高中數(shù)學必修2人教A：全冊導學案第4章《圓與方程》

§4.1圓的標準方程

心學習目標

1.掌握圓的標準方程，能根據(jù)圓心、半徑寫出圓的標準方程;

2.會用待定系數(shù)法求圓的標準方程.

學習過程

一、課前準備

(預習教材P124~P127,找出疑惑之處)

1.在直角坐標系中，確定直線的基本要素是什么？圓作為平面幾何中的基本圖形，確定它的要

素又是什么呢？

2.什么叫圓？在平面直角坐標系中，任何一條直線都可用一個二元一次方程來表示，那么，圓

是否也可用?個方程來表示呢？如果能，這個方程又有什么特征呢？

二、新課導學

X學習探究

新知：圓心為43,勿，半徑為r的圓的方程(x-a)2+(y-份2=/叫做圓的標準方程.

則圓的方程就是丁=/

a=b=01+

探究：確定圓的標準方程的基本要素？

X典型例題

例寫出圓心為42,-3),半徑長為5的圓的方程，并判斷點M/5,-7),M式-百,-1)是否在這個

圓上.

小結：點M(x0,y°)與圓(x-a)2+(y-b)2=r的關系的判斷方法:

222

(l)(x0-?)+(y0-Z>)>r,點在圓外；

⑵(x0-4+(%-6)2=/，點在圓上；

⑶(x°-q)2+(%-4</,點在圓內.

變式：ABC的三個頂點的坐標是4(5,1),B(7,-3)

C(2,-8),求它的外接圓的方程

反思：

1.確定圓的方程的主要方法是待定系數(shù)法，即列出關于a,6/的方程組，求6,r或直接求出圓

心(a,b)和半徑r.

2.待定系數(shù)法求圓的步驟：(1)根據(jù)題意設所求的圓的標準方程為。-。)2+日-。)2=/；(2)

根據(jù)已知條件，建立關于a,仇，?的方程組；(3)解方程組，求出的值，并代入所設的方

程，得到圓的方程.

例2已知圓C經(jīng)過點A(l,1)和8(2,-2)，且圓心在直線l:x-y+\=O上,求此圓的標準方程.

X動手試試

練1.已知圓經(jīng)過點P(5,l),圓心在點C(8,-3)的圓的標準方程.

練2.求以C（l,3）為圓心，并且和直線3x-4y-7=0相切的圓的方程

三、總結提升

X學習小結

—,方法規(guī)納

⑴利用圓的標準方程能直接求出圓心和半徑.

⑵比較點到圓心的距離與半徑的大小，能得出點與圓的位置關系.

⑶借助弦心距、弦、半徑之間的關系計算時，可大大化簡計算的過程與難度.

圓的標準方程的兩種求法：

⑴根據(jù)題設條件，列出關于。、b、/?的方程組，解方程組得到。、b、r得值，寫出圓的標準

方程.

⑵根據(jù)確定圓的要素，以及題設條件，分別求出圓心坐標和半徑大小，然后再寫出圓的標準

方程.

學習評價

X自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一?般D.較差

X當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：

1.已知A(2,4),8(-4,0),則以AB為直徑的圓的方程(一~

A.(x+l)2+(y-2f=52B.(x+l>+(y+2>=52

C.(x-l)2+(y-2)2=52D.(x-1)2+(>■+2)2=52

2.點P(小,5)與圓的x2+;/=24的位置關系是().

A.在圓外B.在圓內C.在圓上D.不確定

3.圓心在直線x=2上的圓C與y軸交于兩點4。,-4).夕0,-2),則圓C的方程為().

A.(x-2)2+(y-3)2=5B.(x-2)2+(y-3)2=25

C.(x-2『+(y+3)2=5D.U-2)2+(y+3)2=25

4.圓關于(x+2)2+/=5關于原點(0,0)對稱的圓的方程

5.過點A(2,4)向圓V+y2=4所引的切線方程

'Q課后作業(yè)

1.已知圓的圓心在直線2x+y=0上，且與直線x+y-l=0切于點(2,-1),求圓的標準方程.

