高中數(shù)學(xué)必修二第八章第六節(jié)《空間直線、平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練 (二十九)

必修二第八章第六節(jié)《空間直線'平面的垂直》解答題提高訓(xùn)練(29)

1.如圖，在幾何體P-4BCD中，已知尸力平面A2CZ),且四邊形A8CZ)為直角梯形，Z.ABC=

A.BAD=pAD=2,AB=BC=1.

(1)求證：CDJ?平面PAC；

(2)若PC與平面ABCQ所成的角為會(huì)求點(diǎn)A到平面PCD的距離.

2.如圖①，矩形A8CD中，AB=3,BC=4,E,尸分別是A。，8C的中點(diǎn)，以E尸為棱將矩形

ABCC折成60。的二面角，如圖②所示，M為棱AB上的點(diǎn)，旦加=4四.

(1)當(dāng)4=9時(shí)，求證：DMJ.MF;

(2)若直線CF與平面EMC所成角的正弦值為警，求實(shí)數(shù)4的值.

3.如圖，在三棱錐A-BCD中，ziABC是邊長為3的等邊三角形，CD=CB,CDJ■平面ABC,點(diǎn)”、

N分別為AC、CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P為線段BD上一點(diǎn)，且BM〃平面APN.

A

(1)求證：BM1AN；

(2)求平面APN與平面ABC所成角的正弦值.

4.在四棱錐P-4BCD中，PA_L平面ABCD,P4=26,D0/AB,4DAB=90°,AB=3,AD=CD=2,

M是棱PD的中點(diǎn).

(1)求AM與平面PBC所成的角的大小;

(2)在棱PB上是否存在點(diǎn)Q,使得平面QAD與平面ABCD所成的銳二面角的大小為60。？若存在,

求出AQ的長；若不存在，說明理由.

5.如圖，四棱錐P-4BCC的底面A8C。是邊長為2的菱形，P。，底面ABCQ.

E

(1)求證：平面P4CJ■平面P8D；

(2)若PD=BD=40,PA中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M到平面PBC的距離.

6.如圖，四邊形ABCQ是邊長為1的正方形，MDl￥ffiABCD,NB，平面ABCQ,MD=NB=1.

證明：(1)NC〃平面4DM;

(2)DN1平面ACM.

7.如圖，在多面體ABCQE中，AABD=60°,BD=2AB,AB1CD,

Bo

w

(1)4B〃DE,且。E=24B,點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，求證：4M〃平面BCD；

(2)若圈BCD是邊長為2的等邊三角形，N在線段CO上，S.DN=2CN,求BN與平面AC。所

成角的余弦值

8.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PDJ.底在1BCD,四邊形A8CD是平行四邊形，且=&,4B=2,

NBA。=?,PD=2,點(diǎn)M是線段PB上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求證：BC1DM；

(2)設(shè)PM="B,試確定;I的值，使三棱錐P-4DM的體積為

9.如圖所示，在長方形ABCD中，AB=2,AD=

起到△DZE的位置，且平面D'4E，平面ABCE.

(1)求證：AD'1BE；

(2)在棱ED'上是否存在一點(diǎn)P,使得。'B〃平面P4C,若存在，求出點(diǎn)P的位置；若不存在，請(qǐng)

說明理由.

10.在四棱錐P—ABC。中，P4_L平面A8C￡>,PA=AB=4,AD=CD=2,BC=2V2,AB//

(1)求證：BA平面PAO；

(2)若E是PC的中點(diǎn)，求直線BE與平面PAO所成角的正切值.

11.如圖1,等腰梯形ABC。中，AD//BC,AB=AE=BE=CD=2,BC=ED=4,。為BE中

點(diǎn)，尸為BC中點(diǎn)將回ABE沿BE折起到回ABE的位置，如圖2.

(1)證明：。。1平面4。?；

(2)若平面ABE1平面BCDE,求點(diǎn)尸到平面AEC的距離.

12.如圖所示，正方體ABCD-&BiGDi的棱長為2,E,尸分別是BB1，相＞的中點(diǎn).

(I)求證:平面&EF1平面G/E；

(口)求四面體C/iEF的體積.

13.如圖，多面體A8CDEF中，底面A8CD為正方形，EA//FC,且E4=FC=4B=4,4EBD、

△FBO都是正三角形.

(1)證明：CF1平面ABCZ)；

(2)若麗=?而，求ME與平面BD尸所成角的正弦值.

14.已知四棱錐P-4BCD,PA1PB,PA=PB=V2.4。1平面PA8,BC//AD,BC=3AD,直

C

線co與平面PA8所成角的大小為:，M是線段A3的中點(diǎn).D

AB

P

(1)求證：平面PDM;

(2)求點(diǎn)M到平面PCD的距離.

15.如圖所示，直三棱柱4BC-中，/4CB=90。，44BC=45。，4B=441=2,P為CQ

的中點(diǎn).

(1)求證AB1，平面P&B.

(2)設(shè)E為BC的中點(diǎn)，線段ZB】上是否存在一點(diǎn)Q,便得QE〃平面44CC1?若存在，求四棱錐

Q-441GC的體積；若不存在，請(qǐng)說明理由.

