2023-2024學(xué)年天水市高一數(shù)學(xué)（下）第二次月考試卷附答案解析

-2024學(xué)年天水市高一數(shù)學(xué)（下）第二次月考試卷（滿分：150分時(shí)間：120分鐘）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（

）A． B．1 C． D．2．已知、表示兩條不同的直線，表示平面，則下面四個(gè)命題正確的是（

）①若，，則；

②若，，則；③若，，則；

④若，，則．A．①② B．②③ C．①③ D．③④3．若圓錐的高為，底面半徑為，則此圓錐的表面積為（

）A． B． C． D．4．如圖正方體或正四面體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點(diǎn)，這四個(gè)點(diǎn)不共面的一個(gè)圖是（

）A．B． C． D．5．如圖所示，一個(gè)水平放置的四邊形OABC的斜二測(cè)畫法的直觀圖是邊長(zhǎng)為2的正方形，則原四邊形的面積是（

）A． B． C．16 D．86．已知，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．7．如圖，在正三棱柱中，，則與平面所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知，，，是平面上的4個(gè)定點(diǎn)，，，不共線，若點(diǎn)滿足，其中，則點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（

）A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．垂心二、多選題：本題3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說法正確的是（

）A．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形B．長(zhǎng)方體是正四棱柱C．底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D．圓柱的所有母線長(zhǎng)都相等10．在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，且，則（

）A． B．角的取值范圍是C．的取值范圍是 D．的取值范圍是11．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，動(dòng)點(diǎn)在線段上，分別是的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，C．三棱錐的體積為定值 D．直線到平面的距離為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．如圖，某貨輪在A處看燈塔B在貨輪的北偏東，距離為海里，貨輪由A處向正北航行到D處時(shí)，再看燈塔B在北偏東，則A與D間的距離為海里．13．如圖，長(zhǎng)方體的棱和的中點(diǎn)分別為，，，，，則異面直線與所成角的正切值為.14．已知點(diǎn)是的外心，，設(shè)，且實(shí)數(shù)，滿足，則的值是.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．已知平面向量，，，且，．(1)求和；(2)若，，求向量和向量的夾角的大?。?6．已知，.(1)求的值；(2)若，，求的值.17．如圖，已知四棱錐的底面是正方形，點(diǎn)E是棱PA的中點(diǎn)，平面ABCD．