2.已知圓/+丁=25求：⑴過點A(4,-3)的切線方程.⑵過點8(-5,2)的切線方程

§4.1圓的一般方程

學習目標

1.在掌握圓的標準方程的基礎上，理解記憶圓的一般方程的代數(shù)特征，由圓的一般方程

確定圓的圓心半徑.掌握方程+y2+Dx+Ey+尸=0表示圓的條件；

2.能通過配方等手段，把圓的一般方程化為圓的標準方程.能用待定系數(shù)法求圓的方程；

3.培養(yǎng)學生探索發(fā)現(xiàn)及分析解決問題的實際能力

4y學習過程

一、課前準備

(預習教材P127~匕30,找出疑惑之處)

1.已知圓的圓心為C(a,。)，半徑為r,則圓的標準方程若圓心

為坐標原點上，則圓的方程就是

2.求過三點4(0,0),8(1,1),C(4,2)的圓的方程.

二、新課導學

X學習探究

問題L方程/+y2-2x+4y+l=0表示什么圖形？方程/+)/-2x+4y+6=0表示什么圖

形？

2

問題2.方程x+/+Dx+Ey+F=0在什么條件下表示圓？

新知：方程/+/+小+矽+尸”表示的軌跡.

⑴當。2+E?-4F>0時，表示以(-2,-￡)為圓心，勺示+6-4尸為半徑的圓；

222

(2)當。？+E2-4尸=0時，方程只有實數(shù)解x=-2,y=--,即只表示一個點(一2,-￡)；

2222

(3)當￡>2+爐-4/<0時，方程沒有實數(shù)解，因而它不表示任何圖形

小結：方程/+丫2+6+￡)，+尸=0表示的曲線不一定是圓只有當￡>2+1-4尸>0時，它表

示的曲線才是圓，形如W+y2+Dx+Ey+F=0的方程稱為圓的一般方程

思考：

1.圓的一般方程的特點？

2.圓的標準方程與一般方程的區(qū)別？

X典型例題

例1判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請求出圓的圓心及半徑.

⑴4r+4丫2-4》+12)，+9=0；

⑵4x?+4/-4x+12y+ll=0.

例2已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓上(x+lF+y2=4運動，求線段AB的

中點歷的軌跡方程.

X動手試試

練1.求過三點｛0,0),8(1,1),。(4,2)的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標.

練2.已知?個圓的直徑端點是4(8,乂),832，丫2)，試求此圓的方程.

三、總結提升

X學習小結

1.方程/+丁+9:+或+/=0中含有三個參變數(shù)，因此必須具備三個獨立的條件，才能確

定一個圓，還要注意圓的一般式方程與它的標準方程的轉化.

2.待定系數(shù)法是數(shù)學中常用的?種方法，在以前也已運用過.例如：由已知條件確定二次函數(shù),

利用根與系數(shù)的關系確定一元二次方程的系數(shù)等.這種方法在求圓的方程有著廣泛的運用，要

求熟練掌握.

3.使用待定系數(shù)法的一般步驟：⑴根據(jù)題意，選擇標準方程或一般方程；⑵根據(jù)條件列出

關于〃也廠或DE,尸的方程組；⑶解出“也/■或,代入標準方程或一般方程.

，?學習評價

X自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分：

1.若方程+y2-x+y+m=o表示一個圓，則有().

A.m<2B.m<2C.m<—D.m<—

22

2.圓/+J-4%-1=0的圓心和半徑分別為().

A.(2,0),5B.(0,-2),V5C.(0,2),0D.(2,2),5

3.動圓龍2+丁一(4m+2)x-2my+4nr++1=0的圓心軌跡是().

A.2x+y-1=0B.x-2y+\=0

C.2x-y+1=0D.x-2y-1=0

4.過點C(-1,1),O(1,3),圓心在x軸上的圓的方程是.