16.如圖所示，多面體ABC-EFD中，平面ABC〃平面DEF,AE//CD,AE1平面48C,四邊形AEF8

為直角梯形，AB1BC,AB=BC=2AE=2EF.

(1)求證：直線4FJ■平面BCF；

(2)求直線CF與平面ACQE所成角的正弦值.

17.如圖所示，長方體力88-418?。1中，E是棱DiQ的中點(diǎn)，AB=2,BC=BBX=

(1)求證BiG1DE；

(2)求三棱錐E-OBiG的體積.

18.在五面體EF-4BCD中，正方形CDEF所在平面與平面ABCD垂直，四邊形ABCD為等腰梯形,

ABHCD,AD=DC=BC=^AB.

(1)求證：平面BCF1平面ACE；

(2)若三棱錐4-BCE的體積為竽，求線段AB的長.

19.將圖①中正方形ABCD沿著對(duì)角線BD對(duì)折，并使平面ABD，平面CBD,從而構(gòu)成圖②中的三棱

錐4-BCD,點(diǎn)E、F分別是線段BC、DA的中點(diǎn).請(qǐng)?jiān)趫D②的三棱錐中解答如下問題：

(1)求二面角A-BC-。的正切值;

(2)求異面直線DE與CF所成角的余弦值.

20.如圖，在直四棱柱4BCD—ABiGDi中，AD//BC,ABJ_4D,AB=AD=A4i=2BC=2

(1)求二面角Ci-B]C-Di的余弦值;

(2)若點(diǎn)P為棱A。的中點(diǎn)，點(diǎn)。在棱48上，且直線BiC與平面為PQ所成角的正弦值為12”

15

求AQ的長.

【答案與解析】

1.答案：(1)證明：連接AC,?.?4B=BC=1,4ABC為直角,

:.AC=V2>^-BAC—3，

又?.?4BAD=p

Z.CAD=

4

又?：AD=2,

???4CD為等腰直角三角形，

AC1BC,

又P4_L底面ABCD,PA1CD,

又CAC=4,PA,ACPAC,

CD_L平面24C;

(2)解：vPAABCD,???4PC4是PC與平面A8C￡>所成的角,

故由已知得NPC4=g,在PAC中，過A作AHJ.PC,垂足為H,

則4到斜邊PC的距離4H=ACsin-=正,

32

???CDJ_平面PAC,CDu平面PC。，.??平面PAC，平面PCD,

又?.?平面pacn平面PCO=PC,

AH1PC,AHu平面PAC,

AH，平面PCD,

即AH就是A到平面PCD的距離，

A到平面PCD的距離為華.

2

解析：考查線面垂直的判定和性質(zhì)定理，直線和平面所成角及點(diǎn)到面的距離.考查邏輯推理能力，

考查計(jì)算能力，都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題.

(1)根據(jù)條件利用線面垂直的判定定理即可證明：

(2)根據(jù)題意作出點(diǎn)A到平面PCD的距離并證明，最后求出A”的值即可，即體現(xiàn)了“作一證一求”.

2.答案：(1)證明：取AE的中點(diǎn)為0,連接。0,OM,0F,

因?yàn)镋FJ.DE,EF14E,AEdDE=E,

所以EFL平面。0E,且4DEA為二面角D-EF-Z的

平面角，即4?！?=60。，

又0E=?E,所以C0JLAE.

由面。0E,可得D01EF,

又4ECEF=E,且AE,EFu平面ABFE,

所以。。J■平面ABFE,又MFu平面ABFE,

所以。。1MF.

因?yàn)樗?1而，

所以AM=1,AO=1,可得0M=VL

同理可得MF=2&,OF=V10,

所以。"2+"F2=。?2,即?！癑.MF,

又。OnOM=。，所以MFL平面。。何，

又DMu平面DOM,所以DM1MF.

(2)解：由(1)可知D。JL平面A8FE,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，AB,0萬的方向分別為x,y,z軸的正

方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-xyz,

所以E(-1,O,0),C(0,3,V3),F(T,3,0),

故近=(1,3,遮)，CF=(-1,0,-V3).

設(shè)M(1J,0),所以詢=(2J,0).

設(shè)平面EMC的法向量為沆=(xj,z),

則(記?EM=2x+ty=0,

[m-EC=x+3y+y/3z=0,

令y=2,則記=(-t,2,貴)，

因?yàn)橹本€C尸與平面E例C所成角的正弦值為史亙，

13

所以|COS保，西|=2心+4+1字=.，

所以4t2-121+9=0,解得t=|,

即M為AB的中點(diǎn)，所以;1=/

解析：本題考查了線面垂直的判定及性質(zhì)，利用空間向量求線面的夾角，考查學(xué)生分析解決問題的

能力，屬于中檔題.

(1)由題意，推導(dǎo)出。。IMF,OM1MF,則可得MF_L平面。。"，由此可證得DMJLMF;

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，AB，成的方向分別為x,y,z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐

標(biāo)系。-町/z,利用空間向量法求出直線CF與平面EMC所成角的正弦值，由此可得實(shí)數(shù)4的值.

