備戰(zhàn)2024高考二輪復(fù)習講義第2講 函數(shù)與方程思想在解析幾何中（解答）的應(yīng)用

第2講函數(shù)與方程思想在解析幾何中（解答）的應(yīng)用函數(shù)的思想就是運用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)。運用函數(shù)的圖像性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題，測試問題，獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用函數(shù)知識。或函數(shù)觀點觀察分析解決問題。方程思想是高中數(shù)學重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構(gòu)造方程來分析數(shù)學變量問的等量關(guān)系，通過解方程（組），或運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決。孰練運用方程思想解決數(shù)學問題是高中階段重要的數(shù)學能力之一，也是歷年高考的重點。函數(shù)與方程思想，簡單的說，就是學會用函數(shù)和變量來思考，學會轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系。對函數(shù)和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函數(shù)和方程思想指導解題？一般情況下，凡是涉及到未知數(shù)，未知數(shù)問題都可以都可能用到函數(shù)與方程的思想。函數(shù)與方程思想方法的考察一直是高考的重點內(nèi)容之一。也是圓錐曲線中體現(xiàn)最多的一種思想方法。無論是選填還是解答題都是必考查的問題【應(yīng)用一】方程思想在研究圓錐曲線中的應(yīng)用一、橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程x2a2+y2y2a2+x2圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a;-b≤y≤b-b≤x≤b;-a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點坐標A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;

短軸B1B2的長為2b

焦距|F1F2|=2c

離心率e=ca∈a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2

二、拋物線的定義拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)

