我所教

學生的實際，本節(jié)課的教學目標確定為以下三個方面：

【知識與技能】

①能根據(jù)給定直線、圓的方程，掌握判斷直線與圓的位置關(guān)系的兩種方法：幾何法

和代數(shù)法；

②能綜合應(yīng)用直線與圓的位置關(guān)系解決一些簡單的問題。

【過程與方法】

①經(jīng)歷理論與實際的聯(lián)系，提升學生的數(shù)學建模能力，培養(yǎng)學生運用數(shù)形結(jié)合與方

程的思想解決問題的意識；

②經(jīng)歷探索判斷直線與圓的位置關(guān)系的過程，使學生參與數(shù)學實踐。

【情感態(tài)度與價值觀】

①讓學生參與用解析法探求直線與圓的位置關(guān)系的過程，讓學生認識到解析法解決

平面幾何問題的優(yōu)越性;

②通過學生自主探究、小組合作交流，培養(yǎng)學生的團隊精神和主動學習的良好習慣。

【教學重點】直線與圓的位置關(guān)系及其判斷方法；

【教學難點】理解坐標法解決幾何問題的數(shù)學思想。

教學流程示意

在以上教學背景分析和教學目標的前提下，我設(shè)計了如下教學過程，分為七個環(huán)節(jié):

創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

__________]r__________

探究發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建新知

小結(jié)新知，總結(jié)提升

應(yīng)用新知，增強體驗

拓展新知，合作交流

回顧反思，共同進步

布置作業(yè)，分層提高

教學過程(文字描述)

(-)創(chuàng)設(shè)情境，提出問題

引例：2014年3月8日凌晨，由馬來西亞飛至北京的MH370航班與地面指揮中心失去

聯(lián)系，3月24日凌晨馬來西亞發(fā)言人宣布MH370墜落于印度洋南部海域，飛機上包括

154名中國乘客在內(nèi)的239人全部失蹤，引起國際社會高度關(guān)注。事后搜尋工作在緊張

進行，一艘輪船由馬來西亞港口沿某航線向印度洋南部海域某港口航行執(zhí)行搜尋任務(wù)，

輪船在沿直線航行至印度洋南部海域某港口的途中，接到氣象臺的颶風預報：颶風中心

位于輪船正西90km處，受影響的范圍是半徑長為40km的圓形區(qū)域。已知港口位于颶風

中心正北45km處，如果這艘輪船不改變航線，那么它是否會受到颶風的影響？

問題1：你怎么判斷輪船受不受影響？

【設(shè)計意圖】本環(huán)節(jié)主要是創(chuàng)設(shè)情境，來源于生活的實際問題能激發(fā)學生的學習興趣，

提高學習的積極性，在實際問題中讓學生體會數(shù)學的應(yīng)用價值，將實際問題數(shù)學化后，

學生由圖形獲取判斷直線與圓的位置關(guān)系的直觀認知，自然引入本節(jié)課要研究的內(nèi)容，

這樣的設(shè)計符合建構(gòu)主義理論的要求。

問題2：引例中的實際問題可以轉(zhuǎn)化為直線與圓的位置關(guān)系問題。請問直線與圓的位置

關(guān)系有幾種？在平面幾何中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系呢？請用表格總結(jié)。