5.圓f+/_4x_5=0的點至I］直線3x-4,y+20

=0的距離的最大值為.

課后作業(yè)

1.設直線2方+3〉+1=0和圓/+丫2-2)-3=0相交于4,8,求弦48的垂直平分線方程.

2.求經(jīng)過點>4(-2,-4)且與直線/:x+3y-26=0相切于點B(8,6)的圓的方程.

§4.2直線、圓的位置關系

學習目標

1.理解直線與圓的兒種位置關系；

2.利用平面直角坐標系中點到直線的距離公式求圓心到直線的距離;

3.會用點到直線的距離來判斷直線與圓的位置關系.

』學習過程

一、課前準備

(預習教材P133~P136,找出疑惑之處)

1.把圓的標準方程&-4)2+(丫-份2=,整理為圓的一般方

程.

把x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)整理為圓的標準方程

為.

2.一艘輪船在沿直線返回港口的途中，接到氣象臺的臺風預報：臺風中心位于輪船正西70加

處，受影響的范圍是半徑為30bn的圓形區(qū)域.已知港口位于臺風中心正北40處，如果這艘

輪船不改變航線，那么它是否會受到臺風的影響？

3.直線與圓的位置關系有哪幾種呢？

4.我們怎樣判斷直線與圓的位置關系呢？如何用宜線與圓的方程判斷它們之間的位置關系

呢？

二、新課導學

X學習探究

新知1：設直線的方程為/：辦+勿，+c=0,圓的方程為。:產(chǎn)+)2+6+4+/=0,圓的半

徑為r,圓心(-?,-二)到直線的距離為4,則判別直線與圓的位置關系的依據(jù)有以下幾點:

22

⑴當d>r時，直線/與圓C相離：

⑵當d=r時，直線/與圓C相切；

⑶當?時，直線/與圓C相交；

新知2：如果直線的方程為)，=丘+小，圓的方程為(》-。)2+6-①2=/，將直線方程代入圓

的方程，消去y得到x的一元二次方程式Pd+Qx+RuO,那么：⑴當△<()時，直線與圓沒

有公共點；

⑵當△=()時，直線與圓有且只有一個公共點；

⑶當△>()時，直線與圓有兩個不同的公共點；

X典型例題

例1用兩種方法來判斷直線3x-4y+6=0與圓。-2)2+()-3)2=4的位置關系.

例2如圖2,已知直線/過點M(5,5)且和圓C:/+y2=25相交，截得弦長為4后，求/的方程

變式：求直線x-y-5=0截圓/+)『-4x+4y+6

=0所得的弦長.

X動手試試

練1.直線y=x與圓/+()，—1)2=/相切，求「的值.

練2.求圓心在直線2x-y=3上，且與兩坐標軸相切的圓的方程.

三、總結提升

X學習小結

判斷直線與圓的位置關系有兩種方法

①判斷直線與圓的方程組是否有解

a.有解，直線與圓有公共點.有一組則相切;有兩組，則相交

b無解，則直線與圓相離

②如果直線的方程為4x+By+C=O,圓的方程為(x-“)2+(y-/7)2=/,則圓心到直線的

⑴如果d<r直線與圓相交；

⑵如果d=r直線與圓相切；

⑶如果d>r直線與圓相離.

學習評價

X自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分：

1.直線3x—4y+6=0與圓(x-2>+(y-3)2=4

A.相切B.相離C.過圓心D.相交不過圓心

2.若直線x+y+,*=0與圓./+)3=m相切，則”?的值為().

A.0或2B.2C.y/2D.無解

3已知直線/過點(-2,0),當直線/與圓/+y2=2x有兩個交點時，其斜率k的取值范圍是

).

(-2夜,2偽B.(—y/2,y/2')

4.過點M(2,2)的圓/+y2=8的切線方程為

5.圓x?+y2=i6上的點到直線x-y-3=0的距離的最大值為.