對稱軸直線y=0直線x=0焦點Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2離心率e=1準線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦半徑(其P(x0,y0))|PF|=x0+p|PF|=-x0+p|PF|=y0+p|PF|=-y0+p（1）雙曲線點集:.（2）橢圓點集.（3）等軸雙曲線（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；（4）雙曲線與漸近線的關(guān)系①若雙曲線方程為漸近線方程：②若雙曲線方程為（，）漸近線方程：③若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，④若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）【例1.1】【2022年新高考1卷】已知點A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2a2?1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【思維提升】橢圓、雙曲線中涉及的基本量為a,b,c;拋物線中涉及到p等基本量。解析幾何中經(jīng)?？疾榍髨A錐曲線的面積、方程以及與此有關(guān)的含參問題。解決此類問題就是建立根據(jù)題目所給的條件分別建立方程或者方程組。由方程組解出參數(shù)?！咀兪?.1】（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知P為拋物線E：上任意一點，過點P作軸，垂足為O，點在拋物線上方（如圖所示），且的最小值為9．(1)求E的方程；(2)若直線與拋物線E相交于不同的兩點A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點N，且為等邊三角形，求m的值．【變式1.2】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知點在雙曲線的漸近線上，點在上，直線交于B，C兩點，直線AB與直線AC的斜率之和為0．(1)求直線的斜率；(2)若M為雙曲線E上任意一點，過點M作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于點P，Q，求△MPQ的面積．【變式1.3】【2020年新課標2卷文科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個頂點到C2的準線距離之和為12，求C1與C2的標準方程．【應(yīng)用二】函數(shù)與方程思想在解析幾何中定點的應(yīng)用解析幾何中的定點、定值問題一直是高考的熱點問題，在最近幾年高考及模擬題中是考查的熱點。這種題型引起重視。【例2.1】【2020年新高考1卷（山東卷）】已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．【思維提升】求解直線過定點問題常用的方法：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；(3)求證直線過定點(x0，y0)，常利用直線的點斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y(tǒng)＝kx＋b來證明．【變式2.1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點為，過左焦點的直線與交于兩點.當軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點.【變式2.2】（2022·江蘇海安·高三期末）已知雙曲線：的兩條漸近線互相垂直，且過點．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)為雙曲線的左頂點，直線過坐標原點且斜率不為，與雙曲線交于，兩點，直線過軸上一點（異于點），且與直線的傾斜角互補，與直線，分別交于（不在坐標軸上）兩點，若直線，的斜率之積為定值，求點的坐標．【變式2.3】（2022·廣東·鐵一中學高三期末）已知橢圓過點，且該橢圓的一個短軸端點與兩焦點，為等腰直角三角形的三個頂點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點且與橢圓相交于，兩點.若直線與直線的斜率之積為1，證明：直線過定點.【應(yīng)用三】函數(shù)與方程思想在解析幾何中研究最值的應(yīng)用解析幾何中的最值問題主要涉及到三角形或者多邊形的面積、斜率、周長等最值問題，解決問題的關(guān)鍵是建立關(guān)于它們的目標函數(shù)，然后運用基本不等式或者函數(shù)有關(guān)的問題，運用基本不等式或者函數(shù)求解。【例3.1】（2023年高考真題全國甲卷·理科）已知直線與拋物線交于兩點，且．(1)求；(2)設(shè)C的焦點為F，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．【思維提升】圓錐曲線中的最值問題的解決方法：一是幾何法，用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．【變式3.1】【2021年乙卷文科】已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【變式3.2】．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓E的標準方程：(2)過橢圓E的左焦點作直線l與橢圓E相交于A，B兩點（點A在x軸上方），過點A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求的最大值．【變式3.3】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知圓，定點是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點.(1)求的軌跡的方程；(2)若過的直線分別交軌跡與和，且直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍.【應(yīng)用四】函數(shù)與方程思想在解析幾何中研究探索性問題的應(yīng)用解析幾何中的探索性問題是圓錐曲線中常見題型，是近幾年高考與模擬的熱點問題，要注意這種題型的解法與技巧。