(滬教版2021選擇性必修一)高二數(shù)學(xué)專題訓(xùn)練專題07空間線段點(diǎn)的存在性問題難點(diǎn)專練(原卷版+解析)

專題07空間線段點(diǎn)的存在性問題難點(diǎn)專練（原卷版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1的中點(diǎn)，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn).若點(diǎn)Q在線段B1P上，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的中點(diǎn)時，DQ⊥平面A1BDB．當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的三等分點(diǎn)時，DQ⊥平面A1BDC．在線段B1P的延長線上，存在一點(diǎn)Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在點(diǎn)Q，使得DQ⊥平面A1BD2．如圖，正方體的棱長為，為的中點(diǎn)，在側(cè)面上，若，則面積的最小值為（）A． B． C． D．3．已知長方體中，，點(diǎn)在線段上，平面過線段的中點(diǎn)以及點(diǎn)、，現(xiàn)有如下說法：（1），使得；（2）若，則平面截長方體所得截面為平行四邊形；（3）若，，則平面截長方體所得截面的面積為以上說法正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．4．如圖，平面平面是等邊三角形，四邊形是矩形，且，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，當(dāng)時，（）A．3 B． C． D．25．在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)（含頂點(diǎn)），則滿足的點(diǎn)P的個數(shù)為（）A．6 B．8 C．12 D．246．在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，則（）A．存在點(diǎn)使得B．存在點(diǎn)使得C．存在點(diǎn)使得D．存在點(diǎn)使得二、填空題7．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM＝60°.若以DA，DC，DS，分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則M的坐標(biāo)為_______.8．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，則AP的長為_____.

9．正三棱柱（底面是正三角形，側(cè)棱垂直底面）的各條棱長均相等，為的中點(diǎn)．、分別是、上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足．當(dāng)運(yùn)動時，下列結(jié)論中正確的是______(填上所有正確命題的序號)．①平面平面；②三棱錐的體積為定值；③可能為直角三角形；④平面與平面所成的銳二面角范圍為．10．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，動點(diǎn)M在側(cè)面AA1D1D內(nèi)運(yùn)動，且MB∥平面D1EF，則|MD|的取值范圍是__________________．11．如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則以下說法錯誤的是_______（寫序號）①N為上一點(diǎn)，則平面與平面所成二面角的大小與點(diǎn)N位置無關(guān)；②存在上一點(diǎn)P，使得平面；③三棱錐和體積相等；④上存在一點(diǎn)M，使得12．在棱長為1的正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動，且滿足．給出下列說法：①點(diǎn)P可以是棱的中點(diǎn)；②線段MP的最大值為；③點(diǎn)P的軌跡是正方形；④點(diǎn)P軌跡的長度為．其中所有正確說法的序號是________．13．如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在對角線上運(yùn)動．當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時，則______．14．如圖，在正方體中，E為棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動，對于下列三個結(jié)論：①存在點(diǎn)P，使得；②的面積越來越??；③四面體的體積不變.所有正確的結(jié)論的序號是_____________.三、解答題15．如圖，已知圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點(diǎn)，是圓臺上底面圓上的點(diǎn)，且平面平面，，，、分別是、的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若直線上平面且過點(diǎn)，試問直線上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等？若存在，求出點(diǎn)的所有可能位置；若不存在，請說明理由.16．如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角為，若存在，求出線段的長度；若不存在，說明理由.17．