3.答案：(1)證明：???CD1平面ABC,BMu面ABC,.-.CDVBM,

又???正AABC中，AM=MC,則BM14C,

???CDCtAC=C,CD、ACu面ACD,

■■BMiffiACD,又ANu面ACD,

???BMLAN.

(2)解：連接交AN于G點(diǎn)，連接PG,

因?yàn)锽M〃平面APN,所以BM〃PG,

由重心性質(zhì)知P為靠近B點(diǎn)的三等分點(diǎn).因?yàn)镃D，平面ABC,

如圖以CdC8分別為居y軸，以過C垂直平面BC￡>的直線為z軸建立空間坐標(biāo)系,

???C(0,0,0),力(0,|,平)，8(0,3,0),P(l,2,0),N(|,0,0),

設(shè)面4PN的法向量為五=(x,y,z),

則存?元=0，AN-n=0,

(x+-y--z=0

???33V3，令4=4,則y=l,Z=8

\-x——y------z=0

122Z2

:.n=(4,1,遮)，

平面ABC的法向量為沅=(1,0,0),

.一?一、mn1X42V5

則血…訴扁==

???平面APN與平面ABC所成角的正弦值為，.

解析：本題考查了線面垂直的判定、線面垂直的性質(zhì)和面面所成角，是中檔題.

(1)由CD1平面A8C,得CDIBM,又正44BC中，AM=MC,則BM1AC,可得BM1面ACC,由

線面垂直的性質(zhì)可得線線垂直；

(2)利用CD1平面ABC,以C￡>,CB分別為x,y軸，以過C垂直平面8co的直線為z軸建立空間坐

標(biāo)系，然后求出平面ABC和平面APN的法向量，利用面面夾角公式即可求解.

4.答案：解：如圖，以所在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

則P(0,0,2遮),A(0,0,0),B(3,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),M(0,l,遮)，

(1)AM=(O,l,V3),PB=(3,0,-2V3)，BC=(-1,2,0).

設(shè)平面PBC的法向量沆=(x,y,z),則律?更=0戶-*z=0

所以可取記=(2,1，⑸，設(shè)AM與平面PBC所成的角為。，

則sin。=|cos(AM,m)|=羨=4，所以AM與平面PBC所成的角為45。；

(2)平面ABCD的法向量可取五=(0,0,1).

設(shè)風(fēng)=2聞=4(3,0,—2b)=(3A,0,-2V3A),則Q(3/l,0,2遮一2四4),

所以麗=(3尢0,28一2百；1),前=(0,2,0)，

設(shè)平面QAD的法向量為芯=(冷心㈤，則舊,"=°,f32X2+Ge-2產(chǎn))Z2=0,

(芯?AD=0I2y2=0

可取通=(2V3-2V3A,0,-32),

因?yàn)槠矫鍽AD與平面ABCD所成的銳二面角的大小為60。.

所以|8$〈汨,苗)|=3所以一/一34..=：,解得4=|或4=一2(舍)，

lJ(2V3-2V3A)2+(-31)2

所以而=&0,管)，所以阿二腎商吟

解析：本題考查空間中角的求法，熟練掌握利用空間向量處理異面直線夾角、線面角和二面角的方

法是解題的關(guān)鍵，考查學(xué)生的空間立體感、邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(1)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面PBC的法向量元，設(shè)AM與平面PBC所成的角為仇

由sin。=|cos<4M,n>|,得解；

(2)設(shè)麗=2而，Ae[0,1],求得平面QAD的法向量沅，由PA1平面ABCD,知平面ABCD的一個(gè)

法向量為E=(0,0,1),再由cos60o=cos<記，t>,可得關(guān)于;I的方程，解之即可.

5.答案：(1)證明：由PCI平面48cD,且AC在平面4BCD內(nèi)，

故ACLPD,因?yàn)樗倪呅蜛8C。為菱形，

故AC1BD,又BO、PO為平面PBD內(nèi)兩條相交直線,

所以4cl平面PBO,因?yàn)锳C在平面PAC內(nèi)，

所以平面PACJ■平面PBD.

(2)解：設(shè)點(diǎn)M到平面P8C的距離為“，因?yàn)辄c(diǎn)M是線段AP的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為2d.

111

故除-PBC=2^A~PBC=2^P~ABC=Z%-ABCD，

又VP—ABCD=]S菱形ABCDxPD

1,、1s2.開、44

=-x2x-xAD^xsm-x2=-----，

3233

因?yàn)镻D_L平面A3CQ,CD、在平面ABC。內(nèi)，

所以PD1CD,PD1BD,

故PC=PB=2V2,

于是易得S^PBC=小又，M-P8C=5XS&PBCXd=5xWxd

所以工x?xd=Zx延，即d=W

3437

故所求點(diǎn)M到平面PBC的距離為名.

7

解析：本題考查線面垂直以及面面垂直的判定，棱錐的體積，屬于中檔題.

(1)由線面垂直即可證明面面垂直；

(2)由等體積法即可證明.

6.答案：證明：(1)因?yàn)镸D_L平面ABCC,NBJ■平面ABCD,所以MO〃NB.