圓錐曲線中的探索性問題在高考中多以解答題的形式呈現(xiàn),常用假設(shè)存在法求解,其解題要點如下:【例4.1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知橢圓.(1)若為橢圓上一定點，證明：直線與橢圓相切；(2)若為橢圓外一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，直線分別交直線于兩點，且的面積為8.問：在軸是否存在兩個定點，使得為定值.若存在，求的坐標；若不存在，說明理由.【思維提升】（1）存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．解題時可先假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在；（2）由于解析幾何問題的解答中一般要涉及到大量的計算，因此在解題時要注意運算的合理性和正確性．【變式4.1】（2023·江蘇泰州·泰州中學校考一模）已知橢圓的左右焦點分別為，，離心率是，P為橢圓上的動點.當取最大值時，的面積是（1）求橢圓的方程：（2）若動直線l與橢圓E交于A，B兩點，且恒有，是否存在一個以原點O為圓心的定圓C，使得動直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請說明理由【變式4.2】（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）如圖，動雙曲線的一個焦點為，另一個焦點為，若該動雙曲線的兩支分別經(jīng)過點.(1)求動點的軌跡方程；(2)斜率存在且不為零的直線過點，交（1）中點的軌跡于兩點，直線與軸交于點，是直線上異于的一點，且滿足.試探究是否存在確定的值，使得直線恒過線段的中點，若存在，求出值，若不存在，請說明理由.【變式4.3】（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點為，分別為上兩個不同的動點，為坐標原點，當為等邊三角形時，.(1)求的標準方程；(2)拋物線在第一象限的部分是否存在點，使得點滿足，且點到直線的距離為2？若存在，求出點的坐標及直線的方程；若不存在，請說明理由.鞏固練習1、【2020年新課標2卷理科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.2、【2020年新課標3卷理科】已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．3、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學?？家荒＃┮阎p曲線的實軸長為4，左?右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.當軸時，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.4、（2023·吉林·統(tǒng)考三模）已知點，動點M在直線上，過點M且垂直于x軸的直線與線段的垂直平分線交于點P，記點P的軌跡為曲線C．(1)求曲線C的方程；(2)已知圓的一條直徑為，延長分別交曲線C于兩點，求四邊形面積的最小值．5、（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考三模）已知，是雙曲線的左?右頂點，為雙曲線上與，不重合的點.(1)設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：是定值；(2)設(shè)直線與直線交于點，與軸交于點，點滿足，直線與雙曲線交于點（與，，不重合）.判斷直線是否過定點，若直線過定點，求出該定點坐標；若直線不過定點，請說明理由.6、（2023·重慶·統(tǒng)考三模）已知橢圓的上、下頂點分別為，左頂點為，是面積為的正三角形．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓外一點的直線交橢圓于兩點，已知點與點關(guān)于軸對稱，點與點關(guān)于軸對稱，直線與交于點，若是鈍角，求的取值范圍．7、（2023·湖南永州·統(tǒng)考三模）已知橢圓：，其右焦點為，過點的直線與橢圓交于，兩點，與軸交于點，，.(1)求證：為定值.(2)若點不在橢圓的內(nèi)部，點是點關(guān)于原點的對稱點，試求面積的最小值.8、（2023·河北石家莊·統(tǒng)考三模）已知為拋物線上不同兩點，為坐標原點，，過作于，且點.(1)求直線的方程及拋物線的方程；(2)若直線與直線關(guān)于原點對稱，為拋物線上一動點，求到直線的距離最短時，點的坐標.第2講函數(shù)與方程思想在解析幾何中（解答）的應(yīng)用函數(shù)的思想就是運用運動和變化的觀點，分析和研究數(shù)學中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)。運用函數(shù)的圖像性質(zhì)去分析問題，轉(zhuǎn)化問題，測試問題，獲得解決。函數(shù)思想是對函數(shù)概念本質(zhì)認識，用于指導解題就是善于利用函數(shù)知識?；蚝瘮?shù)觀點觀察分析解決問題。方程思想是高中數(shù)學重要的思想方法之一，方程的思想是建立方程（組）、或構(gòu)造方程來分析數(shù)學變量問的等量關(guān)系，通過解方程（組），或運用方程的性質(zhì)去分析、轉(zhuǎn)化問題，使問題得以解決。孰練運用方程思想解決數(shù)學問題是高中階段重要的數(shù)學能力之一，也是歷年高考的重點。函數(shù)與方程思想，簡單的說，就是學會用函數(shù)和變量來思考，學會轉(zhuǎn)化已知與未知的關(guān)系。對函數(shù)和方程思想的考察，主要是考察。能不能用函數(shù)和方程思想指導解題？一般情況下，凡是涉及到未知數(shù)，未知數(shù)問題都可以都可能用到函數(shù)與方程的思想。函數(shù)與方程思想方法的考察一直是高考的重點內(nèi)容之一。也是圓錐曲線中體現(xiàn)最多的一種思想方法。無論是選填還是解答題都是必考查的問題【應(yīng)用一】方程思想在研究圓錐曲線中的應(yīng)用一、橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程x2a2+y2y2a2+x2圖形性質(zhì)范圍-a≤x≤a;-b≤y≤b-b≤x≤b;-a≤y≤a對稱性對稱軸:坐標軸;對稱中心:原點頂點坐標A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)軸長軸A1A2的長為2a;

