專(zhuān)題03 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)大題（五大題型）解析版

專(zhuān)題03二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)大題（五大題型）通用的解題思路：題型一．二次函數(shù)的性質(zhì)二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），對(duì)稱(chēng)軸直線x＝﹣，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象具有如下性質(zhì)：①當(dāng)a＞0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向上，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而減小；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＝﹣時(shí)，y取得最小值，即頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)．②當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的開(kāi)口向下，x＜﹣時(shí)，y隨x的增大而增大；x＞﹣時(shí)，y隨x的增大而減??；x＝﹣時(shí)，y取得最大值，即頂點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)．③拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象可由拋物線y＝ax2的圖象向右或向左平移|﹣|個(gè)單位，再向上或向下平移||個(gè)單位得到的．題型二．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次項(xiàng)系數(shù)a決定拋物線的開(kāi)口方向和大?。?dāng)a＞0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)a＜0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；|a|還可以決定開(kāi)口大小，|a|越大開(kāi)口就越?。谝淮雾?xiàng)系數(shù)b和二次項(xiàng)系數(shù)a共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置．當(dāng)a與b同號(hào)時(shí)（即ab＞0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即ab＜0），對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)．（簡(jiǎn)稱(chēng)：左同右異）③．常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)．拋物線與y軸交于（0，c）．④拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．題型三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（1）二次函數(shù)的解析式有三種常見(jiàn)形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；②頂點(diǎn)式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0），其中（h，k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)；③交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0）；（2）用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式．在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時(shí)，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時(shí)，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸時(shí)，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來(lái)求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來(lái)求解．題型四．拋物線與x軸的交點(diǎn)求二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．（1）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c＝0根之間的關(guān)系．△＝b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．△＝b2﹣4ac＞0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＝0時(shí)，拋物線與x軸有1個(gè)交點(diǎn)；△＝b2﹣4ac＜0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)．（2）二次函數(shù)的交點(diǎn)式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常數(shù)，a≠0），可直接得到拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)（x1，0），（x2，0）．題型五．二次函數(shù)綜合題（1）二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問(wèn)題解決此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)給定的函數(shù)或函數(shù)圖象判斷出系數(shù)的符號(hào)，然后判斷新的函數(shù)關(guān)系式中系數(shù)的符號(hào)，再根據(jù)系數(shù)與圖象的位置關(guān)系判斷出圖象特征，則符合所有特征的圖象即為正確選項(xiàng)．（2）二次函數(shù)與方程、幾何知識(shí)的綜合應(yīng)用將函數(shù)知識(shí)與方程、幾何知識(shí)有機(jī)地結(jié)合在一起．這類(lèi)試題一般難度較大．解這類(lèi)問(wèn)題關(guān)鍵是善于將函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識(shí)，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．（3）二次函數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用題從實(shí)際問(wèn)題中分析變量之間的關(guān)系，建立二次函數(shù)模型．關(guān)鍵在于觀察、分析、創(chuàng)建，建立直角坐標(biāo)系下的二次函數(shù)圖象，然后數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題，需要我們注意的是自變量及函數(shù)的取值范圍要使實(shí)際問(wèn)題有意義．題型一．二次函數(shù)的性質(zhì)（共3小題）1．（2024?石景山區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，，，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線．