又MDu平面ADM,NB,平面ADM,所以NB〃平面ADM.

因?yàn)樗倪呅蜛8CD為正方形，所以8C//AD,

又4。u平面A￡)M,I3C笈平面A.DM,所以BC〃平面ADM.

又NB,BCu平面BCN且NBdBC=B,所以平面BCN〃平面AOM,

又NCu平面BCN,所以NC〃平面ADM.

(2)設(shè)ACnBO=01，M0CDN=H.

由(1)得MD〃NB,由己知，得MD=NB=1,所以四邊形MNBO為平行四邊形;

因?yàn)镸Dl￥1BlABCD,BDu平面A8C￡>,所以MD1BD,

所以平行四邊形MN8。為矩形，且MN=BD=y/2.

由。為8。的中點(diǎn)得。。=爭所以需=器=也

所以Rt△MNDsRt△MDO從而4DMH=乙MNH,

因?yàn)?DMH+/NMH=90。，所以NMNH+4NMH=90。，從而/MHN=90。，

即M。1DN;

因?yàn)锳BCZ)為正方形，所以AC1BD,又MD平面ABCZ),且力Cu平面ABCO,

所以MD14C,又MD,8。0平面8。四，且MDCBD=D,所以AC1平MNB。，

又DNu平面MM3。，所以4C1DN,

又MOnAC=O,MO,ACu平面ACM,

所以。N_L平面ACM.

解析：本題考查了線面平行的判定和線面垂直的判定以及面面平行的判定和性質(zhì)，線面垂直的判定

和性質(zhì)，屬于中檔題.

(1)可以先證明平面BCN〃平面ADM,根據(jù)面面平行的性質(zhì)得出NC〃平面ADM.

(2)一方面可以通過角度證明M。1ON,然后證明ACJ?平面MNBO,利用線面垂直的性質(zhì)得出4c_L

DN,從而使問題得證.

7.答案：證明：(1)取線段CO的中點(diǎn)凡連接BF,MF,

在ACOE中，點(diǎn)M為EC的中點(diǎn)，點(diǎn)F為線段C。的中點(diǎn)

MF//DE,且MF=3DE

又???AB//DE^.DE=2AB,

：.AB//MF,AB=MF,

四邊形ABFM為平行四邊形，

：.AM//BF,

又AMC平面BC。，BFu平面BCD,

AM〃平面BCD;

(2)在ZABD中，BD=2AB,^ABD=60",

4BAD=90。即AB1.AD,

又AB1CD,ADQCD=D,

ADu平面ACD,CDu平面ACD,

AB_L平面ACD

???NBM4即為BN與平面AC。所成的角

在△BCD中，設(shè)BC=2a,則4B=a,

由前=：前+|瓦\(yùn)

得|麗|=誓a,即BN=^a.

V133

：?cos乙BNA=1-sin2^BNA=

14

???BN與平面ACD所成角的余弦值為叵.

14

解析：本題考查直線與平面平行的判定以及直線與平面所成的角，屬于中檔題.

(1)取線段CO的中點(diǎn)凡連接BF,MF,根據(jù)己知條件可證得四邊形A8FM為平行四邊形，于是可

得AM〃BF,再根據(jù)線面平行的判定可得〃平面BCD;

(2)由已知條件和線面垂直的判定可證得AB，平面4CD,所以Z_BM4為BN與平面4c。所成的角，

設(shè)BC=2a,則4B=a,可求得BN的長度，從而可求出sin/BM4,進(jìn)而求得cos/BNA的值.

8.答案：⑴因?yàn)?BCQ是平行四邊形，AD=V2,AB=2,4BZD=%

所以4D=BD=JI.Z.DDA90,

所以4。1BD；

因?yàn)镻D1平面ABCD,ADu平面ABC。，

所以4。1PD,

BDCPD=D,BD、PDu平面PBD,

所以4。1平面PBD,

又ADIIBC,所以BCL平面PBD,

因?yàn)镈MunPBD,

所以BC1DM.

(2)S”DP=$x2xV2=V2,VP^ADM=

所以M到平面PAD的距離為立，即M到PD的距離為立，

22

由相似比知M為尸8中點(diǎn)，A=1.

解析：此題考查線面垂直的判定，線面垂直的性質(zhì)和點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題.

(1)首先求得4。_LBD,AD1PD,進(jìn)而證明4D1"PBD,即可得到BC，乎同PBD,進(jìn)而根據(jù)線

面垂直的性質(zhì)證明即可：

(2)首先求得/MOM=i,進(jìn)而得到M到PD的距離為玄，從而求解4的值.

32

9.答案：解：(1)證明：根據(jù)題意可知，在長方形ABC。中，

△。45和4CBE為等腰直角三角形，

???/.DEA=4CEB=45°,

???/.AEB=90°,即BE14E.

?.?平面D'4E_L平面ABCE,且平面D'AEn平面4BCE=AE,

???BE_L平面C'AE.

vAD'u平面D%E,

AD'1BE.