短軸B1B2的長為2b

焦距|F1F2|=2c

離心率e=ca∈a,b,c的關(guān)系a2=b2+c2

二、拋物線的定義拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)標準方程y2=2px(p>0)y2=-2px(p>0)x2=2py(p>0)x2=-2py(p>0)p的幾何意義:焦點F到準線l的距離圖形頂點O(0,0)

對稱軸直線y=0直線x=0焦點Fp2,0F-p2,0F0,p2F0,-p2離心率e=1準線方程x=-px=py=-py=p范圍x≥0,y∈Rx≤0,y∈Ry≥0,x∈Ry≤0,x∈R焦半徑(其P(x0,y0))|PF|=x0+p|PF|=-x0+p|PF|=y0+p|PF|=-y0+p（1）雙曲線點集:.（2）橢圓點集.（3）等軸雙曲線（，）當時稱雙曲線為等軸雙曲線①；②離心率；③兩漸近線互相垂直，分別為；④等軸雙曲線的方程，；（4）雙曲線與漸近線的關(guān)系①若雙曲線方程為漸近線方程：②若雙曲線方程為（，）漸近線方程：③若漸近線方程為，則雙曲線方程可設(shè)為，④若雙曲線與有公共漸近線，則雙曲線的方程可設(shè)為（，焦點在軸上，，焦點在軸上）【例1.1】【2022年新高考1卷】已知點A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y2a2?1=1(a>1)(1)求l的斜率；(2)若tan∠PAQ=22，求【答案】(1)?1；(2)162【解析】【分析】（1）由點A(2,1)在雙曲線上可求出a，易知直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，Px1,y1（2）根據(jù)直線AP,AQ的斜率之和為0可知直線AP,AQ的傾斜角互補，再根據(jù)tan∠PAQ=22即可求出直線AP,AQ的斜率，再分別聯(lián)立直線AP,AQ與雙曲線方程求出點P,Q的坐標，即可得到直線PQ的方程以及PQ的長，由點到直線的距離公式求出點A到直線PQ的距離，即可得出(1)因為點A(2,1)在雙曲線C:x2a2?y易知直線l的斜率存在，設(shè)l:y=kx+m，Px聯(lián)立y=kx+mx22所以，x1+x所以由kAP+k即x1即2kx所以2k×2化簡得，8k2+4k?4+4m所以k=?1或m=1?2k，當m=1?2k時，直線l:y=kx+m=kx?2+1過點故k=?1．(2)不妨設(shè)直線PA,PB的傾斜角為α,βα<β，因為kAP+因為tan∠PAQ=22，所以tanβ?α即2tan2α?于是，直線PA:y=2x?2+1聯(lián)立y=2x?2+1因為方程有一個根為2，所以xP=10?423同理可得，xQ=10+423所以PQ:x+y?53=0點A到直線PQ的距離d=2+1?故△PAQ的面積為12【思維提升】橢圓、雙曲線中涉及的基本量為a,b,c;拋物線中涉及到p等基本量。解析幾何中經(jīng)?？疾榍髨A錐曲線的面積、方程以及與此有關(guān)的含參問題。解決此類問題就是建立根據(jù)題目所給的條件分別建立方程或者方程組。由方程組解出參數(shù)。【變式1.1】（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知P為拋物線E：上任意一點，過點P作軸，垂足為O，點在拋物線上方（如圖所示），且的最小值為9．(1)求E的方程；(2)若直線與拋物線E相交于不同的兩點A，B，線段AB的垂直平分線交x軸于點N，且為等邊三角形，求m的值．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)拋物線的性質(zhì)得出，即，根據(jù)當且僅當點C，P，F(xiàn)三點共線時，取得最小值，根據(jù)得出，即可解出答案；（2）聯(lián)立，根據(jù)韋達定理得出，，即可得出中點，即可得出直線MN的方程為：，由為等邊三角形，則，代入化簡即可求出答案.【詳解】（1）拋物線E：的焦點，準線方程為，所以，故，又因為的最小值為9，所的最小值為，當且僅當點C，P，F(xiàn)三點共線時，取得最小值，此時，解得，故拋物線E的方程為；（2）聯(lián)立，消去x得，直線與拋物線E相交于不同的兩點A，B，，得，設(shè)，，則有，，所以，設(shè)線段AB的中點，則，，即，直線MN的斜率，直線MN的方程為：，令，得，即，所以，，又因為為等邊三角形，所以，所以，解得，且滿足，故所求m的值為【變式1.2】（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考三模）已知點在雙曲線的漸近線上，點在上，直線交于B，C兩點，直線AB與直線AC的斜率之和為0．(1)求直線的斜率；(2)若M為雙曲線E上任意一點，過點M作雙曲線的兩條漸近線的平行線，分別與兩條漸近線交于點P，Q，求△MPQ的面積．【答案】(1)6(2)4【詳解】（1）如圖，雙曲線的漸近線方程為，代入點的，又點在雙曲線上，即，聯(lián)立解得，故雙曲線的方程為．設(shè)點，，已知直線AB、AC的斜率一定存在，所以設(shè)直線AB的方程為，即，代入雙曲線的方程得，所以，則，所以由直線AB與AC斜率之和為0，可設(shè)AC的方程為：同理可得所以，所以直線l的斜率為6．（2）設(shè)M點坐標為，過M作漸近線的平行線分別為，由（1）知，雙曲線E的漸近線方程為，故可設(shè)的方程分別為，．聯(lián)立解得所以同理可得又由，得，所以，又點M在雙曲線E上，則，所以，即故△MPQ的面積為4．【變式1.3】【2020年新課標2卷文科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|．（1）求C1的離心率；（2）若C1的四個頂點到C2的準線距離之和為12，求C1與C2的標準方程．【答案】（1）；（2）：，：.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出的方程，結(jié)合橢圓和拋物線的對稱性不妨設(shè)在第一象限，運用代入法求出點的縱坐標，根據(jù)，結(jié)合橢圓離心率的公式進行求解即可；（2）由（1）可以得到橢圓的標準方程，確定橢圓的四個頂點坐標，再確定拋物線的準線方程，最后結(jié)合已知進行求解即可；【詳解】解：（1）因為橢圓的右焦點坐標為：,所以拋物線的方程為，其中.不妨設(shè)在第一象限，因為橢圓的方程為：，所以當時，有，因此的縱坐標分別為，；又因為拋物線的方程為，所以當時，有，所以的縱坐標分別為，，故，.由得，即，解得（舍去），.所以的離心率為.（2）由（1）知，，故，所以的四個頂點坐標分別為，，，，的準線為.由已知得，即.所以的標準方程為，的標準方程為.【點睛】本題考查了求橢圓的離心率，考查了求橢圓和拋物線的標準方程，考查了橢圓的四個頂點的坐標以及拋物線的準線方程，考查了數(shù)學運算能力.【應(yīng)用二】函數(shù)與方程思想在解析幾何中定點的應(yīng)用解析幾何中的定點、定值問題一直是高考的熱點問題，在最近幾年高考及模擬題中是考查的熱點。這種題型引起重視?！纠?.1】【2020年新高考1卷（山東卷）】已知橢圓C：的離心率為，且過點．（1）求的方程：（2）點，在上，且，，為垂足．證明：存在定點，使得為定值．【答案】（1）；（2）詳見解析.【解析】【分析】（1）由題意得到關(guān)于的方程組，求解方程組即可確定橢圓方程.（2）方法一：設(shè)出點，的坐標，在斜率存在時設(shè)方程為,聯(lián)立直線方程與橢圓方程，根據(jù)已知條件，已得到的關(guān)系，進而得直線恒過定點，在直線斜率不存在時要單獨驗證，然后結(jié)合直角三角形的性質(zhì)即可確定滿足題意的點的位置.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，故橢圓方程為：.(2)［方法一］：通性通法設(shè)點，若直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程消去并整理得：，可得，，因為，所以，即，根據(jù),代入整理可得：，