（1）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值；（2）若對(duì)于，，都有，求的取值范圍；（3）若對(duì)于，，存在，直接寫(xiě)出的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸進(jìn)行計(jì)算，得，再把代入，即可作答．（2）因?yàn)?，，，是拋物線上的點(diǎn)，所以把，分別代入，得出對(duì)應(yīng)的，，再根據(jù)聯(lián)立式子化簡(jiǎn)，計(jì)算即可作答；（3）根據(jù)，，存在，得出當(dāng)或者，即可作答．【解答】解：（1）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，，即，拋物線，把代入，得，解得；（2）由（1）知拋物線，，，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，，，對(duì)于，，都有，，解得或；（3），，，是拋物線上任意兩點(diǎn)，對(duì)于，，存在，且關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，存在，解得，當(dāng)時(shí)，存在，解得，當(dāng)時(shí)，存在，解得，當(dāng)時(shí)，存在，解得，綜上，滿足的取值范圍為且．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象性質(zhì)、增減性，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．2．（2024?鹿城區(qū)校級(jí)一模）已知二次函數(shù)．（1）若它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求該函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸．（2）若時(shí)，的最小值為1，求出的值．（3）如果，兩點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，直線與該二次函數(shù)交于，，，兩點(diǎn)，則是否為定值？若是，請(qǐng)求出該定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）把代入解析式求出，再根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸公式求出對(duì)稱(chēng)軸；（2）根據(jù)拋物線開(kāi)口向下，以及時(shí)，由函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，的最小值為1，然后求即可；（3），兩點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，有對(duì)稱(chēng)軸公式得出，再令，并轉(zhuǎn)化為一般式，然后由根與系數(shù)的關(guān)系求出．【解答】解：（1）將代入二次函數(shù)，得，解得，對(duì)稱(chēng)軸直線為；（2）當(dāng)時(shí)，，拋物線開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為直線，當(dāng)時(shí)，有最大值，時(shí)，的最小值為1，當(dāng)時(shí)，，解得；（3）是定值，理由：，兩點(diǎn)都在這個(gè)二次函數(shù)的圖象上，，，令，整理得：，直線與該二次函數(shù)交于，，，兩點(diǎn)，，是方程的兩個(gè)根，是定值．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征等知識(shí)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．3．（2024?拱墅區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．（1）若，①求此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；②當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出的取值范圍；（2）若，點(diǎn)在該拋物線上，且，請(qǐng)比較，的大小，并說(shuō)明理由．【分析】（1）①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，將其代入函數(shù)解析式中解得，則函數(shù)解析式為拋物線的解析式為，再根據(jù)求對(duì)稱(chēng)軸的公式即可求解；②令，求出拋物線與軸交于和，由題意可得，則點(diǎn)在軸的下方，以此即可解答；（2）將點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，通過(guò)可得的取值范圍，從而可得拋物線開(kāi)口方向及對(duì)稱(chēng)軸，根據(jù)點(diǎn)，到對(duì)稱(chēng)軸的距離大小關(guān)系求解．【解答】解：（1）①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，拋物線的解析式為，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線；②令，則，解得：，，拋物線與軸交于和，點(diǎn)，，且，點(diǎn)在軸的下方，或．（2），理由如下：將代入得，，，，拋物線開(kāi)口向下，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，，，，且，，點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離大于點(diǎn)到對(duì)稱(chēng)軸的距離，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)與方程及不等式的關(guān)系．題型二．二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系（共8小題）4．（2023?南京）已知二次函數(shù)為常數(shù)，．（1）若，求證：該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，．（3）若該函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，且，則的取值范圍是或．【分析】（1）證明即可解決問(wèn)題．（2）將代入函數(shù)解析式，進(jìn)行證明即可．（3）對(duì)和進(jìn)行分類(lèi)討論即可．【解答】證明：（1）因?yàn)?，又因?yàn)?，所以，，所以，所以該函?shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)．（2）將代入函數(shù)解析式得，，所以拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，開(kāi)口向下．則當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以．（3）因?yàn)閽佄锞€的對(duì)稱(chēng)軸為直線，且過(guò)定點(diǎn)，又因?yàn)樵摵瘮?shù)的圖象與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，，且，所以當(dāng)時(shí)，，解得，故．當(dāng)時(shí)，，解得，故．綜上所述，或．故答案為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2024?南京模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上．（1）求拋物線的頂點(diǎn)；（2）若，求的取值范圍；（3）若點(diǎn)，在拋物線上，若存在，使成立，求的取值范圍．【分析】（1）利用配方法將已知拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式，可直接得到答案；（2）由，得到，解不等式即可；（3）由題意可知或，解不等式組即可．【解答】解：（1）拋物線．