第三屆BiZ-WiZ杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模B題

第三屆BiZ-WiZ杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請賽

承諾書我們仔細(xì)閱讀了第三屆BiZ-WiZ杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請賽的競賽細(xì)則。我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們的參賽報名號為：10551023參賽隊員(簽名)：隊員1：梁煒隊員2：張秀群隊員3：趙林武漢工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會第三屆BiZ-WiZ杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請賽組委會

第三屆BiZ-WiZ杯華中地區(qū)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模邀請賽

編號專用頁選擇的題號：B參賽的編號：10551023（以下內(nèi)容參賽隊伍不需要填寫）競賽評閱編號：【摘要】隨著科學(xué)技術(shù)的迅猛發(fā)展，人們生活水平也不斷提高。交通堵塞問題成為人們?nèi)找骊P(guān)注的焦點。免費自行車交通系統(tǒng)服務(wù)緩解交通擁擠，服務(wù)于廣大市民。分析評價和合理布局規(guī)劃免費自行車交通系統(tǒng)服務(wù)網(wǎng)點對于合理調(diào)配利用資源和緩解交通擁堵有很重要的意義。我們尋求最大程度服務(wù)于市民同時資源合理運用，社會效益和經(jīng)濟效益的綜合利益盡可能大的原則下進行分析評價和建立模型的。本文首先對模型進行簡化，比較當(dāng)前的網(wǎng)點布局，充分考慮對于滿足不同的情況下的網(wǎng)點建在特定區(qū)域進行了分析和研究，通過全面、精確的數(shù)據(jù)處理，評價了當(dāng)前網(wǎng)點布局的不合理，并建立了相關(guān)的數(shù)學(xué)模型，設(shè)定評價標(biāo)準(zhǔn)，優(yōu)化網(wǎng)點的分布。問題一中，首先根據(jù)網(wǎng)點的分布和各網(wǎng)點的車輛數(shù)合理性，要最大程度服務(wù)于市民的目的，得到目標(biāo)函數(shù)和一些特定的限制條件后用LINGO進行求解，得到了在社區(qū)1建立2個網(wǎng)點，在社區(qū)2建立4個網(wǎng)點，其他地方建立11個網(wǎng)點。并對原題中給定的數(shù)據(jù)進行分析和研究，知道原來網(wǎng)點的分布存在明顯的問題。問題二中，考慮到居民的滿意度、網(wǎng)點的分布、各網(wǎng)點的車輛數(shù)。本文把滿意度理解為隨距離而遞減的一種關(guān)系，并定義最簡單的關(guān)系式為：F=網(wǎng)點數(shù)目×1/覆蓋的范圍。故當(dāng)滿意度達最大時得到最優(yōu)解。問題三中，設(shè)定了資金的數(shù)目，這就限制了網(wǎng)點數(shù)量和自行車的數(shù)量，由此也得到了對網(wǎng)點和自行車數(shù)量的限制條件，在原有基礎(chǔ)上得到了網(wǎng)點和自行車數(shù)目的最優(yōu)解。經(jīng)過分析和研究，通過大量、精確的數(shù)據(jù)處理得到應(yīng)建立109個網(wǎng)點，用到1850輛自行車關(guān)鍵詞：最優(yōu)解；限制條件；滿意度；簡化問題§1問題重述上班、上學(xué)或做其他任何事情都離不開交通。但不管去哪里，很多時候都需要等車?，F(xiàn)在，某城區(qū)推行免費公共自行車服務(wù)。根據(jù)題目所給圖形提供的信息可知，大型社區(qū)、地鐵站、超市處于人流量高峰期時人口集中度很高。十字路口的人流量較大。停放自行車的各網(wǎng)點之間的距離控制在一定范圍內(nèi)。建立相關(guān)模型來評價和衡量該城區(qū)的各網(wǎng)點應(yīng)停放的自行車輛數(shù)，規(guī)劃各網(wǎng)點布局，調(diào)配資源合理利用，緩解交通擁堵。問題一、設(shè)定一個評價標(biāo)準(zhǔn)來衡量現(xiàn)有網(wǎng)點與車輛分布狀況。