所以，整理化簡得，因為不在直線上，所以，故，于是的方程為，所以直線過定點直線過定點.當直線的斜率不存在時，可得，由得：，得，結(jié)合可得：，解得：或（舍）.此時直線過點.令為的中點，即，若與不重合，則由題設(shè)知是的斜邊，故，若與重合，則，故存在點，使得為定值.［方法二］【最優(yōu)解】：平移坐標系將原坐標系平移，原來的O點平移至點A處，則在新的坐標系下橢圓的方程為，設(shè)直線的方程為．將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得，即，化簡得，即．設(shè)，因為則，即．代入直線方程中得．則在新坐標系下直線過定點，則在原坐標系下直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．的中點即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．［方法三］：建立曲線系A(chǔ)點處的切線方程為，即．設(shè)直線的方程為，直線的方程為，直線的方程為．由題意得．則過A，M，N三點的二次曲線系方程用橢圓及直線可表示為（其中為系數(shù)）．用直線及點A處的切線可表示為（其中為系數(shù)）．即．對比項、x項及y項系數(shù)得將①代入②③，消去并化簡得，即．故直線的方程為，直線過定點．又，D在以為直徑的圓上．中點即為圓心Q．經(jīng)檢驗，直線垂直于x軸時也成立．故存在，使得．［方法四］：設(shè)．若直線的斜率不存在，則．因為，則，即．由，解得或（舍）．所以直線的方程為．若直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，則．令，則．又，令，則．因為，所以，即或．當時，直線的方程為．所以直線恒過，不合題意；當時，直線的方程為，所以直線恒過．綜上，直線恒過，所以．又因為，即，所以點D在以線段為直徑的圓上運動．取線段的中點為，則．所以存在定點Q，使得為定值．【整體點評】（2）方法一：設(shè)出直線方程，然后與橢圓方程聯(lián)立，通過題目條件可知直線過定點，再根據(jù)平面幾何知識可知定點即為的中點，該法也是本題的通性通法；方法二：通過坐標系平移，將原來的O點平移至點A處，設(shè)直線的方程為，再通過與橢圓方程聯(lián)立，構(gòu)建齊次式，由韋達定理求出的關(guān)系，從而可知直線過定點，從而可知定點即為的中點，該法是本題的最優(yōu)解；方法三：設(shè)直線，再利用過點的曲線系，根據(jù)比較對應(yīng)項系數(shù)可求出的關(guān)系，從而求出直線過定點，故可知定點即為的中點；方法四：同方法一，只不過中間運算時采用了一元二次方程的零點式賦值，簡化了求解以及的計算．【思維提升】求解直線過定點問題常用的方法：(1)“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；(2)“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點坐標，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個關(guān)于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；(3)求證直線過定點(x0，y0)，常利用直線的點斜式方程y－y0＝k(x－x0)或截距式y(tǒng)＝kx＋b來證明．【變式2.1】（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）已知雙曲線的左頂點為，過左焦點的直線與交于兩點.當軸時，，的面積為3.(1)求的方程；(2)證明：以為直徑的圓經(jīng)過定點.【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）根據(jù)題意，可得，，進而求解；（2）設(shè)方程為，，聯(lián)立直線和雙曲線方程組，可得，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，進而得到，進而求解.【詳解】（1）當軸時，兩點的橫坐標均為，代入雙曲線方程，可得，，即，由題意，可得，解得，，，雙曲線的方程為：；（2）方法一：設(shè)方程為，，以為直徑的圓的方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點，令，可得，而，，對恒成立，，以為直徑的圓經(jīng)過定點；方法二：設(shè)方程為，由對稱性知以為直徑的圓必過軸上的定點.設(shè)以為直徑的圓過，，而，，，即對恒成立，，即以為直徑的圓經(jīng)過定點.【變式2.2】（2022·江蘇海安·高三期末）已知雙曲線：的兩條漸近線互相垂直，且過點．(1)求雙曲線的方程；(2)設(shè)為雙曲線的左頂點，直線過坐標原點且斜率不為，與雙曲線交于，兩點，直線過軸上一點（異于點），且與直線的傾斜角互補，與直線，分別交于（不在坐標軸上）兩點，若直線，的斜率之積為定值，求點的坐標．【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）由題意可得，，解方程求出的值即可求解；（2），設(shè)，，，，直線，的斜率分別為，根據(jù)，，可得利用和所表示的點的坐標，同理可得利用和所表示的點的坐標，將整理為關(guān)于的方程，由對于任意的恒成立列出等價條件即可求解.(1)由可得漸近線方程為：，因為兩條漸近線互相垂直，所以，可得，又因為，解得：，所以雙曲線的方程為.