北師大版九年級數(shù)學(xué)期中期末考試滿分全攻略九年級下冊第3章圓(典型題專練)原卷版+解析

九下第3章圓典型題專練一、單選題1．（2023·江蘇·連云港市新海實驗中學(xué)九年級期中）如圖，以CD為直徑的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．則MD的長為（）A．4 B．6 C．8 D．102．（2023·遼寧和平·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C和點D是⊙O上位于直徑AB兩側(cè)的點，連接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半徑是13，BD＝24，則sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．3．（2023·福建寧化·九年級期中）如圖，點A、B、C是⊙O上的點，且∠ACB=40°，陰影部分的面積為8π，則此扇形的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．64．（2023·河南西華·九年級期中）如圖，在中，，為互相垂直且相等的兩條弦，，，垂足分別為，，若，則的半徑是（）A． B． C． D．5．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，正六邊形的邊長為2，分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個月牙形的面積之和（陰影部分面積）是（）A． B． C． D．6．（2023·安徽包河·三模）已知CD是⊙O的非直徑的弦，弦AB過弦CD的中點P，則下列選項不正確的是（）A．若AB是⊙O的直徑，則AB平分∠CADB．若AC2=PA·AB，則AB是⊙O的直徑C．若△BCD是等腰三角形，則△ACD也是等腰三角形D．若PB=4PA，則CD=PB7．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·二模）下列說法正確的是（）①平行四邊形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形;②的算術(shù)平方根是；③若，則點在第二象限；④若等腰三角形其中兩條邊的長度分別為和，則它的周長為或；⑤若用半徑為，圓心角為的扇形成圓錐，則圓錐的底面圓半徑為．A．①⑤ B．②④⑤ C．②⑤ D．②③④8．（2023·江西·宜春市宜陽學(xué)校九年級期中）下列說法正確的是（）A．三點確定一個圓B．圓的切線垂直于過切點的半徑C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧D．長度相等的弧是等弧9．（2023·山東牡丹·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點C，過A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足為點D，E，連接AC，BC，若AD＝，CE＝3，則的長為（）A． B．π C．π D．π10．（2023·廣西玉林·中考真題）如圖，在中，，，，點O是AB的三等分點，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動點，則MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．811．（2023·河北長安·模擬預(yù)測）如圖，中，，，，以點為圓心3為半徑的優(yōu)弧分布交，于點，點優(yōu)弧上的動點，點為的中點，則長的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題12．（2023·遼寧遼陽·中考真題）如圖，是⊙上的四點，且點是的中點，交于點，，，那么_____．13．（2023·福建閩侯·一模）在半徑為6cm的圓中，120°的圓心角所對的弧長為_____cm．14．（2023·四川江油·九年級期末）已知扇形的弧長為2πcm，半徑為3cm，則該扇形的面積為_____cm2．15．（2023·湖南永州·中考真題）已知圓錐的底面周長是分米，母線長為1分米，則圓錐的側(cè)面積是__________平方分米．16．（2023·山東省濟(jì)南興濟(jì)中學(xué)九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，直線DA與⊙O相切于點A，DO交⊙O于點C，連接BC，若∠ABC＝21°，則∠ADC的度數(shù)為_____．17．（2023·江蘇工業(yè)園區(qū)·九年級月考）如圖，點O為優(yōu)弧所在圓的圓心，，點D在延長線上，，則_________．18．（2023·寧夏·中考真題）如圖，是圓的弦，，垂足為點，將劣弧沿弦折疊交于的中點，若，則圓的半徑為_____．19．（2023·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)二模）如圖，一個寬為2cm的刻度尺在圓上移動，當(dāng)刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓兩個交點處的讀數(shù)恰好為“2”，“8”（單位：cm），那么，該圓的半徑為____．20．（2023·天津市耀華嘉誠國際中學(xué)九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，若∠ABD=55°，則∠BCD的度數(shù)___．21．（2023·江蘇·吳江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗初級中學(xué)九年級月考）已知一個三角形的三邊長分別為5、7、8，則其內(nèi)切的半徑為________．22．（2023·湖南寧鄉(xiāng)·九年級期末）在半徑為的圓形紙片上裁出一個邊長最大的正方形紙片，則這個正方形紙片的邊長應(yīng)為______．23．（2023·河南·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=，以點B為圓心，AB為半徑作弧交AC于點E，則圖中陰影部分面積是______________．三、解答題24．（2023·甘肅安定·九年級期末）如圖AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的長．25．（2023·廣東香洲·九年級期末）如圖，是⊙O直徑，是的弦，，求的度數(shù)．26．（2023·遼寧遼陽·中考真題）如圖，是⊙的直徑，點和點是⊙上的兩點，連接，，，過點作射線交的延長線于點，使．（1）求證：是⊙的切線；（2）若，求陰影部分的面積．27．（2023·江西·中考真題）如圖1，為半圓的直徑，點為圓心，為半圓的切線，過半圓上的點作交于點，連接．（1）連接，若，求證：是半圓的切線；（2）如圖2，當(dāng)線段與半圓交于點時，連接，，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．28．（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，是⊙O的直徑，點是AB的中點，連接并延長至點，使，點是上一點，且，的延長線交的延長線于點，交⊙O于點，連接．