相交相切相離

Q

XLq

圖形

公共點個數(shù)210

d與r的關(guān)系d<rd-rd>r

【設(shè)計意圖】引導學生回顧義務(wù)教育階段直線與圓的位置關(guān)系的思考過程，并為本節(jié)課

做好知識方面的準備，有利于激發(fā)學生運用舊知探求新知的欲望和知識的遷移。從已有

的知識經(jīng)驗出發(fā)，建立新舊知識之間的聯(lián)系，構(gòu)建學生學習的最近發(fā)展區(qū)，不斷加深對

問題的理解，為新知的學習奠定基礎(chǔ)。

（二）探究發(fā)現(xiàn)，構(gòu)建新知

探究：我們該如何判斷問題情境中的直線與圓的

位置關(guān)系呢？

問題3：我們把問題情境中的實物圖用幾何畫板

縮放畫出來如下圖，大家觀察下邊的模型圖，你

能判斷出直線與圓。的位置關(guān)系嗎？

問題4：你的結(jié)論可靠嗎？依據(jù)是什么？如果不

可靠那又該如何準確判斷呢？

預案：如果學生說“看出來的?！保▓D形畫的像相切一一很難看出來是相切還是相交或

相離）；問一問其他同學，都是這樣看出來的嗎？能否量化？（根據(jù)數(shù)量來判斷）

問題5：為什么要建立坐標系？如何建立合適的坐標系？

【設(shè)計意圖】通過一系列的問題串，促使學生的最近發(fā)展區(qū)得到一次洗禮，說明有時僅

憑觀察不一定正確，那現(xiàn)在的當務(wù)之急就是要引進一種新的數(shù)學思想方法來解決這一問

題，為后續(xù)引出用坐標法解決問題作鋪墊。

問題6：如果以颶風的中心為原點。，東西方向為x軸，建立直角坐標系，其中取10km

為單位長度，你能寫出其中的直線方程與圓的方程嗎？

請同學們通過計算來判斷直線與圓。的位置關(guān)系？并闡述自己的解題思路。

1Q

直線的方程：_y-——x+—,即x+2y-9=0_

圓0的方程：x2+y2=16_

【設(shè)計意圖】該問題具有探究性、啟發(fā)性和開放性，學生分組，鼓勵學生大膽表達自己

的看法，展示成果.通過學生的解答，使學生厘清判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法，真

正把學生學習數(shù)學的過程轉(zhuǎn)變?yōu)閷W生對數(shù)學知識的“再創(chuàng)造”過程，體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)

造的歷程，為學生形成積極探究的學習方式，創(chuàng)造有利條件，并滲透數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想。

（三）小結(jié)新知，總結(jié)提升；

形（幾何上）數(shù)（代數(shù)上）

直線直線的方程：I-.Ax+By+C^

圓的方程：C:(x—a)2+(y—b)2=,

憑借什么來判斷它們的位置關(guān)系？憑借什么來判斷它們的位置關(guān)系？

1.觀察直線與圓公共點的個數(shù)：將公共點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的方程組

2.圓心到直線的距離d與圓的半徑r作比較。的解的個數(shù)問題，借助判別式來判斷。

位置關(guān)系比較法幾何特征（觀察法）方程特征代數(shù)法

相交d<r兩個公共點兩個不相等實數(shù)解A>0

相切d-r唯一公共點兩個相等實數(shù)解A=0

相離d>r無公共點無實數(shù)解A<0

【設(shè)計意圖】讓學生由特殊到一般，對知識進行梳理，概括出利用直線與圓的方程來判

斷它們位置關(guān)系的兩種方法，在課堂上把所學的知識系統(tǒng)化，加深理解。讓學生進一步

體驗“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化及數(shù)形結(jié)合的思想方法。

（四）應(yīng)用新知，增強體驗

例1.已知直線/：y=-+/〃和圓0：f+y2=i6,當“為何值時，直線/與圓C相

交，相切，相離？

小結(jié)：判斷直線與圓位置關(guān)系的兩種方法

【設(shè)計意圖】從問題情境中提煉出數(shù)學問題的本質(zhì)，然后對題目進行改編。為了增加思

維的梯度，對于含有參數(shù)的方程，讓學生既能從基本方法上解決，又能從參數(shù)的幾何意

義上運用變化的觀點看問題。通過直線不動圓動、圓不動直線動的兩個方面的不同變化,

讓學生體會這兩種不同變化中包含的問題的本質(zhì)，從而找到解決問題的一般方法。

（五）拓展新知，合作交流

探究活動1：請同學們類比例1的題型設(shè)置和問法，每個小組試著編寫出其他類型的題

目，然后寫在“自主編題報告單”上。完成后每個小組派代表來展示，這些題目就留作

今天每個小組對應(yīng)的課后作業(yè)。

要求：1、題型不要重復；2、條件盡量簡潔；3、題目中只含一個參數(shù)。

【設(shè)計意圖】通過自主編題環(huán)節(jié)讓學生從“運動”的觀點進一步認識直線與圓的位置關(guān)