(2)設(shè)，，，，由（1）知：，設(shè)直線，的斜率分別為，因為三點共線，所以，即，因為直線過軸上一點（異于點），且與直線的傾斜角互補，所以，即，所以，由可得，所以，同理可得，因為直線，的斜率之積為定值，設(shè)定值為，則，整理可得：，其中，因為上式對任意的都成立，所以，可得，，所以點的坐標為.【點睛】思路點睛：破解此類解析幾何題的關(guān)鍵：一是“圖形”引路，一般需畫出草圖，把已知條件翻譯到圖形中；二是“轉(zhuǎn)化”搭橋，即利用斜率，聯(lián)立方程等，將問題代數(shù)化，一般運算量較大.【變式2.3】（2022·廣東·鐵一中學高三期末）已知橢圓過點，且該橢圓的一個短軸端點與兩焦點，為等腰直角三角形的三個頂點.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線不經(jīng)過點且與橢圓相交于，兩點.若直線與直線的斜率之積為1，證明：直線過定點.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件寫出的等量關(guān)系式進行求解即可.（2）討論當直線的斜率不存在時不滿足題意，當斜率存在時，設(shè)，，，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，寫出韋達定理，用，坐標表示，將韋達定理代入整理即可得到直線過的定點.【詳解】（1）由橢圓過點得，橢圓的一個短軸端點與兩焦點，為等腰直角三角形的三個頂點，可得，又即，解得，，∴橢圓方程為.（2）證明：①當直線斜率不存在時，設(shè)直線，，，，即，解得或，直線不過點,故(舍)，，舍去，故不滿足.②當直線斜率存在時，設(shè)，，，聯(lián)立，整理得.，，①則，∴，將①代入上式可得，∴，若，，,直線經(jīng)過點與已知矛盾，若，，存在使得成立.∴直線的方程為，故直線過定點.【應(yīng)用三】函數(shù)與方程思想在解析幾何中研究最值的應(yīng)用解析幾何中的最值問題主要涉及到三角形或者多邊形的面積、斜率、周長等最值問題，解決問題的關(guān)鍵是建立關(guān)于它們的目標函數(shù)，然后運用基本不等式或者函數(shù)有關(guān)的問題，運用基本不等式或者函數(shù)求解。【例3.1】（2023年高考真題全國甲卷·理科）已知直線與拋物線交于兩點，且．(1)求；(2)設(shè)C的焦點為F，M，N為C上兩點，，求面積的最小值．【命題意圖】（1）利用直線與拋物線的位置關(guān)系，聯(lián)立直線和拋物線方程求出弦長即可得出；（2）設(shè)直線：，利用，找到的關(guān)系，以及的面積表達式，再結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)即可求出其最小值．難度：偏難【答案】(1)(2)【詳解】（1）設(shè)，由可得，，所以，所以，即，因為，解得：．（2）因為，顯然直線的斜率不可能為零，設(shè)直線：，，由可得，，所以，，，因為，所以，即，亦即，將代入得，，，所以，且，解得或．設(shè)點到直線的距離為，所以，，所以的面積，而或，所以，當時，的面積．【思維提升】圓錐曲線中的最值問題的解決方法：一是幾何法，用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．【變式3.1】【2021年乙卷文科】已知拋物線的焦點F到準線的距離為2．（1）求C的方程;（2）已知O為坐標原點，點P在C上，點Q滿足，求直線斜率的最大值.【答案】（1）；（2）最大值為.【解析】【分析】（1）由拋物線焦點與準線的距離即可得解；（2）設(shè)，由平面向量的知識可得，進而可得，再由斜率公式及基本不等式即可得解.【詳解】（1）拋物線的焦點，準線方程為，由題意，該拋物線焦點到準線的距離為，所以該拋物線的方程為；（2）[方法一]：軌跡方程+基本不等式法設(shè)，則，所以，由在拋物線上可得，即，據(jù)此整理可得點的軌跡方程為，所以直線的斜率，當時，；當時，，當時，因為，此時，當且僅當，即時，等號成立；當時，；綜上，直線的斜率的最大值為.[方法二]：【最優(yōu)解】軌跡方程+數(shù)形結(jié)合法同方法一得到點Q的軌跡方程為．設(shè)直線的方程為，則當直線與拋物線相切時，其斜率k取到最值．聯(lián)立得，其判別式，解得，所以直線斜率的最大值為．[方法三]：軌跡方程+換元求最值法同方法一得點Q的軌跡方程為．設(shè)直線的斜率為k，則．令，則的對稱軸為，所以．故直線斜率的最大值為．[方法四]：參數(shù)+基本不等式法由題可設(shè)．因為，所以．于是，所以則直線的斜率為．當且僅當，即時等號成立，所以直線斜率的最大值為．【整體點評】方法一根據(jù)向量關(guān)系，利用代點法求得Q的軌跡方程，得到直線OQ的斜率關(guān)于的表達式，然后利用分類討論，結(jié)合基本不等式求得最大值；方法二同方法一得到點Q的軌跡方程，然后利用數(shù)形結(jié)合法，利用判別式求得直線OQ的斜率的最大值，為最優(yōu)解；方法三同方法一求得Q的軌跡方程，得到直線的斜率k的平方關(guān)于的表達式，利用換元方法轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求得最大值，進而得到直線斜率的最大值；方法四利用參數(shù)法，由題可設(shè)，求得x,y關(guān)于的參數(shù)表達式，得到直線的斜率關(guān)于的表達式，結(jié)合使用基本不等式，求得直線斜率的最大值.【變式3.2】．（2023·江蘇連云港·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓E：的焦距為，且經(jīng)過點．