在正方體中，是棱的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)表示）；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，指明的位置并證明，若不存在，請說明理由.18．如圖，正方體，的棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求直線與平面所成角的大?。唬?）作出過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面，并求截面與側(cè)面所成的銳二面角的大?。唬?）點(diǎn)為的中點(diǎn)，動點(diǎn)在底面正方形（包括邊界）內(nèi)，若平面，求線段長度的取值范圍．19．如圖，在四棱錐中，底面，底面為直角梯形，，且．（1）若，直線與所成的角為，求二面角的大?。唬?）若E為線段上一點(diǎn)，試確定點(diǎn)E的位置，使得平面平面，并說明理由．20．在中，，，，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，滿足且DE經(jīng)過的重心，將沿DE折起到的位置，使，M是的中點(diǎn)，如圖所示.(1)求證：平面BCDE；(2)求CM與平面所成角的大小；(3)在線段上是否存在點(diǎn)N（N不與端點(diǎn)、B重合），使平面CMN與平面DEN垂直?若存在，求出與BN的比值；若不存在，請說明理由.專題07空間線段點(diǎn)的存在性問題難點(diǎn)專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、單選題1．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)棱AA1⊥底面A1B1C1，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，D是棱CC1的中點(diǎn)，P是AD的延長線與A1C1的延長線的交點(diǎn).若點(diǎn)Q在線段B1P上，則下列結(jié)論正確的是（）A．當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的中點(diǎn)時，DQ⊥平面A1BDB．當(dāng)點(diǎn)Q為線段B1P的三等分點(diǎn)時，DQ⊥平面A1BDC．在線段B1P的延長線上，存在一點(diǎn)Q，使得DQ⊥平面A1BDD．不存在點(diǎn)Q，使得DQ⊥平面A1BD【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】以點(diǎn)A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐個求解判斷即可【詳解詳析】以點(diǎn)A1為坐標(biāo)原點(diǎn)，A1B1，A1C1，A1A所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則由已知得A1(0，0，0)，B1(1，0，0)，C1(0，1，0)，B(1，0，1)，D，P(0，2，0)，則=(1，0，1)，，.設(shè)平面A1BD的一個法向量為，則取，則x=2，y=1，所以平面A1BD的一個法向量為.假設(shè)DQ⊥平面A1BD，且=λ，則.因為也是平面A1BD的一個法向量，所以與共線，則成立，所以但此關(guān)于λ的方程組無解.故不存在點(diǎn)Q，使得DQ⊥平面A1BD.故選：D.【名師指路】此題考查了利用空間向量判斷線面垂直的方法，屬于中檔題.2．如圖，正方體的棱長為，為的中點(diǎn)，在側(cè)面上，若，則面積的最小值為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】B【思路指引】作平面，，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由可得，由此得到關(guān)系；從而利用表示出，即的高，利用表示出的面積，利用二次函數(shù)最值求得面積的最值.【詳解詳析】過作平面，垂足為；作于點(diǎn)，連接以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系則，，，，，設(shè)，則，，當(dāng)時，故選：【名師指路】本題考查立體幾何中三角形面積最值的求解問題，關(guān)鍵是能夠?qū)⑺笕切蚊娣e利用一個變量表示出來，得到二次函數(shù)的形式，利用二次函數(shù)的最值求得面積的最值.3．已知長方體中，，點(diǎn)在線段上，平面過線段的中點(diǎn)以及點(diǎn)、，現(xiàn)有如下說法：（1），使得；（2）若，則平面截長方體所得截面為平行四邊形；（3）若，，則平面截長方體所得截面的面積為以上說法正確的個數(shù)為（）A． B． C． D．【標(biāo)準(zhǔn)答案】D【思路指引】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，由得出求出的值，可判斷（1）的正誤；確定截面與各棱的交點(diǎn)位置，結(jié)合平行四邊形的判斷方法可判斷（2）的正誤；計算出截面面積可判斷（3）的正誤.【詳解詳析】（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、，，，若，則，解得，（1）正確；對于（2），在棱找點(diǎn)，由面面平行的性質(zhì)可知，設(shè)點(diǎn)，，，因為，可設(shè)，則，則，則，當(dāng)時，，此時點(diǎn)在棱上，且有，故四邊形為平行四邊形，（2）正確；對于（3），設(shè)截面交棱于點(diǎn)，連接、，因為平面平面，平面平面，平面平面，所以，，由圖可知，，則，故，所以，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則、、、，可求得，，，，取的中點(diǎn)，連接，則，且，，，故，故，所以，截面面積為，（3）正確.