問題二、在規(guī)劃中要在圖中增加到100個網(wǎng)點和3600輛車，如何決定網(wǎng)點位置跟每個網(wǎng)點的車輛數(shù)，才能使在你的評價指標(biāo)下達到最優(yōu)。問題三、但目前市政資金有限，只能拿出110萬元左右，已知建設(shè)一個網(wǎng)點需5000元，投入一輛自行車的成本約300元，現(xiàn)希望盡可能實現(xiàn)主要居民區(qū)網(wǎng)點平均間距500米的公共交通體系，并最大程度服務(wù)居民，則需要在此地區(qū)建立多少個，如何分布網(wǎng)點并確定每個網(wǎng)點的車輛數(shù)。給定的信息：該城區(qū)基本信息圖（圖長4.68公里，高4.89公里），人口共15萬，有17個網(wǎng)點，600輛自行車。規(guī)劃中的地鐵站有5個，圖上A~E點，預(yù)計高峰時間人流量在4000-5000人/站，其余時間1000~2000人/站。大型社區(qū)有兩個，社區(qū)CⅠ有1.4萬人，社區(qū)CⅡ有2.8萬人，其余地區(qū)，除山地、湖泊和河流區(qū)域外，可以認(rèn)為人口是均衡分布的。大型超市有三個，預(yù)計高峰時間人流量在3000人/座，其余時間1000人/座?，F(xiàn)建設(shè)網(wǎng)點依據(jù)有限時間內(nèi)免費租賃，隨處借還的原則，最大可能方便居民使用，應(yīng)優(yōu)先考慮交通樞紐和地點人流量，根據(jù)現(xiàn)實中調(diào)查可以推斷：早晨在社區(qū)周邊的網(wǎng)點車輛數(shù)較多，下午下班時在地鐵站和超市附近網(wǎng)點的車輛數(shù)較多。十字路口的人流量一般較大。網(wǎng)點之間的距離一般控制在300米~1000米之間。§2【模型假設(shè)】通過圖中的比例，我們把山地，湖泊近似為規(guī)則的圖形，社區(qū)面積也可以估計出來。地鐵和超市的影響，我們考慮其人流高峰（占15%）其和平時時的人流數(shù)（占85%）的平均數(shù)?？紤]在距社區(qū)500米內(nèi)的網(wǎng)點為社區(qū)內(nèi)的點。4.所有與人數(shù)有關(guān)的變量單位都同一為“千人”。5.車輛分布與人口密度有關(guān)，與超市和地鐵的人流量有關(guān)。6.在考慮超市和地鐵的影響時，近似認(rèn)為超市和地鐵的人會去選擇距他們最近的網(wǎng)點。§3【符號說明】S1社區(qū)一的面積S2社區(qū)二的面積S城區(qū)總面積A1社區(qū)1分配的自行車數(shù)A2社區(qū)2分配的自行車數(shù)A3其他地方分配的自行車數(shù)目P1社區(qū)1的人口密度P2社區(qū)2的人口密度W1社區(qū)1分配的網(wǎng)點個數(shù)W2社區(qū)2分配的網(wǎng)點數(shù)W3其他地方分配的網(wǎng)點數(shù)R1社區(qū)1分配的網(wǎng)點的覆蓋范圍R2社區(qū)2分配的網(wǎng)點的覆蓋范圍R3其他地方分配的網(wǎng)點的覆蓋范圍D網(wǎng)點的個數(shù)N自行車輛數(shù)§4【模型建立和求解】§4-1問題分析問題一：根據(jù)我們建立的優(yōu)化模型，對已經(jīng)給出的數(shù)據(jù)進行分析，先從數(shù)據(jù)就可以明顯看到該城區(qū)現(xiàn)有的17個網(wǎng)點的不足之處：編號上午7:00車輛數(shù)下午5:30車輛數(shù)17070260903403043010530106301075045830109307010301011302012308013201014506015201016205173060例如網(wǎng)點2,12,17，它們顯然不能很好的服務(wù)居民，上午7:00和下午5:30網(wǎng)點內(nèi)的車輛數(shù)出現(xiàn)了明顯的變化，可能會出現(xiàn)來的時候有車騎而回去的時候沒車騎的狀況。§4-2模型建立與求解根據(jù)符號約定和提供的已知條件：P1=5.1；P2=4.2；現(xiàn)在以居民的滿意度最大為目標(biāo)函數(shù);設(shè)居民的滿意度與分配的網(wǎng)點數(shù)呈正比，與網(wǎng)點之間的距離成反比。顯然滿意度小于等于1，故滿意度可表示為：F=網(wǎng)點數(shù)目×1/覆蓋的范圍故列出目標(biāo)函數(shù)為：Max=P1×w1×R1×(lnR1-1)+P2×W2×R2×（lnR2-1）+W3×R3×（lnR3-1）；對于R1，R2，R3來說，根據(jù)題意它們應(yīng)該有300/2<=R1,R2,R3<=1000/2。根據(jù)題中給定的圖形，按比例可以算得：