系，找到“變”與“不變”的本質(zhì)。進一步培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維能力和開放性思維能力,

讓學生從編題者的角度看問題，變被動為主動，提高學生學習的積極性。

例2.已知直線/：x+2y-5=0和圓O：x2+y2=16,求出直線/被圓。截得的弦AB的

長度。

教師簡要分析后同學們獨立解答，并請兩位同學展示解題過程。

小結(jié)：求圓中弦長的方法：

方法一：聯(lián)立直線和圓的方程，解出兩個交點坐標，用兩點間距離公式求解。

方法二：構(gòu)造直角三角形，先求弦心距，再求弦長。\AB\^2y/r2-d2

歸納總結(jié)弦長的兩種求法，觸類旁通，由一題會一類題。明確本節(jié)課求圓中弦長問

題時方法二更簡便。

【設(shè)計意圖】通過對例1的進一步改編，引導學生深入思考，關(guān)注圓中量與量之間的關(guān)

系，從定性判斷到定量計算，提高學生一題多解的能力，培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，并借助

本例題對直線被圓截得的弦長的方法進行小結(jié)歸納，并簡單總結(jié)每種方法的各自的特

點。

在方程尸-屋中有三個量,分別是弦長弦心距。和半徑r,那么我

們只要知道其中的兩個量就能求出第三個量，簡稱“知二求一”。這道例題的本質(zhì)實際

上是“已知d和r,求弦長AM

請同學們類比例2的題型設(shè)置和問法，思考一下還可能會有哪些其他的題型呢？

題型一：“已知d和r，求弦長

題型二：“已知_。和求_r_;

題型三：“已知—\AB\^：r_,求_d_。

我們知道4是弦心距，也就是圓心到直線的距離，d的大小由圓心和直線的位置

決定。如果設(shè)圓心。3,份，直線/：y=kx+m,則與叫

“2+]