（1）求證：是⊙O的切線；（2）當(dāng)時，求的長．29．（2023·遼寧龍港·二模）如圖，，，是半徑為2的⊙O上三個點，為直徑，的平分線交⊙O于點，過點作的垂線，交的延長線于點，延長交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，求的值．30．（2023·陜西紫陽·九年級期末）如圖，在中，AB為直徑，CD與相切于點C，弦于點E，連接AC．（1）求證：；（2）當(dāng)時，，，求AD的長．31．（2023·河北安新·九年級期末）如圖1，扇形的半徑為4，圓心角為，點為AB上任意一點（不與點，重合），且于點，點為的內(nèi)心，連接，，．（1）求的度數(shù)；（2）如圖2，⊙為的外接圓，點在AB上運(yùn)動．①當(dāng)時，判斷與⊙的位置關(guān)系，并加以證明；②設(shè)⊙的半徑為，若的值不隨點的運(yùn)動而改變，請直接寫出的值；若隨著點的運(yùn)動而在一個范圍內(nèi)變化，請直接寫出這個變化范圍．32．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E，延長EC，AB交于點F，∠ECD＝∠BCF．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半徑．33．（2023·廣西河池·中考真題）如圖，五邊形內(nèi)接于，與相切于點，交延長線于點．（1）若，求證：；（2）若，求的長．34．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，D是AB上的一點，C是⊙O上的一點，過點D作AB的垂線，與過點C的切線相交于點P，PD與AC相交于點E．（1）求證：△PCE是等腰三角形；（2）連接BC，若，，，求的長．35．（2023·陜西·西安市鐵一中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，AB為⊙O的直徑，BC是⊙O的一條弦，點D在⊙O上，BD平分∠ABC，過點D作EF⊥BC，分別交BA、BC的延長線于點E、F．（1）求證：EF為⊙O的切線；（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的長．36．（2023·四川廣元·中考真題）如圖，在Rt△ABC中，，是的平分線，以為直徑的⊙O交邊于點E，連接，過點D作，交于點F．（1）求證：是⊙O的切線；（2）若，，求線段的長．37．（2023·北京朝陽·九年級期末）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的半徑為2，A，B為⊙O外兩點，AB＝1.給出如下定義：平移線段AB，使線段AB的一個端點落在⊙O上，其他部分不在⊙O外，點A，B對應(yīng)點分別為點A′，B′，線段AA′長度的最大值稱為線段AB到⊙O的“極大距離”，記為d（AB，⊙O）．（1）若點A（4，0）．①當(dāng)點B為（3，0），如圖所示，平移線段AB，在點P1（2，0），P2（1，0），P3（1，0），P4（，0）中，連接點A與點的線段的長度為d（AB，⊙O）；②當(dāng)點B為（4，1），求線段AB到⊙O的“極大距離”所對應(yīng)的點A′的坐標(biāo)；（2）若點A（4，4），d（AB，⊙O）的取值范圍是．九下第3章圓典型題專練一、單選題1．（2023·江蘇·連云港市新海實驗中學(xué)九年級期中）如圖，以CD為直徑的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．則MD的長為（）A．4 B．6 C．8 D．10答案：A分析：連接OB，根據(jù)垂徑定理得出，設(shè)半徑為r，再根據(jù)勾股定理列出方程，解方程即可得出答案．【詳解】連接OB∵且過圓心，∴設(shè)半徑為r，則在中，解得：∴∴故選A．【點睛】本題考查了垂徑定理和勾股定理，連接OB，構(gòu)造直角三角形是解決本題的關(guān)鍵．2．（2023·遼寧和平·中考真題）如圖，AB是⊙O的直徑，點C和點D是⊙O上位于直徑AB兩側(cè)的點，連接AC，AD，BD，CD，若⊙O的半徑是13，BD＝24，則sin∠ACD的值是（）A． B． C． D．答案：D分析：首先利用直徑所對的圓周角為90°得到△ABD是直角三角形，然后利用勾股定理求得AD邊的長，然后求得∠B的正弦即可求得答案．【詳解】∵AB是直徑，∴∠ADB＝90°，∵⊙O的半徑是13，∴AB＝2×13＝26，由勾股定理得：AD＝10，∴sin∠B＝∵∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sin∠B＝，故選D．【點睛】本題考查了圓周角定理及解直角三角形的知識，解題的關(guān)鍵是能夠得到直角三角形并利用銳角三角函數(shù)求得一個銳角的正弦值，難度不大．3．（2023·福建寧化·九年級期中）如圖，點A、B、C是⊙O上的點，且∠ACB=40°，陰影部分的面積為8π，則此扇形的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：D分析：根據(jù)圓周角定理可求出∠AOB的度數(shù)，設(shè)扇形半徑為x，從而列出關(guān)于x的方程，即可求解．【詳解】由題意可知：∠AOB＝2∠ACB＝2×40°＝80°，設(shè)扇形半徑為r，故陰影部分的面積為，故解得：，（不合題意，舍去），故選D．【點睛】本題主要考查了圓周角定理以及扇形的面積求解，解本題的要點在于根據(jù)題意列出關(guān)于x的方程．4．（2023·河南西華·九年級期中）如圖，在中，，為互相垂直且相等的兩條弦，，，垂足分別為，，若，則的半徑是（）A． B． C． D．答案：A分析：根據(jù)垂徑定理可知，AE=CE，AD=BD，易證四邊形ODAE是正方形，即可求得．【詳解】如圖，連接OA∵，，AB⊥AC∴四邊形ODAE是矩形，AE=CE，AD=BD又∵，∴AE=AD=2∴四邊形ODAE是正方形，且邊長為2∴⊙O的半徑OA=故選A【點睛】本題考查垂徑定理，掌握垂徑定理的條件和結(jié)論是解題的關(guān)鍵．5．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，正六邊形的邊長為2，分別以正六邊形的六條邊為直徑向外作半圓，與正六邊形的外接圓圍成的6個月牙形的面積之和（陰影部分面積）是（）A． B． C． D．答案：A分析：圖中陰影部分面積等于6個小半圓的面積和﹣（大圓的面積﹣正六邊形的面積）即可得到結(jié)果．【詳解】解：6個月牙形的面積之和，故選A．【點睛】本題考查了正多邊形與圓，圓的面積的計算，正六邊形的面積的計算，正確的識別圖形是解題的關(guān)鍵．6．（2023·安徽包河·三模）已知CD是⊙O的非直徑的弦，弦AB過弦CD的中點P，則下列選項不正確的是（）A．若AB是⊙O的直徑，則AB平分∠CADB．若AC2=PA·AB，則AB是⊙O的直徑C．若△BCD是等腰三角形，則△ACD也是等腰三角形D．若PB=4PA，則CD=PB答案：C分析：A、根據(jù)垂徑定理即可判斷；B、證明△ACP∽△ABC，即可判斷；C、當(dāng)DB=DC時，△ACD不一定是等腰三角形；D、證明△PAC∽△PDB，利用相似三角形的性質(zhì)求解即可判斷．