高中數(shù)學競賽模擬試題一

方中教考覺察演拙被敗一

—祺

〔考祺時同：力臺舒總合值7%令〕

一、蟆堂題〔關(guān)了小發(fā)，8x7=56臺〕

1、已知，點(x,y)在直核x+2y=3上等劭，%2*+4,取錄小值時，點

(x,y)易原/的器離是______________oZf\7c

2、錢/(〃)，正卷姒”〔十址制〕的各破依上的Alpi\\\

裁生的中方之前，比方度N/c

A'B

/(123)=I2+22+32=14o/；(n)=f(n)廣加(〃)=/(￡(〃))，

k=l,2,3…，9^/2OIO(2O1O)=o

3.的廚，正方體438-”69寸，二面俞A-肛-4的左盛

是。

4、點1,2,…,2010中就機送瑯三個微，像相崗譴情塔差出列的就率

A

5、假轂正破a也c滿足J-=-^——=,則上的果丈值

是。

6、點平面直窗生標/my中，/煲兩點M(-L2)和N(l,4),點P^X枯

上等劭，%ZMPN隼聿女住虢,點。的卷生標是o

7、已和出利。0，。］，。2，…，。n…,滿足關(guān)tK(3-*)(6+%)=18且%=3,則

f的值是o

i=0%

(7<JMsinx+cosxtanx+cotxsinx+cosxtanx4-cotx我,萬、a

X、善檄fr(zx)x=--------+--------+--------+--------&耐

sinx4-tanxcosx+tanxcosx+cotxsinx+cotx2

的錄小值&o

二、解答題題，14+15+15=44分〕

9、核裁利{a,,}滿足條件:%=1,。2=2,Jl%+2=。"+1+4(〃=1，2,3,…，

罪證,，對于值何正裳檄.，鄢4>1+，=

Ta.,

10、已加曲核A/：x2_y2=/〃，X〉0,m為正冷熱.直線/易曲鐵"的

實枯系囊直，且像次去直裁y=x、曲鐵用、■鐵y=-x于A、B、

C,。4個點，。名生標原點。

〔7〕假的AB|=|BC|=|CD|,求證；AA。。的面欷備建伍,，

〔2〕做強ABOC的面欷等于AAOD而欷的L\AB\=\BC\=\CD\

"、已知吟夕是方程4%2—4a-1=0?€/?)的兩小系等實根，備感,/(x)=

學二的定義域名［a,0，

%2+1

〔I〕或g(f)=max/(x)-min/(x);

〔II〕證明；對于%e(0,9(i=1,2,3),假轂sin%+sin%+sin%=1,

則一1—+—1+—1—<-V6,

g(tan〃1)^(tan/),g(tanw3)4

二領(lǐng)

〔考舍忖同；限?臺纖總臺.，物合〕

**、〔此題勿g'〕電圖，0。1和0。2

易AA6C的三邊所在的三條直錢都

相切，E,F,G,H玄如M,不J.EG、

切的地長錢*4*P支。

索證；，錢PA易6。囊直。

EBCF

二、〔此做勿今〕正賓郎,x,y,z,滿足孫zNlo證明：

525252

x-x?y-yz-z

-522-I522--5------2------2>—0

x+y+zy+z+xz+x+y

三、〔此題勿臺〕對號個正卷熬〃，建文褊小

[0(當”為平方數(shù))

/(〃)=;(當〃不為平方數(shù))

〔{&}

240

〔其中印表東系推過X的錄丈卷照，{%}=%-[%])O祺泰,Z/(A)的

k=\

值。

四、〔此題50臺〕點世界杯是琥察甯，尸電的秋株史省了考察

A，4,4,444,4這上名人員，雁備錢他們或三場制練比察（今場

山塞勿臺纖，中鄢上場，微極點比褰的值何時制，這名人艮都，

J.旦彳一人在場上，尋A&g44壽人上場的總忖問《義臺纖備

弟彼，構(gòu)被7卷除,A，4,4每人上場的總時同64個纖名單彼，構(gòu)敕

歸卷除.如果毒場換人的法皴系偃，那么，接尋名人人上場的總

時同奸，或彳,夕種系網(wǎng)的情況？

答案易解新

7、￥。2'+4'N2VF^=4VLx=m，y=：時款果幣值，此時

2、4。解.，格/(2010)=5延做2010.5,孑是4

2010—5-25->29-85—89-145->42->20->4-16->37-58->89…

乂成牙器，(是周期，m的周期破列。松

14no(2010)=人005(89)=力+250X8(89)=/(89)=4。

3.60o解：直轄RC，作CE_LBD一善足，E,延長CE*AB于F,

FE1BD,,逡轉(zhuǎn)AE,由對卷植和AE_L3A，；.N;FEA是二面角

DJ_______________________C1

的平面自。

A1

逵轄AC,轂AB=1,籍AC=AD】=叵，BD[=6.