探究活動2：那么在上述題型中求出d值以后，類比前面的方程思想，方程4=駕”型

右邊的四個量太加,。力中，只要知道其中的三個量就能求出剩下的第四個量，那么同學

們思考一下又會有哪些可能的題型呢？請寫在“自主編題報告單”上，完成后每個小組

派代表來展示，這些題目就留作今天每個小組對應(yīng)的課后作業(yè)。

【設(shè)計意圖】再次挖掘弦長公式中三個量之間的關(guān)系，引導學生再次自主編題，從定性

判斷到定量計算，發(fā)現(xiàn)弦長問題的本質(zhì)，達到觸類旁通，舉一反三的目的。

(六)回顧反思，共同進步

1、就這節(jié)課中探究學習的某些過程，談?wù)勀愕恼J知與體會。

讓學生先口述，然后師生共同從知識、數(shù)學思想方法、探究途徑三個方面加以總結(jié)。

知識上：

(1)直線與圓的位置關(guān)系的判斷：①幾何法；②代數(shù)法。

(2)直線和圓相交時的弦長問題：

①聯(lián)立方程求交點坐標，利用兩點間距離公式求解；

②利用圓中“兩個半”直角三角形求解。

數(shù)學思想方法：

①數(shù)形結(jié)合思想；②化歸與轉(zhuǎn)化思想

探究途徑：

化歸，類比，逆向思維……

【設(shè)計意圖】適時地組織和指導學生歸納本節(jié)課的知識要點和思想方法以及探究新知識

的一般途徑，有助于學生更好地學習，記憶和應(yīng)用和歸納，學生對本節(jié)課的學習有一個

較為整體、全面認識，希望可以通過教師的示范，幫助學生養(yǎng)成歸納反思的良好學習習

慣。

2、通過這節(jié)課的學習，你還想要進一步了解直線與圓的什么知識？你認為直線與

圓還有什么值得研究的問題？

【設(shè)計意圖】通過設(shè)計開放性問題，實現(xiàn)由知識向能力的轉(zhuǎn)化.發(fā)揮知識系統(tǒng)的整體優(yōu)

勢，并為后續(xù)的學習打好基礎(chǔ)。授人以魚不如授人以漁，作為教者，給予學生的應(yīng)是開

啟問題的鑰匙，教會學生如何思考才是關(guān)鍵。

(七)布置作業(yè)，分層提高

1.課本P101練習A1,2,3；練習Bl；

2.各組成員完成本組自編的題目并解完；

3.(選做題)已知直線/：y=+和圓C：x2+y2=16,

(1)請你具體給出左、人的一組值，使直線/與圓C相切；

(2)當直線/與圓C相離時，k、〃應(yīng)滿足什么關(guān)系；

(3)若b-k=l,試判斷直線/與圓C的位置關(guān)系。

【設(shè)計意圖】一是鞏固學生本節(jié)課所學的知識并落實教學目標，二是為后續(xù)課的學習做

好鋪墊。分層次的布置作業(yè)滿足不同層次的學生，同時留下選做題，體現(xiàn)了分層教學，

給學有余力的同學留出進一步思考的空間。

學習效果評價設(shè)計

相對于結(jié)果，過程更能反映每個學生的發(fā)展變化，體現(xiàn)出學生成長的歷程。因此，

數(shù)學學習的評價，既要重視結(jié)果，也要重視過程。

教師教學效果的評價：

課堂上教師的教學效果評價，采用定性和定量相結(jié)合的方式，用于教師的自我評價,

或聽課教師對主講教師的課上教學效果評價。

學生課堂學習態(tài)度方面：

鼓勵學生多表達、交流想法；教師能做到及時評價學生的回答，強化學生的認知；

教師能做到恰當?shù)慕o學生留出思考空間。

學生在引入環(huán)節(jié)被吸引，愿意探索和主動參與，感受到趣味性，具備學習新知識的

動機。在概念形成和深化、自主編題、歸納總結(jié)環(huán)節(jié)學生能夠積極思考，合作交流并發(fā)

表看法。課后能夠質(zhì)疑并主動分析和解決問題。所有環(huán)節(jié)中，學生擁有積極的數(shù)學學習

態(tài)度、動機和興趣，具備學好數(shù)學的自信心。

學生課堂思維能力方面：

1、觀察教學中學生能否在初中利用平面幾何知識判斷直線與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)上,

提出利用坐標法判斷直線與圓的位置關(guān)系的新思路，考查學生已有的認知水平和最近發(fā)

展區(qū)以及教師的導學能力。

提出新思路時間30秒以內(nèi)30秒一60秒1秒一2分鐘不能提出

學習效果ABCD

2、探究活動在自主編題環(huán)節(jié)中，觀察各小組能否自主編出不同類型的題目，考查學

生數(shù)學能力以及教師的導學能力。

自主編題數(shù)目4道以上2—3道1道不能編出

學習效果ABCD

3、教學效果評價，通過例題的完成情況評價教學效果。

完成時間2分鐘以內(nèi)3分鐘4分鐘不能完成

學習效果ABCD

4、在歸納反思環(huán)節(jié)，通過學生口述學習收獲，從其作總結(jié)的深刻程度可進行教學

效果評價。

學生總結(jié)收獲能在以上三個方面有能在知識、數(shù)學思想只在知識層面總結(jié)