(2)如圖所示，連接AC交BE于Q,假設(shè)在D'E上存在點(diǎn)P,使得D'B〃平面PAC,連接PQ,

VD'Bu平面D'BE,平面D'BEfl平面PAC=PQ,

：.D'B//PQ,

EPEQ

.?.在△EBD'中,PD^=QB-

???在梯形A8CE中，器吟=：，

ADN

EPEQ1

即EP=：E。,

PD;QD2

.?.在棱D'E上存在一點(diǎn)P,且EP=1E。'，使得D'B〃平面PAC.

解析：本題考查平面與平面垂直的性質(zhì)，直線與平面平行的性質(zhì)、三棱錐的體積公式.

(1)由題意，在長方形A8CZ)中，可知BEJ.4E,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可以證明4。_L8E；

(2)連結(jié)4c交BE于Q,假設(shè)在。'E上存在點(diǎn)P,使得D，B〃PQ,根據(jù)平行線的性質(zhì)結(jié)合平面幾何知

識(shí)，即可得到E尸與ED'之間的關(guān)系.

10.答案：(1)證明：取AB的中點(diǎn)R連接CF,如圖，

貝以F〃CD,四邊形4FCD是平行四邊形,

???CF=AD=2.又,?,BF=2,BC=2企,

??.BC2=BF2+CF2,.??AB1CF,

XvCF//AD,.-.ABLAD,

又24_L平面ABCD,：.PA1AB,

?/AB〃平面PA。，PAnAD=A,PAu平面PAD,ADu平面PAD,

BA_L平面PAD.

(2)取PD的中點(diǎn)G,AB靠近B點(diǎn)的四等分點(diǎn)H,連接G”，AG,EG,如圖所示,

EG//\CD//\AB//BH,

.,?四邊形BHGE是平行四邊形，???BE〃GH,

二直線BE與平面PAD所成的角即為直線HG與平面PAD所成的角.

vBA1平面PA。，N4GH即為直線HG與平面PAD所成的角.

在RtA/lGH中，AG=V5>AH=3,tanZ-AGH=

即直線BE與平面PA。所成角的正切值為

解析：本題考查面面垂直的判定以及直線與平面所成的角的計(jì)算，屬于中檔題.

(1)通過證明ABX.AD,PAX.AB,即可證明BA1平面PAD-

(2)取PD的中點(diǎn)G,AB靠近8點(diǎn)的四等分點(diǎn)H,根據(jù)直線和平面所成角的定義，證明N4GH即為直

線HG與平面PAD所成的角，即可直線BE與平面PAD所成角的正切值.

11.答案：解：（1）證明：由等腰梯形4BCD中，AD//BC,BC=ED=4,可得四邊形BC￡?E是平行

四邊形.

所以BE〃CD,BE=CD=2.ABAE=BE=CD=2,故可得△ABE為等邊三角形，/.BAE=60°,

因?yàn)?。為BE中點(diǎn)，所以，BE1AO.由等腰梯形A8C3中可得NB4E=NCDE=NC8E=60。.

連接EC,在△BEC中，由余弦定理可得

EC2=BC2+BE2-2BC-BE-cos^EBC=42+22-2x4x2X1=12,即EC=2百，

所以BE?+EC2=16=BC2,即BE_LEC.

因?yàn)椤?，F(xiàn)是BE,8c中點(diǎn)，所以O(shè)F〃EC,所以O(shè)F1BE.

從而可得OF_LCD,CDlA'O,A'OCiOF=0,A'O,OFu平面4OF,

所以，CDJL平面4。工

A\A）

BFC

(2)解：由(1)可知，OF“EC,因?yàn)镺F笈平面A'EC,ECu平面4EC,所以O(shè)F〃平面4EC.

所以，點(diǎn)F到平面4EC的距離即為點(diǎn)。到平面4EC的距離.

所以，點(diǎn)F到平面4EC的距離等于點(diǎn)B到平面4'EC的距離的一半.

取4E的中點(diǎn)為H,連接8H,MBH1A'E.

由(1)知EC1BE,因?yàn)槠矫?'BEJL平面8CDE,平面4BEf|平面BCCE=BE,ECu平面BCOE,

所以，ECJL平面4BE,

因?yàn)?Hu平面4BE,

所以，EC1BH.

又ECn4E=E,EC,4Eu平面4EC

所以，BH1平面AEC,即點(diǎn)B到平面4'EC的距離B”.

因?yàn)?，三角?BE是等邊三角形，邊長為2,故8”=百，所以，點(diǎn)8到平面4EC的距離為國，

所以，點(diǎn)F到平面4EC的距離為攻.

2

解析：【點(diǎn)睛】

本題考查了平面立體轉(zhuǎn)化的問題，線面垂直，面面垂直的性質(zhì)定理，點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題.

(1)先證四邊形BCOE是平行四邊形，AABE為等邊三角形，由余弦定理可證明BE1EC,進(jìn)而證明

0F1CD,CDlA'O,即可證明結(jié)論；

(2)點(diǎn)尸到平面4EC的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)8到平面4EC的距離的一半，取AE的中點(diǎn)記為H,證明8"1平

面力'EC,求出即可得結(jié)論.

12.答案：解：(I)證明：???正方體ABCD-4B1GD1的棱長為2,E,尸分別是A。的中點(diǎn).