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為．故答案為：；（2）點(diǎn)，在拋物線上，且，，；（3）點(diǎn)，在拋物線上，存在，使成立，或，解得．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與系數(shù)的關(guān)系，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2024?北京一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)．（1）求該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸（用含有的代數(shù)式表示）；（2）點(diǎn)，，為該拋物線上的三個(gè)點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使得，求的取值范圍．【分析】（1）將點(diǎn)代入拋物線中，然后根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸公式代入數(shù)值，即可得出答案；（2）分類(lèi)討論當(dāng)和，利用數(shù)形結(jié)合以及二次函數(shù)的性質(zhì)就可以得出的取值范圍．【解答】解（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，把代入得，，，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，答：拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：；（2）①當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口方向向上，對(duì)稱(chēng)軸，在軸的負(fù)半軸上，所以越靠近對(duì)稱(chēng)軸函數(shù)值越小，當(dāng)時(shí)，，，在拋物線上，，此時(shí)與題干相矛盾，故舍去，當(dāng)時(shí)，，，在拋物線上，，此時(shí)與題干相矛盾，故舍去；②當(dāng)時(shí)，拋物線開(kāi)口方向向下，對(duì)稱(chēng)軸，在軸的正半軸上，所以越靠近對(duì)稱(chēng)軸函數(shù)值越大，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、分別在對(duì)稱(chēng)軸同側(cè)時(shí)，，，在拋物線上，，，此時(shí)，即，，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、分別在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)時(shí)，，，在拋物線上，，與題干相矛盾，故舍去，當(dāng)時(shí)，且點(diǎn)、分別在對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)時(shí)，，，在拋物線上，，與題干相矛盾，故舍去，當(dāng)時(shí)，且點(diǎn)、分別在對(duì)稱(chēng)軸同側(cè)時(shí)，，，在拋物線上，，與題干相矛盾，故舍去，答：的取值范圍為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的重點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象的增減性，正確運(yùn)用屬性結(jié)合思想是本題做題的關(guān)鍵．7．（2024?張家口一模）某課外小組利用幾何畫(huà)板來(lái)研究二次函數(shù)的圖象，給出二次函數(shù)解析式，通過(guò)輸入不同的，的值，在幾何畫(huà)板的展示區(qū)內(nèi)得到對(duì)應(yīng)的圖象．（1）若輸入，，得到如圖①所示的圖象，求頂點(diǎn)的坐標(biāo)及拋物線與軸的交點(diǎn)，的坐標(biāo)；（2）已知點(diǎn)，．①若輸入，的值后，得到如圖②的圖象恰好經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，求出，的值；②淇淇輸入，嘉嘉輸入，若得到二次函數(shù)的圖象與線段有公共點(diǎn)，求淇淇輸入的取值范圍．【分析】（1）將，，代入函數(shù)解析式，進(jìn)行求解即可；（2）①待定系數(shù)法進(jìn)行求解即可；②將代入解析式，得到拋物線必過(guò)點(diǎn)，求出和的函數(shù)值，根據(jù)拋物線與線段有公共點(diǎn)，列出不等式進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1），解：當(dāng)，時(shí)，，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為：；當(dāng)時(shí)，，即，解得：，，，；（2）①拋物線恰好經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則：，解得：；②當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，拋物線過(guò)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方，或與點(diǎn)重合時(shí)，拋物線與線段有公共點(diǎn)，即：，解得：；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)上方，或與點(diǎn)重合時(shí)，拋物線與線段有公共點(diǎn)，即：，；綜上：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2024?浙江模擬）設(shè)二次函數(shù)，均為常數(shù)，，已知函數(shù)值和自變量的部分對(duì)應(yīng)取值如下表所示：0253（1）判斷，的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若，求的值；（3）若在，，這三個(gè)數(shù)中，只有一個(gè)數(shù)是負(fù)數(shù)，求的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)所給函數(shù)解析式，可得出拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，據(jù)此可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)（1）中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，可求出的值，據(jù)此即可解決問(wèn)題．（3）根據(jù)和相等，所以三個(gè)數(shù)中的負(fù)數(shù)只能為，據(jù)此可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）．因?yàn)槎魏瘮?shù)的解析式為，所以拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，又因?yàn)?，所以點(diǎn)與關(guān)于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，故．（2）因?yàn)?，，所以．將和代入函?shù)解析式得，，解得所以二次函數(shù)的解析式為．將代入函數(shù)解析式得，．（3）由（1）知，，所以，，中只能為負(fù)數(shù)．將代入函數(shù)解析式得，，所以二次函數(shù)解析式為．將代入函數(shù)解析式得，．將代入函數(shù)解析式得，．則，解得，所以的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．9．（2024?北京模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，．