課后作業(yè)

1.圓/+y，+2x+4y-3=0上至I」直線/:x+y+1

=0的距離為四的點的坐標.

2.若直線4x-3y+a=O與圓產(chǎn)+丁=100.(1)相交；⑵相切；⑶相離；分別求實數(shù)〃的取值范

圍.

§4.2圓與圓的位置關系

學習目標

1.理解圓與圓的位置的種類；

2.利用平面直角坐標系中兩點間的距離公式求兩圓的連心線長;

3.會用連心線長判斷兩圓的位置關系.

心學習過程

一、課前準備

(預習教材P136~P137,找出疑惑之處)

1.直線與圓的位置關系，

2.直線x—y—5=0截圓r+y~+4y+6=0所得的弦長.

3.圓與圓的位置關系有幾種,哪幾種?

4.設圓兩圓的圓心距設為d.

當d>/?+r時，兩圓

當4=/?+廣時，兩圓

當IR-rkd<R+r時，兩圓.

當d=IR-rl時，兩圓

當d<IR-rl時，兩圓

二、新課導學

X學習探究

探究：如何根據(jù)圓的方程，判斷兩圓的位置關系？

新課：兩圓的位置關系利用圓的方程來判斷.通常是通過解方程或不等式和方法加以解決

X典型例題

例1已知圓G：x2+y2+2x+8y-8=0,圓C?:/

2

+j+4x-4y-2=0,試判斷圓C1與圓C2的關系？

變式：若將這兩個圓的方程相減，你發(fā)現(xiàn)了什么？

例2圓C1的方程是+)"-2mx+4y+"「-5=0,圓C?的方程是:x2+/+2犬-2切+疝

-3=0,膽為何值時兩圓⑴相切；⑵相交；⑶相離；⑷內含.

X動手試試

練1.已知兩圓x2+y2-6x=0與/+)，-4y="?問，"取何值時，兩圓相切.

練2.求經(jīng)過點M（2,-2）,且與圓x2+y2-6x=0^x2+丁=4交點的圓的方程

三、總結提升

X學習小結

1.判斷兩圓的位置關系的方法：

⑴由兩圓的方程組成的方程組有幾組實數(shù)解確定.

⑵依據(jù)連心線的長與兩半徑長的和八+々或兩半徑的差的絕對值的大小關系.

2.對于求切線問題，注意不要漏解，主要是根據(jù)幾何圖形來判斷切線的條數(shù).

3.-一般地，兩圓的公切線條數(shù)為：①相內切時，有一條公切線；②相外切時，有三條公切線;

③相交時，有兩條公切線；④相離時，有四條公切線.

4.求兩圓的公共弦所在直線方程，就是使表示圓的兩個方程相減消去二次項即可得到.

3學習評價

X自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為（）.

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當堂檢測（時量：5分鐘滿分：10分）計分：

1.已知0<r<行+1,則兩圓W+y）=’與（］-以+（），+1）2=2的位置關系是（）.

A.外切B.相交C.外離D.內含

2.兩圓x2+y?-2x=0與x?+y?-4y=0的公共弦長（）.

A.拽B.1C.述D,2

55

3.兩圓—+y2_4x+2y+1=0與+y2+以_4y

-1=0的公切線有（）.

A.1條B.2條C.4條D.3條

4.兩圓x2+y2+4x-4y=o,x2+y2+2x-12=O相交于兩點，則直線48的方程

是■

2

5.兩圓V+9=］和（X_3）+/=4的外公切線方程.

課后作業(yè)

1.已知圓C與圓爐+丁-2x=0相外切，并且與直線x+氐=0相切于點QC3,-73），求圓C的

方程.

2

2.求過兩圓G：/+丫2-4、+2>=0和圓C2:x+y-2y-4=0的交點，且圓心在直線

/:2x+4y-l=0上的圓的方程.

§4.2.3直線與圓的方程的應用

2學習目標

1.理解直線與圓的位置關系的幾何性質；

2.利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；

3.會用“數(shù)形結合”的數(shù)學思想解決問題.

