高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題解題模型

高中數(shù)學(xué)易錯(cuò)題解題模型

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高考數(shù)學(xué)易錯(cuò)題解題方法大全

一.選擇題

【范例1】擲兩顆骰子得兩數(shù).則事件“兩數(shù)之和大于4”的概率為<

答案：D

【錯(cuò)解分析】此題主要考杳用枚舉法計(jì)兌占典概型.容易錯(cuò)在不細(xì)心而漏解。

【解題指導(dǎo)】求古典概型的概率常采用用枚舉法.細(xì)心列舉即可。

【練習(xí)1】矩形.48。中，，48=6,。。=7,在矩形內(nèi)任取一點(diǎn)P,則乙與的概率為()

“.3n門(mén)3兀-3九八,37r

A.1--B.-C.-D.1-----

28281414

【范例2】將銳用為/44。=60°11邊長(zhǎng)是2的菱形沿它的對(duì)地線(xiàn)6。折成60°的:而加，則

()

①異面直線(xiàn)4C與3D所成角的大小是.

②點(diǎn)C到平而ABD的距離是

A.90°,3B.90°,2C.60°,-D.60°,2

22

答窠：A

【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)選為C,錯(cuò)誤原因是對(duì)空間圖形不能很好的吃透一

【解題指導(dǎo)】設(shè)6。中點(diǎn)為。,則有BDJ.平面NOC,則B￡>JL/C,及平面ABD，平面/OC.設(shè)

&40c是邊長(zhǎng)為石的正三角形，作CEI/O,則CC面于是異而直找8。與力。所成的角是

90°,點(diǎn)C到平面ZB。的距離是Cf=3.

2

【練習(xí)2】長(zhǎng)方體ABCD—ARCD中，AB=AA,=2,U)-l.E為CC,的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)BC與AE所成角的余弦

值為()

710V30「向63屈

AA.----BD-----C.----D,-----

10101010

【范例3】已知P為拋物線(xiàn))，=:一上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在x軸

射影為M,點(diǎn)A的坐標(biāo)是(6.?),則|"|+歸訓(xùn)的最小值是

答案：B

【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)選為C,在籍決拋物線(xiàn)的問(wèn)題時(shí)經(jīng)常需要把到線(xiàn)點(diǎn)的距陽(yáng)和到準(zhǔn)線(xiàn)的距離。.相轉(zhuǎn)

化.

【解題指導(dǎo)】拋物線(xiàn)X?=2y的焦點(diǎn)為尸1°，一!卜點(diǎn)P到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為d.則

|PJ|+\PM\=\PA\+ci-^=|PJ|+|PF|-1.所以"IP,A,F二點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)最小為=孩.

【練習(xí)3】己知定點(diǎn)4(3,4),點(diǎn)P為拋物線(xiàn))，2=4x上動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P到直線(xiàn)x=-l的距離為d,則|PA+d

的最小值為()

A.4B.14sC.6D.8-2石

【范例4】函數(shù)/(x)=sinx+2|sinx|.xw[0.2m的圖臬與直線(xiàn)y=a方R僅:行兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則人的

取值范圍是()

A.{*|-1<*<3}B.{k\l<k<3}C.{*|1<k<3}D.{jt|l<A<3}

答案：C

【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)選為A,錯(cuò)誤原因是對(duì)函數(shù)f(X)不能合理的化為

,,,.‘討.?[3sinx,xe[0,n]

/(A)=sinx-i-2sinx=<°

11(-sinx,x€(n,2n]

【解題指導(dǎo)】作函數(shù)/(x)和直線(xiàn)y=4的草圖，借助數(shù)形結(jié)合，可得，

【蕉習(xí)4】函數(shù)/(x)=sinx在區(qū)間卜,“上是增函數(shù),Hf(a)==1,則cos等的值為(;

A.0B.—C.1D.-1

2

【范例5】平面上彳j"個(gè)圓.其中每?jī)蓚€(gè)都相交于兩點(diǎn)，每一:個(gè)都無(wú)公共點(diǎn)，它們將平面分成/5)塊區(qū)域,

有/(1)=2/(2)=4,/(3)=&/(4)=14,則/(加的表達(dá)式為()

A、2"B、n'—n+2C、2"-(?—1)(/!-2)[n-3)D、n3—5n'+lOn—4

答案：B

【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)選為A.借誤原因是在作回納猜想時(shí)沒(méi)有認(rèn)真審題只看到

/(IHZ/QHa/G)=&導(dǎo)致結(jié)論太片面已不合理.