S1=538000㎡；S2=1269000㎡；S=22900000㎡；D=17；為了盡量的利用已有的自行車，故應(yīng)該有：∏*W1*R1*R1<=S1;∏*W2*R2*R2<=S2;∏*W1*R1*R1+∏*W2*R2*R2+∏*W3*R3*R3<=S;用LINGO解決網(wǎng)點的分配問題，源程序如下：model:max=5.1*W1*R1*@log(R1)-5.1*W1*R1+4.2*W2*R2*@log(R2)-4.2*W2*R2+W3*R3*@log(R3)-W3*R3;R1>=150;R1<=500;R2>=150;R2<=500;R3>=150;R3<=500;3.14*W1*R1*R1<=538000;3.14*W2*R2*R2<=1269000;3.14*W1*R1*R1+3.14*W2*R2*R2+3.14*W3*R3*R3<=22900000;W1+W2+W3<=17;@gin(W1);@gin(W2);@gin(W3);End運行結(jié)果如下：Localoptimalsolutionfoundatiteration:227Objectivevalue:68076.92VariableValueReducedCostW12.000000-138.6652R1292.69230.000000W24.00000096.40410R2317.86010.000000W311.000000.000000R3500.00000.000000RowSlackorSurplusDualPrice168076.921.0000002142.69230.0000003207.30770.0000004167.86010.0000005182.13990.0000006350.00000.00000070.00000068.3606980.5922047E-060.1575725E-0190.0000000.1212265E-01100.1245800E+080.000000110.0000002607.304故得出在社區(qū)1應(yīng)該建立2個網(wǎng)點，在社區(qū)2應(yīng)該建立4個網(wǎng)點，剩下的11個網(wǎng)點分布于其他區(qū)域。社區(qū)1的兩個網(wǎng)點的覆蓋范圍為293米，社區(qū)2的4個網(wǎng)點的距離為318m，而其他的網(wǎng)點間的距離為500m。問題二：與問題以相似，只是網(wǎng)點增加到100個，D=100，自行車增加到3600輛。用LINGO求解得：Localoptimalsolutionfoundatiteration:634Objectivevalue:173168.4VariableValueReducedCostW17.000000-234.1707R1156.45060.000000W217.000000.000000R2154.18480.000000W376.00000434.4898R3297.30180.000000RowSlackorSurplusDualPrice1173168.41.00000026.4506220.0000003343.54940.00000044.1847870.0000005345.81520.0000006147.30180.0000007202.69820.00000080.0000000.2317758E-0190.0000000.1880329E-01100.3725290E-080.3050122E-02110.000000983.7176對結(jié)果進行分析得：在社區(qū)1附近應(yīng)該建立7個網(wǎng)點，他們的覆蓋范圍為157m。在社區(qū)2附近應(yīng)該建立17個網(wǎng)點，它們的覆蓋范圍為155m，其他地方建立76個網(wǎng)點，而它們各個的覆蓋范圍為298m。問題三：根據(jù)已知的條件得：5000×D+300×N≤1100000;而顯然目標(biāo)函數(shù)可以為：max=W1*a1*0.109+W2*a2*0.135+W3*a3*0.756;而各系數(shù)代表的意思為：地鐵的人流量與總的地鐵人流量+商場的人流量之比，等于：0.135。商場的人流量與總的地鐵人流量+商場的人流量之比，等于：0.019。用LINGO解得：Localoptimalsolutionfoundatiteration:63Objectivevalue:152447.4VariableValueReducedCostW10.0000001398.600A10.000000150.2661W20.0000001398.600A20.0000000.000000W3109.00000.000000A31850.0000.000000R1250.00000.000000R2250.00000.000000R3250.00000.000000N1850.0001.512000D109.00000.000000RowSlackorSurplusDualPrice1152447.41.00000020.0000000.00000030.0000000.00000040.0000000.00000050.00000016.1576560.00000082.404007538000.00.00000081269000.0.00000091508750.0.000000100.000000