(1)求橢圓E的標準方程：(2)過橢圓E的左焦點作直線l與橢圓E相交于A，B兩點（點A在x軸上方），過點A，B分別作橢圓的切線，兩切線交于點M，求的最大值．【答案】(1)；(2)2【分析】（1）由待定系數(shù)法求解析式；（2）設(shè)出直線方程，由韋達定理法及導數(shù)法求得兩切線方程，即可聯(lián)立兩切線方程解得交點M，再由弦長公式及兩點距離公式表示出，進而討論最值.【詳解】（1）由題意得，所以，即橢圓方程為；（2）當直線l斜率為0時，A，B分別為橢圓的左右頂點，此時切線平行無交點．故設(shè)直線l：，由，得．，，.不妨設(shè)在x軸上方，則在x軸下方．橢圓在x軸上方對應(yīng)方程為，，則A處切線斜率為，得切線方程為，整理得.同理可得B處的切線方程為．由得，代入①得，所以．因為，所以設(shè)，則，則，當且僅當，即時，的最大值是2．另解：當直線l的斜率存在時，設(shè)l：，由得，所以，，，橢圓在x軸上方的部分方程為，，則過的切線方程為，即，同理可得過的切線方程為.由得設(shè)，則，所以直線l的方程為，所以.，令，則，所以，當時，即時，取得最大值，為2．【變式3.3】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考三模）已知圓，定點是圓上的一動點，線段的垂直平分線交半徑于點.(1)求的軌跡的方程；(2)若過的直線分別交軌跡與和，且直線的斜率之積為，求四邊形面積的取值范圍.【答案】(1)(2)【詳解】（1）因為線段的垂直平分線交半徑與點，所以，所以是定值，，所以點軌跡為橢圓，其長軸為4，焦距為2，所以的軌跡的方程.（2）解法一設(shè).由已知得：直線的方程為；設(shè)，.由已知得：直線的方程為又因為AC、BD斜率之積為，所以，由得，即，所以，.故同理聯(lián)立BD與橢圓方程，可得，所以，故設(shè)分別為點到直線的距離，則.又在直線在異側(cè)，則所以，令易知，所以，所以解法二設(shè)，所以，設(shè)圓心為，因為直線的斜率之積為，所以，設(shè)直線方程，點到的距離為，所以，同理，設(shè)四邊形面積為，則，令，則，所以，所以，設(shè)四邊形面積為S，因為，所以【應(yīng)用四】函數(shù)與方程思想在解析幾何中研究探索性問題的應(yīng)用解析幾何中的探索性問題是圓錐曲線中常見題型，是近幾年高考與模擬的熱點問題，要注意這種題型的解法與技巧。圓錐曲線中的探索性問題在高考中多以解答題的形式呈現(xiàn),常用假設(shè)存在法求解,其解題要點如下:【例4.1】（2023·黑龍江哈爾濱·哈師大附中統(tǒng)考三模）已知橢圓.(1)若為橢圓上一定點，證明：直線與橢圓相切；(2)若為橢圓外一點，過作橢圓的兩條切線，切點分別為，直線分別交直線于兩點，且的面積為8.問：在軸是否存在兩個定點，使得為定值.若存在，求的坐標；若不存在，說明理由.【答案】(1)證明見解析；(2)存在，.【詳解】（1）當時，，直線與橢圓相切，當時，，由消去y并整理得，所以，有所以直線與橢圓相切.（2）設(shè)，則由（1）得：，而二切線過點，則有，因此是方程的兩個解，即直線的方程為：，設(shè)點，由解得，同理：，，，又，解得，，即，整理得，取點的軌跡方程為，此時點的軌跡是焦點為，實軸長為8的雙曲線，所以在軸上存在點，使得||成立.【思維提升】（1）存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化．解題時可先假設(shè)滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在；（2）由于解析幾何問題的解答中一般要涉及到大量的計算，因此在解題時要注意運算的合理性和正確性．【變式4.1】（2023·江蘇泰州·泰州中學?？家荒＃┮阎獧E圓的左右焦點分別為，，離心率是，P為橢圓上的動點.當取最大值時，的面積是（1）求橢圓的方程：（2）若動直線l與橢圓E交于A，B兩點，且恒有，是否存在一個以原點O為圓心的定圓C，使得動直線l始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請說明理由【答案】（1）；（2）存在，【分析】（1）根據(jù)余弦定理和基本不等式確定點P為橢圓短軸端點時，取最大值，再根據(jù)三角形面積及，求得，，，即可得到答案；（2）對直線的斜率分存在和不存在兩種情況討論，當直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，利用向量數(shù)量積的坐標運算及韋達定理可得，即可得到答案；【詳解】（1）依題意可得，設(shè)，由余弦定理可知：，所以，當且僅當（即P為橢圓短軸端點）時等號成立，且取最大值；此時的面積是，同時，聯(lián)立和解得，，，所以橢圓方程為.（2）當直線l斜率不存在時，直線l的方程為，所以，，此時，當直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，，，原點O到直線1的距離為d，所以，整理得，由，可得，，，，，恒成立，即恒成立，所以，所以，所以定圓C的方程是所以當時，存在定圓C始終與直線l相切，其方程是.【變式4.2】（2023·安徽黃山·統(tǒng)考三模）如圖，動雙曲線的一個焦點為，另一個焦點為，若該動雙曲線的兩支分別經(jīng)過點.(1)求動點的軌跡方程；(2)斜率存在且不為零的直線過點，交（1）中點的軌跡于兩點，直線與軸交于點，是直線上異于的一點，且滿足.試探究是否存在確定的值，使得直線恒過線段的中點，若存在，求出值，若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）由題意以及雙曲線定義可得：，