【解題指導(dǎo)】由/(2)-/。)=2,/(3)-/(2)=4./(4)-/(3)=6,…，猜想八〃+1)-/(”)=2"

利用累加法，得/(”)=/-”+2.

【練習(xí)5】古裕臍數(shù)學(xué)家把數(shù)I.3.6.10,15.21,……叫做」.角數(shù)，它TT一定的規(guī)律性，第30個(gè)：角

數(shù)與第28個(gè)三角數(shù)的甚為()

A.20B.29C.30D.59

【范例61函數(shù)f(x)=3'(xW2)的反函數(shù)的定義域是()

A.(-oo,9]B.[9,+oo)C.(0,91D.(0,+<?)

答案：c

【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)選為D,錯(cuò)誤原因是對(duì)原函數(shù)與反函數(shù)理就不透，

【解題指導(dǎo)】反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，所以求原函數(shù)的值域即可。

【練習(xí)6]若函數(shù)Mx）的反函數(shù)/T（X）=1+/（X<0）,則/（2）=（）

A.1B.-1C.1或一1D.5

二.填空題

【范例7]若4={xwZ|2i2*<8}.?={.r€/?|log,x>l}.則/c8=.

答案：{3}

【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)填為（1,3],錯(cuò)誤原因是沒(méi)行看清楚A中的元素要是整數(shù)：

【解題指導(dǎo)】/={l.2.3}.B={.r|x>2}

【練習(xí)71已知集合A=[xwN|三wA'},集合A的子集共有個(gè).

【范例81給出下列命題

①向量G、E滿(mǎn)足同咽叩-砧則々與的夾角為30°；

②a?b>0,是[右的夾角為銳角的充要條件：

③將函數(shù)y-卜-l|的圖象按向敏「-（-1,0）平移.得到的圖象時(shí)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為y-\x|；

④著（￡一/2）=0，則&48c為等腰Y角形：

以上命題正確的是（注：把你認(rèn)為正確的命題的序號(hào)都填1二）

答案：③?

【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)選為①②，錯(cuò)誤原因是對(duì)一羋特殊情況考慮不周到c

【解題指導(dǎo)】利用向量的仃關(guān)概念，逐個(gè)進(jìn)行判斷切入，

對(duì)于①取特值零向量錯(cuò)誤，若前提為非零向量由向量加減法的平行四邊形法則與夾角的概念正確；

對(duì)②取特值夾角為直角錯(cuò)，認(rèn)識(shí)數(shù)量枳和夾角的關(guān)系，命題應(yīng)為￡?]>（）,是5、3的夾角為銳角的

必要條件：

對(duì)于③，注意按向最平移的意義，就是圖象向左移】個(gè)單位，結(jié)論正確：

對(duì)于④；向量的數(shù)5枳滿(mǎn)足分配率運(yùn)算，結(jié)論正確.

【練習(xí)8】已知￡=（-；.g）,B=則|￡+正!（“K）的最小值等于.

2

【范例9】已知拋物線(xiàn)產(chǎn)=2內(nèi)（2>0）上一點(diǎn)M3，”）到其焦點(diǎn)的距離為5,雙曲線(xiàn)1的左

a

頂點(diǎn)為A,若雙曲線(xiàn)條漸近線(xiàn)與直線(xiàn)40垂直，則實(shí)數(shù)〃=.