（1）若，求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；（2）若，求的取值范圍．【分析】（1）利用對(duì)稱(chēng)軸意義即可求解；（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出關(guān)于的不等式組，解不等式組即可．【解答】解：（1）拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，，該拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：直線，即直線；（2）當(dāng)時(shí)，可知點(diǎn)，，從左至右分布，，，解得；當(dāng)時(shí)，，，不合題意，綜上，的取值范圍是．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2024?浙江模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線，，為常數(shù)，且經(jīng)過(guò)和兩點(diǎn)．（1）求和的值（用含的代數(shù)式表示）；（2）若該拋物線開(kāi)口向下，且經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，求的取值范圍；（3）已知點(diǎn)，，若該拋物線與線段恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象，求的取值范圍．【分析】（1）把和代入，即可求解；（2）先求出對(duì)稱(chēng)軸為：直線，結(jié)合開(kāi)口方向和增減性列出不等式即可求解；（3）分時(shí)，時(shí)，結(jié)合圖象即可求解．【解答】解：（1）把和代入，得：，解得：；（2）拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為：直線，拋物線開(kāi)口向下，當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，，即；（3）①當(dāng)時(shí)，，，即，解得：，拋物線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)，如圖①，拋物線與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合圖象可知：；②當(dāng)時(shí)，若拋物線的頂點(diǎn)在線段上時(shí)，則，解得：，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，定點(diǎn)橫坐標(biāo)滿足，符合題意；當(dāng)時(shí)，如圖②，拋物線與線段只有一個(gè)交點(diǎn)，如圖③，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)頂點(diǎn)橫坐標(biāo)不滿足，不符合題意，舍去；若拋物線與線段有兩個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)恰好為點(diǎn)時(shí)，把代入，得：，解得：，當(dāng)時(shí)，如圖④，拋物線和線段有兩個(gè)交點(diǎn)，且其中一個(gè)交點(diǎn)恰好為點(diǎn)，結(jié)合圖象可知：時(shí)，拋物線與線段有一個(gè)交點(diǎn)，綜上所述：的取值范圍為：或或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象，根據(jù)題意畫(huà)出圖象，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．11．（2024?海淀區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，在拋物線上．（1）當(dāng)時(shí)，求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸；（2）若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，當(dāng)自變量的值滿足時(shí)，隨的增大而增大，求的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，在拋物線上．若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，為拋物線上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性求出對(duì)稱(chēng)軸；（2）把，代入拋物線解析式得出，的關(guān)系，然后求出對(duì)稱(chēng)軸，再分和，由函數(shù)的增減性求出的取值范圍；（3）先畫(huà)出函數(shù)圖象，再根據(jù)確定的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)時(shí)，，為拋物線上的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線；（2）過(guò)，，，，，對(duì)稱(chēng)軸為直線，①當(dāng)時(shí)，時(shí)，隨的增大而增大，，解得，；②當(dāng)時(shí)，時(shí)，隨的增大而增大，，解得，，綜上：的取值范圍是或；（3）點(diǎn)在拋物線上，，點(diǎn)，在拋物線上，對(duì)稱(chēng)軸為直線，①如圖所示：，且，；②如圖所示：，，，綜上所述，的取值范圍為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合和分類(lèi)討論的思想進(jìn)行解答．題型三．待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式（共3小題）12．（2024?保山一模）如圖，拋物線過(guò)，，三點(diǎn)；點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，且．（1）試求拋物線的表達(dá)式；（2）過(guò)點(diǎn)作軸并交于點(diǎn)，作軸并交拋物線的對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)，若，求的值．【分析】（1）將，，三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可解決問(wèn)題．（2）用表示出和，建立關(guān)于的方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）由題知，將，，三點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式得，，解得，所以拋物線的表達(dá)式為．（2）將代入拋物線得表達(dá)式得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．令直線的函數(shù)解析式為，則，解得，所以直線的函數(shù)解析式為．因?yàn)?，且拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，所以．又因?yàn)辄c(diǎn)坐標(biāo)為，所以．因?yàn)?，所以，解得，又因?yàn)?，所以．【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟知待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．（2024?東營(yíng)區(qū)校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸上．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作軸，軸的平行線，交直線于點(diǎn)，．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出，兩點(diǎn)坐標(biāo)，再將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式即可解決問(wèn)題．