在RtA/1即中，AE=W=9，

BD、gJ

B

4_?

由人”22222]_

朽AAECUF,cosZ.AEC=-A--E---+--C--E-----A---C--=--2-A--E-----A；C=3-—=-

2AECE2AE24~2

3

/.ZAEC=120°,而NFEA是NAEC的樸角，/.NFEA=60°O

久-f-o斛；三小姒區(qū)遢褶等星照列，領(lǐng),a,a+d,a+2d§

4()1o

越墓套於須滿足〃+2010,6?<1004O對I?令復輸d,a可用眼

1,2,…,2010—2d,

我三照閥逢if等是數(shù)列的小破名J；(2010-2^)=1005*1004.

<7=1

三狼區(qū)建槽等是撤列的糊隼,1005*10043

Ctoio皿18

解；由條件，彳￡,c+口a

令'a+b-x,h+c-y,c+a-z;

財”土』二山二￡,，二匕二

222

乂而原條件可也

x4-yy+zz+x{、zz{4z.

----=-——+------1>—+—+1>-----+1,

zxyxyx+y

69=/,則年&+1,解得年比叵或三三叵,

zt22

?b_x+y-z_t1〉VT7-1

雙a+c--2z~~2~2~-

6、1.斛：經(jīng)過M,N兩克的圓的圓芯點核段MN的垂直牛今鐵y=3-x

上，世圓心名S(a,3-a),則通S的方程名:(x-a)2+(y-3+a)2=2(l+/)

對于定裝的樵在然較上所有的圓周盲余成弟圓的球校減小而

愈盛情人，所砥，由NMPN取景義值時，經(jīng)過W,N,尸三立的由S

於易1枯融切于克尸，即&S的方程中的。位綣領(lǐng)滿足

2(1+a，)=(a-3)2,解得a=\或a=—7,

即對成的切名P(l,0)和P(-7,0),而過/W,MP的圓的咨

校大廳過點M,N,P的圓的有筱，然A4MPN>AMP'N,故jlP(l,0)名

所嘉，所應(yīng)求P的根出標，1.

7、1(2,,+2-H-3).

M:就2=，,"=0,l,2,...,順3-3)(6+」)=18,

abb

?n+ln

即3'|-6b,,-l=0.b,l+i=2"+g,%+；=2("+1)

故核列依+J是公牝名2的等比敝列，

E=2"(%+1)=2"(，+31x2'川b,=；(2"+l-l)o

33a0333

七二口4他f=駛27)

-(?+D

i=oaii=0i=0§$2-1

g.4.解;

/(x)=(sinx+cosx)--------------+---------------+(tanx+cotx)--------------+---------------

Vsinx+tanxcosx+cotxJIcosx+tanxsinx+cotx

2(sinx+cosx)f--------------------------------------1)+(tanx+cotJ----------------------------------------

Vsinx+tanx+cosx+cotx)<sinx+tanx4-cosx+cotx

〔由稠和平構(gòu)值系$式〕=4

要使上K塔號區(qū)貪，張員衩*

sinx+tanx=cosx+cotx(1)

*

tanx+cosx=cotx+sin尤(2)

(1)一〔2〕得到sinx-cosx=cosx-sinx,

附得sinx=cosxo(9名xe(0,y)9

所血由X=；時，f(x)=f(~)=4O所辿minf(x)=4?

二、斛答題

久證明：令4=1，則，4+1=4+%T，A1=2+.(攵=1,2,…)

aMaM

nn八

于是〃=工￡+2-

k=l"攵+1k=\%+i

由算木-幾何隼的值系等K,可得

[>%?2an,a04an-\

1Wnl.................inl------------??,---------

整北利"o=q=i,可^

+1f

>1+-^—

一向

10、解，?〔7〕軟支錢/：y=kx+h代入X?—)3=m

(i-k2)x2-2bkx-b2-m=0,△>()將，，b2+m(l-k2)>0,

世3(Xi，y),

C(x,y),9^4M+%=，x/2=("9")

221—kI-K

錢Ag,%)，

D(x4,yJ,

易將，b-b

f犬4=

\-k4l+k

由|AB|=|BC|=|CD|fl-|BC|=-|AD|,

3

故|X]1=11X3-X4I,

”人組,2研、2,4s2+M1,2/7,

代人得竹下)+下廠=?|匚H'

疊理箱,?。2=,(女2一1),

O

jL|0AhV2|—|,|0￡>|=V2|—|,ZAOD=90°,

\-k\+k

?''SMOD=].b,—定也

\\-k|=I8"￡

〔2〕強BC中京名P,A。中克，Q

X1+%_bk_x3+x4_bk

則Xp-T~~\-k2'%~-2~~\-k2'

