高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊課后練習(xí)4空間直角坐標(biāo)系

課時分層作業(yè)(四)

(建議用時：40分鐘)

[4組基礎(chǔ)鞏固練]

一、選擇題

1.空間兩點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(x,—y,z),(―JC,—y,一z),則A,B兩點(diǎn)的位置關(guān)

系是()

A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于y軸對稱

C.關(guān)于z軸對稱D.關(guān)于原點(diǎn)對稱

B[縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)和豎坐標(biāo)互為相反數(shù)，故兩點(diǎn)關(guān)于y軸對稱.]

2.已知A(l,2,-1),B(5,6,7),則直線A8與平面xOz交點(diǎn)的坐標(biāo)是()

A.(0,1,1)B.(0,1,-3)

C.(—1,0,3)D.(—1,0,—5)

D[設(shè)直線A8與平面xoz交點(diǎn)坐標(biāo)是M(x,y,z),則鼠=(犬一1,-2,z+1),AB=

(4,4,8),

—?―?

又AM與A8共線，

X—1=42,

：.AM=\AB,即卜2=42,

.z+1=82,

解得x=-l,z=-5,.?.點(diǎn)M(—1,0,-5).故選D.]

3.設(shè)A(3,3』)，仇1,0,5),C(0,l,0),貝DAB的中點(diǎn)M到點(diǎn)C的距離|CM|=()

病C53

A-VB-T

「返D逅

J22

C[M(2,I，3),\CM\=^44-(1-1)+9=^.J

_1f

4.如圖，在空間直角坐標(biāo)系中，正方體ABCD-AB1G5的棱長為1,8山=不4山|,則BE

等于()

A.（0,-1）

B.（V，0,1）

C.（0,V，]）

D.（；,0,-1）

>>>>A>1>a>

C[{DA,DC,D/）}為單位正交向量，BE=BB\+B\E=~^DC+DD\,：.BE=

5.設(shè)｛i,j,5是單位正交基底,己知向量p在基底｛a,兒c｝下的坐標(biāo)為(8,6,4),其中

a=i+j,b=j+k,c=k+i,則向量p在基底｛i,j,A｝下的坐標(biāo)是()

A.(12,14,10)B.(10,12,14)

C.(14,12,10)D.(4,3,2)

A［依題意，知p=8a+6萬+4c=8(i+力+6(/+A)+4(A+i)=12i+14/+10A,故向量p

在基底｛i,J,A｝下的坐標(biāo)是(12,14,10).］

二、填空題

6.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)尸(1,也，小)，過點(diǎn)P作平面yOz的垂線PQ,則垂

足Q的坐標(biāo)為.

(0,嫄，小)［過P的垂線PQL面)，Oz,則。點(diǎn)橫坐標(biāo)為0,其余不變，故Q(0,y［2,

小).1

7.設(shè)｛ei，62>03｝是空間向量的一個單位正交基底,a=4ei—8e2+3e3，Z>=—2e1-3e2+

7e3，則a,5的坐標(biāo)分別為.

(4,一8,3),(-2,-3,7)［由題意可知a=(4,—8,3),》=(一2,-3,7).］

8.如圖所示，以長方體ABCQ-AiBiCi。的頂點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過。的三條棱所在的直

線為坐標(biāo)軸，建立空間直角坐標(biāo)系，若防?的坐標(biāo)為(4,3,2),則AZ的坐標(biāo)為

(一4,3,2)［由。8|=OA+OC+ODi,且OBi=(4,3,2),：.\DA\=4,\DC\=3,\DDt\=2,

―?—?—?―?—?

又AG=-D4+OC+g,AACi=(-4,3,2).］

三、解答題

9.已知三棱柱A8C-48G中，側(cè)棱底面ABC,所有的棱長都是1,建立適當(dāng)?shù)?/p>

坐標(biāo)系，并寫出各點(diǎn)的坐標(biāo).

［解］如圖所示，取AC的中點(diǎn)。和AiG的中點(diǎn)Oi,可得8OJ_AC,OOi_LAC,分別

以O(shè)B,OC,0。|所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

.?三棱柱各棱長均為1,

?Q=OC=OIG=OIAI=5，OB=2-

B,C均在坐標(biāo)軸上，

"(0,-1,0),《當(dāng)0,o),C(0,I，0).