。也1面力DDMi，A/u面NDDMi，

?1?A^FJLCJDJ,

取中點(diǎn)“，連結(jié)D中,

???=441=2,A1H=Af=l,4。送陽=44遇尸=90°,

???△D1A1ff^AATAF,???乙A]D]H—Z-AArF,Z-A1HD1=ArFA,

???zJMiN+“HN=90。，二&F1D1H,

???D1C1nDrH=D1C1,面G/E,

AXF，平面Q￡)iE,

vAXFu平面&EF,

.??平面4EF_L平面GD】E.

(口)解：取BC中點(diǎn)G,&F中點(diǎn)M連結(jié)4G,交EC1于M,連結(jié)MMFG、EH,

則四邊形QD/E是矩形，SACME=齊矩形CM/E=T*2x歷予=瓜

由(I)得FNJ.GM,又NFICiD],CrMn=C1；CtM,u平面G/E,

*,?NFJ_平面

由(I)得???第=竿，即與=看

解得4/=奈=NF=V5—

???四面體GD1EF的體積為：

^=^XSACIDIEX/VF=|XV5X^=1.

解析：本題考查面面垂直的證明，考查空間中線線、線面、面面間的

位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

(I)推導(dǎo)出&F1(?也,取441中點(diǎn)H,連結(jié)。iH,推導(dǎo)出&F1DiH,

由此能證明&F_L平面C"iE,從而平面&EF_L平面QDiE.

(口)取8c中點(diǎn)G,連結(jié)8道，交EC】于M,連結(jié)MMFG、EH,推導(dǎo)出NF_L平面(?也￡,由此能求

出四面體GQEF的體積.

13.答案：(1)證明：法一：由CF=BC=4,BF=BD=4&，得BC?+CF2=BF2,所以CF1BC,

同理CF1CD,又BCCCD=C,所以CFJ■平面ABQ9.

法二：連接4c交8。于0,則四邊形ACPE為平行四邊形，

0A=OC,0E=OF,AE=CF=>△AEO^CFO=/.EAO=乙FCO,

又EA〃FC=>^.EAO=乙FCO=90°,即FC10C,

又BD1AC,FD=FBnBO1F0,又4cCtFO=O,

所以B。1平面ACFE,又因?yàn)镃Fu平面ACFE,所以BO1CF,

又0CCBD=0,OCu平面ABC。，BDABCD

故CFl平面ABCD.

(2)解：由(1)知：E41平面ABCD,以A為原點(diǎn)，DA，AB，荏方向分別為x軸、y軸、z軸的正方

向建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

則8(0,4,0),。(一4,0,0),￡(0,0,4),尸(一4,4,4),麗=之喬="(一2,4,2),

設(shè)平面BOF的法向量為元=(a,b,c),

則［,亙=。={-^+4c=0

(n-BD=01-4a-4b=0

取a=l,則記=(1,一1,1),

ME=(2,—4,2)，旌與平面也萬所成角的正弦值為|8$0而,五)|=|箴|=|"+2工./=坂

所以ME與平面8。尸所成角的正弦值為它.

3

解析：本題考查線面垂直的判定、線面所成角，考查空間想象能力，屬于中檔題.

(1)法一：由CF=BC=4,BF=BD=4&得CF1BC,同理CFJ.CD,可得CF_1_平面ABCD.

法二：連接AC交BD于0,則四邊形ACFE為平行四邊形，可得FC1OC,再利用BD，平面ACFE

可得8。1CF,可證CF，平面ABCD.

(2)以A為原點(diǎn)，瓦彳、荏、何方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系4-xyz,

利用空間向量法可得ME與平面BCF所成角的正弦值.

14.答案：解：(1)因?yàn)锳D1平面PA8,PMu平面P48,

所以4D1PM,因?yàn)镻4=PB=VLM是線段A8的中點(diǎn)，

所以PM14B,又4DnAB=A,4Du平面ABC。，ABu平面A8C￡),

所以PM_L平面ABCD,又CDu平面ABCD,

1

所以PMJ.CD.取C8上點(diǎn)E,使得CE=&CB,連接4E,

所以4D//CEB.AD=CE,所以四邊形AECD為平行四邊形，

所以CD//AE,

所以直線CZ)與平面抬8所成角的大小等于直線AE與平面PAB所成角的大小,

又AD_L平面PAB,BC//AD,所以BCJ_平面PAB,

所以NE4B為直線AE與平面心8所成的角，所以所以BE=4B,

因?yàn)镻A=PB=y[2,PA1PB,所以4B=2=BE,

所以40=1,BC=3,CD=2V2,

所以DM=VI，CM=V10,所以。“2+。。2=c“2,所以c。1DM,

因?yàn)镃MClPM=M,DM,PMu平面POM,所以CD1平面PDM.

⑵由⑴可知CDJ_平面PDM,所以ACDM和ACDP均為直角三角形，

乂PZ)=V5，設(shè)點(diǎn)M到平面PCD的距禺為d,則％-CDM=，M-PCD，

g|j|C￡>-DM-PM=^CD-DP-d,化簡得DMPM=DP-d,

解得d=立，所以點(diǎn)M到平面PCQ的距離為漁.