【詳解】解：如圖①，當(dāng)AB是的直徑時，∵點P是弦CD的中點，OC=OD，∴OP⊥CD，∴BD=，∴AB平分∠CAD，∴A選項正確；如圖①，當(dāng)AC2=PA·AB時，且∠CAP=∠BAC，∴△ACP∽△ABC，，，∴，∴AC=又∵點P是弦CD的中點，∴AB是⊙O的直徑，∴B選項正確；如圖②，以點D為圓心，CD長為半徑作弧交于另一點B，則△BCD是等腰三角形，連接BP并延長交于點A，顯然AB不一定是的直徑，∴△ACD不是等腰三角形，∴C選項錯誤；如圖③，∵∠A=∠D，∠C=∠B，∴△PAC∽△PDB，，，，，，，∵點P是弦CD的中點，∴CD=2PC=4PA=PB，∴D答案正確，故選：C．【點睛】本題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練運(yùn)用轉(zhuǎn)化圓的相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵．7．（2023·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·二模）下列說法正確的是（）①平行四邊形既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形;②的算術(shù)平方根是；③若，則點在第二象限；④若等腰三角形其中兩條邊的長度分別為和，則它的周長為或；⑤若用半徑為，圓心角為的扇形成圓錐，則圓錐的底面圓半徑為．A．①⑤ B．②④⑤ C．②⑤ D．②③④答案：C分析：利用平行四邊形的性質(zhì)，算術(shù)平方根的定義，平面直角坐標(biāo)系各象限內(nèi)的點的坐標(biāo)特征，三角形的三邊關(guān)系及扇形的弧長與底面圓的周長關(guān)系逐一進(jìn)行判斷即可得解；【詳解】解：①平行四邊形是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形，故①不正確；②的算術(shù)平方根是，故②正確；③若，則，點在第一象限，故③不正確；④若等腰三角形其中兩條邊的長度分別為和，當(dāng)腰為2時，三邊為2，2，4，而2+2=4，不能構(gòu)成三角形，當(dāng)腰為4時，三邊為4，4，2，滿足2+4>4，能構(gòu)成三角形，周長為10，故④不正確；⑤由扇形的弧長等于底面圓周長，即，解得，故⑤正確；故選擇：C【點睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，算術(shù)平方根的定義，平面直角坐標(biāo)系各象限內(nèi)的點的坐標(biāo)特征，三角形的三邊關(guān)系及扇形的弧長與底面圓的周長關(guān)系，知識面比較廣，熟練掌握相關(guān)的知識點并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．8．（2023·江西·宜春市宜陽學(xué)校九年級期中）下列說法正確的是（）A．三點確定一個圓B．圓的切線垂直于過切點的半徑C．平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧D．長度相等的弧是等弧答案：B分析：根據(jù)圓的切線，弦和弧的概念逐一判斷即可．【詳解】不共線的三點確定一個圓，故A選項錯誤；圓的切線垂直于過切點的半徑，故B選項正確；平分弦（非直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧，故C選項錯誤；能夠互相重合的弧為等弧，故D選項錯誤；故選B．【點睛】本題考查了圓的基礎(chǔ)知識，熟練的掌握圓的相關(guān)基礎(chǔ)定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．9．（2023·山東牡丹·二模）如圖，AB是⊙O的直徑，直線DE與⊙O相切于點C，過A，B分別作AD⊥DE，BE⊥DE，垂足為點D，E，連接AC，BC，若AD＝，CE＝3，則的長為（）A． B．π C．π D．π答案：D分析：連接OC，由AB是⊙O的直徑得到∠ACB＝90°，由此證得∠DAC＝∠ECB，再證△ADC∽△CEB，列對應(yīng)邊成比例由此求出∠ABC＝30°，根據(jù)直線DE與⊙O相切于點C求出∠ACD＝∠ABC＝30°求出AB得到半徑，再利用弧長公式計算.【詳解】解：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCE＝90°，∵AD⊥DE，BE⊥DE，∴∠DAC+∠ACD＝90°，∴∠DAC＝∠ECB，∵∠ADC＝∠CEB＝90°，∴△ADC∽△CEB，∴，即，∵tan∠ABC＝，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC，∠AOC＝60°，∵直線DE與⊙O相切于點C，∴∠ACD＝∠ABC＝30°，∴AC＝2AD＝2，∴AB＝4，∴⊙O的半徑為2，∴AC的長為：＝π，故選：D．【點睛】此題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，切線的性質(zhì)定理，相似三角形的判定及性質(zhì)定理，三角函數(shù)，弧長公式，綜合掌握各知識點是解題的關(guān)鍵.10．（2023·廣西玉林·中考真題）如圖，在中，，，，點O是AB的三等分點，半圓O與AC相切，M，N分別是BC與半圓弧上的動點，則MN的最小值和最大值之和是（）A．5 B．6 C．7 D．8答案：B分析：設(shè)⊙O與AC相切于點D，連接OD，作垂足為P交⊙O于F，此時垂線段OP最短，PF最小值為，當(dāng)N在AB邊上時，M與B重合時，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，根據(jù)圖形與圓的性質(zhì)即可求解.【詳解】如圖，設(shè)⊙O與AC相切于點D，連接OD，作垂足為P交⊙O于F，此時垂線段OP最短，PF最小值為，∵，，∴∵，∴∵點O是AB的三等分點，∴，，∴，∵⊙O與AC相切于點D，∴，∴，∴，∴，∴MN最小值為，如圖，當(dāng)N在AB邊上時，M與B重合時，MN經(jīng)過圓心，經(jīng)過圓心的弦最長，MN最大值，,∴MN長的最大值與最小值的和是6．故選B．【點睛】此題主要考查圓與三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知圓的性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì).11．（2023·河北長安·模擬預(yù)測）如圖，中，，，，以點為圓心3為半徑的優(yōu)弧分布交，于點，點優(yōu)弧上的動點，點為的中點，則長的取值范圍是（）A． B． C． D．答案：D分析：首先根據(jù)勾股定理求得AB=8，然后根據(jù)的性質(zhì)求得NE和OE的長，當(dāng)點P在M處時，AC有最小值，此時，在中應(yīng)用勾股定理即可求解；當(dāng)P在點N處時，AC有最大值，根據(jù)的性質(zhì)求出CF、FO、AF，然后在中應(yīng)用勾股定理即可求解．【詳解】∵OA=6，OB=10，ON=OM=3∴AM=OA-OM=3∴在中，過N點作于點E