（2）根據(jù)得到與的關(guān)系，建立方程即可解決問(wèn)題．【解答】解：（1）令得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；令得，，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為；將，兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)解析式得，，解得，所以拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．（2）因?yàn)檩S，軸，所以，則．因?yàn)?，，所以．令點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，則，解得或3．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟知待定系數(shù)法及二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2024?南關(guān)區(qū)校級(jí)二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，．點(diǎn)在拋物線上，其橫坐標(biāo)為．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（3）當(dāng)拋物線上、兩點(diǎn)之間部分的最大值與最小值的差為時(shí)，求的值；（4）點(diǎn)在拋物線上，其橫坐標(biāo)為．過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸于點(diǎn)，分別連結(jié)，，，當(dāng)與的面積相等時(shí)，直接寫(xiě)出的值．【分析】（1）依據(jù)題意，將、兩點(diǎn)代入解析式求出，即可得解；（2）依據(jù)題意，結(jié)合（1）所求解析式，再配方可得拋物線的最值，進(jìn)而由可以判斷得解；（3）依據(jù)題意，分類(lèi)討論計(jì)算可以得解；（4）分別寫(xiě)出、、、的坐標(biāo)，與的面積相等，所以到的距離等于到的距離，可得的值．【解答】解：（1）由題意，將，代入解析式得，，，，，拋物線的解析式為；（2）由題意，拋物線，拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，有最小值為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（3）由題意得，，，①當(dāng)時(shí)，、兩點(diǎn)之間部分的最大值為，最小值為，，解得：，②當(dāng)時(shí)，、兩點(diǎn)之間部分的最大值為，最小值為或，顯然最小值是時(shí)不合題意，最小值為，，解得：或，時(shí)，、兩點(diǎn)之間部分的最小值為，故舍去，③當(dāng)時(shí)，、兩點(diǎn)之間部分的最大值為，最小值為，，解得：，，故舍去，綜上，滿足題意得的值為：或；（4）由題意得，，，，設(shè)，代入、兩點(diǎn)，，解得：，，，與的面積相等，到的距離與到的距離相等，到的距離，到的距離，，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，綜上，滿足題意得的值為：或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)，關(guān)鍵是注意分類(lèi)討論．題型四．拋物線與x軸的交點(diǎn)（共14小題）15．（2024?秦淮區(qū)校級(jí)模擬）已知函數(shù)為常數(shù)）．（1）求證：不論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有公共點(diǎn)．（2）不論為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是，，．（3）在的范圍中，的最大值是2，直接寫(xiě)出的值．【分析】（1）分兩種情況討論，利用判別式證明即可；（2）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即可得到定點(diǎn)坐標(biāo)；（3）利用拋物線過(guò)兩個(gè)定點(diǎn)，得到函數(shù)隨增大而增大，代入解析式求出值即可．【解答】解：（1）①當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為，此一次函數(shù)與軸有交點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)解析式為，令，則有，△．不論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有公共點(diǎn)．（2），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，不論為何值，該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是．故答案為：，，（3）若，函數(shù)，隨增大而增大，當(dāng)時(shí)，，與題干條件符；當(dāng)時(shí)，函數(shù)是二次函數(shù)，①當(dāng)時(shí)，拋物線過(guò)，兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)姆秶袝r(shí)，隨的增大而增大，當(dāng)時(shí)，，即，解得（舍去）．②當(dāng)時(shí)，拋物線過(guò)，兩點(diǎn)，其增減性依舊是隨的增大而增大和①相同．綜上分析，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．16．（2024?柳州模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）求的面積【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）先求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)解析求解即可．【解答】解：（1）將，代入得，解得，二次函數(shù)的解析式為：；（2）將配方得頂點(diǎn)式，頂點(diǎn)，在中，當(dāng)時(shí)，解得或，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．17．（2024?安陽(yáng)模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與拋物線的形狀相同，且與軸交于點(diǎn)和．直線分別與軸、軸交于點(diǎn)，，交拋物線于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)是直線上方拋物線上的任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求面積的最大值；（3）若拋物線與線段有公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．【分析】（1）根據(jù)題意直接求出二次函數(shù)解析式即可；（2）求出直線與拋物線的交點(diǎn)，坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，則點(diǎn)，求出，由三角形的面積公式求出關(guān)于的函數(shù)解析式，再根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)求最值；（3）分和兩種情況討論即可．【解答】解：（1）拋物線與拋物線的形狀相同，，拋物線與軸交于點(diǎn)和，拋物線的解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，解得或，，，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，如圖，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，點(diǎn)，，，，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．