2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)拋物線的方程與性質(zhì)

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)拋物線的方程與性質(zhì)01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時(shí)目標(biāo)】了解拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；了解拋

物線的簡(jiǎn)單應(yīng)用.【考情概述】在新高考中，拋物線的地位顯著提升，既會(huì)考選擇題、

填空題，也會(huì)以解答題的形式進(jìn)行考查.通常以考查拋物線的性質(zhì)、直

線與拋物線的位置關(guān)系為主，難度中等偏上.

知識(shí)梳理1.拋物線的定義平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)

F

和一條定直線

l

（

l

不經(jīng)過(guò)點(diǎn)

F

）的距離

?的

點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.

F

叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線

l

叫做拋物線的

?

.其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{

M

｜｜

MF

｜＝

d

}（

d

為點(diǎn)

M

到準(zhǔn)線

l

的距離）.相等準(zhǔn)

線2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程

y

2＝2

px

（

p

＞0）

y

2＝－2

px

（

p

＞0）

x

2＝2

py

（

p

＞0）

x

2＝－2

py

（

p

＞0）

p

的幾何意義：焦點(diǎn)

F

到準(zhǔn)線

l

的距離圖形

頂點(diǎn)

O

（0，0）對(duì)稱軸直線

y

＝0直線

x

＝0焦點(diǎn)離心率

e

＝1準(zhǔn)線方程范圍

x

≥0，

y

∈R

x

≤0，

y

∈R

y

≥0，

x

∈R

y

≤0，

x

∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下焦半徑[其中

P

（

x

0，

y

0）]｜

PF

｜

＝

?

?｜

PF

｜

＝

?

?｜

PF

｜

＝

?

?｜

PF

｜

＝

?

?x

0＋

－

x

0＋

y

0＋

－

y

0＋

常用結(jié)論設(shè)

AB

是過(guò)拋物線

y

2＝2

px

（

p

＞0）焦點(diǎn)

F

的弦，

AB

所在直線的傾斜角

為θ.若

A

（

x

1，

y

1），

B

（

x

2，

y

2），則：（1）

y

1

y

2＝

，

x

1

x

2＝

?；

－

p

2

???√2.（RA選一P138習(xí)題3.3第2題（2）改編）若拋物線

y

2＝8

x

上一點(diǎn)

P

到

其焦點(diǎn)的距離為10，則點(diǎn)

P

的坐標(biāo)為（

C

）A.（8，8）B.（8，－8）C.（8，±8）D.（－8，±8）C3.（RA選一P138習(xí)題3.3第5題改編）如圖，

M

是拋物線

y

2＝4

x

上一

點(diǎn)，

F

是拋物線的焦點(diǎn)，以

Fx

為始邊、

FM

為終邊的角（∠

xFM

）為120°，則｜

FM

｜等于（

A

）C.3D.4A4.（多選）（RA選一P136練習(xí)第1題改編）頂點(diǎn)在原點(diǎn)處，對(duì)稱軸為坐

標(biāo)軸，且過(guò)點(diǎn)

P

（－4，－2）的拋物線的方程為（

AB

）A.

y

2＝－

x

B.

x

2＝－8

y

C.

x

2＝－

y

D.

y

2＝－8

x

AB5.（RA選一P139習(xí)題3.3第11題改編）已知圓心在

y

軸上移動(dòng)的圓經(jīng)過(guò)

點(diǎn)

A

（0，5），且與

x

軸、

y

軸分別交于

B

（

x

，0），

C

（0，

y

）兩個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)

M

（

x

，

y

）的軌跡方程為

?.x

2＝－5

y

考點(diǎn)一

拋物線的定義及應(yīng)用例1（1）

設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為

O

，焦點(diǎn)為

F

，準(zhǔn)線為

l

，

P

是拋物線上

異于點(diǎn)

O

的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)

P

作

PQ

⊥

l

于點(diǎn)

Q

，則線段

FQ

的垂直平分線

（

B

）A.經(jīng)過(guò)點(diǎn)

O

B.經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P

C.與直線

OP

平行D.與直線

OP

垂直解：連接

PF

.

根據(jù)題意及拋物線的定義可知，｜

PQ

｜＝｜

FP

｜，所

以△

QPF

為等腰三角形.所以線段

FQ

的垂直平分線經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P

.

B（2）

（2023·江西校聯(lián)考階段練習(xí)）已知

P

是拋物線

C

：

x

2＝8

y

上的動(dòng)

點(diǎn)，點(diǎn)

M

的坐標(biāo)為（4，1），

PQ

⊥

x

軸，垂足為

Q

，則｜

PQ

｜＋｜

PM

｜的最小值為（

D

）B.2D總結(jié)提煉

1.利用拋物線的定義可解決的常見(jiàn)問(wèn)題（1）

軌跡問(wèn)題：用拋物線的定義可以確定動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定直線距離

有關(guān)的軌跡是否為拋物線.（2）

距離問(wèn)題：涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和到準(zhǔn)線的距離問(wèn)題時(shí)，

注意在解題中利用兩者之間的相互轉(zhuǎn)化.2.拋物線定義的應(yīng)用規(guī)律[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]1.（2022·山東模擬）已知

P

為拋物線

y

2＝4

x

上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

Q

為圓（

x

＋2）2＋（

y

－4）2＝1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)

P

到點(diǎn)

Q

的距離與點(diǎn)

P

到拋

物線的準(zhǔn)線的距離之和的最小值是（

C

）A.6B.5C.4D.3C

A.[1，2]B.[1，＋∞）C3.如圖，過(guò)拋物線

y

2＝2

px

（

p

＞0）的焦點(diǎn)

F

的直線交拋物線于

A

，

B

兩點(diǎn)，交準(zhǔn)線

l

于點(diǎn)

C

.