由橢圓的定義可知，點的軌跡是以為焦點，的橢圓（不含短軸端點），其方程為.（2）設(shè)直線的方程為：，，則由，知，所以，令，得

因點在直線上，所以，變形得，代入式化簡得，若直線恒過線段的中點，則有，整理得

由，得，所以

代入整理得，，解得，所以存在，即直線，使得直線恒過線段的中點.【變式4.3】（2023·山西運城·統(tǒng)考三模）已知拋物線的焦點為，分別為上兩個不同的動點，為坐標原點，當為等邊三角形時，.(1)求的標準方程；(2)拋物線在第一象限的部分是否存在點，使得點滿足，且點到直線的距離為2？若存在，求出點的坐標及直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1)(2)存在，點，直線的方程為.【詳解】（1）由對稱性可知當為等邊三角形時，兩點關(guān)于軸對稱，當為等邊三角形時，的高為，由題意知點在上，代入，得，解得，所以的標準方程為.（2）由（1）知，根據(jù)題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，，，，聯(lián)立，得，所以，即，且，，所以，由，得，所以，所以，即，又點在上，所以，即，①所以，解得，又點在第一象限，所以，所以.又點到直線的距離，化簡得，②聯(lián)立①②解得，或（舍去），或（舍去）.此時點，直線的方程為.鞏固練習1、【2020年新課標2卷理科】已知橢圓C1：(a>b>0)的右焦點F與拋物線C2的焦點重合，C1的中心與C2的頂點重合.過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點，交C2于C，D兩點，且|CD|=|AB|.（1）求C1的離心率；（2）設(shè)M是C1與C2的公共點，若|MF|=5，求C1與C2的標準方程.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）求出、，利用可得出關(guān)于、的齊次等式，可解得橢圓的離心率的值；（2）[方法四]由（1）可得出的方程為，聯(lián)立曲線與的方程，求出點的坐標，利用拋物線的定義結(jié)合可求得的值，進而可得出與的標準方程.【詳解】（1），軸且與橢圓相交于、兩點，則直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，拋物線的方程為，聯(lián)立，解得，，，即，，即，即，，解得，因此，橢圓的離心率為；（2）[方法一]：橢圓的第二定義由橢圓的第二定義知，則有，所以，即．又由，得．從而，解得．所以．故橢圓與拋物線的標準方程分別是．[方法二]：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標公式以為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標系．由（Ⅰ）知，又由圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標公式，得，由，得，兩式聯(lián)立解得．故的標準方程為，的標準方程為．[方法三]：參數(shù)方程由（1）知，橢圓的方程為，所以的參數(shù)方程為x=2c?cosθ,y=3將它代入拋物線的方程并化簡得，解得或（舍去），所以，即點M的坐標為．又，所以由拋物線焦半徑公式有，即，解得．故的標準方程為，的標準方程為．[方法四]【最優(yōu)解】：利用韋達定理由（1）知，，橢圓的方程為，聯(lián)立，消去并整理得，解得或（舍去），由拋物線的定義可得，解得.因此，曲線的標準方程為，曲線的標準方程為.【整體點評】(2)方法一：橢圓的第二定義是聯(lián)系準線與離心率的重要工具，涉及離心率的問題不妨考慮使用第二定義，很多時候會使得問題簡單明了.方法二：圓錐曲線統(tǒng)一的極坐標公式充分體現(xiàn)了圓錐曲線的統(tǒng)一特征，同時它也是解決圓錐曲線問題的一個不錯的思考方向.方法三：參數(shù)方程是一種重要的數(shù)學工具，它將圓錐曲線的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題，使得原來抽象的問題更加具體化.方法四：韋達定理是最常用的處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系的方法，聯(lián)立方程之后充分利用韋達定理可以達到設(shè)而不求的效果.2、【2020年新課標3卷理科】已知橢圓的離心率為，，分別為的左、右頂點．（1）求的方程；（2）若點在上，點在直線上，且，，求的面積．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）因為，可得，，根據(jù)離心率公式，結(jié)合已知，即可求得答案；（2）方法一：過點作軸垂線，垂足為，設(shè)與軸交點為，可得，可求得點坐標，從而求出直線的直線方程，根據(jù)點到直線距離公式和兩點距離公式，即可求得的面積.【詳解】（1），，根據(jù)離心率，解得或(舍)，的方程為：，即．（2）［方法一］：通性通法不妨設(shè),在x軸上方，過點作軸垂線，垂足為，設(shè)直線與軸交點為根據(jù)題意畫出圖形，如圖

，，，又，，，根據(jù)三角形全等條件“”，可得：，，，，設(shè)點為，可得點縱坐標為，將其代入，可得：，解得：或，點為或，①當點為時，故，，，可得：點為，畫出圖象，如圖

,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：；②當點為時，故，，，可得：點為，畫出圖象，如圖

,，可求得直線的直線方程為：，根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為，根據(jù)兩點間距離公式可得：，面積為：，綜上所述，面積為：.［方法二］【最優(yōu)解】：由對稱性，不妨設(shè)P，Q在x軸上方，過P作軸，垂足為E．設(shè)，由題知，．故，①因為，如圖，所以，．

②因為，如圖，所以．

綜上有［方法三］：由已知可得，直線的斜率一定存在，設(shè)直線的方程為，由對稱性可設(shè)，聯(lián)立方程消去y得，由韋達定理得，所以，將其代入直線的方程得，所以，則．因為，則直線的方程為，則．因為，所，，即，故或，即或．當時，點P，Q的坐標分別為，直線的方程為，點A到直線的距離為，故的面積為．當時，點P，Q的坐標分別為，直線的方程為，點到直線的距離為，故的面積為．綜上所述，的面積為．［方法四］：由（1）知橢圓的方程為，．不妨設(shè)在x軸上方，如圖．

設(shè)直線．因為，所以．由點P在橢圓上得，所以．由點P在直線上得，所以．所以，化簡得．所以，即．所以，點Q到直線的距離．又．故．即的面積為．［方法五］：由對稱性，不妨設(shè)P，Q在x軸上方，過P作軸，垂足為C，設(shè)，由題知，所以．（1）．則．（其中）．（2）．同理，．（其中）綜上，的面積為．【整體點評】（2）方法一：根據(jù)平面幾何知識可求得點的坐標，從而得出點的坐標以及直線的方程，再根據(jù)距離公式即可求出三角形的面積，是通性通法；方法二：同方法一，最后通過面積分割法求的面積，計算上有簡化，是本題的最優(yōu)解；方法三：通過設(shè)直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，求出點的坐標，再根據(jù)題目等量關(guān)系求出的值，從而得出點的坐標以及直線的方程，最后根據(jù)距離公式即可求出三角形的面積，思想簡單，但運算較繁瑣；方法四：與法三相似，設(shè)直線的方程，通過平面知識求出點的坐標，表示出點，再根據(jù)距離公式即可求出三角形的面積；方法五：同法一，只是在三角形面積公式的選擇上，利用三角形面積的正弦形式結(jié)合平面向量的數(shù)量積算出．3、（2023·江蘇徐州·徐州市第七中學校考一模）已知雙曲線的實軸長為4，左?右頂點分別為，經(jīng)過點的直線與的右支分別交于兩點，其中點在軸上方.當軸時，(1)設(shè)直線的斜率分別為，求的值；(2)若，求的面積.【答案】(1)；(2)【分析】（1）法一：根據(jù)實軸長，求得a