∴又∵∴ΔNOE～∴∴∴，當(dāng)點P在點M、N處時，AC分別有最小值和最大值當(dāng)點P在M處時，AC有最小值∵C是BP的中點，∴∴在中，∴當(dāng)P在點N處時，AC有最大值∴∵∴∴∴，∴，∴在中，綜上所述，故選D．【點睛】本題考查了圓的性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定和性質(zhì)，題目較為綜合，難度較大，根據(jù)題意討論兩種情況是本題的關(guān)鍵．二、填空題12．（2023·遼寧遼陽·中考真題）如圖，是⊙上的四點，且點是的中點，交于點，，，那么_____．答案：60°分析：根據(jù)圓周角與圓心角的關(guān)系即可求解.【詳解】解：連接．∵，∴，∴，∵，，∴，故答案為60°．【點睛】此題主要考查圓周角定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知圓周角定理的性質(zhì).13．（2023·福建閩侯·一模）在半徑為6cm的圓中，120°的圓心角所對的弧長為_____cm．答案：4π分析：根據(jù)弧長的計算公式計算可得答案.【詳解】解：由弧長計算公式為:可得：==4，故本題正確答案為4.【點睛】本題主要考查弧長的計算,其中弧長公式為：.14．（2023·四川江油·九年級期末）已知扇形的弧長為2πcm，半徑為3cm，則該扇形的面積為_____cm2．答案：3π分析：根據(jù)公式扇形的面積＝弧長與半徑積的一半，即可得出答案．【詳解】解：∵扇形的弧長為2πcm，半徑為3cm，∴扇形的面積是（cm2），故答案為：3π．【點睛】本題考查的是扇形的面積，牢記扇形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵．15．（2023·湖南永州·中考真題）已知圓錐的底面周長是分米，母線長為1分米，則圓錐的側(cè)面積是__________平方分米．答案：分析：根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖就是扇形，求圓錐的側(cè)面積就是求扇形的面積，圓錐的底面周長就是扇形弧長，母線長就是扇形的半徑，根據(jù)扇形面積公式，即可求解．【詳解】根據(jù)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形可知，扇形的弧長等于圓錐底面周長為分米，扇形的半徑等于母線長為1分米，根據(jù)得，平方分米．故答案為．【點睛】本題主要考查扇形的面積公式，掌握圓錐的側(cè)面展開圖是解答本題的關(guān)鍵．16．（2023·山東省濟(jì)南興濟(jì)中學(xué)九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，直線DA與⊙O相切于點A，DO交⊙O于點C，連接BC，若∠ABC＝21°，則∠ADC的度數(shù)為_____．答案：48°分析：根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)切線的性質(zhì)可得，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余求解即可．【詳解】解：，，∵AB是的直徑，直線與相切與點，，．故答案為48°.【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，熟記各性質(zhì)并準(zhǔn)確識圖是解題的關(guān)鍵．17．（2023·江蘇工業(yè)園區(qū)·九年級月考）如圖，點O為優(yōu)弧所在圓的圓心，，點D在延長線上，，則_________．答案：27°分析：根據(jù)圓周角定理，可得出∠ABC的度數(shù)，再根據(jù)BD=BC，即可得出答案．【詳解】解：∵∠AOC=108°，∴∠ABC=54°，

