專題11方程的實(shí)際應(yīng)用模型-2024年中考數(shù)學(xué)答題技巧與模板構(gòu)建（解析版）

專題11方程的實(shí)際應(yīng)用模型題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練本專題主要對(duì)初中階段的方程應(yīng)用題型進(jìn)形總結(jié)分析，收集匯總各地市?？嫉姆匠虘?yīng)用題型，主要分為一元一次方程，二元一次方程組，分式方程，一元二次方程幾大題型?？荚囍形覀兛梢钥闯龆淮畏匠探M和分式方程考試頻率較高。一元一次方程相對(duì)基礎(chǔ)較為簡(jiǎn)單，應(yīng)用題型中出現(xiàn)較少，一元二次方程的應(yīng)用綜合性較高除了在應(yīng)用題型中有所體現(xiàn)，在二次函數(shù)的應(yīng)用中也經(jīng)常出現(xiàn)。本專題根據(jù)考試題型分類歸納總結(jié)。模型01一元一次方程的應(yīng)用一元一次方程的應(yīng)用題型1.行程問題路程=時(shí)間×速度，時(shí)間=路程÷速度，速度=路程÷時(shí)間；（單位：路程——米、千米；時(shí)間——秒、分、時(shí)；速度——米/秒、米/分、千米/時(shí)間）2.工程問題：工作總量=工作時(shí)間×工作效率，工作總量=各部分工作量的和3.利潤(rùn)問題：利潤(rùn)=售價(jià)－進(jìn)價(jià)，利潤(rùn)率=利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)，售價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣4.等積變形問題長(zhǎng)方體的體積=長(zhǎng)×寬×高；圓柱的體積=底面積×高；鍛造前的體積=鍛造后的體積5.利息問題利息和=本金+利息；利息=本金×利率×?xí)r間模型02二元一次方程組應(yīng)用二元一次方程組應(yīng)用：1.行程問題：速度×?xí)r間＝路程順?biāo)俣龋届o水速度＋水流速度逆水速度＝靜水速度－水流速度2.配套問題：實(shí)際數(shù)量比＝配套比3.商品銷售問題：利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)價(jià)；售價(jià)＝標(biāo)價(jià)×折扣；利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷進(jìn)價(jià)×100%4.工程問題：工作效率×工作時(shí)間＝工作總量；甲乙合作效率＝甲的效率＋乙的效率模型03分式方程應(yīng)用分式方程的應(yīng)用解法步驟及題型：列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，與列整式方程解應(yīng)用題的步驟一樣，都是按照審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答六步進(jìn)行．（1）在利用分式方程解實(shí)際問題時(shí)，必須進(jìn)行“雙檢驗(yàn)”，既要檢驗(yàn)去分母化成整式方程的解是否為分式方程的解，又要檢驗(yàn)分式方程的解是否符合實(shí)際意義.（2）分式方程應(yīng)用題常見類型有行程問題、工作問題、銷售問題等，其中行程問題中又出現(xiàn)逆水、順?biāo)叫羞@一類型.模型04一元二次方程應(yīng)用一元二次方程的應(yīng)用主要有以下幾種題型：1.數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a．2.增長(zhǎng)率問題：增長(zhǎng)率＝增長(zhǎng)數(shù)量/原數(shù)量×100%．如：若原數(shù)是a，每次增長(zhǎng)的百分率為x，則第一次增長(zhǎng)后為a（1+x）；第二次增長(zhǎng)后為a（1+x）2，即原數(shù)×（1+增長(zhǎng)百分率）2＝后來數(shù)．3.形積問題：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長(zhǎng)．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程．③利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程．4.運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解．5.利潤(rùn)(銷售)問題

利潤(rùn)(銷售)問題中常用的等量關(guān)系：

利潤(rùn)=售價(jià)-進(jìn)價(jià)(成本)

總利潤(rùn)=每件的利潤(rùn)×總件數(shù)模型01一元一次方程的應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測(cè)一元一次方程的應(yīng)用該題型近年主要以應(yīng)用題形式出現(xiàn)，一般為應(yīng)用題型的第一問，難度系數(shù)較小，在各類考試中基本為送分題型。解這類問題的關(guān)鍵是根據(jù)題意設(shè)未知量、列方程、解方程，其中列方程是解題的核心，一般需要我們很好的理解題意。答｜題｜技｜巧第一步：審:弄清題意，分清已知量和未知量，明確各數(shù)量間的關(guān)系第二步：設(shè):設(shè)未知數(shù)，并且用含未知數(shù)的代數(shù)式表示與所列方程有關(guān)的數(shù)量列:根據(jù)題目中的數(shù)量關(guān)系、相等關(guān)系、倍數(shù)關(guān)系以及若干倍多或少個(gè)數(shù)字列方程；第三步：解:解所列的方程，求出未知數(shù)的值以及題目中所要求的相關(guān)數(shù)量的值驗(yàn):檢驗(yàn)所求的解是否符合題意，是否符合實(shí)際意義。