33

解析：本題主要考查線面垂直、點(diǎn)到平面距離，解答本題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)知識(shí)，逐一分析解答即

可.

(1)因?yàn)?。_L平面PAB,PMu平面PAB,所以4。1PM,因?yàn)镻4=PB=V5,"是線段A8的中點(diǎn)，

所以PM1AB,求證CD1平面PDM.

(2)由(1)可知CD1平面PDM,所以/CDM和Z1CDP均為直角三角形，又PD=W,設(shè)點(diǎn)M到平面PCD

的距離為d,則4-COM=%-PCD，求點(diǎn)M到平面尸CO的距離.

15.答案：解：解法一：(1)證明：在AABC中，

vZ.ACB=90°,Z.ABC=45°,AB=2,

AC=BC=-\/2>

又直三梭柱4BC-&B1C1中，AB=AAr=2,則為正方形，

設(shè)交AB［于點(diǎn)O,則。為AB1的中點(diǎn)，且

連接PA,PBi，PO,

222

???側(cè)棱CG1底面ABC,P為CCi的中點(diǎn)，則R4=>JAC+PC=VITl=V3,B$=+CrP=

VTTT=V3>

故P4=PBi.

：■PO1ABlt

???POn&B=。，且PO,48<2平面24記,

AB11平面P&B.

(2)當(dāng)Q為AB1中點(diǎn)，即點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，QE〃平面44CG.

理出如下：

連接4C,???￡為BC的中點(diǎn)，.?.則QE〃&C,

???QEC平面A&GC,&Cu半面A&GC,

QE〃平面441GC.

此時(shí)，Q到平面&ACG的距離等于B到平面44CG的距離的一半，

又^B-AiCiC_3%BC-AiBiQ=,]XV2XV2X2=

%-A4iQC=$KB-A4ICIC=3"

解法二：(1)證明：在△4BC中，???N4CB=90。，AABC=45°,AB=2,

???AC-BC—V2,

又直三棱柱ABC—&BiG中，AB=44=2,則448為為正方形，

設(shè)交AB［于點(diǎn)。，則。為AB1的中點(diǎn)，且4iB_L4Bi.

連接B】C交BP于/點(diǎn)，在直三棱柱4BC-&B1C1中，B/1平面A8C,

「ACu平面A8C,二力。1881.

5LAC1BC,BCCBBLB,BC,BB】u平面叫的。,

???ACJ■平面BBiGC,

???BPu平面BBiGC,.-.ACLBP,

222

在矩形B81GC中，P為CC]的中點(diǎn)，貝iJPB=y/BC+PC=V2TT=V3，BXC=-^BC+BBl=

V2+4=V6>

由CCJ/BBi得ACPFSABB$,.卷=*=靠=:,

PF=—,CF=—,PF2+CF2=PC2,故B、CLPB,

33

y.AC1BP,ACPiB.iC=C,AC,aCu平面ABC???8PJL平面ABC

???AB】u平面ABC???ABr1BP.

又4181481，A]BCBP=B,&B,BPu平面???_L平面P&A

(2)當(dāng)。為ZB1中點(diǎn)，即點(diǎn)Q與點(diǎn)。重合時(shí)，QE〃平面&ACC1.

理由如下：

取AB中點(diǎn)M,連接QM,ME,又CE=BE,：.ME"AC,

???MEC平面/CCi，4Cu平面&ACC1，

ME〃平面AMCC].

同理可得QM〃平面44CC1.

又???MECyQM=M,ME,QMu平面QME,

二平面QME〃平面44CC1,

又QEu平面QME,

???QE〃平面4遇班.

此時(shí)，。到平面44CG的距離等于E到平面414CG的距離，

在直三棱柱力BC-4B1G中，CCi_L平面ABC,

?：BCu平面ABC,CCX1BC,

又4c1BC,ACr\CC-i=C,AC,CCru平面4&GC,???BC1平面4Alec

???EC為四棱錐Q—A41cle的高，EC吟

???41cle=^E-AA^C=9s441CCEC=：X(2XV2)Xy=|.

解法三：(1)證明：在△ABC中，

VZ-ACB=90°,/.ABC=45°,AB=2,

AC=BC=y/2)

設(shè)交481于點(diǎn)O,

在直三棱柱ABC—aBiG中，44i=2,428當(dāng)為正方形,

二0為AB1中點(diǎn)，且。mJ.”今

連接PA,PB「PO,

???側(cè)棱CC11底面ABC,P為CC1的中點(diǎn)，則24=yjAC2+PC2=V2T1=6,BJ=[B?+(：產(chǎn)=

VT+T=V3.

故PA=PB1.

：.PO1ABr,

同理可得P。1AXB.

y.A^BnABX=0,A1B,AB1U平面4BB1A1，2。1平面4眄41.

???POu平面P&B,

???平面24iB，平面4BB遇i.