故選：D.【名師指路】方法點(diǎn)睛：確定截面形狀，一般要結(jié)合線面平行、面面平行的性質(zhì)以及空間向量法確定各交點(diǎn)的位置，也可采用補(bǔ)形法等手段擴(kuò)展截面，進(jìn)而確定截面的形狀.4．如圖，平面平面是等邊三角形，四邊形是矩形，且，E是的中點(diǎn)，F(xiàn)是上一點(diǎn)，當(dāng)時，（）A．3 B． C． D．2【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】分別取的中點(diǎn)O，G，連接，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向別為x，y，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，，則其數(shù)量積為零，得出答案.【詳解詳析】分別取的中點(diǎn)O，G，連接，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，則．設(shè)，則．因為，所以，解得，所以．故選:C5．在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，若點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)（含頂點(diǎn)），則滿足的點(diǎn)P的個數(shù)為（）A．6 B．8 C．12 D．24【標(biāo)準(zhǔn)答案】C【思路指引】建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)，，考慮P在上底面的棱上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由題意可得，，計算即可得出結(jié)論．【詳解詳析】如圖所示：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，以DA所在的直線為x軸，以DC所在的直線為y軸，以DD1所在的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．則點(diǎn)，，考慮P在上底面的棱上，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，則由題意可得，．∴故即∵點(diǎn)P是棱上一點(diǎn)（含頂點(diǎn)），∴與正方形A1B1C1D1切于4個點(diǎn)，即上底面每條棱的中點(diǎn)即為所求點(diǎn)；同理P在右側(cè)面的棱上，也有4個點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，即與正方形切于個點(diǎn)，即右側(cè)面每條棱的中點(diǎn)即為所求點(diǎn)；同理可得：正方體每條棱的中點(diǎn)都滿足題意，故點(diǎn)的個數(shù)有個.故選：C．【名師指路】本題主要考察向量在幾何中的應(yīng)用，兩個向量的數(shù)量積公式，兩個向量坐標(biāo)形式的運(yùn)算，屬于中檔題．6．在正三棱柱中，，點(diǎn)滿足，則（）A．存在點(diǎn)使得B．存在點(diǎn)使得C．存在點(diǎn)使得D．存在點(diǎn)使得【標(biāo)準(zhǔn)答案】A【思路指引】通過題干條件可得：P點(diǎn)一定在線段上運(yùn)動，即一定在平面上，所以找到選項中的目標(biāo)線段的特點(diǎn)，只有A選項中A1C中含有的A1點(diǎn)能夠使得A1D（D為B1C1的中點(diǎn)）垂直平面BCC1B1.【詳解詳析】因為，由平面向量基本定理可得：P點(diǎn)一定在線段上，所以取的中點(diǎn)D，連接，過B作交CD于點(diǎn)H，交于點(diǎn)P，因為⊥，⊥，，所以⊥平面，因為平面，所以⊥，因為，所以⊥平面，因為平面，所以，其余均不可能．故選：A二、填空題7．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，SD⊥底面ABCD，AD＝，DC＝SD＝2，點(diǎn)M在側(cè)棱SC上，∠ABM＝60°.若以DA，DC，DS，分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，則M的坐標(biāo)為_______.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（0，1，1）以DA，DC，DS分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)∠ABM＝60°，利用空間向量的數(shù)量積可得，從而求出，再由向量的坐標(biāo)表示即可求解.【詳解詳析】解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD為矩形，∴DA，DC，DS兩兩垂直，如圖以D為原點(diǎn)，以DA，DC，DS分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.則D（0，0，0），B（，2，0），S（0，0，2），C（0，2，0），＝（0，﹣2，0）.＝（0，﹣2，2）.，設(shè)＝＝（0，﹣2λ，2λ），＝＝（﹣，﹣2λ，2λ）.∠ABM＝60°，可得：cos60°＝＝＝，解得λ＝，＝（0，﹣1，1），＝（0，1，1），M（0，1，1）.故答案為：（0，1，1）.8．如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，則AP的長為_____.