例1.（2023·上海）一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做需10天完成，乙單獨(dú)做需6天完成，現(xiàn)由甲先做3天，乙再加入合做，還需幾天完成這項(xiàng)工程？設(shè)還需天完成這項(xiàng)工程，由題意列方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：由題意知，甲在這項(xiàng)工程中做了天，則得方程：；故選：D．例2．（2023·吉林長(zhǎng)春）列方程解應(yīng)用題勞動(dòng)課上王老師帶領(lǐng)七（1）班45名學(xué)生制作圓柱形小鼓，其中男生人數(shù)比女生人數(shù)少7人，并且每名學(xué)生每小時(shí)可制作2個(gè)鼓身或剪6個(gè)鼓面．(1)男生有______人，女生有______人．(2)①老師組織全班學(xué)生制作小鼓，要求一個(gè)鼓身配兩個(gè)鼓面，為了使每小時(shí)制作的鼓身與剪出的鼓面剛好配套，應(yīng)該分配多少名學(xué)生制作鼓身？多少名學(xué)生剪鼓面？②若想每小時(shí)制作78個(gè)小鼓，且制作的鼓身與剪出的鼓面剛好配套，應(yīng)再加入多少名學(xué)生？請(qǐng)你思考此問題，直接寫出結(jié)果和新加入人員具體的分配方案．【答案】(1)19，26(2)①分配27名學(xué)生制作鼓身，18名學(xué)生剪鼓面；②新加入20人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面．【詳解】（1）解：設(shè)男生有x人，則女生有人，根據(jù)題意，得，解得，∴，故答案為：19，26；（2）解：①設(shè)分配m名學(xué)生制作鼓身，則名學(xué)生剪鼓面，由題意，得，解得，則，答：應(yīng)分配27名學(xué)生制作鼓身，18名學(xué)生剪鼓面；②由①知分配27名學(xué)生制作鼓身，18名學(xué)生剪鼓面，則1小時(shí)可制作小鼓個(gè)，還需制作個(gè)小鼓，所以應(yīng)再加入制作鼓身人，制作鼓面人．則新加入人，其中12人制作鼓身，8人制作鼓面．模型02二元一次方程組應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測(cè)二元一次方程組應(yīng)用該題型主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，難度系數(shù)不大，在各類考試中得分率較高。掌握二元一次方程組的解法是考試的重點(diǎn)，二元一次方程組的解法主要采用消元法，在應(yīng)用題型中，根據(jù)題意列二元一次方程組相對(duì)簡(jiǎn)單，該題型設(shè)兩個(gè)未知量，兩個(gè)條件兩個(gè)方程，相對(duì)直觀，只要我們?cè)诮夥匠探M的過程中不出現(xiàn)失誤，一般不會(huì)失分。答｜題｜技｜巧第一步：“審”是指讀懂題目，弄清題意，明確哪些是已知量，哪些是未知量，以及它們之間的關(guān)系，尋找等量關(guān)系；第二步：“設(shè)”就是設(shè)未知數(shù)，一般求什么就設(shè)什么為x，但有時(shí)也可以間接設(shè)未知數(shù)；第三步：“列”就是列方程，即列代數(shù)式表示相等關(guān)系中的各個(gè)量，列出方程，同時(shí)注意方程兩邊是同一類量，單位要統(tǒng)一；第四步：“解”就是解方程，求出未知數(shù)的值；第五步：“答”就是寫出答案，注意單位要寫清楚．例1．（2023·黑龍江哈爾濱）一種商品有大、小盒兩種包裝，3大盒、4小盒共裝108瓶，2大盒、3小盒共裝76瓶．大盒與小盒各裝多少瓶？若設(shè)大盒每盒裝x瓶，小盒每盒裝y瓶，則可列方程組得（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：設(shè)大盒裝x瓶，小盒裝y瓶，根據(jù)題意可列方程組為：，故選：C．例2．（2023·安徽）某校準(zhǔn)備租車運(yùn)送450名學(xué)生去合肥市園博園，已知租1輛甲型客車和2輛乙型客車滿載可坐學(xué)生165名，租2輛甲型客車和1輛乙型客車滿載可坐學(xué)生150名，學(xué)校計(jì)劃同時(shí)租甲型客車m輛，乙型客車n輛，一次性將學(xué)生運(yùn)往市園博園，且恰好每輛客車都滿載，兩種型號(hào)客車都租用．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)求1輛甲型客車和1輛乙型客車滿載時(shí)分別可坐多少名學(xué)生？(2)如果乙型客車數(shù)量多于甲型客車數(shù)量，請(qǐng)求出甲型客車、乙型客車各多少輛？(3)已知甲型客車每輛租金200元，乙型客車每輛租金250元，如果租車總費(fèi)用不超過2000元，請(qǐng)制定最省錢的租車方案．【答案】(1)1輛甲型客車滿載時(shí)可坐45名學(xué)生，1輛乙型客車滿載時(shí)可坐60名學(xué)生(2)甲型客車2輛、乙型客車6輛(3)最省錢的租車方案為甲型客車6輛，乙型客車3輛．【詳解】（1）解：設(shè)1輛甲型客車滿載時(shí)可坐x名學(xué)生，1輛乙型客車滿載時(shí)可坐y名學(xué)生，由題意得：，解得：，答：1輛甲型客車滿載時(shí)可坐45名學(xué)生，1輛乙型客車滿載時(shí)可坐60名學(xué)生；（2）解：由題意可知，整理，得：，所以．因?yàn)閙，n都為正整數(shù)，且乙型客車數(shù)量多于甲型客車數(shù)量，即，所以，，答：甲型客車2輛、乙型客車6輛；（3）解：結(jié)合（2）可知，；，；當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，．