學習過程

一、課前準備

（預習教材P138~P140,找出疑惑之處）

1.圓與圓的位置關系有____________________________

2.Ur2+y2+4x-4y-5=0^H?+/-8x+4y

+7=0的位置關系為.

3.過兩圓/+/-6x-4=0和x?+y?+6y-28

=0的交點的直線方程.

二、新課導學

X學習探究

1.直線方程有幾種形式？分別是?

2.圓的方程有幾種形式?分別是咖些?

3.求圓的方程時，什么條件下，用標準方程?什么條件下用一般方程?

4.直線與圓的方程在生產(chǎn).生活實踐中有廣泛的應用.想想身邊有哪些呢?

X典型例題

例1已知某圓拱形橋.這個圓拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，建造時每間隔4m需要用一根支

柱支撐，求支柱&當?shù)母叨龋ň_0.01m）

變式：趙州橋的跨度是37.4m.圓拱高約為7.2m.求這座圓拱橋的拱圓的方程

例2已知內接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證圓心到?邊距離等于這條邊所對這條邊長

的一半.

X動手試試

練1.求出以曲線/+丁=25與y=/一13的交點為頂點的多邊形的面積.

練2.討論直線y=x+2與曲線y=U的交點個數(shù).

三、總結提升

X學習小結

1.用坐標法解決兒何問題時，先用坐標和方程表示相應的幾何元素：點、直線、圓，然后通

過對坐標和方程的代數(shù)運算，把代數(shù)結果“翻譯”成幾何關系，得到幾何問題的結論，這就

是用坐標法解決幾何問題的“三部曲”.

2.用坐標法解決幾何問題的步驟：第一步：建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，用坐標和方程表?/p>

問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問

題；第三步：將代數(shù)運算結果“翻譯”成幾何結論.

3.解實際問題的步驟：審題一化歸一解決一反饋.

■Q學習評價

X自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分：

1.一動點到4(-4,0)的距離是到8(2,0)的距離的2倍，則動點的軌跡方程().

A.(x-4)、y2=4B.(x-4)2+/=16

2222

C.x+(y-4)=4D.x+(y-4)=16

2.如果實數(shù)滿足Y+)，2-4X+1=0,則上的最大值為()

X

A.1B.—C.x/3D.72

3

3.圓x2+y2+2x+4y-3=0上到直線x+y+l=0的距離為夜的點共有().

A.1個B.2個C.3個D.4個

22

4.圓(x-l)+(y-l)=4關于直線/:x-2y-2=0對稱的圓的方

程.

5.求圓（x-爐+（y+=4關于點（2,2）對稱的圓的方程.

課后作業(yè)

1.坐標法證明:三角形的三條高線交于一點.

2.機械加工后的產(chǎn)品是否合格，要經(jīng)過測量檢驗某車間的質量檢測員利用三個同樣的量球以

及兩塊不同的長方體形狀的塊規(guī)檢測一個圓弧形零件的半徑.一知量球的直徑為2厘米,并測出

三個不同高度和三個相應的水平距離,求圓弧零件的半徑.

§423直線，圓的方程（練習）

』學習目顯

1.理解直線與圓的位置關系的幾何性質；

2.利用平面直角坐標系解決直線與圓的位置關系；

3.會用“數(shù)形結合”的數(shù)學思想解決問題.

學習過程

一、新課導學

X學習探究

（預習教材P12rP140.找出疑惑之處）

圓的標準方程

例1一個圓經(jīng)過點A（5,O）與B（-2,l）圓心在直線x-3y-10=0上,求此圓的方程

直線與圓的關系

例2求圓(x-2『+(y+3『=4上的點到x-y+2=0的最遠、最近的距離

三.軌跡問題

充分利用幾何圖形的性質,熟練掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式.