答案：-

4

【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)在拗物線(xiàn)不能求對(duì)，下面就無(wú)法解決了。

【解題指導(dǎo)】拋物線(xiàn)為/=I6x,，"=±1.漸進(jìn)線(xiàn)為_(kāi)>，=士Gx.

【練習(xí)9】?個(gè)酒杯的軸截面是拋物線(xiàn)的部分，它的方程是X?=2)，(04y420).在杯內(nèi)放入一個(gè)玻

璃球.要使球觸及酒杯底部.則玻璃的*徑/?的范圍為.

【范例1?！咳?X+')”展開(kāi)式的項(xiàng)式系數(shù)之和為64,則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.

X

答案：20

【偌解分析】此題容易錯(cuò)在找不對(duì)第幾項(xiàng)是常數(shù)項(xiàng).對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式的基本性偵還要掌握好。

【解題指導(dǎo)】2"=64,〃=6,常數(shù)項(xiàng)為盤(pán)=20.

【練習(xí)10］若(x-京)”的展開(kāi)式中第三項(xiàng)系數(shù)等F6,則n等于.

【范例11】如果復(fù)數(shù)(l+“i)(2+i)的實(shí)部和虛部相等，則實(shí)數(shù)“等于.

答案：|

【錯(cuò)解分析】此題容易錯(cuò)寫(xiě)1?切記：產(chǎn)=1.

【解題指導(dǎo)】(1+fl/)(2+i)=(2-a)+(l+2d)i.

【練習(xí)11】&.z=a+bi.a,b^Rz=a+bi.將一個(gè)骰了連續(xù)拋擲兩次,第一次得到的點(diǎn)數(shù)為。，笫.

次得到的點(diǎn)數(shù)為b，則使蛻數(shù)j為純虛數(shù)的概率為.

［范例12］已知函數(shù)/(x)=，，*'+lnx-2x在定義域內(nèi)是增函立則實(shí)數(shù)，”的取值范慍為.

答案：加與；，

【情解分析】此題容易錯(cuò)填，”>?!?等,錯(cuò)誤炊因是對(duì)利用r>。求解.

2

【解題指導(dǎo)】注意區(qū)別不等式有解與恒成立:

a>/(x)W成立。。>/mM(x)：。</(x)恒成立<=>?<fmm(x)：

Cl>/(x)有解O“>Znm(X)：a</(xMj解O<(X)

/■(x)=2，”x+4-220在(O.+oo)上恒成立，m>--1+L所以，”2(^-+—)nui

x2Vxlx'x

所以m21.

【練習(xí)12】已知函數(shù)/(x)的導(dǎo)函數(shù)/'(x)=2x-9,H/(0)的值為整數(shù)，''ixe(?.nH］(ne；V)時(shí).f(x)

的值為整數(shù)的個(gè)數(shù)仃口只有】個(gè)，則”.

三解答題

【范例13】設(shè)數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S“=2〃2,｛“,｝為等比數(shù)列,且％="，&&-%)=%

(1)求數(shù)列｛?“；和也,｝的通項(xiàng)公式：

(2)設(shè)c“=￥，求數(shù)列｛c〃｝的前n項(xiàng)和7；.

瓦

【錯(cuò)解分析】(D求數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式時(shí),容易遺忘對(duì)n=l情況的檢覽.

(2)錯(cuò)位相減法雖然是種常見(jiàn)方法,似同時(shí)也是容易出錯(cuò)的地方.一定要仔細(xì).

解：(1)當(dāng)”=1時(shí),q=$=2;

當(dāng)”22時(shí),a“=5,-5.」=2/-2(〃-1尸=4〃-2,

故｛明｝的通項(xiàng)公式為a?=4n-2,即｛”,｝是“產(chǎn)2.公差4=4的等差數(shù)列.

設(shè)｛，,｝的通項(xiàng)公式為明則々夕〃=b.d=4;g=—.

t4

故"一“-2x擊,即也J的通項(xiàng)公式為"一白.

⑵??,q=匕=<"J=(2"-1)4"，

A3

4"?