深刻認識，總結(jié)全面方法層面總結(jié)

學習效果ABC

學生學習效果的評價:

1、通過課堂例題測評

例1.已知直線/：y=-gx+加和圓0：X2+/=16,當加為何值時，直線/與圓C相交,

相切，相離？

通過對引例的思考探究和方法總結(jié)，學生對利用幾何法和代數(shù)法判斷直線與圓的

位置關(guān)系有了一定的認識，在解決例1的過程比較順利，大部分學生都能很快利用幾何

法列出相應(yīng)的等式和不等式，極少數(shù)學生使用代數(shù)法聯(lián)立求解。但在后面計算的環(huán)節(jié)中，

很多學生都出現(xiàn)了不同程度的錯誤。大致有這樣三種：（1）在求圓心到直線的距離時，

公式d中忘帶絕對值符號；（2）部分學生距離公式?jīng)]有問題，但在解絕對值不等式時出

現(xiàn)錯誤；（3）用代數(shù)法聯(lián)立求解的五位學生都沒有算出最后結(jié)果，有三位是聯(lián)立的方程

出現(xiàn)錯誤，另外有兩位是在計算判別式時出現(xiàn)錯誤。

所以在后續(xù)的教學中，尤其針對我們學校的生源實際情況，不僅要加強知識方法上

的探究學習，同時也要注重學生基本計算能力的訓練，“會做算不對”這種現(xiàn)象要盡可

能的減少。

2、通過課后作業(yè)反饋評價

（1）課堂思維延展

通過這節(jié)課的學習，你還想要進一步了解直線與圓的什么知識？你認為直線與圓還

有什么值得研究的問題？教師通過學生對上述開放性思維延展問題的回答情況進行學

生學習效果評價。

（2）課后作業(yè)

①作業(yè)1完成情況統(tǒng)計分析:

題號得分率錯因分析

A195%計算圓心到直線的距離公式代入時計算錯誤

A2第一問100%無

第二問75%（1）聯(lián)立消元出錯；（2）不會用十字相乘法求根

A3第一問75%（1）圓的方程配方出錯；（2）計算d時出錯；（3）半徑r

忘開方

第二問85%（1）圓的方程配方出錯；（2）計算d時出錯；（3）半徑r

忘開方

B180%（1）計算4時出錯（忘帶絕對值）；（2）解不等式出錯

②作業(yè)2完成情況統(tǒng)計分析：

四個小組中，有兩個小組自主編完了探究2中的三道題，剩下兩個小組都是自主編

完了探究2中的兩道題，題目設(shè)計的數(shù)據(jù)都比較好算，同組的成員完成情況大致相同，

結(jié)果都是對的，看來是經(jīng)過商量以后的結(jié)果。唯一遺憾的是，還有一種題型這四組學生

都沒有想到。但是通過課后對學生的了解，學生對這種自主編題然后解題的新模式非常

感興趣，愿意以后有更多機會去探索，去嘗試。

③作業(yè)3完成情況統(tǒng)計分析：

全班20人中，有8人未寫此題。下面的統(tǒng)計數(shù)據(jù)是以12人為基數(shù)。

題號得分率錯因分析

(1)83.3%這兩位學生都是計算的錯誤（平方），通式寫成了。2=4（二+1）

(2)83.3%還是跟第一問同樣的錯誤，寫成了6>4（&2+1）

(3)25%其中7人沒寫（不會），另外2人通過代數(shù)計算沒有得出正確答

案。做對的3人中有2人是用代數(shù)法聯(lián)立得到判別式大于零，

從而得到相交，另1人是從幾何角度思考得出的結(jié)論。

課堂例題和練習的及時講評和交流有助于學生知識建構(gòu)時的螺旋上升，學生面對

課后作業(yè)時對知識方法的掌握程度高于面對課堂練習時的程度，即使課后作業(yè)比課堂練

習復雜，但是學生的得分率不降反升，可見注重學生知識建構(gòu)時的螺旋上升是非常有必

要的。

本教學設(shè)計與以往或其他教學設(shè)計相比的特點（300-500字數(shù)）

1.本節(jié)課采用建構(gòu)主義教學模式，教師創(chuàng)設(shè)情境后由學生自我探究并形成對概念

的理解。將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題后，教師并沒有急于引出本節(jié)課的主要教學內(nèi)容，