?平面P&Bn平面71叫&=4$,ABru平面

AB11平面PA/

(2)同方法一

解析：解法一：⑴證明&ABB1為正方形,設(shè)交AB[于點(diǎn)0,則。為AB1的中點(diǎn)，且力IBIA%

連接PA,PBi，P0,推出P014B1，然后證明L平面P48.

(2)當(dāng)。為ZB1中點(diǎn)，即點(diǎn)。與點(diǎn)0重合時(shí)，QE〃平面AiACCr連接4C,說明QE〃平面441GC.Q

到平面44CC1的距離等于B到平面&ACC1的距離的一半，轉(zhuǎn)化求解幾何體的體積即可.

解法二：(1)證明4遇為正方形，設(shè)交于點(diǎn)。，則。為4Bi的中點(diǎn)，且4/JL4%連接當(dāng)C

交BP于F點(diǎn)、,推出BBiJ_平面ABC,AC1BB1.結(jié)合4c1BC,證明4cL平面BBiGC,證明BP_1_平

面ZBiC,然后證明4B_L平面P&B.

(2)當(dāng)Q為AB1中點(diǎn)，即點(diǎn)。與點(diǎn)。重合時(shí)，QE〃平面44CG.

取AB中點(diǎn)M,連接QM,ME,說明Q到平面力遇。的的距離等于E到平面4遇"1的距離，利用等

體積法VQYAQC=^E-AA^C轉(zhuǎn)化求解即可.

解法三：(1)設(shè)為B交ZB】于點(diǎn)。，說明為正方形，

得到&B1AB1，連接產(chǎn)A,PBi，PO,推出P0JL4B1，證明P。，平面.得到平面P&B1?平面

48務(wù)公.即可證明A為_L平面P&A(2)同方法一

本題主要考查空間直線與直線、直線與平面的位置關(guān)系、空間幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查

邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

16.答案：解：⑴因?yàn)?E，平面43&AEc5??AEFB,

所以平面4EFBJ■平面Z8C.又BC1AB,平面4EFBn平面ABC=AB,

所以BC，平面AEFB.

又4Fu平面AEF8,所以BC1AF.

在直角梯形AEF8中，

由已知長度關(guān)系A(chǔ)”+BF2=4加可得4F1BF,

因?yàn)锽CCBF=B,BC,BFu平面BCF,

所以直線4F1平面BCE

(2)因?yàn)?E平面ABC,AEu平面ACDE,所以平面ACDE，平面ABC.

又平面ABC〃平面DEF,所以平面4CDE1平面DEF.

過尸作FM1DE于點(diǎn)M,

則FM1平面ACDE.

連接“，則CM為CF在平面ACDE內(nèi)的射影，

所以4FCM為直線b與平面4CDE所成的角.

設(shè)AE=EF=a,貝IL4B=BC=2a,AC=2夜a.

在直角三角形EM尸中，有ME=MF=^a,

2

所以DM=2y[2a——a——a,

22

則CM?_(竽a)+a2=ya2，

所以CF=，CM2+MF2=Jya2+|a2=V6a,

所以siMFCM="=妻=叵

CFV6a6

所以直線c尸與平面ACOE所成角的正弦值為"

6

解析：本題主要考查線面垂直的判定以及直線與平面所成角，屬于中檔題,

(1)根據(jù)已知易證BC14F,AFLBF,進(jìn)而可證直線4FJ?平面BCF；

(2)過尸作FM1DE于點(diǎn)M,先求得NFCM為直線CF與平面AC￡?E所成的角，再對(duì)ZCMF進(jìn)行分析

求解即可.

17.答案：(I)證明：???48。。-&81(；1。1是長方體，:816_1平面。31。1.

又TDEU平面DCGDi，B1G1DE.

(H);AB=2,E是棱AC1的中點(diǎn)，二七(；1=1,

__1

?,1%-DB1cl=%1-OEC1=&SADECI,BjC]

=-X--DDr-ECr-B1G=ixixlxlxl=-.

3211X1326

解析：本題考查了線面垂直的性質(zhì)、三棱錐的體積，屬于基礎(chǔ)題.

(I)由B1GL平面DCC1D1，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可證明8傳11DE.

(口)由%-D81Q=^Bi-DECi-BiG即可求解,

18.答案：(1)證明：過點(diǎn)C作CG〃/ID交AB于點(diǎn)G,

因?yàn)镃D〃AB,所以四邊形AOCG是平行四邊形.

又AD=CD,所以平行四邊形AOCG是菱形，

所以CG=4G=GB=BC,

所以△BCG是等邊三角形.

所以/CB4=Z.CGB=2ACAG=60",

所以“AG=30°,

所以乙4cB=180°-Z.CAB-Z.CBA=90°,

即AC1BC,

因?yàn)槠矫鍯DEF_L平面ABCD,CF1CD,平面CDEFn平面ABC。=CD,CFu平面CDEF,

所以CFJ■平面ABCD,

又"cTffiABCD,

所以4c1CF.

又BCCCF=C,BC,CFu平面BCF.

所以AC，平面BCF.

又4cu平面ACE,

所以平面BCF1,平面ACE.

(2)解：設(shè)CD=t,貝IJCF=BC=348=23AC=ABsin^ABC=2tsin60°=V3t,

由(1)知，