12

，Tn=G+C+…+q=[l+3x4+5x4+???+(2〃-l)4"”],

47；=[1x4+3x4?+5x4、+…+(2〃-3)4"?+(2〃-1)4"]

兩式相戰(zhàn)得：

3T?=-I-2(4'+4?+4-+…+4"-')+(2w-1)4*=1[(6n-5)4"+5]

/.7；=-[(6n-5)4"+5].

【練習(xí)13］諛等比數(shù)列｛”“｝的前”項(xiàng)和S“，首項(xiàng)%=1,公比</=/a)=3(/lH-l,0).

⑴證明：*=(1十/)一4外；

⑵若數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足4=；,b,=/(/)?.,)(?€N\n>2).求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

(3)若2=1.記與=《,(」?-1),數(shù)列｛6｝的前項(xiàng)和為7；.求證：當(dāng)”22時(shí).2<7；<4,

h

【范例14】已知斜一棱柱IBC-48cl的各棱長(zhǎng)均為2,惻楂8瓦與底面48。所成例為

且側(cè)面ABBtAt1底面ABC.

(1)證明：點(diǎn)4在平面上的射影O為的中點(diǎn):

5

(2)求一.面角C-力與-8的大?。?/p>

(3)求點(diǎn)￡到平面CB/的距離.

【錯(cuò)解分析】對(duì)于匯體幾何的用和距離，?定要很好的理解“作.證，”.個(gè)字C

你做到了嗎？

解：(1)證明：過(guò)Bl點(diǎn)作&O_LBA。??,便面ABBA_L底面ABC

???%0_1_面ABC，NB,BA是側(cè)面BB,與底面ABC傾斜角，ZB.BOy

在RtZSBQB中,BB52./.BO=-BB=1

2'

乂???BB-AB,Z.BO--\B1.0是AB的中點(diǎn)，

2

即點(diǎn)B,在平面ABC上的射影。為AB的中點(diǎn).

(2)連接AB,過(guò)點(diǎn)。作OM_LAB,,連線(xiàn)CM,0C.C

VOC±AB.T'lftiABC±T'rfnAABB,...OC，平面AABB.；.0M是斜線(xiàn)CM在平面AA：B,B的射影VOMIAB,

.?.AB,±CM.'.ZOMC是：面角C—AB,—B的平面向

在RtZXOCM中，OC-JL0M-與…"MC=Q

ZOMC=arctan2.：［fflftCAB,B的大小為arctan2.

<3）過(guò)點(diǎn)0作ON±CM,VAB,_平而OCM.AAB.XON

...（）、一平面AB^.AON是0點(diǎn)到平面AB￡的距離

任&/AOMO|',OC=&OM=3cM=RT

,加=。”.。。=學(xué)A旦=在

CM叵5

F

連接的與B￡相交于點(diǎn)H,則H是BC,的中點(diǎn)，.'B與C,到平面MB,的相導(dǎo).

XVO是AB的中點(diǎn)...B到平面ABC的距離是0到平面ABC跟離的2倍

A點(diǎn)G到平面ABC距離為#5.

【練習(xí)14］如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—A,B,CR中，ADAA1.AB=2,點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng).

(I)證明：0.E1M：

(2)當(dāng)E為AB的中點(diǎn)時(shí),求點(diǎn)A到面ECD,的距離：

<3)AE等于何位時(shí)，二面角D,-EC⑴的大小為￡.

4

【范例15】設(shè)函數(shù)/(X)=Inx-px+1

H

<1)求函數(shù)/(外的極值點(diǎn):

(2)當(dāng)p>0時(shí)，若對(duì)任意的x>0.恒行/(K)40.求P的取值范圍;

In2?In32ln/r2/r-w-l

(3)證明:..-4..-4----F---<----------(〃eN,n/2).