又因?yàn)?，所以最省錢的租車方案為甲型客車6輛，乙型客車3輛．模型03分式方程的應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測(cè)分式方程的應(yīng)用該題型近年在方程的應(yīng)用題型中考試較多，了解解分式方程的基本思路和解法，掌握可化為一元一次方程的分式方程的解法，讓學(xué)生體會(huì)解分式方程過程中的化歸思想是本節(jié)內(nèi)容的重心。分式方程及其應(yīng)用是中考的必考內(nèi)容之一，一般著重考查解分式方程及列分式方程解應(yīng)用題，并要求會(huì)用增根的意義解題，考題常以解答透折考綱題的形式出現(xiàn),有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在選擇題和填空題中。該題型主要難點(diǎn)在于設(shè)、列、解，屬于應(yīng)用題型的第一問，難度系數(shù)不是很大，屬于容易得分項(xiàng)。答｜題｜技｜巧第一步：根據(jù)題意設(shè)未知量，分式方程只設(shè)一個(gè)未知量，用一個(gè)量表示另一個(gè)量；第二步：解分式方程；第三步：檢驗(yàn)分式方程的解，看是否為增根，注意不檢驗(yàn)會(huì)扣分；第四步：答：即寫出答案，注意答案完整.例1．（2023·山西）我縣文化宮向全縣中小學(xué)生推出“童心讀書會(huì)”的分享活動(dòng)．甲、乙兩同學(xué)分別從距離活動(dòng)地點(diǎn)800米和400米的兩地同時(shí)出發(fā)，參加分享活動(dòng)．甲同學(xué)的速度是乙同學(xué)的速度的1.2倍，乙同學(xué)比甲同學(xué)提前4分鐘到達(dá)活動(dòng)地點(diǎn)．若設(shè)乙同學(xué)的速度是每分鐘x米，則下列方程正確的是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】解：設(shè)乙同學(xué)的速度是米/分，可得：故選D．例2．（2023·河南）信陽毛尖是中國(guó)十大名茶之一，也是河南省著名特產(chǎn)之一．某茶葉專賣店經(jīng)銷A，B兩種品牌的毛尖，進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表所示：品牌AB進(jìn)貨（元/袋）x銷售（元/袋）7090(1)第一次進(jìn)貨時(shí)，該專賣店用4000元購(gòu)進(jìn)A品牌毛尖，用5280元購(gòu)進(jìn)B品牌毛尖，且兩種品牌所購(gòu)得的數(shù)量相同，求x的值．(2)第二次進(jìn)貨時(shí)，A品牌毛尖每袋上漲5元，B品牌毛尖每袋上漲6元．該茶葉專賣店計(jì)劃購(gòu)進(jìn)A，B兩種品牌毛尖共180袋，且B品牌毛尖的數(shù)量不超過A品牌毛尖數(shù)量的2倍．銷售時(shí)，A品牌毛尖售價(jià)不變，B品牌毛尖售價(jià)提高，則該茶葉專賣店怎樣進(jìn)貨，能使第二次進(jìn)貨全部售完后獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【答案】(1)x的值為50(2)購(gòu)進(jìn)A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次進(jìn)貨全部售完后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3600元【詳解】（1）解：由題意得，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，∴x的值為50．（2）解：設(shè)A為m袋，則B為袋，由題知：，解得，設(shè)總利潤(rùn)為w元，，∵，∴w隨m的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，，∴購(gòu)進(jìn)A品牌60袋，B品牌120袋能使第二次進(jìn)貨全部售完后獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是3600元．模型04一元二次方程應(yīng)用考｜向｜預(yù)｜測(cè)一元二次方程應(yīng)用該題型主要是在綜合性大題中考試較多，一般情況下出現(xiàn)在應(yīng)用題型中或者與二次函數(shù)相結(jié)合的題型中，具有一定的綜合性和難度。掌握一元二次方程的解法是解答本題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵。一元二次方程中根的判別式的應(yīng)用也需要我們重點(diǎn)理解和熟練應(yīng)用。一元二次方程的解法及根的判別式及其應(yīng)用是中考的必考內(nèi)容之一，一般著重考查解一元二次方程及列方程解應(yīng)用題。答｜題｜技｜巧第一步：審(審題目，分清已知量、未知量、等量關(guān)系等)；第二步：設(shè)(設(shè)未知數(shù)，有時(shí)會(huì)用未知數(shù)表示相關(guān)的量)；第三步：列(根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出方程)；第四步：解(解方程，注意分式方程需檢驗(yàn)，將所求量表示清晰)；第五步：驗(yàn)（檢驗(yàn)方程的解能否保證實(shí)際問題有意義）第六步：答(寫出答案，切忌答非所問).例1．（2023·安徽）某縣為發(fā)展教育事業(yè)，加強(qiáng)了對(duì)教育經(jīng)費(fèi)的投入，2022年投入3億元，預(yù)計(jì)2024年投入5億元，設(shè)教育經(jīng)費(fèi)的年平均增長(zhǎng)率為x，下面所列方程正確的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：根據(jù)題意，得，故選：A．