例3求過點A(4,0)作直線/交圓O:犬+)，=4于B,C兩點,求線段BC的中點P的軌跡方程

四弦問題

主要是求弦心距（圓心到直線的距離）,弦長，圓心角等問題.一般是構成直角三角形來計算

例4直線/經(jīng)過點（5,5）,且和圓V+y=25相交，截得的弦長為4逐，求/的方程.

五.對稱問題（圓關于點對稱，圓關于圓對稱）

例5求圓（x—+（y+1）?=4關于點（2,2）對稱的圓的方程.

練習

1.求圓（x-iy+（y-l『=4關于直線x-2y-2=0對稱的圓的方程

2.由圓外一點尸（2,1）引圓O：/+）,2=4的割線交圓于A,B兩點，求弦AB的中點的軌跡.

3.等腰三角形的頂點是A(4.2)底邊一個端點是B(3,5)求另一個端點的軌跡是什么？

4.已知圓C的圓心坐標是(-：,3),且圓C與直線x+2y-3=0相交于P,。兩點，又OPLOQ,。

是坐標原點，求圓。的方程.

學習評價

派自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為().

A.很好B.較好C.-?般D.較差

X當堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分：

1.已知M(3,0)是圓/+丁-8*-2)，+10=0內一點，過M點的量長的弦所在的直線方程是

().

Ax+y-3=0Bx-y-3=0

C2x-y-6=0D2x4-y-6=0

2.若圓(x-3f+(y+5)2=/上有且只有兩點到直線4x-3y-2=0的距離為1,則半徑r的取

值范圍是().

A.(4,6)B.[4,6)C,(4,6]B.[4,6]

3.已知點和圓C：(x-5)2+(y-7)2=4,一束光線從A點經(jīng)過X軸反射到圓周C的最短

路程是（~~

A.10B.672-2C.4V6D.8

4.設圓x2+y2-4x-5=0的弦AB的中點P（3,1）,則直線AB的方程為.

5.圓心在直線y=x上且與x軸相切于點（1,0）的圓的方程.

■Q課后作業(yè)

1.從圓外一點P（l,l）向圓Y+/=1引割線，交該圓于42兩點，求弦A8的中點的軌跡方程.

2.2.已知圓的半徑為癡，圓心在直線y=2x上，圓被直線x-y=0截得的弦長為4及，求圓

的方程.

§4.3空間直線坐標系

』學習目標

1.明確空間直角坐標系是如何建立；明確空間中的任意一點如何表示;

2能夠在空間直角坐標系中求出點的坐標

i一學習過程

一、課前準備

（預習教材P142~P144,找出疑惑之處）

1.平面直角坐標系的建立方法，點的坐標的確定過程、表示方法?

2.一個點在平面怎么表示？在空間呢？

二、新課導學

X學習探究

1.怎么樣建立空間直角坐標系？

2.什么是右手表示法?

3.什么是空間直角坐標系，怎么表示？

思考：坐標原點。的坐標是什么？

討論:空間直角坐標系內點的坐標的確定過程

X典型例題

例1在長方體。BCO-Z/AEC，中，|。川=3,|OC|=4

|0。1=2.寫出D：C,A',B'四點坐標.

反思：求空間中點的坐標的步驟：建立空間坐標系一寫出原點坐標-各點坐標.

討論：若以C點為原點，以射線8C,CD,CC'方向分別為X,)，,z軸，建立空間直角坐標系，則

各頂點的坐標又是怎樣的呢？

變式：已知M(2,-3,4),描出它在空間的位置

例2V-A8C。為正四棱錐，。為底面中心，若A8=2,VO=3,試建立空間直角坐標系，并

確定各頂點的坐標.

X動手試試

練1.建立適當?shù)闹苯亲鴺讼担_定棱長為3的正四面體各頂點的坐標.

練2.已知A8CO-A'8'C'。'是棱長為2的正方體，E,F分別為8*和。C的中點，建立適當

的空間直角坐標系，試寫出圖中各中點的坐標

三、總結提升

X學習小結

1.求空間直角坐標系中點的坐標時，可以由點向各坐標軸作垂線，垂足的坐標即為在該軸上的

坐標.