面積的最大值為；（3）令，則，點(diǎn)坐標(biāo)為，令，則，解得，點(diǎn)坐標(biāo)為，，若拋物線與線段有公共點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，如圖所示，則，解得；當(dāng)時(shí)，如圖所示：則，解得；綜上所述，的取值范圍為或．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值等知識(shí)，關(guān)鍵是對(duì)這些知識(shí)的掌握和運(yùn)用．18．（2024?西湖區(qū)校級(jí)模擬）已知和且是同一直角坐標(biāo)系中的兩條拋物線．（1）當(dāng)，時(shí)，求拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）判斷這兩條拋物線與軸的交點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，并說(shuō)明理由；（3）如果對(duì)于拋物線上的任意一點(diǎn)均有．當(dāng)時(shí)，求自變量的取值范圍．【分析】（1）把，的值代入配方找頂點(diǎn)即可解題；（2）分別令，，解方程求出方程的解，然后根據(jù)條件確定交點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可解題；（3）現(xiàn)根據(jù)題意得到，且，然后得到，借助圖象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）當(dāng)，時(shí)，，頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）3個(gè)，理由為：令，則，即，解得：，，令，則，即，解得：，，又且，兩條拋物線與軸的交點(diǎn)總個(gè)數(shù)為3個(gè)；（3）拋物線上的任意一點(diǎn)均有，，且，整理得：，的開(kāi)口向上，且拋物線與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，，如圖所示，借助圖象可知當(dāng)或時(shí)，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)，二次函數(shù)和一元二次方程的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．（2024?三元區(qū)一模）拋物線與軸相交于點(diǎn)，，與軸正半軸相交于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)，，，是拋物線上不同的兩點(diǎn)．①當(dāng)，滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，；②若，求的最小值．【分析】（1）用待定系數(shù)法即可求解；（2）①若，則、關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，即可求解；②，而，得到的函數(shù)表達(dá)式，進(jìn)而求解．【解答】解：（1）設(shè)拋物線的表達(dá)式為：，即，即，解得：，故拋物線的表達(dá)式為：；（2）如圖，由拋物線的表達(dá)式知，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，①若，則、關(guān)于拋物線對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，即，即，當(dāng)時(shí)，；②，，，即的最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的最值，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．20．（2024?黃山一模）已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）若點(diǎn)是軸上位于點(diǎn)與點(diǎn)之間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（含點(diǎn)與點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別交拋物線和直線于點(diǎn)、點(diǎn)．求線段的最大值．【分析】（1）設(shè)出拋物線解析式的交點(diǎn)式，再把點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式求出即可；（2）先根據(jù)（1）中解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求直線解析式，再設(shè)設(shè)，，則，，得出，由的取值范圍和二次函數(shù)的性質(zhì)求的最大值．【解答】解：（1）拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為，把代入得，，解得，拋物線的函數(shù)解析式為；（2）當(dāng)時(shí)，，，設(shè)直線的解析式為，把代入，得，解得，直線的解析式為，設(shè)，，則，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有最大值2；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，有最大值．綜上所述，的最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)的最值等知識(shí)，關(guān)鍵是求出函數(shù)解析式．21．（2024?碑林區(qū)校級(jí)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上軸左側(cè)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)恰好落在軸上，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式即可；（2）根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，，建立方程求出點(diǎn)坐標(biāo)即可．【解答】解：（1）將，代入，，解得，拋物線的解析式為；（2）設(shè)，，，，，解得，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．22．（2024?江西模擬）已知關(guān)于的二次函數(shù)．（1）求證：無(wú)論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）若二次函數(shù)的頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，求與之間的函數(shù)關(guān)系及的最大值．【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，再根據(jù)一元二次方程根的判別式，即可解答；（2）根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，得出頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，可得，將其代入，得出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，即可解答．【解答】（1）證明：當(dāng)時(shí)，．△，該方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，無(wú)論為何值，該函數(shù)的圖象與軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．（2）解：，，，二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，可得，將其代入，整理后得．頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為二次函數(shù)的圖象，且該圖象開(kāi)口向下，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，最大值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)．23．（2024?峰峰礦區(qū)校級(jí)二模）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．（1）若該拋物線過(guò)點(diǎn)；①求該拋物線的表達(dá)式，并求出此時(shí)，兩點(diǎn)的坐標(biāo)；②將該拋物線進(jìn)行平移，平移后的拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，求平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)和線段的長(zhǎng)；（2）點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（用含的代數(shù)式表示）．【分析】（1）①將代入，求出的值即可確定函數(shù)解析式；②根據(jù)平移的性質(zhì)可得向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后為，即可得出結(jié)果；（2）先求點(diǎn)坐標(biāo)，再求拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，則點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為．【解答】解：（1）①將點(diǎn)坐標(biāo)代入，則，則，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，將代入，即，解得，；，；②向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后為，平移后頂點(diǎn)坐標(biāo)為，線段的長(zhǎng)為2；（2）當(dāng)時(shí)，，，拋物線與軸交于點(diǎn)，，拋物線對(duì)稱(chēng)軸為直線，，點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱(chēng)軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．24．（2024?安徽模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與軸分別交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）如圖，點(diǎn)、分別是拋物線上第四象限、第二象限上的點(diǎn)，其中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，連接交軸于點(diǎn)，連接、，設(shè)的面積為，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）把，代入，用待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）根據(jù)點(diǎn)是拋物線上第二象限上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，然后用待定系數(shù)法求直線的解析式，從而求出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)三角形的面積公式以及，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)，然后再代入二次函數(shù)解析式，從而得出結(jié)論．【解答】解：（1）把，代入得：，解得，拋物線的表達(dá)式為；（2）點(diǎn)是拋物線上第二象限上的點(diǎn)，其橫坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的解析式為，把，坐標(biāo)代入得：，解得，直線與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，，的面積為，，，解得，把代入得，點(diǎn)坐標(biāo)為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，以及待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式．25．（2024?宜昌模擬）如圖，函數(shù)的圖象與軸交于點(diǎn)，（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)．（1）已知一次函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，，求這個(gè)一次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，函數(shù)為常數(shù)）的值大于函數(shù)的值，直接寫(xiě)出的取值范圍．【分析】（1）令，則，可求，當(dāng)，則，可求，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式即可；（2）由題意知，的圖象與直線平行，如圖，結(jié)合圖象求解作答即可．【解答】解：（1）令，則，解得，或，，當(dāng)，則，即，設(shè)一次函數(shù)解析式為，將，代入得，，解得，，一次函數(shù)的解析式為；（2）由題意知，的圖象與直線平行，如圖，當(dāng)時(shí)，對(duì)于的每一個(gè)值，，由圖可知：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與不等式．熟練掌握二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，一次函數(shù)解析式，一次函數(shù)圖象的平移，二次函數(shù)與不等式是解題的關(guān)鍵．26．（2024?昆山市模擬）如圖，已知拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．（1）求拋物線的表達(dá)式；（2）若拋物線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的拋物線為，求拋物線的表達(dá)式；（3）在拋物線上是否存在一點(diǎn)，使得，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）將點(diǎn)，代入，即可求解；（2）根據(jù)拋物線與拋物線為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，求出拋物線的表達(dá)式即可；（3）設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)，列出關(guān)于的方程，解方程求出即可．【解答】解：（1）將點(diǎn)，代入，則，解得，拋物線的表達(dá)式為；（2）拋物線與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，拋物線的解析式為；（3）存在，理由：，，，，，，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，，，解得或，，或，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是解題關(guān)鍵．27．（2024?安徽模擬）已知拋物線，是常數(shù)）與軸交于點(diǎn)和點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，連接，點(diǎn)是上方拋物線上的一點(diǎn)．