2232n22("+1)

儲(chǔ)解分析】<1)對(duì)于p的正負(fù)的討論是容易出錯(cuò)的地方。

2)恒成立間題的解決要靈活應(yīng)用

3)放縮法在數(shù)列中的應(yīng)用是此題的難點(diǎn)

!：(I)?.?/(x)=lnK-px+l「./(X的定義域?yàn)?.+<?)，

f'(x)=--/>=-■——?l，ip40U寸，f'(x)>0.，(x)在(0,+oc)上無(wú)極值點(diǎn)

XX

當(dāng)p/0時(shí)，令f\x)=o,.-.X=-e(O,+OC),f(x)隨X的變化情況如下表:

P

(0,L

X(-,+￥)

pp

/V)+0—

f(x)/極大值、

從上表可以看出：當(dāng)P>0時(shí),/(K)有唯的極大值點(diǎn)X=L

P

(2)當(dāng)p〉0時(shí)在x=L處取得極大值/■(')=\n-.此極大值也是最大值,

PPP

要使/'(x)￡0恒成立，只需/(■!")=ln，￡0,p31

PP

；?P的取值范圍為[1，*8)

(3)令p=1,[h(2)知，Inx-x4-1<Inx<x-hvnGn>2

/.Inw24/J-1,

.ln/r//-111

—————=1--r

/r/r

.In22In311「1、

..-^-+丁+..+-^-4(1-?)+n(1-歹+...+(1-薩)

n

<(“-1)-(—!—+—J—+…+—!—)

2x33x4〃(〃+】)

,八/11I11

=(71-])—(———+———

2334nn+l

112,「-〃-1

???結(jié)論成立

【練習(xí)15]設(shè)/(x)=ge7(2x2+4ax+4”).

（1）求a的值,使/（x）的極小值為0；

（2）證明：.當(dāng)?shù)﹥H肖a二3時(shí)，/⑴的極大值為4.

練習(xí)題參考答案:

1.D2.B3.B4.C5.D6.B7.88.—9.0<rS110.1211.-

26

含門(mén)

13.解（1）$"=皿二也=)?]=(i2)-x(^-r'

=(l+/i)[l-(+

"q

而4=卬匕產(chǎn)=（￡"）"'所以Z=。+義）-而“

1+41+人

11,

⑵“卜含.，4二裊—=---+1.

bitb”T,

是首項(xiàng)為：=2,公差為1的等差數(shù)列,所以，=2+（〃-1）="+1.即4=一彳

(3)A=1時(shí)，勺=

:

相誠(chéng)得,17；=1+(1)+(1)+-+(1)-'-?(1)"=2[i-(lri-n(1r

...7；=4一(；)"-2-“(；廣]<4,

乂因?yàn)閏“=”(；)"T>0,，7；版調(diào)遞增，7；24=2,

故當(dāng)”22時(shí)，2<7；<4.

11.(1)證明：連/A，

在長(zhǎng)方體ABCD-A.BC.R,ADy為DXE在平面ADl的射影,

而AD-AA,=l,則四邊形ADD}A,是正方形=>A]1)1AD,.

由三垂線(xiàn)定理得，E.A,l)

(2)解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，DA為x軸,DC為y軸比士如圖所示的白.角坐標(biāo)系”則41,0.0)

鳳1,1.0)、5(1.2.0).C(0,2,0),"(0,0,1)則近=(0,1.0),￡C=(-L1,O).

T\C=(0,2,-1).設(shè)平面。EC的法向。為nt=(x,y,二)

(n.-EC=0(-x+y=0—

標(biāo)年=0=羯一=0-e：2,記〃尸口2)

|1_瓜

???點(diǎn)A到面ECD的距離d=

i?i?m6

(3)解：設(shè)￡(l,%0)則的=(-1、2-.％,0),設(shè)平面0EC的法向盤(pán)為1=(x,j，,z)

.[n.■EC=0[-.r+v(2-y0)=0—

-1--------=>{..nx:y:z=(2-打)：1:2，記多=((2-必),1,2)

|[M,D,C=0\2y-z=Q

TC

而平面ECD的法向量%=(0,0,1),則?面角D]一EC—D的平面角々，公>=-