2.點關于坐標平面對稱，則點在該坐標平面內兩個坐標不變，另一個變成相反數(shù)；關于坐標軸

對稱則相對于該軸的坐標不變，另兩個變?yōu)橄喾磾?shù)；關于原點對稱則三個全變?yōu)橄喾磾?shù)；

3.空間直角坐標系的建立要選取好原點，以各點的坐標比較好求為原則，另外要建立右手直角

坐標系.

4.關于一些對稱點的坐標求法

P(x,y,z)關于坐標平面wy對稱的點＜(x,y,-z);

P(x,y,z)關于坐標平面yoz對稱的點P-,(-x,y,z)；

P(x,y,z)關于坐標平面xoz對稱的點鳥(x,-y,z);

P(x,y,z)關于x軸對稱的點E(x,-y,-z);

P(x,y,z)關于y對軸稱的點P5(-x,y,-z)；

Pix,y,z)關于z軸對稱的點P6(,-x,-y,z)s

0學習評價

X自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為().

A.很好B.較好C.一般D.較差

X當堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分：

1.關于空間直角坐標系敘述正確的是().

A.P(x,y,z)中尤,y,z的位置是可以互換的

B.空間直角坐標系中的點與一個三元有序數(shù)組是一種-一對應的關系

C.空間直角坐標系中的三條坐標軸把空間分為八個部分

D.某點在不同的空間直角坐標系中的坐標位置可以相同

2.已知點A(-3,1,-4),則點A關于原點的對稱點的坐標為().

A.(l,-3,-4)B.(-4,1,-3)C.(3,-l,4)D.(4,-1,3)

3,已知AABC的三個頂點坐標分別為A(2,3,1),8(4,1,-2),C(6,3,7),則A/18C的重心坐標為

().

77?147

A.(6,—,3)B.(4,—,2)C.(8,—-,4)D.(2,—,1)

2336

4.已知ABC。為平行四邊形，且4(4,1,3),8(2,-5,1),

C(3,7,-5)則頂點D的坐標.

5.方程(x-2『+(y+3)2+(z—I)?=36的幾何意義是.

課后作業(yè)

1.在空間直角坐標系中，給定點”(1,-2,3),求它分別關于坐標平面，坐標軸和原點的對稱點

的坐標.

2.設有長方體48CO-4'B'C'。'，長、寬、高分別為48=4麗,4。=3麗,/14'=5的,"是線段

CU的中點.分別以ABM。,4A所在的直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系.

⑴求48,C,￡),A',8',C',?！淖鴺?

⑵求N的坐標；

§432空間兩點間的距離公式

，一學習目標

1.通過特殊到?般的情況推導出空間兩點間的距離公式

2.掌握空間直角坐標系中兩點間的距離公式及推導，并能利用公式求空間中兩點的距離.

學習過程

一、課前準備

(預習教材P14S-P146，找出疑惑之處)

1.平血兩點的距離公式？

2.我們知道數(shù)軸上的任意一點M都可用對應一個實數(shù)X表示，建立了平面直角坐標系后，平

面上任意一點M都可用對應一對有序實數(shù)(X,)，)表示.那么假設我們建立一個空間直角坐標系

時，空間中的任意一點是否可用對應的有序實數(shù)組(x,y,z)表示出來呢？

3.建立空間直角坐標系時，為方便求點的坐標通常怎樣選擇坐標軸和坐標原點？

二、新課導學

X學習探究

1.空間直角坐標系該如何建立呢?

2.建立了空間直角坐標系以后，空間中任意一點M如何用坐標表示呢？

33.3.空間中任意一點6(占,％,21)與點P2(x2,y2,z2)之間的距離公式

生闈=/(再一2)2+(必一為產(chǎn)+(Zi-z?)2?