例2．（2023·山東濟(jì)南）某工廠為了提高產(chǎn)品的銷售量，決定降價(jià)銷售，計(jì)劃用兩個(gè)月的時(shí)間價(jià)格下降到原來的，則這兩個(gè)月價(jià)格平均每個(gè)月降低的百分率為.【答案】【詳解】解：設(shè)初始價(jià)格為，平均每個(gè)月降低的百分率為，則根據(jù)題意可得，，即，解得，，為下降率，故，，即．故答案為：．例3．（2023·四川成都）如圖1，用一段長(zhǎng)為33米的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻并且中間有一道籬笆隔墻的矩形菜園，墻長(zhǎng)為12米．設(shè)的長(zhǎng)為x米，矩形菜園的面積為S平方米，(1)分別用含x的代數(shù)式表示與S；(2)若，求x的值；(3)如圖2，若在分成的兩個(gè)小矩形的正前方各開一個(gè)1.5米寬的門（無需籬笆），當(dāng)x為何值時(shí)，S取最大值，最大值為多少？【答案】(1)，(2)9(3)當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為．【詳解】（1）解：由題意，，則矩形菜園的面積為；（2）解：當(dāng)時(shí)，由得，解得，，∵墻長(zhǎng)為12米，∴，則，∴，答：x值為9；（3）解：由題意，，∴，∵墻長(zhǎng)為12米，籬笆長(zhǎng)為33米，∴，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，S有最大值，最大值為．1．（2023·山東）某個(gè)體商販在一次買賣中，同時(shí)賣出兩件上衣，售價(jià)都是120元，若按進(jìn)價(jià)計(jì)，其中一件盈利，另一件虧本，則兩件上衣的進(jìn)價(jià)之和為（

）A．230元 B．240元 C．250元 D．260元【答案】C【詳解】解：設(shè)盈利的那件進(jìn)價(jià)為元，虧本的那件進(jìn)價(jià)為元，則解得故兩件上衣進(jìn)價(jià)之和為：（元）．故選：C．2．（2023·福建）甲、乙二人分別從相距的A，B兩地出發(fā)，相向而行，如果甲比乙早出發(fā)，那么乙出發(fā)后，他們相遇；如果他們同時(shí)出發(fā)，那么后，兩人相距，則甲由A地到B地需要（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【詳解】解：設(shè)甲、乙二人的速度分別為，，分兩種情況：當(dāng)同時(shí)出發(fā)后，兩人相遇前相距時(shí)，，解得；當(dāng)同時(shí)出發(fā)后，兩人相遇后相距時(shí)，，解得；當(dāng)甲的速度為時(shí)，由A地到B地需要時(shí)間為：，當(dāng)甲的速度為時(shí)，由A地到B地需要時(shí)間為：，故選D．3．（2023·四川）已知從甲站到乙站的高鐵線路長(zhǎng)2200千米，自駕從甲站到乙站的路線長(zhǎng)約1700千米，開車的平均行駛速度是該高鐵設(shè)計(jì)時(shí)速的，且從甲站乘坐高鐵到乙站比自駕用時(shí)少6小時(shí)．設(shè)該高鐵的設(shè)計(jì)時(shí)速為x千米/時(shí)，則可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：由題意，得．故選A．4．（2023·廣東）某興趣小組組織一次圍棋比賽，參賽選手每?jī)扇酥g都要比賽一場(chǎng)，按計(jì)劃需要進(jìn)行28場(chǎng)比賽，設(shè)比賽組織者應(yīng)邀請(qǐng)x人參與比賽，則可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：設(shè)參賽的人數(shù)為x，依題意，得：故選：B．5．（2023·山東）A，B兩地相距80千米，一船從A出發(fā)順?biāo)旭?小時(shí)到達(dá)B，而從B出發(fā)逆水行駛5小時(shí)才能到達(dá)A，則船在靜水中的航行速度是千米/時(shí)．【答案】18【詳解】解：設(shè)船在靜水中的航行速度是x千米/時(shí)，水流速度為y千米/時(shí)，根據(jù)題意得：，解得：，答：船在靜水中的航行速度是18千米/時(shí)．故答案為：186．（2023·河北）某地舉辦了一次足球熱身賽，其計(jì)分規(guī)則及獎(jiǎng)勵(lì)方案（每人）如下表：勝一場(chǎng)平一場(chǎng)負(fù)一場(chǎng)積分310獎(jiǎng)金（元/人）15007000當(dāng)比賽進(jìn)行到每隊(duì)各比賽12場(chǎng)時(shí)，A隊(duì)共積20分，并且沒有負(fù)一場(chǎng)．(1)試判斷A隊(duì)勝、平各幾場(chǎng)？(2)若每比賽一場(chǎng)每名隊(duì)員均得出場(chǎng)費(fèi)500元，A隊(duì)的某一名隊(duì)員參加了全部比賽，那么他所得獎(jiǎng)金與出場(chǎng)費(fèi)的和是多少？【答案】(1)A隊(duì)勝4場(chǎng)，平8場(chǎng)(2)出場(chǎng)費(fèi)加獎(jiǎng)金一共17600元【詳解】（1）解：設(shè)隊(duì)勝利場(chǎng)，一共打了12場(chǎng)，平了場(chǎng)，，解得：；，隊(duì)勝4場(chǎng)，平8場(chǎng)；（2）解：每場(chǎng)比賽出場(chǎng)費(fèi)500元，12場(chǎng)比賽出場(chǎng)費(fèi)共6000元，贏了4場(chǎng)，獎(jiǎng)金為元，平了8場(chǎng)，獎(jiǎng)金為元，獎(jiǎng)金加出場(chǎng)費(fèi)一共17600元；答：一共贏了4場(chǎng)，出場(chǎng)費(fèi)加獎(jiǎng)金一共17600元．