（1）求，的值；（2）如圖1，點(diǎn)是第二象限拋物線上的一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)比點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，分別過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)作軸，軸，與分別與交于點(diǎn)，，連接，，求的值；（3）如圖2，連接與交于點(diǎn)，連接，，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【分析】（1）把點(diǎn)和點(diǎn)代入，解方程組即可；（2）根據(jù)（1）中解析式求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后用待定系數(shù)法求出直線解析式，再設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)已知得出點(diǎn)，，的坐標(biāo)，然后由三角形的面積公式求出面積即可；（3）先求出三角形和三角形的面積，再根據(jù)，求出的值，從而求出點(diǎn)坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求職直線的解析式，然后聯(lián)立直線和所組成的方程組，解方程組求出點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：（1）把點(diǎn)和點(diǎn)代入得：，解得，，的值分別為和3；（2）由（1）可知拋物線的表達(dá)式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，設(shè)直線的表達(dá)式為，把點(diǎn)，點(diǎn)代入得：，解得，直線的表達(dá)式為，點(diǎn)是上方拋物線上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，點(diǎn)是第二象限拋物線上的一點(diǎn)，且橫坐標(biāo)比點(diǎn)的橫坐標(biāo)大1，軸，軸，點(diǎn)，點(diǎn)，，點(diǎn)，點(diǎn)到的距離為，點(diǎn)到的距離為，，，；（3）點(diǎn)，，，，由（2）知，點(diǎn)坐標(biāo)為，，，解得，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)直線的表達(dá)式為，把點(diǎn)，坐標(biāo)代入得：，解得，直線的表達(dá)式為，由（2）知直線的表達(dá)式為，聯(lián)立直線，表達(dá)式，得，解得，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線與軸的交點(diǎn)、二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及三角形的面積等知識(shí)，關(guān)鍵是用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式利用函數(shù)的性質(zhì)解答．28．（2024?西安校級(jí)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)，交軸于點(diǎn)．（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的拋物線為，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為，．拋物線的頂點(diǎn)為，則在軸下方的拋物線上是否存在點(diǎn)，使得的面積等于△的面積．若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【分析】（1）把，代入解析式，解方程組即可；（2）先根據(jù)拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的拋物線為，得出，的坐標(biāo)和拋物線的解析式，然后根據(jù)三角形的面積公式求出的坐標(biāo)．【解答】解：（1）把，代入，得．解得，拋物線的解析式的解析式為；（2）存在，拋物線關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的拋物線為，，，，，拋物線為的解析式為，，△的面積，的面積等于△的面積，，，點(diǎn)在軸下方，，把代入得，，解得，的坐標(biāo)為，或，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象與幾何變換，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，關(guān)鍵是根據(jù)圖象的幾何變換求出拋物線的解析式．題型五．二次函數(shù)綜合題（共3小題）29．（2024?鄞州區(qū)模擬）新定義：我們把拋物線（其中與拋物線稱(chēng)為“關(guān)聯(lián)拋物線”．例如：拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為：．已知拋物線的“關(guān)聯(lián)拋物線”為．（1）寫(xiě)出的解析式（用含的式子表示）及頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若，過(guò)軸上一點(diǎn)，作軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，．①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②當(dāng)時(shí)，的最大值與最小值的差為，求的值．【分析】（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可直接得出的解析式，再將該解析式化成頂點(diǎn)式，可得出的頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則可表達(dá)點(diǎn)和點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式可表達(dá)的長(zhǎng)，列出方程，可求出點(diǎn)的坐標(biāo)；②分情況討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別得出的最大值和最小值，進(jìn)而列出方程，可求出的值．【解答】解：（1）根據(jù)“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義可得的解析式為：，，的頂點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）①設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線分別交拋物線，于點(diǎn)，，，，，，，解得或，或．②的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題意可知，需要分三種情況討論，Ⅰ、當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為，，解得或（舍；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為；函數(shù)的最小值為，，解得或（舍；Ⅱ、當(dāng)時(shí)，，函數(shù)的最大值為，函數(shù)的最小值為；，解得（舍；Ⅲ、當(dāng)時(shí)，，不符合題意，舍去；綜上，的值為或．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于二次函數(shù)背景下新定義類(lèi)問(wèn)題，涉及兩點(diǎn)間距離公式，二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，由“關(guān)聯(lián)拋物線”的定義得出的解析式，掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．30．（2023?大慶）如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，且