注意：⑴空間兩點間距離公式同平面上兩點間的距離公式形式上類似；⑵公式中如々5,丫2

石,不可交換位置；⑶公式的證明充分應用矩形對角線長=4?+62+02這一依據(jù).

探究：

⑴點M(x,y,z)與坐標原點o(0,0,0)的距離？

⑵如果|OP|是定長r,那么/+>2+/=r2表示什么圖形？

X典型例題

例1求點P|(l,0,例與尸2(4,3,-1)之間的距離

變式：求點4(0,0,0)到8(5,2,-2)之間的距離

例2在空間直角坐標系中，已知加C的頂點分別是4(723),8(2,-2,3),4,|,3).求證:

\ABC是直角三角形.

X動手試試

練1.在z軸上，求與兩點4-4,1,7)和8(3,5,-2)等距離的點.

練2.試在叼平面上求一點,使它到5),

8(3,4,4)和C(4,6,l)各點的距離相等.

三、總結提升

X學習小結

1.兩點間的距離公式是比較整齊的形式，要掌握這種形式特點，另外兩個點的相對應的坐標之

間是相減而不是相加.

2.在平面內到定點的距離等于定長的點的集合是圓.與之類似的是，在三維空間中，到定點的

距離等于定長的點的集合是以定點為球心，以定長為半徑的球.

X知識拓展

1.空間坐標系的建立，空間中點的坐標的求法.________________

2.平面上P(X1,yJ,Q(X2，y2)兩點間的距離公式d=1(占-x?)?+?1-%)'?

3.平面上圓心在原點的圓的方程Y+y?=r.

學習評價

派自我評價你完成本節(jié)導學案的情況為().

A.很好B,較好C.-?般D.較差

X當堂檢測(時量：5分鐘滿分：10分)計分：

1.空間兩點4(3,-2,5),5(6,0,-1)之間的距離().

A.6B.7C.8D.9

2.在x軸上找一點P,使它與點4(4,1,2)的距離為回，則點尸為().

A.(9,0,0)B.(-1,0,0)

C.(9,0,0)(-1,0,0)D.都不是

3.設點8是點A(2,-3,5)關于my面的對稱點，則|4?|=().

A.10B.MC.738D.38

4.已知A(3,5,-7)和點8(-2,4,3),則線段A8在坐標平面yoz上的射影長度

為.

5.已知AA8C的三點分別為A(3,l,2),B(4,-2,-2),

C(0,5,l)則BC邊上的中線長為.

課后作業(yè)

1.已知三角形的頂點為A(l,2,3),8(7,10,3)和C(-l,3,1).試證明A角為鈍角.

2.在河的一側有一塔。。=5加，河寬3C=3m,另側有點A,AB=4m,求點A與塔頂。的

距離.

第四章圓與方程復習

學習目標

1.掌握圓的標準方程、一般方程，會根據(jù)條件求出圓心和半徑，進而求得圓的標準方程；根

據(jù)方程求得圓心和半徑；掌握二元二次方程表示圓的等價條件；熟練進行互化.

2.掌握直線和圓的位置關系，會用代數(shù)法和兒何法判斷直線和圓的位置關系；會求切線方程

和弦長；能利用數(shù)形結合求最值.

3.掌握空間直角坐標系的建立，能用(x,y,z)表示點的坐標；會根據(jù)點的坐標求空間兩點的距

離.

，一學習過程

一、課前準備

(復習教材P124-P152，找出疑惑之處)

復習知識點

1.圓的方程

⑴標準式：圓心在點5,6),半徑為/■的圓的標準方程為當圓心

在坐標原點時，圓的方程為.

⑵一般式：__________________________________

⑶圓的一般式方程化為標準式方程為

⑷是求圓的方程的常用方法..

2.點與圓的位置關系有，

判斷的依據(jù)為：

3.直線與圓的位置關系有

判斷的依據(jù)為：

4.圓與圓的位置關系有_____________________一

判斷的依據(jù)為：

5.