(1)求證：平面BDE；(2)求證：平面平面BDE；18．已知長(zhǎng)方體，，分別為和的中點(diǎn)，．(1)求三棱錐體積；(2)求證：平面平面．19．如圖所示，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，，，．(1)求證：；(2)求二面角的余弦值．1．B【分析】利用除法運(yùn)算求出，根據(jù)復(fù)數(shù)的概念可得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所以的虛部?.故選：B2．D【分析】借助長(zhǎng)方體模型考察直線是否可在平面內(nèi)，可判斷①②；在平面內(nèi)取兩條相交直線m，n，根據(jù)線面垂直判定定理可判斷③；利用線面平行的性質(zhì)定理和異面直線夾角定義可判斷④.【詳解】長(zhǎng)方體中，平面為平面，直線BC為直線b，如圖，當(dāng)直線AD為直線a時(shí)，滿足，，而，①不正確；當(dāng)直線為直線a時(shí)，滿足，，而，②不正確；在平面內(nèi)取兩條相交直線m，n，如圖，因，則，而，則，又，m，n是相交直線，∴，③正確；因，過直線b作平面，如圖，則有，又，，于是得，從而得，④正確，∴給定命題正確的是③④.故選：D.3．B【分析】根據(jù)圓錐的高和底面半徑求出母線長(zhǎng)，分別求出圓錐側(cè)面積和底面積，加和得到結(jié)果.【詳解】由題意可得圓錐的母線長(zhǎng)為：圓錐側(cè)面積為：；底面積為：圓錐表面積為：本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查圓錐表面積的求解，關(guān)鍵是熟練掌握?qǐng)A錐側(cè)面積公式，屬于基礎(chǔ)題.4．D【分析】利用異面直線的判定方法可得正確的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，分別連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又，所以，所以四點(diǎn)共面，A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，如圖過可作一個(gè)正六邊形，故四點(diǎn)共面，B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，分別連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以，，所以四點(diǎn)共面，C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，因?yàn)槠矫?，平面，，所以與為異面直線，所以四點(diǎn)不共面，D正確；故選：D．5．B【分析】根據(jù)斜二測(cè)畫法規(guī)則求出，判斷的形狀，確定，由此求出原四邊形的面積.【詳解】在正方形中可得，由斜二測(cè)畫法可知，，且，，所以四邊形為平行四邊形，所以．故選：B.6．D【分析】首先根據(jù)向量數(shù)量積公式，求，再代入投影向量公式，即可求解.【詳解】，由，得，所以向量在上的投影向量為.故選：D7．A【分析】利用線面角的定義，結(jié)合線面垂直的判定定理求得為與平面所成角，再利用勾股定理即可得解.【詳解】取中點(diǎn)，連接，如圖，在正三棱柱中，是正三角形，，底面底面，，又平面，平面，為與平面所成角，平面平面，，由題意，，在中，.故選：A.8．A【分析】取線段的中點(diǎn)，則，依題可得，即可得答案.【詳解】取線段的中點(diǎn)，則.動(dòng)點(diǎn)滿足：，，則，即，所以，又，所以三點(diǎn)共線，即點(diǎn)的軌跡是直線，一定通過的重心.故選：A.9．AD【分析】根據(jù)棱柱、正棱柱、正棱錐和圓柱的定義，逐項(xiàng)判定，即可求解.【詳解】由棱柱定義可得棱柱的側(cè)面都是平行四邊形，所以A正確；當(dāng)長(zhǎng)方體底面的長(zhǎng)寬高互不相等時(shí)，該長(zhǎng)方體不是正四棱柱，所以B錯(cuò)誤；底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心的棱錐是正棱錐，所以C錯(cuò)誤；根據(jù)圓柱的定義，可得圓柱的所有母線長(zhǎng)都相等，所以D正確.故選：AD.10．AD【分析】由正弦定理統(tǒng)一為角可判斷A，由銳角三角形確定角的取值范圍，由正弦定理化為三角函數(shù)求取值范圍判斷BD，由確定A的取值范圍即可判斷C.【詳解】因?yàn)?，所以，，，則，所以或．因?yàn)?，所以，所以，則，故A正確；因?yàn)?，所以．因?yàn)槭卿J角三角形，所以，即，解得，所以，則，故B錯(cuò)誤，D正確；因?yàn)?，所以，所以，則C錯(cuò)誤．故選：AD11．ABC【分析】根據(jù)平行四邊形，即可求解A，根據(jù)等腰三角形以及中點(diǎn)即可求證，即可求解B，根據(jù)體積公式即可求解C，根據(jù)面面平行，即可結(jié)合等體積公式即可求解D.【詳解】連接，正方體中，且，四邊形為平行四邊形，則，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，故正確;連接，正方體中，．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，由于,所以，由于，所以，故正確;，在三棱錐中，底面積為定值，棱錐的高等于是定值，三棱錐的體積為定值，則三棱錐體積為定值，故正確;連接由于平面，平面,所以平面，同理可證平面，平面，故平面平面，平面,所以直線平面平行，故直線到平面的距離，即為點(diǎn)到平面的距離，設(shè)距離為，,故D錯(cuò)誤．故選：ABC．12．24【分析】直接由正弦定理求解即可.【詳解】在中，，，所以，所以海里.故答案為：24.13．【分析】取的中點(diǎn)，連接，，則或其補(bǔ)角即為異面直線與所成角，在中計(jì)算即可求解.【詳解】如圖：取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，且，所以或其補(bǔ)角即為異面直線與所成角，，在中，，所以異面直線與所成角的正切值為，故答案為：.14．0【分析】將已知條件轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合可得，.【詳解】將兩端分別與、作內(nèi)積，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義可得：，又，即有，解得.又，聯(lián)立可得，，所以.故答案為：0.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是：將已知條件兩端分別與、作內(nèi)積，轉(zhuǎn)化為.15．(1)，；(2)．【分析】（1）由列方程可求出，再由列方程可求出，從而可求出和；（2）先求出向量和向量的坐標(biāo)，再利用向量的夾角公式求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，解得，因?yàn)椋?，解得，故，；?），，設(shè)向量和向量的夾角為，則，因?yàn)?，所以，即向量和向量的夾角的大小為．16．(1)(2)【分析】（1）由題意先求，然后寫出的展開式計(jì)算即可;（2）根據(jù)題意，先求的取值范圍和值，然后用求的值.【詳解】（1）由，，，可得，所以.（2）由，，可得，故.從而由，可得.17．(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）設(shè)AC交BD于M，連接ME，則利用三角形的中位線定理得，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）由已知得，，則由線面垂直的判定定理可得平面PAC，再利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論.【詳解】（1）證明：設(shè)AC交BD于M，連接ME．因?yàn)锳BCD為正方形，所以M為AC中點(diǎn)，又因?yàn)镋為PA的中點(diǎn)，所以ME為△PAC的中位線，所以，又因?yàn)槠矫鍮DE，平面BDE，所以平面BDE．（2）證明：因?yàn)锳BCD為正方形，所以，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，又，又PA，平面PAC，所以平面PAC．因?yàn)槠矫鍮DE，所以平面平面BDE．

18．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由平面，可得結(jié)合題干條件，即得解；（2）先證明平面，平面，結(jié)合面面平行的判斷定理，即得證【詳解】（1）由題意可知：平面，，為的中點(diǎn)，，，，；（2）∵ABCD-A1B1C1D1是長(zhǎng)方體∴AD//BC且AD=BC∵點(diǎn)E、F分別為CC1和BB1的中點(diǎn)∴EF//BC且EF=BC∴AD//EF且AD=EF∴四邊形ADEF是平行四邊形∴AF//DE∵平面，平面∴平面又，分別是線段，的中點(diǎn)平面，平面平面又平面平面．19．(1)證明見解析；(2).【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)可得，由面面垂直的性質(zhì)定理可得底面，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可求證；（2）證明兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，由空間向