誤差理論數(shù)學(xué)模型

關(guān)于誤差理論數(shù)學(xué)模型3.1誤差的來(lái)源誤差按來(lái)源可分為模型誤差、觀(guān)測(cè)誤差、截?cái)嗾`差和舍入誤差四種。1、模型誤差數(shù)學(xué)模型通常是由實(shí)際問(wèn)題抽象得到的，一般帶有誤差，這種誤差稱(chēng)為模型誤差。2、觀(guān)測(cè)誤差數(shù)學(xué)模型中包含的一些物理參數(shù)通常是通過(guò)觀(guān)測(cè)和實(shí)驗(yàn)得到的，難免帶有誤差，這種誤差稱(chēng)為觀(guān)測(cè)誤差。3、截?cái)嗾`差求解數(shù)學(xué)模型所用的數(shù)值方法通常是一種近似方法，這種因方法產(chǎn)生的誤差稱(chēng)為截?cái)嗾`差，亦稱(chēng)為方法誤差。4、舍入誤差由于計(jì)算機(jī)只能對(duì)有限位數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，對(duì)計(jì)算得到的中間結(jié)果數(shù)據(jù)要使用“四舍五入”或其他規(guī)則取近似值，因而使計(jì)算過(guò)程產(chǎn)生誤差。這種誤差稱(chēng)為舍入誤差。第2頁(yè),共9頁(yè)，星期六，2024年，5月3.2誤差的基本概念一、絕對(duì)誤差給定一實(shí)數(shù)x*，

它的近似值為x，則稱(chēng)e=x*

-x為近似值x的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差。若存在一個(gè)正實(shí)數(shù)，使得則稱(chēng)為近似值x的絕對(duì)誤差限，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差限。二、相對(duì)誤差絕對(duì)誤差通常不能完全反映近似數(shù)的精確程度，它還依賴(lài)于此數(shù)本身的大小，因此有必要引進(jìn)相對(duì)誤差的概念。近似值x的相對(duì)誤差定義為然而實(shí)際計(jì)算中真值通常難以求得，人們常以作為相對(duì)誤差。

第3頁(yè),共9頁(yè)，星期六，2024年，5月3.3有效數(shù)字

若近似值

x的誤差限是某一位的半個(gè)單位,該位到x

的第一位非零數(shù)字共有n位,就說(shuō)x有n

位有效數(shù)字?？茖W(xué)計(jì)數(shù)法中通常將n位有效數(shù)字x表示為：也即例如：0.2300有4位有效數(shù)字，而0.0023只有2位有效數(shù)字。12300如果寫(xiě)成0.123105，則表示只有3位有效數(shù)字。數(shù)字末尾的0不可隨意省去！第4頁(yè),共9頁(yè)，星期六，2024年，5月3.4誤差的傳播

一、四則運(yùn)算中誤差的傳播

下面不加證明地給出兩數(shù)和、差、積和商的誤差傳播公式：

第5頁(yè),共9頁(yè)，星期六，2024年，5月二、函數(shù)運(yùn)算中誤差的傳播

當(dāng)自變量有誤差時(shí)，計(jì)算函數(shù)值的誤差（限）也可利用函數(shù)的泰勒展開(kāi)式進(jìn)行估計(jì)。忽略的高階項(xiàng)，得其誤差限為：

其解的相對(duì)誤差為：

相對(duì)誤差限為：

第6頁(yè),共9頁(yè)，星期六，2024年，5月3.5數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問(wèn)題

為了減小舍入誤差的影響，設(shè)計(jì)算法時(shí)一般應(yīng)注意如下問(wèn)題：避免兩個(gè)相近的數(shù)相減避免絕對(duì)值過(guò)小的數(shù)作除數(shù)避免大數(shù)吃掉小數(shù)先化簡(jiǎn)再計(jì)算，減少計(jì)算步驟，避免誤差積累采用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法第7頁(yè),共9頁(yè)，星期六，2024年，5月3.6MATLAB語(yǔ)言的數(shù)值計(jì)算精度

一、MATLAB中的數(shù)據(jù)顯示格式MATLAB中，常用控制數(shù)據(jù)輸出格式的指令是format，它的一般用法為：format數(shù)顯標(biāo)識(shí)符其中，常用的數(shù)顯標(biāo)識(shí)符見(jiàn)下表。除了利用指令修改數(shù)據(jù)顯示格式外，我們還可以通過(guò)菜單控制數(shù)據(jù)輸出格式。第8頁(yè)