7．（2023·廣西）某健身器材專賣店推出兩種優(yōu)惠活動(dòng)，并規(guī)定購(gòu)物時(shí)只能選擇其中一種．活動(dòng)一：所購(gòu)商品按原價(jià)打八折；活動(dòng)二：所購(gòu)商品按原價(jià)每滿300元減80元．(如：所購(gòu)商品原價(jià)為300元，可減80元，需付款220元；所購(gòu)商品原價(jià)為600元，可減160元，需付款440元)(1)購(gòu)買一件原價(jià)為450元的健身器材時(shí)，選擇哪種活動(dòng)更合算？請(qǐng)說明理由；(2)購(gòu)買一件原價(jià)在500元以下的健身器材時(shí)，若選擇活動(dòng)一和選擇活動(dòng)二的付款金額相等，求一件這種健身器材的原價(jià)；(3)購(gòu)買一件原價(jià)在900元以下的健身器材時(shí)，原價(jià)在什么范圍內(nèi)，選擇活動(dòng)二比選擇活動(dòng)一更合算﹖設(shè)一件這種健身器材的原價(jià)為a元，求出a的取值范圍．【答案】(1)活動(dòng)一更合算(2)這種健身器材的原價(jià)是400元；(3)當(dāng)或時(shí)，活動(dòng)二更合算【詳解】（1）解：購(gòu)買一件原價(jià)為450元的健身器材時(shí)，活動(dòng)一需付款：元，活動(dòng)二需付款：元，∴活動(dòng)一更合算；（2）解：設(shè)這種健身器材的原價(jià)是元，則，解得，答：這種健身器材的原價(jià)是400元；（3）解：這種健身器材的原價(jià)為a元，則活動(dòng)一所需付款為：元，活動(dòng)二當(dāng)時(shí)，所需付款為：元，當(dāng)時(shí)，所需付款為：元，當(dāng)時(shí)，所需付款為：元，①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無論為何值，都是活動(dòng)一更合算，不符合題意，②當(dāng)時(shí)，，解得，即：當(dāng)時(shí)，活動(dòng)二更合算，③當(dāng)時(shí)，，解得，即：當(dāng)時(shí)，活動(dòng)二更合算，綜上：當(dāng)或時(shí)，活動(dòng)二更合算．8．（2023·云南）某地要把248噸物資從某地運(yùn)往甲、乙兩地，用大、小兩種貨車共20輛，恰好能一次性運(yùn)完這批物資．已知這兩種貨車的載重量分別為16噸/輛和10噸/輛，運(yùn)往甲、乙兩地的運(yùn)費(fèi)如下表：運(yùn)往地車型甲地（元/輛）乙地（元/輛）大貨車620700小貨車400550(1)求大、小兩種貨車各用鄉(xiāng)少輛？(2)如果安排9輛貨車前往甲地，其余貨車前往乙地，設(shè)前往甲地的大貨車為a輛，前往甲、乙兩地的總運(yùn)費(fèi)為w元，求出w與a的函數(shù)關(guān)系式，并請(qǐng)你設(shè)計(jì)出使總運(yùn)費(fèi)最少的貨車調(diào)配方案，求出最少總運(yùn)費(fèi)．【答案】(1)大貨車用8輛，小貨車用12輛．(2)（且為整數(shù)）．9輛小貨車前往甲地；8輛大貨車、3輛小貨車前往乙地．最少運(yùn)費(fèi)為元．【詳解】（1）設(shè)大貨車用x輛，則小貨車用輛，根據(jù)題意得，解得，∴．答：大貨車用8輛，小貨車用12輛．（2）設(shè)前往甲地的大貨車為a輛，則前往乙地的大貨車為輛，前往甲地的小貨車為輛，前往乙地的小貨車為輛，，∴（且為整數(shù)）．∵，，∴w隨a的增大而增大，∵∴當(dāng)時(shí)，w最小，最小值為．∴使總運(yùn)費(fèi)最少的調(diào)配方案是：9輛小貨車前往甲地；8輛大貨車、3輛小貨車前往乙地．最少運(yùn)費(fèi)為元．9．（2023·山東）在國(guó)道202公路改建工程中，某路段長(zhǎng)，由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)擬在30天內(nèi)（含30天）合作完成．已知兩個(gè)工程隊(duì)各有10名工人（設(shè)甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)的工人全部參與改建，兩工程隊(duì)內(nèi)每人每天的工作量相同）．甲工程隊(duì)1天、乙工程隊(duì)2天共修路；甲工程隊(duì)2天、乙工程隊(duì)3天共修路．(1)試問甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天分別修路多少米？(2)已知甲工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為萬元，乙工程隊(duì)每天的施工費(fèi)用為萬元，要使該工程的施工費(fèi)用最低，甲，乙兩隊(duì)需各做多少天？最低費(fèi)用為多少？【答案】(1)甲隊(duì)每天修路，乙隊(duì)每天修路(2)甲隊(duì)做30天，乙隊(duì)做20天，最低費(fèi)用為25萬元【詳解】（1）解：設(shè)甲隊(duì)每天修路xm，乙隊(duì)每天修路ym，解得答：甲隊(duì)每天修路，乙隊(duì)每天修路.（2）設(shè)甲工程隊(duì)需做a天，乙工程隊(duì)需做b天，，，∵，∴，解得.又∵，∴.設(shè)總費(fèi)用為W萬元，依題意，得.∵，∴當(dāng)時(shí)，(萬元)，∴(天).∴甲隊(duì)做30天，乙隊(duì)做20天，最低費(fèi)用為25萬元10．