若｜

BC

｜＝2｜

BF

｜，且｜

AF

｜＝3，則此拋

物線的方程為

?.y

2＝3

x

考點(diǎn)二

拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2若頂點(diǎn)在原點(diǎn)且以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸的拋物線過(guò)點(diǎn)（－2，3），則

它的方程為（

A

）A

A.

y

2＝6

x

B.

y

2＝2

x

C.

y

2＝

x

D.

y

2＝4

x

A[拓展探究]總結(jié)提煉

求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法（1）

先定位：根據(jù)焦點(diǎn)或準(zhǔn)線的位置.（2）

再定形：根據(jù)條件求

p

.考點(diǎn)三

拋物線的性質(zhì)考向1

焦半徑和焦點(diǎn)弦例3（1）

（2023·南通海安模考）設(shè)過(guò)拋物線

C

：

y

2＝

x

的焦點(diǎn)的直

線交拋物線

C

于

A

，

B

兩點(diǎn)（點(diǎn)

A

在

x

軸上方），過(guò)拋物線

C

的頂點(diǎn)和點(diǎn)

A

的直線交拋物線

C

的準(zhǔn)線于點(diǎn)

D

.

若點(diǎn)

A

，

D

的縱坐標(biāo)之比為－4，則

直線

AB

的斜率為（

C

）C

（2）

已知拋物線

y

2＝4

x

的焦點(diǎn)為

F

，過(guò)點(diǎn)（2，0）的直線

l

交拋物線

于

M

，

N

兩點(diǎn).若｜

MF

｜＋｜

NF

｜＝10，則｜

MN

｜等于（

C

）A.14D.12C2.（多選）拋物線

C

：

y

2＝2

px

（

p

＞0）的焦點(diǎn)是

F

，直線

m

與

C

相交

于不同的兩點(diǎn)

A

，

B

，

M

是線段

AB

的中點(diǎn)，

O

是坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說(shuō)

法正確的是（

ABD

）A.過(guò)點(diǎn)（0，

p

）可作3條與拋物線

C

只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線C.若直線

m

經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)

F

，且｜

AF

｜＋4｜

BF

｜的最小值是9，則

p

＝3ABD[拓展探究]總結(jié)提煉

拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧（1）

利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點(diǎn)、準(zhǔn)線時(shí)，關(guān)鍵是將拋物線

方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）

要結(jié)合圖形分析，靈活運(yùn)用平面圖形的性質(zhì)簡(jiǎn)化運(yùn)算.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]4.（多選）（2023·全國(guó)專題練習(xí)）設(shè)拋物線

E

：

y

2＝4

x

的焦點(diǎn)為

F

，

A

，

B

是拋物線

E

上不同的兩點(diǎn)，且｜

AF

｜＋｜

BF

｜＝8，則下列說(shuō)法

正確的是（

ABD

）A.線段

AB

的中點(diǎn)到拋物線

E

的準(zhǔn)線的距離為4D.線段

AB

的垂直平分線過(guò)某一定點(diǎn)ABD考向2

與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題例4已知拋物線

y

2＝2

px

（

p

＞0）的焦點(diǎn)為

F

（1，0），則拋物線上

的動(dòng)點(diǎn)

N

到點(diǎn)

M

（3

p

，0）的距離｜

MN

｜的最小值為（

C

）A.4B.6C

總結(jié)提煉

解與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題，可通過(guò)兩點(diǎn)間的距離公式或者點(diǎn)到

直線的距離公式建立目標(biāo)函數(shù)，再用求函數(shù)最值的方法求解.解題的關(guān)

鍵是根據(jù)所給拋物線方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo).[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]5.已知

P

（2，4）是拋物線

C

：

y

2＝2

px

（

p

＞0）上一點(diǎn)，過(guò)拋物線

C

的焦點(diǎn)

F

的直線

l

與拋物線

C

交于

A

，

B

兩點(diǎn)，則｜

AF

｜＋9｜

BF

｜的

最小值為（

D

）A.24B.28C.30D.32D

1.（2023·北京卷）已知拋物線

C

：

y

2＝8

x

的焦點(diǎn)為

F

，點(diǎn)

M

在拋物線

C

上.若點(diǎn)

M

到直線

x

＝－3的距離為5，則｜

MF

｜等于（

D

）A.7B.6C.5D.4解：因?yàn)閽佄锞€

C

：

y