??點(diǎn)A］與Ci在yOz平面內(nèi)，

?.A(0,-1,1),Ci(0,I，1J.

.?點(diǎn)81在xOy平面內(nèi)的射影為8,且B8i=l,

即各點(diǎn)的坐標(biāo)為A(0,一；,0),B停，0,0),C(0,0),

0,1),c［o,I，1).

10.棱長為1的正方體ABCC-ABGOi中，E,F,G分別為棱￡>。，D\C［,8c的中

點(diǎn)，以｛AB,AD,AAi｝為正交基底，求下列向量的坐標(biāo):

(1)AE,AF,AG；

(2)EF,EG,DG.

(l)AF=1AB+/W+AAi,

AE=AD+^AA\f

ff]f

AG=AB+^AD,

，AE=(O,1,￡),AF=(j,1,1),AG=(1,I，0)

(2)EF=AF-AE=^AB+^AA[f：.EF=[^f0,d；

?>?>1?1?>(1]、AA>A1>

EG=AG-AE=AB-]A。一/4],."6=(1,—一辦DG=AG-AD=AB-^AD,

：.DG=^1,0).

[6組素養(yǎng)提升練]

H.(多選題)下列各命題正確的是()

A.點(diǎn)(1,—2,3)關(guān)于平面xOz的對稱點(diǎn)為(1,2,3)

B.點(diǎn)&1,—3)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為(一；，1,3)

C.點(diǎn)⑵一1,3)到平面yOz的距離為1

D.設(shè)｛i,燈是空間向量的單位正交基底，若，"=3i—〃+4鼠則析=(3,-2,4).

ABD[”關(guān)于誰對稱誰不變”，；.A正確，B正確，C中(2,—1,3)到面yOz的距離為

2,；.C錯誤.根據(jù)空間向量的坐標(biāo)定義，D正確.]

12.在棱長為1的正方體A8C?AIBIGZ)I中，P為正方體內(nèi)一動點(diǎn)(包括表面)，若AP=

xAB+yAD+zAAi，且OWxWyWzWl.則點(diǎn)P所有可能的位置所構(gòu)成的幾何體的體積是()

A.1B.2C.D-6

D[根據(jù)向量加法的幾何意義和空間向量基本定理，滿足

OWxWyWl的點(diǎn)P在三棱柱ACD-A\C\D\內(nèi)；滿足OWyWzWl的點(diǎn)P

在三棱柱AAIOI-BBICI內(nèi)，故同時滿足0WxWy〈l,0WyWzWl的點(diǎn)、P

在這兩個三棱柱的公共部分(如圖)，即三棱錐A-AiG￡)i,其體積是

XIX1X1='.]

13.三棱錐P-ABC中，NABC為直角，28，平面48(7,AB=BC=PB=LM為FC的

中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，以｛54,BC,BP｝為基底，則MN的坐標(biāo)為

G，0,[MN=BN~BM

1ffIff

=^(BA+BQ-^(BP+BC)

=；BA—^BP,

故MN=&0,-；)]

14.已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(2,0,-2),3(3,1,2),C(2,T,7).

(1)若點(diǎn)P滿足a=&+a+文，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為；

(2)若點(diǎn)P滿足力=2藐一就，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

(1)(7,0,7)(2)(4,3,-3)[(1)中-=&+&+元=(2i-2A)+(3i+j+2A)+(2i—J+7A)

=7i+Q/+7A,

—?—?―?―?—?―?—?—?—?—?—?—?

，P(7,0,7).⑵中，AP=2A8-4C得。尸一O4=2OB-2OA-OC+OA,，OP=2O8-OC

=2(3i+j+2k)-(2i-j+Ik)

=4i+3/-3*,；.P(4,3,-3).]

[C組思維提升練]

15.如圖，在正四棱錐尸-ABC。中，底面ABCO是邊長為1的正方形，。是AC與BO的

交點(diǎn)，PO=\,M是PC的中點(diǎn).設(shè)4B=a,AD=b,AP=c.

(1)用向量a,b,c表示BM.

(2)在如圖的空間直角坐標(biāo)系中，求局的坐標(biāo).