（2023·貴州）運(yùn)輸公司要把120噸物資從A地運(yùn)往B地，有甲、乙、丙三種車型供選擇，每種型號(hào)的車輛的運(yùn)載量和運(yùn)費(fèi)如表所示．車型甲乙丙運(yùn)載量（噸/輛）5810運(yùn)費(fèi)（元/輛）450600700解答下列問題：（假設(shè)每輛車均滿載）(1)若全部物資僅用甲、乙型車一次運(yùn)完，需運(yùn)費(fèi)9600元，則甲、乙型車分別需要多少輛？(2)若用甲、乙、丙型車共14輛同時(shí)參與運(yùn)送，且一次運(yùn)完全部物資，其中甲型車有2輛，則乙、丙型車分別需要多少輛？此時(shí)的總運(yùn)費(fèi)是多少？【答案】(1)甲、乙型車分別需要8輛、10輛(2)乙、丙型車分別需要5輛、7輛，此時(shí)的總運(yùn)費(fèi)為8800元【詳解】（1）設(shè)甲、乙型車分別需要a輛、b輛．根據(jù)題意，得，解得，答：甲、乙型車分別需要8輛、10輛；（2）設(shè)乙、丙型車分別需要x輛、y輛，根據(jù)題意得，解得，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)為（元）．答：乙、丙型車分別需要5輛、7輛，此時(shí)的總運(yùn)費(fèi)為8800元．11．（2023·重慶）某商店要購(gòu)進(jìn)A、B兩種型號(hào)的文具，通過市場(chǎng)調(diào)研得知：A種型號(hào)文具的單價(jià)比B種文具的單價(jià)多100元，且用22500元購(gòu)買A種型號(hào)文具的數(shù)量是用10000元購(gòu)買B種文具的數(shù)量的1.5倍．(1)求A、B兩種型號(hào)文具的單價(jià)分別為多少？(2)學(xué)校計(jì)劃用不超過10000元的資金購(gòu)買A、B兩種文具共40套，為使購(gòu)買的A種型號(hào)的文具盡可能多，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出購(gòu)買方案．【答案】(1)購(gòu)買A種型號(hào)文具的單價(jià)為300元，購(gòu)買B種型號(hào)文具的單價(jià)為200元(2)購(gòu)買A種型號(hào)玩具20套，購(gòu)買B種型號(hào)玩具20套【詳解】（1）解：設(shè)購(gòu)買B種型號(hào)文具的單價(jià)為x元，則購(gòu)買A種型號(hào)文具的單價(jià)為元解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原分式方程的解，且符合題意∴（元）答：購(gòu)買A種型號(hào)文具的單價(jià)為300元，購(gòu)買B種型號(hào)文具的單價(jià)為200元；（2）解：設(shè)購(gòu)買A種型號(hào)玩具m套，則購(gòu)買B種型號(hào)玩具套，根據(jù)題意得：解得，∴m的最大值為20，此時(shí)（套）答：購(gòu)買A種型號(hào)玩具20套，購(gòu)買B種型號(hào)玩具20套12．（2023·四川）某商場(chǎng)用5萬元購(gòu)進(jìn)一批襯衫，很快就銷售一空，于是商場(chǎng)打算再購(gòu)進(jìn)一批相同的襯衫銷售，由于該襯衫暢銷，導(dǎo)致每件襯衫的進(jìn)價(jià)漲了10元，所以商場(chǎng)6萬元購(gòu)買的襯衫與上次數(shù)量一樣多．(1)每件襯衫原來的進(jìn)價(jià)是多少元？(2)根據(jù)第二次的進(jìn)價(jià)，當(dāng)銷售單價(jià)是100元時(shí)，每天的銷售量是50件，而銷售單價(jià)每降低1元，每天就可多售出5件，但要求銷售單價(jià)不得低于成本，為了盡可能讓利給顧客，商場(chǎng)決定降價(jià)出售．要使每天的銷售利潤(rùn)為3000元，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？【答案】(1)50；(2)80．【詳解】（1）解：設(shè)原來襯衫每件進(jìn)價(jià)為x元，則后一批襯衫每件進(jìn)價(jià)為元，依題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，且符合題意．答：原來襯衫每件進(jìn)價(jià)為50元．（2）解：設(shè)定價(jià)為a元，根據(jù)題意得．整理得，解得，為了盡可能讓利給顧客，，答：定價(jià)為80元的時(shí)候可以每天的利潤(rùn)達(dá)到3000元同時(shí)讓利于顧客．1．（2023·河北）《九章算術(shù)》中記載：今有人共買物，人出八，盈三；人出七，不足四，問人數(shù)、物價(jià)各幾何？譯文：今有人合伙買東西，每人出8錢，會(huì)多3錢，每人出7錢，又會(huì)差4錢，問人數(shù)、物價(jià)各是多少？設(shè)合伙人有x人，物價(jià)為y錢，則可列方程組為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】解：依題意得：．故選：A．2．（2024·湖南常德·一模）如圖，有一張長(zhǎng)，寬的矩形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個(gè)無蓋長(zhǎng)方體紙盒，要使制成紙盒的底面積是原來矩形紙板面積的，則x的值為．【答案】5【詳解】解：由題意可知，無蓋紙盒的長(zhǎng)為，寬為，∴，整理得，解得（不合題意，舍去），故x的值為5．故答案為：53．新冠肺炎傳染性很強(qiáng)，曾有2人同時(shí)患上新冠肺炎，并且每人每天平均傳染x人，若經(jīng)過兩天傳染后就有128人患上了新冠肺炎，則x的值為___________．