而是將時間交給學生讓他們自己去探究解決問題的方法，關(guān)鍵概念和結(jié)論都有學生給

出，關(guān)鍵思想方法有學生運用和表達。建構(gòu)主義學習理論指出，學生感到可以控制自己

的學習活動時，學習效果最好。同一個目標，不同的途徑，讓學生學會用不同的方法去

解決數(shù)學問題，這邊是教師在本堂課所強調(diào)的：引導學生用學過的知識，通過類比，猜

想，歸納去解決新的問題，這便是數(shù)學中最基本也是最重要的思想：轉(zhuǎn)化與回歸。因此，

本節(jié)課不僅讓學生自探究了直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，更是教會了學生思考問題

的方法和最基本的數(shù)學思想。

2.讓學生自主編題，嘗試“變式教學”新模式。教學不僅僅是為了掌握知識的結(jié)

論，更重要的是經(jīng)歷知識的過程，這是新課程的重要理念之一。在數(shù)學教學中要培養(yǎng)學

生的創(chuàng)造性思維，就要充分揭示思維過程，這其中就包括充分揭示概念的形成過程、結(jié)

論的發(fā)現(xiàn)過程、問題解決的思路探索過程。為此，這節(jié)課我作了一個大膽的嘗試，由引

例的實際問題到后面的例1和例2都是通過變式得到，通過我對引例中得到的數(shù)學題目

進一步改編（把引例中直線/的方程改為丁=-3%+機）得到例1后，不急于讓學生去做，

而是問學生“這樣變有什么變化？”“直線是怎么動的？還可以怎么動？后面的

問題該怎么設(shè)計？”教師只是改變了題目的條件，讓學生根據(jù)題目的變化特征去設(shè)計問

題。讓學生先從“形”的角度分析直線和圓運動的多種可能性，然后對應(yīng)到“數(shù)”的角

度由學生去自主編題，各個小組編完的題目由本組的成員當作課后作業(yè)自己完成。通過

教師的示范，培養(yǎng)學生一題多變，點線結(jié)合，體會從靜止到運動的變化規(guī)律，主動參與

到變式教學中，變被動為主動，提高學生學習數(shù)學的興趣。

教學反思

《注重思想方法的形成過程，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的合理重組》

本節(jié)課是“直線與圓的位置關(guān)系”的起始課，我在這節(jié)課的很多環(huán)節(jié)都做了很多新

的嘗試，下面結(jié)合本節(jié)課的設(shè)計思路談一些自己的想法。

一、巧設(shè)問題，合理引入課題，激發(fā)學生學習數(shù)學熱情

根據(jù)社會熱點問題和學生的知識儲備，我改編了教材中的一個引例，通過豐富問題

情境的社會背景和數(shù)據(jù)的修改，讓引例得到的數(shù)學模型圖是非常接近相切的，一開始就

讓學生產(chǎn)生一種錯覺，有時僅憑肉眼觀察得出的結(jié)論不一定準確。這也應(yīng)正了華羅庚說

過的一句話：“形少數(shù)時難入微”，讓學生一開始就體會數(shù)與形的緊密聯(lián)系，為后面的教

學埋下伏筆。

二、精心設(shè)計有效問題鏈，實現(xiàn)認知結(jié)構(gòu)的合理建構(gòu)

當學生看到引例的數(shù)學模型圖時，我設(shè)計了如下的問題鏈：“你能判斷它們的位置

關(guān)系嗎？”“依據(jù)是什么？