-?—>―?—?—>—>1-?-?―>—?—?—?-?

[解](1)'：BM=BC+CM,BC=AD,CM=^CP,CP=AP-AC,AC=AB+AD,

ff1fff1,1,1-*1,11

/.BM=AD+^(AP—AC)=AD+^AP—^AB+AD)=—^AB+^AD+^AP=一中+予+外.

(2)a=AB=(l,0,0),b=AO=(0,l,0).

VA(0,0,0),oQ,I，0),電,I，1),.，,c=AP=OP—OA=1,1),

/.BM=~^a+^b+1c=-1(1,0,0)+1(0,1,0)yXT413)

素養(yǎng)作業(yè)?提技能

A組素養(yǎng)自測

一、選擇題

1.如圖所示，正方體48c￡>—AIBGOI的棱長為1,則點(diǎn)用的坐標(biāo)是(C)

A.(1,0,0)B.(1,0,1)

C.(1,1,1)D.(1,1,0)

［解析］由坐標(biāo)系可知C(l,1,1),故選c.

2.點(diǎn)A(0,—2,3)在空間直角坐標(biāo)系中的位置是(C)

A.在x軸上B.在xOy平面內(nèi)

C.在yOz平面內(nèi)D.在xOz平面內(nèi)

［解析1由A(0,—2,3)的x軸坐標(biāo)為?？芍c(diǎn)4在)，Oz平面內(nèi)，故選C.

3.(2021?銅陵高二檢測)空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)尸(3,-2,—5),點(diǎn)。與點(diǎn)尸關(guān)于

Ozx平面對稱，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)是(C)

A.(-3,2,5)B.(3,-2,5)

C.(3,2,-5)D.(—3,—2,—5)

［解析］點(diǎn)。與點(diǎn)P關(guān)于?！逼矫鎸ΨQ，則點(diǎn)Q為(3,2,-5),故選C.

4.在空間直角坐標(biāo)系中，P(2,3,4),Q(—2,—3,—4)兩點(diǎn)的位置關(guān)系是(C)

A.關(guān)于x軸對稱B.關(guān)于yOz平面對稱

C.關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱D.以上都不對

［解析］點(diǎn)P與Q,x,y,z軸均相反，故關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，選C.

5.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)尸(1,巾,小)，過點(diǎn)P作平面yOz的垂線PQ,則垂

足。的坐標(biāo)為(B)

A.(0,小,0)B.(0,卷木)

C.(1,0,小)D.(1,也0)

［解析］點(diǎn)尸作平面yOz的垂線，則Q在平面yOz上，則Q為(0,也，小)，故選B.

二、填空題

6.點(diǎn)P(l,2,—1)在xOz平面內(nèi)的射影為B(x,y,z),則x+y+z=0.

［解析］由題可知8(1,0,—1),則x=l,y=0,z=—1,

；.x+y+z=1+0—1—0.

7.已知A(3,2,-4),B(5,-2,2),則線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為(4.0,-1).

［解析］A、B中點(diǎn)坐標(biāo)為2yA寸2)=(4,0,—1),

8.已知空間直角坐標(biāo)系中三點(diǎn)A,B,點(diǎn)A與點(diǎn)8關(guān)于點(diǎn)M對稱，且已知A點(diǎn)的

坐標(biāo)為(3,2,1),M點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,3,1),則8點(diǎn)的坐標(biāo)為(541).

［解析］設(shè)B(x,y,z),則

G+3

T-=4,

x=5,

Jy+2

5亍=3,解，y=4,

.z=l.

［亍z+1=1,

8(5,4,1).

三、解答題

9.建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，正方體D48C—O'A'B'C的棱長為a,E,F,

G,1/分別是棱C'D',D'A',A'A,AB,BC,CC'的中點(diǎn)，寫出正六邊形

各頂點(diǎn)的坐標(biāo).