∵BD=BC，∴∠D=∠BCD=∠ABC=27°，

故答案為27°．【點睛】本題考查了圓周角定理、三角形外角的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識比較簡單．18．（2023·寧夏·中考真題）如圖，是圓的弦，，垂足為點，將劣弧沿弦折疊交于的中點，若，則圓的半徑為_____．答案：．分析：連接OA，設(shè)半徑為x，用x表示OC，根據(jù)勾股定理建立x的方程，便可求得結(jié)果．【詳解】解：解：連接OA，設(shè)半徑為x，

將劣弧沿弦AB折疊交于OC的中點D，

，，

，

，

，

解得，．

故答案為．【點睛】本題主要考查了圓的基本性質(zhì)，垂徑定理，勾股定理，關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列出半徑的方程．19．（2023·寧夏·銀川唐徠回民中學(xué)二模）如圖，一個寬為2cm的刻度尺在圓上移動，當(dāng)刻度尺的一邊與圓相切時，另一邊與圓兩個交點處的讀數(shù)恰好為“2”，“8”（單位：cm），那么，該圓的半徑為____．答案：cm分析：設(shè)OB=rcm，由于刻度尺的寬為2cm，所以O(shè)C=r-2，再根據(jù)另一邊與圓兩個交點處的讀數(shù)恰好為“2”和“8”可求出BC的長，在Rt△OBC中利用勾股定理即可得出r的值．【詳解】根據(jù)題意獲得下圖：

設(shè)OB=rcm，∵刻度尺的寬為2cm，∴OC=r-2，∵另一邊與圓兩個交點處的讀數(shù)恰好為“2”和“8”，∴BC=×6=3，在Rt△OBC中，∵OB2=OC2+BC2，即r2=（r-2）2+32，解得r=cm．故答案為cm．【點睛】本題考查的是垂徑定理的應(yīng)用及勾股定理，根據(jù)題意得出BC=3是解答此題的關(guān)鍵．20．（2023·天津市耀華嘉誠國際中學(xué)九年級期末）如圖，AB是⊙O的直徑，點C，D在⊙O上，若∠ABD=55°，則∠BCD的度數(shù)___．答案：35°分析：連接AD，根據(jù)圓周角的性質(zhì)得到∠ADB=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DAB=35°，最后根據(jù)同弧多對圓周角相等即可求解．【詳解】連接AD∵AB是⊙O的直徑∴∠ADB=90°∵∠ABD=55°∵∠DAB=90°-55°=35°∴∠BCD=∠DAB=35°故答案為35°．【點睛】本題考查了圓周角定理，正確的做出輔助線是本題的關(guān)鍵，并且要熟練應(yīng)用圓周角的性質(zhì)．21．（2023·江蘇·吳江經(jīng)濟(jì)技術(shù)開發(fā)區(qū)實驗初級中學(xué)九年級月考）已知一個三角形的三邊長分別為5、7、8，則其內(nèi)切的半徑為________．答案：分析：如圖，AB=7，BC=5，AC=8，內(nèi)切圓的半徑為r，切點為G、E、F，作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，則CD=5-x．由AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，可得72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，推出AD=4，由?BC?AD=?（AB+BC+AC）?r，列出方程即可解決問題．【詳解】解：如圖，AB=7，BC=5，AC=8，內(nèi)切圓的半徑為r，切點為G、E、F，作AD⊥BC于D，設(shè)BD=x，則CD=5-x．