所應(yīng)Xp=q,P、Q，合，乂而|AP|=|OP|,

乂而lABRCOI,又AfiOC的面秋等于

AAOD面套的g,所《4|8C|=；|A0,

M.^\AB\=\BC\=\CD\.g

11>解：〔I〕槌aS%<巧4J則4工；-4al-140,4x^-4tx2-1<0,

,,1

.*.4(X|+/)-4/(F+/)-2W0,.二2%1%2-f(x+/)-Q<0

2x,-t_(x-%)卜(玉+%)-2%龍2+2]

虬&~G)=黃F2

#+1(x；+l)(x；+1)

文/■(%+X2)—2X1X2+2>?X]+x2)—2xtx2+—>0/(x2)-/(%,)>0

松/(x)J/間&間上是情備裁。

。：a+(3=t,a/3=——,

4

(/7—tz)上(a+/3)—2ap+2]

.1.g⑺=max/(%)-minf(x)=/(/?)-/(a)

a2p2+a2+/72+1

匹［+1)8彳而2r+5)

.25-—16產(chǎn)+25

16

〔n〕證:

8,2

+3)———+24cos%

2

cosuicosui_COSUj

g(tanq)

S+916+9cos2w.

COS2Uj

2,16x2416m

(，=L2,3)

22

16+9cos%16+9cosui

311313

/.V--------<---7=V(16+9cos2u.)=---7=(16x3+9x3-9)Vsin2u.)

￡g(tan%)1676tT1676￡

333

22

,「Zsin%=1,且%G(0,—),i=1,2,33^sinMz.>(^sinwj=1,

i=\2泊i=l

而均值系等式易婀曲系等式中，等號系健同時應(yīng)走，

——1——+——1——+——1——<—^(75-9x3=36

g(tan〃|)g(tan“2)g(tanu3)16V634

二銖

c、證明：延于。，射PEG*PHF令孰黑

AACD易AABZ）的我鐵，由希涅勞斯是理將，

一絲絲=1……?

ECGAPD

嗎映型=1……?

FDPAHBJ

???0。,002嘉是機。的旁切圓,

P

：.EC=CG=g(BC+CA+AB)=BF

于是由⑦、②，③得：

DE_GA

FD-7/7

文?.?MAAG。~Rt/^AHO2

.DE「GA_AJ

…~FD~~AH~A02

而a，A,O?三點*錢，A.O,ELEF,O2FLEF,

PA±BC

252525

X——XV—V7——Z

隹明.,原系等式可變彩&x5+/+z2+y5+z2+x2+z5+x2+/~0

222222222

%+y+zx+y+zx+y+z<

52+22+52

mx+/+z/+z+xz+x+/-

由軻曲系等式應(yīng)及xyz21可得

(x5+y2+z2Xyz+y2+z2)>(x2+y2+z2)2

2222

」...>(x+y+z),

Y+V+Z?<yz+V+z2

?x5+y2+z2~x2+y2+z2

x2+y2+z2zx+z2+x2

同理―52F——222"

Ry+z+xx+y+z

x2+y2+z2xy+x2+y2

―z5+x2+y2~~—x2+y2+22~

上面三式相加畀利用Y+y2+z2>xy+yz+zx得

x2+y2+z2x2+y2+z2x2+y2+z2xy+yz+zx

~~r+r+-<2+^^M3

x+y+zy+z+xz+x+yx+y+z7

幺、解，對值意a,吐N*,微軟％2<〃<(左+1)2,則1W”左2<2々，<

=k+0,O<0<l,

財_1___1__1__處一—<工+13］

'［五｝一1n-ka*a-Ea-e”」面」「一3

能彳越通區(qū)同依2,出+1)2〕中的所有裳極，

則，E［；1=%”］,

k2<a<(k+i)2/=1I

于慧劭(M蘢陷……?

a=\i=1i=］1

千面針算自爭,離一袍202%的索，第，籽中，俚心?朽中的假

熱處礁與“*”號，則送行的號*當小，全索的號*2［竺1

Ii=lI

個,另一方面，按孔收集號破，第/孫中，假轂/QT⑺小

正國出，則被列使,T⑺小號，故小表的號小檄*

2k2A-97,2A

毛?、诵?，5牝/［一］=￡”>

K<=11>1

例的的下.,

入V23456

1?*??奉?

2**?

3??

4?

5

6?

則Xf(a)=XXT(j)=n[T(l)+7(2)]+(n-1)[T(3)+7(4)]+…+[T(2n-1)+T(2n)]

i=li=lj=l