［解析］正方體DABC-D'A'B'C的棱長為a,且E,F,G,H,/,J分別是棱

CD',D'A',A'A,AB,BC,CC'的中點(diǎn)，

.,.正六邊形EFG”〃各頂點(diǎn)的坐標(biāo)為電，戲，0,，，，“，0,。H［a,0),

原,a,0),J(0,a,

10.如圖所示，過正方形ABC。的中心。作。P_L平面ABC。，已知正方形的邊長為2,

OP=2,連接AP,BP,CP,DP,M,N分別是A8,8c的中點(diǎn)，以。為原點(diǎn)，｛痂，ON,

；林｝為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.若E,尸分別為以，P8的中點(diǎn)，求點(diǎn)A,B,

C,D,E,尸的坐標(biāo).

［解析］由題意知，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,1,0),由點(diǎn)A與點(diǎn)8關(guān)于x軸對稱，得A(l,-1,0),

由點(diǎn)C與點(diǎn)B關(guān)于y軸對稱，得C(—1,1,0),由點(diǎn)。與點(diǎn)C關(guān)于x軸對稱，得￡>(—1,

—1,0).

又尸(0,0,2),E為AP的中點(diǎn)，尸為尸8的中點(diǎn)，

所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得

B組?素養(yǎng)提升

一、選擇題

1.設(shè)z為任一實(shí)數(shù)，則點(diǎn)(2,2,z)表示的圖形是(C)

A.z軸

B.與。孫平面平行的一直線

C.與Oxy平面垂直的一直線

D.O沖平面

［解析J(2,2,z)表示過點(diǎn)(2,2,0)且與z軸平行的直線，即與平面xOy垂直的直線，選C.

2.點(diǎn)A(l,2,-1),點(diǎn)C與點(diǎn)A關(guān)于。孫平面對稱，點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于x軸對稱，則詫

的坐標(biāo)為(D)

A.(1,2,-1)B.(1,-2,1)

C.(0,-4,0)D.(0,4,0)

［解析］由題可知C(l,2,l),5(1,-2,1),

二前=(0,4,0),選D.

3.三棱錐「一ABC中，NABC為直角，PB_L平面ABC,AB=BC=PB=1,M為PC的

中點(diǎn)，N為AC的中點(diǎn)，以麗，BC,而方向上的單位向量為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系

Oxyz,則向V的坐標(biāo)為(B)

1

D.

21

［解析］MN=BN-BM

=(T，0,-S選B.

4.正方體4BCD—4'B'CD'的棱長為1,且BP=；BQ',建立如圖所示的空間直

角坐標(biāo)系，則尸點(diǎn)的坐標(biāo)為(D)

(\11A(122\

A-&3'3；B.&3>5

(\21\(121、

C仁3-3；D.(J3-5；

［解析］本題主要考查空間直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的坐標(biāo).如圖所示，過P點(diǎn)分別作平面

xOy和z軸的垂線，垂足分別為E,H,過E分別作x軸和y軸的垂線，垂足分別為F,G,

1112222

由于呼|=利。所以|￡)//|=利亦|=g,|OF|=g|D4|=G，|OG|=Q|￡>C|=］,所以P點(diǎn)的

坐標(biāo)為停，1,；),故選D.

二、填空題

5.在長方體ABCO—ABiCQ中，若Q=3i,AD=2j,AAi=5k,則向量公?在基底｛i,

j,人下的坐標(biāo)是(325).

［解析］ACi=AB+BC+CCl=AB+AI)+AAi=3i+2j+5k,所以向量啟i在基底｛i,j,

口下的坐標(biāo)是(3,2,5).

6.以棱長為1的正方體ABC。-AiBCQi的棱AB,AD,A4i所在的直線為坐標(biāo)軸，建

立空間直角坐標(biāo)系，則平面448山對角線交點(diǎn)的坐標(biāo)為

［解析］如圖所示,A(0,0,0),Bi(l,0,l).

平面AA^B對角線交點(diǎn)是線段AB,的中點(diǎn)，所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得所求點(diǎn)的坐標(biāo)為

(I)d執(zhí)

7.已知向量p在基底｛a,b,c｝下的坐標(biāo)為(2,1,-1),則p在基底｛2a,b,—c｝下的坐

標(biāo)為(1,1.1):在基底｛a+A,a-b,c｝下的坐標(biāo)為_g5，.

［解析］由題意知p=2a+〃-c,

則向量p在基底｛2a,b,-c｝下的坐標(biāo)為(1,1,1).

設(shè)向量p在基底｛a+b,a-b,c｝