由勾股定理可知：AD2=AB2-BD2=AC2-CD2，

即72-x2=82-（5-x）2，解得x=1，

∴AD=4，

∵?BC?AD=?（AB+BC+AC）?r，×5×4=×20×r，

∴r=，

故答案為：【點睛】本題考查三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心、勾股定理、三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會利用面積法求內(nèi)切圓的半徑，屬于中考常考題型．22．（2023·湖南寧鄉(xiāng)·九年級期末）在半徑為的圓形紙片上裁出一個邊長最大的正方形紙片，則這個正方形紙片的邊長應(yīng)為______．答案：分析：先根據(jù)題意畫出圖形，再連接OB、OC，過O作OE⊥BC，設(shè)此正方形的邊長為a，由垂徑定理及正方形的性質(zhì)得出OE=BE=，再由勾股定理即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接OB、OC，過O作OE⊥BC，設(shè)此正方形的邊長為a，

∵OE⊥BC，

∴OE=BE=，又OB=8∴在Rt⊿OBE中，由勾股定理得：,∴解得：,故答案為：【點睛】本題考查的是正多邊形和圓，解答此類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解．23．（2023·河南·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，BC=，以點B為圓心，AB為半徑作弧交AC于點E，則圖中陰影部分面積是______________．答案：分析：根據(jù)勾股定理可以求得AB的長，然后根據(jù)扇形的面積公式和三角形的面積公式即可求得陰影部分的面積．【詳解】連接BE，∵在中，，，；∴，；∵；∴是等邊三角形；∴圖中陰影部分面積是：．故答案為：．【點睛】本題考查扇形面積的計算，應(yīng)用到勾股定理、直角三角形的性質(zhì)等知識，掌握扇形面積計算公式為解題關(guān)鍵．三、解答題24．（2023·甘肅安定·九年級期末）如圖AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點E，若EB＝9，AE＝1，求弦CD的長．答案：6分析：根據(jù)垂徑定理得到CE=ED，連接OC，再根據(jù)已知條件得到OE和OC的長，利用勾股定理求出CE，即可得到CD的長；【詳解】解：連接OC，如圖，∵CD⊥AB，∴CE＝DE，∵EB＝9，AE＝1，∴AB＝10，OC＝OA＝5，∴OE＝4，在Rt△OCE中，CE＝，∴CD＝2CE＝6．【點睛】本題考查垂徑定理、勾股定理等知識點，正確連接輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（2023·廣東香洲·九年級期末）如圖，是直徑，是的弦，，求的度數(shù)．答案：分析：連接BC，利用直徑對的圓周角是，得到，再利用同弧所對的圓周角相等，得到,最后利用三角形內(nèi)角和定理即可求解．【詳解】解：連接．是⊙O的直徑．AC=AC=即【點睛】本題考查了直徑所對的圓周角是直角，已經(jīng)同弧所對的圓周角相等的基本知識，屬于基礎(chǔ)題．26．（2023·遼寧遼陽·中考真題）如圖，是⊙的直徑，點和點是⊙上的兩點，連接，，，過點作射線交的延長線于點，使．（1）求證：是⊙的切線；（2）若，求陰影部分的面積．答案：（1）見解析；（2）分析：（1）連接，過作于，由直角三角形的性質(zhì)及角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)直角的定義即可證明∠CAO=90°，即可證明；（2）由及圓的性質(zhì)可得是等邊三角形，再利用割補(bǔ)法即可求出陰影部分的面積.【詳解】（1）證明：連接，過作于，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是⊙的切線；（2）解：∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∵，∴，，∴是等邊三角形，∴，，∴，∴，在中，，∴，∴陰影部分的面積．【點睛】此題主要考查圓的切線與扇形面積的求解，解題的關(guān)鍵是熟知圓的性質(zhì)及判定定理.27．（2023·江西·中考真題）如圖1，為半圓的直徑，點為圓心，為半圓的切線，過半圓上的點作交于點，連接．（1）連接，若，求證：是半圓的切線；（2）如圖2，當(dāng)線段與半圓交于點時，連接，，判斷和的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．答案：（1）見解析；（2）分析：（1）連接，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，推出四邊形是平行四邊形，得到，等量代換得到，推出四邊形是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，于是得到結(jié)論；（2）如圖2，連接，根據(jù)圓周角定理得到，求得，證得，等量代換即可得到結(jié)論．【詳解】（1）證明：連接，為半圓的切線，為半圓的直徑，，，，四邊形是平行四邊形，，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，是半圓的切線；（2）解：，理由：如圖2，連接，為半圓的直徑，，，，，，，，．【點睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，圓周角定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．28．（2023·廣西·模擬預(yù)測）如圖，是的直徑，點是的中點，連接并延長至點，使，點是上一點，且，的延長線交的延長線于點，交于點，連接．（1）求證：是的切線；（2）當(dāng)時，求的長．答案：（1）見解析；（2）分析：（1）根據(jù)OC是△ABD是中位線，得到OC∥BD，根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可證明；（2）首先證明△OCE∽△BFE，得到AB和BF的長，然后根據(jù)勾股定理在Rt△ABF中求得AF的長，然后根據(jù)三角形的面積列出S△ABF＝AB?BF＝AF?BH，代入數(shù)值即可求解BH的長．【詳解】（1）證明：連接OC，∵AB是⊙O的直徑，點C是AB的中點，∴∠AOC＝90°，∵OA＝OB，CD＝AC，∴OC是△ABD是中位線，∴OC∥BD，∴∠ABD＝∠AOC＝90°，∴AB⊥BD，∵點B在⊙O上，∴BD是⊙O的切線；（2）解：由（1）知，OC∥BD，∴∠EOC＝∠EBF，∵∠OEC＝∠BEF，∴△OCE∽△BFE，∴，∵OB＝4，∴OC＝OB＝4，AB＝8，∵，∴，∴BF＝6，在Rt△ABF中，∠ABF＝90°，根據(jù)勾股定理得，AF＝10，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AHB＝90°，即BH⊥AF，∵S△ABF＝AB?BF＝AF?BH，∴AB?BF＝AF?BH，∴8×6＝10BH，∴BH＝故答案為（1）見解析；（2）．【點睛】本題考查了三角形的中位線的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)和判定方法，證明線段是圓的切線即是證明該線段和直徑或半徑垂直，正確利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)求出AB和BF的長是本題的關(guān)鍵．29．（2023·遼寧龍港·二模）如圖，，，是半徑為2的⊙O上三個點，為直徑，的平分線交⊙O于點，過點作的垂線，交的延長線于點，延長交的延長線于點．（1）求證：是的切線；（2）若，求的值．答案：（1）見解析；（2）分析：（1）連接，證明，得到，問題得證；（2）先求出，再根據(jù)證明，求出，，根據(jù)三角函數(shù)定義即可求解．【詳解】解：（1）證明：連接，∵，∴，∵是的平分線，∴，∴，∴，∵，∴，∵是的半徑，∴是的切線．（2）解：∵中，，，∴根據(jù)勾股定理得，∵，∴，∴，即，∴，，∴，∴在中，．