【答案】7【分析】根據(jù)“2人同時(shí)患上新冠肺炎，經(jīng)過兩天傳染后128人患上新冠肺炎”，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：依題意得：，解得：（不合題意，舍去）．故答案為：7．4．如圖，，．，點(diǎn)在線段上以1的速度由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)在線段上由點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（），則當(dāng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為時(shí)，與有可能全等．【答案】1或1.5【詳解】解：設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是，則有，，，∵，∴與全等，有兩種情況：①，，則，解得，則，解得；②，，則，，解得，．故答案為：1或1.5．5．（2024·重慶·一模）某地計(jì)劃修建一條長(zhǎng)1080米的健身步道，由甲、乙兩個(gè)施工隊(duì)合作完成．已知乙施工隊(duì)每天修建的長(zhǎng)度比甲施工隊(duì)每天修建的長(zhǎng)度多，若乙施工隊(duì)單獨(dú)修建這項(xiàng)工程，那么他比甲施工隊(duì)單獨(dú)修建這項(xiàng)工程提前3天完成．(1)求甲、乙兩施工隊(duì)每天各修建多少米？(2)若甲施工隊(duì)每天的修建費(fèi)用為13000元，乙施工隊(duì)每天的修建費(fèi)用為15000元，實(shí)際修建時(shí)，先由甲施工隊(duì)單獨(dú)修建若干天，為了盡快完成工程，后請(qǐng)乙施工隊(duì)加入，甲、乙施工隊(duì)共同修建，乙工作隊(duì)恰好工作3天完成修建任務(wù)，求共需修建費(fèi)用多少元？【答案】(1)甲施工隊(duì)每天修建90米，乙施工隊(duì)每天修建120米(2)共需修建費(fèi)用149000元【詳解】（1）解：設(shè)甲施工隊(duì)每天修建的長(zhǎng)度為米，則乙施工隊(duì)每天修建米依題意，得解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解∴（米）∴甲施工隊(duì)每天修建90米，乙施工隊(duì)每天修建120米；（2）解：設(shè)甲施工隊(duì)單獨(dú)修建天，依題意，得解得∴甲施工隊(duì)單獨(dú)修建5天則（元）∴共需修建費(fèi)用149000元．6．（2024·廣東惠州·一模）廣東百千萬高質(zhì)量發(fā)展工程預(yù)計(jì)到2025年將實(shí)現(xiàn)縣域經(jīng)濟(jì)發(fā)展加快，鄉(xiāng)村振興取得新成效．某鄉(xiāng)村龍眼上市，先后兩次共摘龍眼21噸，第一次賣出龍眼的價(jià)格為萬元/噸；因龍眼大量上市，價(jià)格下跌，第二次賣出龍眼的價(jià)格為萬元/噸，兩次龍眼共賣了9萬元．(1)求兩次各摘龍眼多少噸？(2)由于龍眼放置時(shí)間短，村民把龍眼加工成桂圓肉和龍眼干進(jìn)行銷售，預(yù)計(jì)還能摘20噸，若1噸龍眼可加工成桂圓肉噸或龍眼干噸，桂圓肉和龍眼干的銷售價(jià)格分別是10萬元/噸和3萬元/噸，若全部的銷售額不少于36萬元，則至少需要把多少噸龍眼加工成桂圓肉？【答案】(1)第一次賣出龍眼6噸，則第二次賣出龍眼15噸(2)至少需要把12噸龍眼加工成桂圓肉【詳解】（1）解：設(shè)第一次賣出龍眼x噸，則第二次賣出龍眼噸，由題意得：，解得：，∴（噸），答：第一次賣出龍眼6噸，則第二次賣出龍眼15噸；（2）解：設(shè)把y噸龍眼加工成桂圓肉，則把噸龍眼加工成龍眼干，由題意得：解得：，答：至少需要把12噸龍眼加工成桂圓肉．7．小明和爸爸同時(shí)從家騎自行車去圖書館，爸爸先以150米/分的速度騎行一段時(shí)間，休息了5分鐘，再以米/分的速度到達(dá)圖書館，小明始終以同一速度騎行，兩人行駛的路程（米）與時(shí)間（分）的關(guān)系如圖所示，請(qǐng)結(jié)合圖象，解答下列問題：(1)___________分，___________分，___________米/分：(2)若小明的速度是120米/分，小明在途中與爸爸第二次相遇的時(shí)間是___________分，此時(shí)距圖書館的距離是___________米：(3)在（2）的條件下，爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書館前，與小明相距100米的時(shí)間是___________分．【答案】(1)，，；(2)，；(3)或【詳解】（1）解：由題意可知，折線為爸爸行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系圖，線段為小明行駛的路程與時(shí)間的關(guān)系圖，分鐘，分鐘，米/分，故答案為：，，；（2）解：由圖象可知，小明在途中與爸爸第二次相遇在段，設(shè)段的關(guān)系式為，將點(diǎn)和代入，得：，解得：，段的解析式為，小明的速度是120米/分，段的關(guān)系式為，，即，解得：，即小明在途中與爸爸第二次相遇的時(shí)間是分，此時(shí)行駛的路程，距圖書館的距離是米，故答案為：，；（3）解：①當(dāng)爸爸和小明第二次相遇前相距米，則，解得：；②當(dāng)爸爸和小明第二次相遇后相距米，則，解得：，即爸爸自第二次出發(fā)至到達(dá)圖書館前，與小明相距100米的時(shí)間是或分，故答案為：或8．（2024·湖南長(zhǎng)沙·模擬預(yù)測(cè)）某中學(xué)為綠化美麗校園，營(yíng)造溫馨環(huán)境，計(jì)劃購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種規(guī)格的花架放置新購(gòu)進(jìn)的綠植，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，若購(gòu)買甲種花架10個(gè)、乙種花架8個(gè)，共需資金1584元；若購(gòu)買甲種花架5個(gè)，乙種花架12個(gè)，共需資金1656元．