2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí) 球的接、切、截問題

2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)球的接、切、截問題01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時(shí)目標(biāo)】了解有關(guān)球與其他組合體的接、切、截的背景；掌握與

球有關(guān)的接、切、截問題的處理方法.【考情概述】空間幾何體的外接球、內(nèi)切球、截面等問題是新高考考

查內(nèi)容之一，常以選擇題、填空題的形式進(jìn)行考查，難度略大，屬于高

頻考點(diǎn)，也是新高考的熱點(diǎn)問題.

知識梳理1.球的截面（1）

球的截面都是

?.（2）

球心與截面圓心的連線

于截面.（3）

記球的半徑為

R

，截面圓的半徑為

r

，球心到截面的距離為

d

，

則

?.圓垂直R

2＝

r

2＋

d

2

2.空間幾何體的外接球（1）

幾何體的外接球的球心到各頂點(diǎn)的距離

.

（2）

幾何體的外接球的球心與底面外接圓的圓心的連線

?

于底面，即外接球的球心落在垂直于底面且過底面外接圓圓心

的

上.3.空間幾何體的內(nèi)切球（1）

內(nèi)切球：球在幾何體內(nèi)部，與其所有側(cè)面

.

（2）

求內(nèi)切球半徑常用

法.相等垂直直線相切體積分割常用結(jié)論1.記正方體的棱長為

a

，球的半徑為

R

.

（1）

若球?yàn)檎襟w的外接球，則2

R

＝

?；（2）

若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2

R

＝

?；（3）

若球與正方體的各棱相切，則2

R

＝

.

a

2.記正四面體的棱長為

a

，則（1）

正四面體的外接球的半徑

R

＝

?；（2）

正四面體的內(nèi)切球的半徑

r

＝

?；（3）

R

∶

r

＝

?.

3∶1

回歸課本1.判斷：（1）

（RA二P111定義改編）畫球的直觀圖，一般需要畫出球的輪廓

線，它是一個(gè)圓.同時(shí)還經(jīng)常畫出經(jīng)過球心的截面圓，它們的直觀圖是

橢圓.

（

√

）（2）

（RA二P118定義改編）對于多面體，若有內(nèi)切球，則球心到切點(diǎn)

的距離相等且為半徑；若有外接球，則球心到所有頂點(diǎn)的距離相等且為

半徑.

（

√

）√√

√√2.（RA二P120習(xí)題8.3第5題改編）棱長為

a

的正方體的頂點(diǎn)都在球面

上，則球的體積為（

A

）3.（RA二P119例4改編）若圓柱的底面直徑和高都等于球的直徑，則球

與圓柱的體積之比是（

D

）AD4.（多選）（RA二P118定義改編）已知球的半徑為2，則下列關(guān)于球的

說法正確的是（

ACD

）A.若球的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則它的體積變?yōu)?88πB.球的內(nèi)接長方體的表面積為定值C.用一個(gè)平面截球，所得的最大圓的面積為4πACD5.（RA二P119練習(xí)第4題改編）在封閉的直三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1內(nèi)有

一個(gè)體積為

V

的球.若

AB

⊥

BC

，

AB

＝6，

BC

＝8，

AA

1＝3，則

V

的最

大值為

?.

A.2πB.4πC.6πD.8πC解：本題可采用補(bǔ)形法，考慮到四面體

A

－

BCD

的對棱相等，所以將

四面體放入一個(gè)長、寬、高分別為

x

，

y

，

z

的長方體中，并且

x

2＋

y

2

＝3，

x

2＋

z

2＝5，

y

2＋

z

2＝4.設(shè)四面體

A

－

BCD

的外接球的半徑為

R

，

即長方體的外接球的半徑為

R

，所以（2

R

）2＝

x

2＋

y

2＋

z

2＝6，即4

R

2

＝6.所以四面體

A

－

BCD

的外接球的表面積為4π

R

2＝6π.（2）

已知∠

ABC

＝90°，

PA

⊥平面

ABC

.

若

PA

＝

AB

＝

BC

＝1，則四

面體

P

－

ABC

外接球的體積為（

D

）A.πC.2πD

（3）

在矩形

ABCD

中，

BC

＝4，

M

為

BC

的中點(diǎn)，將△

ABM

和△

DCM

分別沿

AM

，

DM

翻折，使點(diǎn)

B

與點(diǎn)

C

重合于點(diǎn)

P

.

若∠

APD

＝150°，

則三棱錐

M

－

PAD

的外接球的表面積為（

C

）A.12πB.34πC.68πD.126πC總結(jié)提煉

空間幾何體外接球問題的處理關(guān)鍵是確定球心及半徑，常見的求解方

法有如下幾種：（1）

涉及球與棱柱、棱錐的切、接問題時(shí)，一般過球心及多面體的特殊點(diǎn)（一般為接、切點(diǎn)）或線作截面，把空間

問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解.（2）

若球面上四點(diǎn)

P

，

A

，

B

，

C

構(gòu)成的三條線段

PA

，

PB

，

PC

兩兩

垂直，且

PA

＝

a

，

PB

＝

b

，

PC

＝

c

，一般把有關(guān)元素“補(bǔ)形”成為一

個(gè)球內(nèi)接長方體，根據(jù)4

R

2＝

a

2＋

b

2＋

c

2求解.（3）

利用平面幾何知識尋找?guī)缀误w中元素間的關(guān)系，或只畫內(nèi)切、

外接的幾何體的直觀圖，確定球心的位置，弄清球的半徑（直徑）與

該幾何體已知量的關(guān)系，列方程（組）求解.[對點(diǎn)訓(xùn)練]（2023·長春一模）如圖，兩個(gè)全等的矩形

ABCD

與

ABEF

所在的平面互

相垂直，

AB

＝2，

BC

＝1，

P

為線段

CD

上的動點(diǎn)，則三棱錐

P

－

ABE

的外接球體積的最小值為（

C

）C

1.已知底面邊長為

a

的正三棱柱

ABC

－

A

1

B

1

C

1的六個(gè)頂點(diǎn)都在球

O

1

上，又知球

O

2與此正三棱柱的5個(gè)面都相切，分別求出球

O

1與球

O

2的

表面積之比與體積之比.[拓展探究]

考點(diǎn)三

球的截面、截線問題例3球

O

與棱長為2的正方體

ABCD

－

A

1

B

1

C

1

D

1的各個(gè)面都相切，

M

為棱

DD

1的中點(diǎn)，則平面

ACM

截球

O

所得截面的面積為（

D

）B.πD

總結(jié)提煉

與球截面有關(guān)的解題策略（1）

定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為半徑；如

果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑.（2）

作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面，達(dá)到空間問題平面化的目的.

[拓展探究]

對接高考（2023·