【點睛】本題考查了切線的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，求三角函數(shù)值等知識，綜合性強(qiáng)，熟知相關(guān)定理，并根據(jù)題意添加輔助線構(gòu)造直角三角形、等腰三角形、相似三角形是解題關(guān)鍵．30．（2023·陜西紫陽·九年級期末）如圖，在中，AB為直徑，CD與相切于點C，弦于點E，連接AC．（1）求證：；（2）當(dāng)時，，，求AD的長．答案：（1）見解析；（2）．分析：（1）連接OC，由切線性質(zhì)可得，即．再由弦CF⊥AB，可知．又由OA=OC得∠ACO=∠CAE，最后根據(jù)等量代換即可證明．（2）由垂徑定理可知．設(shè)⊙O的半徑為r，在中，根據(jù)勾股定理可列出關(guān)于r的方程，即可求出圓的半徑，從而求出AE長度，再判斷，即可求出AD．【詳解】（1）連接OC，∵CD切于點C，∴，∴．∵，∴，∴．∵，∴，∴；（2）∵，，∴．設(shè)的半徑為r，則，在中，，即，解得：，∴．由（1）可知，．又∵，AC=AC，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、等腰三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理等知識，綜合性強(qiáng)．熟練掌握各知識點是解本題的關(guān)鍵．31．（2023·河北安新·九年級期末）如圖1，扇形的半徑為4，圓心角為，點為上任意一點（不與點，重合），且于點，點為的內(nèi)心，連接，，．（1）求的度數(shù)；（2）如圖2，⊙為的外接圓，點在上運(yùn)動．①當(dāng)時，判斷與⊙的位置關(guān)系，并加以證明；②設(shè)⊙的半徑為，若的值不隨點的運(yùn)動而改變，請直接寫出的值；若隨著點的運(yùn)動而在一個范圍內(nèi)變化，請直接寫出這個變化范圍．答案：（1）；（2）①相切，見解析；②的值是定值，分析：（1）先證,得到，再根據(jù)點為的內(nèi)心，，進(jìn)而推出的度數(shù)，從而得到∠OPB的度數(shù)．（2）①在優(yōu)弧上取一點，連接，．由（1）易證得，又由，證得，判斷出與⊙的位置關(guān)系是相切．②由（2）知:當(dāng)點C在上運(yùn)動時，△OBM始終為等腰直角三角形，而OB=4，故其半徑r=OM=MB=，不改變．【詳解】解：（1）∵點為的內(nèi)心，∴．又∵，，∴．∵于點，∴．∴．∴．∴．（2）①當(dāng)時，與相切．證明如下：如圖，在優(yōu)弧上取一點，連接，．∵點在劣弧上，且，∴．∴．連接，．∴．∴．而當(dāng)時，，∴．∴當(dāng)時，與相切．②的值是定值；．理由如下：當(dāng)點C在上運(yùn)動時，由（2）證得，OM=MB=r，△OBM為等腰直角三角形，而OB=4，故OM=MB=．