(1)甲、乙兩種花架每個(gè)的價(jià)格分別是多少元？(2)若該校計(jì)劃購(gòu)進(jìn)這兩種規(guī)格的花架共28個(gè)，且乙種花架的數(shù)量不少于10個(gè)，設(shè)購(gòu)買這批花架所需費(fèi)用為w元，甲種花架購(gòu)買a個(gè)，求w與a之間的函數(shù)關(guān)系式，并設(shè)計(jì)一種使費(fèi)用最少的購(gòu)買方案，寫出最少費(fèi)用．【答案】(1)甲種花架每個(gè)的價(jià)格為72元，乙種花架每個(gè)的價(jià)格為108元(2)，當(dāng)購(gòu)買甲種花架18個(gè)，乙種花架10個(gè)時(shí)，所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為2376元【詳解】（1）解：設(shè)甲種花架每個(gè)的價(jià)格為元，乙種花架每個(gè)的價(jià)格為元，根據(jù)題意得：，解得：，答：甲種花架每個(gè)的價(jià)格為72元，乙種花架每個(gè)的價(jià)格為108元；（2）∵甲種花架購(gòu)買個(gè)，∴乙種花架購(gòu)買個(gè)，∵乙種花架的數(shù)量不少于10個(gè)，∴，解得：，根據(jù)題意得：，∵，∴隨的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，取最小值，最小值為，∴當(dāng)購(gòu)買甲種花架18個(gè)，乙種花架10個(gè)時(shí)，所需費(fèi)用最少，最少費(fèi)用為2376元．9．某中學(xué)為了讓學(xué)生體驗(yàn)農(nóng)耕勞動(dòng)，開辟了一處耕種園，需要采購(gòu)一批菜苗開展種植活動(dòng)．據(jù)了解，市場(chǎng)上每捆A種菜苗的價(jià)格是菜苗基地的倍，用300元在市場(chǎng)上購(gòu)買的A種菜苗比在菜苗基地購(gòu)買的少3捆．(1)求菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格；(2)菜苗基地每捆B種菜苗的價(jià)格是30元．學(xué)校決定在菜苗基地購(gòu)買A，B兩種菜苗共100捆，且A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)．菜苗基地為支持該?；顒?dòng)，對(duì)A，B兩種菜苗均提供九折優(yōu)惠．求本次購(gòu)買最少花費(fèi)多少錢．【答案】(1)菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格為20元(2)本次購(gòu)買最少花費(fèi)2250元【詳解】（1）解：設(shè)菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格為x元，則市場(chǎng)上每捆A種菜苗的價(jià)格為元，由題意得，，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，答：菜苗基地每捆A種菜苗的價(jià)格為20元；（2）解：設(shè)購(gòu)買A種菜苗m捆，總花費(fèi)為W元，則購(gòu)買B種菜苗捆，由題意得，，∵A種菜苗的捆數(shù)不超過B種菜苗的捆數(shù)，∴，∴，∵，∴W隨m增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，W最小，最小值為，∴本次購(gòu)買最少花費(fèi)2250元．10．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）某水果店老板市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，口感無敵的無核沃柑和面甜多汁的羅曼西紅柿，物美價(jià)廉，走紅市場(chǎng)，每斤羅曼西紅柿比無核沃柑進(jìn)價(jià)多元，用元購(gòu)進(jìn)羅曼西紅柿的數(shù)量是用元購(gòu)進(jìn)無核沃柑數(shù)量的倍．(1)求羅曼西紅柿、無核沃柑每斤進(jìn)價(jià)分別為多少元？(2)羅曼西紅柿每斤售價(jià)為元，無核沃柑每斤售價(jià)為元，水果店老板決定，購(gòu)進(jìn)無核沃柑的數(shù)量比購(gòu)進(jìn)羅曼西紅柿的數(shù)量的倍還多斤，兩種水果全部售出后，可使總的獲利不低于元，則最少購(gòu)進(jìn)羅曼西紅柿多少斤？【答案】(1)羅曼西紅柿每斤進(jìn)價(jià)元，無核沃柑每斤進(jìn)價(jià)元(2)至少購(gòu)進(jìn)羅曼西紅柿斤【詳解】（1）設(shè)無核沃柑每斤進(jìn)價(jià)元，則羅曼西紅柿每斤進(jìn)價(jià)元．由題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解且符合題意，則，答：羅曼西紅柿每斤進(jìn)價(jià)元，無核沃柑每斤進(jìn)價(jià)元．（2）設(shè)購(gòu)進(jìn)羅曼西紅柿斤，則無核沃柑斤．由題意得：，解得，答：至少購(gòu)進(jìn)羅曼西紅柿斤．11．某汽車銷售公司4月份銷售某廠家的汽車，在一定范圍內(nèi)，每部汽車的進(jìn)價(jià)與銷售量之間有如下關(guān)系：若當(dāng)月僅售出1輛汽車，則該部汽車的進(jìn)價(jià)為萬元，每多售出輛，所有售出的汽車進(jìn)價(jià)每輛均降低萬元，月底汽車生產(chǎn)廠家根據(jù)銷售公司的