【點睛】本題主要考查了圓周角定理及圓的切線的判定定理，熟練運(yùn)用圓周角定理及圓的切線的判定是解題的關(guān)鍵．32．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AB為⊙O的直徑，過點C作CE⊥AD交AD的延長線于點E，延長EC，AB交于點F，∠ECD＝∠BCF．（1）求證：CE為⊙O的切線；（2）若DE＝1，CD＝3，求⊙O的半徑．答案：（1）見解析；（2）⊙O的半徑是4.5分析：（1）如圖1，連接OC，先根據(jù)四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，得，再根據(jù)等量代換和直角三角形的性質(zhì)可得，由切線的判定可得結(jié)論；（2）如圖2，過點O作于G，連接OC，OD，則，先根據(jù)三個角是直角的四邊形是矩形得四邊形OGEC是矩形，設(shè)⊙O的半徑為x，根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論．【詳解】（1）證明：如圖1，連接OC，∵，∴，∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，∴又∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵OC是⊙O的半徑，∴CE為⊙O的切線；（2）解：如圖2，過點O作于G，連接OC，OD，則，∵，∴四邊形OGEC是矩形，∴，設(shè)⊙O的半徑為x，Rt△CDE中，，∴，∴，，由勾股定理得，∴，解得：，∴⊙O的半徑是4.5．【點睛】本題考查的是圓的綜合，涉及到圓的切線的證明、勾股定理以及矩形的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．33．（2023·廣西河池·中考真題）如圖，五邊形內(nèi)接于，與相切于點，交延長線于點．（1）若，求證：；（2）若，求的長．答案：（1）見解析；（2）.分析：（1）由圓心角、弧、弦之間的關(guān)系得出，由圓周角定理得出∠ADE=∠DBC，證明△ADE≌△DBC，即可得出結(jié)論；（2）連接CO并延長交AB于G，作OH⊥AB于H，則∠OHG=∠OHB=90°，由切線的性質(zhì)得出∠FCG=90°，得出△CFG、△OGH是等腰直角三角形，得出CF=CG，OG=OH，由等邊三角形的性質(zhì)得出∠OBH=30°，由直角三角形的性質(zhì)得出OH=OB=1，OG=，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴AE=∴，在和中，，∴，∴；（2）解：連接并延長交于，作于，如圖所示：則，∵與⊙O相切于點，∴，∵，∴、是等腰直角三角形，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握切線的性質(zhì)和圓周角定理是解題的關(guān)鍵．34．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測）如圖，AB是的直徑，D是AB上的一點，C是上的一點，過點D作AB的垂線，與過點C的切線相交于點P，PD與AC相交于點E．（1）求證：是等腰三角形；（2）連接BC，若，，，求的長．答案：（1）見解析；（2）分析：（1）根據(jù)垂直和切線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)對頂角相等得到，根據(jù)等角對等邊即可證明；（2）作于點F，于點G，連接OE，根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到OF的長，在中應(yīng)用勾股定理得到EF的長，進(jìn)而得到CE的長，然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）證明：∵，∴．∵PC是⊙O的切線，∴．∵，∴．∴，∵，∴．∴，即是等腰三角形．（2）作于點F，于點G，連接OE，可得，，∴．∴，．∴，⊙O的半徑為5．∴．∵=∠B又∵∴△PCG～∴．∵∴．故答案為．【點睛】本題考查了圓的切線性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，三角形相似的性質(zhì)，是幾何部分的綜合題，第（2）問關(guān)鍵是證明兩個三角形相似．35．（2023·陜西·西安市鐵一中學(xué)模擬預(yù)測）如圖，AB為⊙O的直徑，BC是⊙O的一條弦，點D在⊙O上，BD平分∠ABC，過點D作EF⊥BC，分別交BA、BC的延長線于點E、F．（1）求證：EF為⊙O的切線；（2）若BD＝4，tan∠FDB＝2，求AE的長．答案：（1）見解析；（2）分析：（1）連接OD，由OB=OD及BD平分∠ABC可得OD∥BF，則由EF⊥BD可得結(jié)論；（2）連接OD、AD，由可得，從而可得，由此在Rt△ABD中，可分別求得AD、AB；由（1）中所證易得△EAD∽△EDB，，從而得AE=BE，最后可求得AE的長．【詳解】（1）如圖，連接OD則OB=OD∴∠ABD=∠BDO∵BD平分∠ABC∴∠ABD=∠FBD∴∠ABD=∠BDO∴OD∥BF∵EF⊥BC∴OD⊥EF∴EF為⊙O的切線（2）如圖，連接AD、OD∵在Rt△BFD中，∴BF=2DF∴∴即∵∴在Rt△ABD中，由勾股定理得：∵AB為⊙O的直徑∴∠ADB=90°由（1）知，OD為⊙O的切線∴∠ODB=90°∴∠EDA+∠ADO=∠ADO+∠BDO=90°∴∠EDA=∠BDO∵∠ABD=∠BDO∴∠EDA=∠ABD∵∠E=∠E∴△EAD∽△EDB