【標(biāo)準(zhǔn)答案】.【思路指引】由題意可建立分別以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后利用空間向量基本定理可得=λ+μ，從而可求出P的坐標(biāo)，進(jìn)而可得AP的長【詳解詳析】解：如圖，建立分別以AB，AD，AA1所在直線為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=a，P(0，0，b)，則A(0，0，0)，B1(a，0，1)，D(0，1，0)，E.于是=(a，0，1)，=(0，-1，b).∵DP∥平面B1AE，∴存在實數(shù)λ，μ，使=λ+μ，即(0，-1，b)=λ(a，0，1)+μ=.∴∴b=λ=，即AP=.故答案為：【名師指路】此題考查在空間幾何體中確定點(diǎn)的位置，利用了空間向量基本定量，屬于中檔題.9．正三棱柱（底面是正三角形，側(cè)棱垂直底面）的各條棱長均相等，為的中點(diǎn)．、分別是、上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足．當(dāng)運(yùn)動時，下列結(jié)論中正確的是______(填上所有正確命題的序號)．①平面平面；②三棱錐的體積為定值；③可能為直角三角形；④平面與平面所成的銳二面角范圍為．【標(biāo)準(zhǔn)答案】①②④【思路指引】由，得到線段一定過正方形的中心，由平面，可得平面平面；由的面積不變，到平面的距離不變，可得三棱錐的體積為定值；利用反證法思想說明不可能為直角三角形；平面與平面平行時所成角為0，當(dāng)與重合，與重合，平面與平面所成的銳二面角最大.【詳解詳析】如圖：當(dāng)、分別是、上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），且滿足，則線段一定過正方形的中心，而平面，平面，可得平面平面，故①正確；當(dāng)、分別是、上的動點(diǎn)（含端點(diǎn)），過點(diǎn)作邊上的高的長等于的長，所以的面積不變，由于平面，故點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，則點(diǎn)到平面的距離為定值，故三棱錐的體積為定值；所以②正確；由可得:,若為直角三角形，則一定是以為直角的直角三角形，但的最大值為，而此時，的長都大于，故不可能為直角三角形，所以③不正確；當(dāng)、分別是、的中點(diǎn)，平面與平面平行，所成角為0；當(dāng)與重合，與重合，平面與平面所成銳二面角最大；延長角于，連接，則平面平面，由于為的中點(diǎn)，，所以，且，故在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，在中，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，故，由于平面，所以平面，則，，所以平面與平面所成銳二面角最大為，故④正確；故答案為①②④【名師指路】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查學(xué)生空間想象能力和思維能力，屬于中檔題.10．正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4，E為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F滿足，動點(diǎn)M在側(cè)面AA1D1D內(nèi)運(yùn)動，且MB∥平面D1EF，則|MD|的取值范圍是__________________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】建立空間直角坐標(biāo)系，表示所需點(diǎn)的坐標(biāo)，求出平面D1EF的一個法向量，結(jié)合線面平行的向量表示可得動點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件，即可得解.【詳解詳析】因為ABCD﹣A1B1C1D1是正四棱柱，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)M（x,0,z），B（2,2,0），D1（0,0,4），E（2,1,0），因為，所以F是CC1四等分點(diǎn)（靠近C），所以F（0,2,1），所以，設(shè)平面D1EF的一個法向量為，則，即，令c＝2，則，故，又，平面D1EF，所以，即，所以，所以，故，因為0≤x≤2，0≤z≤4，所以，故，因為，所以|MD|在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)x＝時，|MD|取最大值，所以|MD|的最大值為，當(dāng)x＝2時，|MD|取最小值，所以|MD|的最小值為，所以|MD|的取值范圍是．故答案為：.11．如圖，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點(diǎn)，則以下說法錯誤的是_______（寫序號）①N為上一點(diǎn)，則平面與平面所成二面角的大小與點(diǎn)N位置無關(guān)；②存在上一點(diǎn)P，使得平面；③三棱錐和體積相等；④上存在一點(diǎn)M，使得【標(biāo)準(zhǔn)答案】②【思路指引】根據(jù)正方體的結(jié)構(gòu)特征，①由平面與平面所成二面角為定角即可判斷正誤；②分析法知要使平面，則有面面得到矛盾結(jié)論；③由、，應(yīng)用棱錐的體積公式求體積即可判斷正誤；④分析法要使只需找到時，M的位置即可.【詳解詳析】①由題設(shè)，平面與平面所成二面角即為平面與平面所成二面角，故與N位置無關(guān)，正確；②如下圖，要使平面，即平面，而面，所以有面面，顯然上述兩面不垂直，故錯誤；③若正方體的棱長為a，如下圖，，，又，，∴，，故體積相等，正確；④在面的射影為，故只要存在即可，當(dāng)則△△，易知此時，故正確.故答案為：②12．在棱長為1的正方體中，M，N分別為，的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正方體的表面上運(yùn)動，且滿足．給出下列說法：①點(diǎn)P可以是棱的中點(diǎn)；②線段MP的最大值為；③點(diǎn)P的軌跡是正方形；④點(diǎn)P軌跡的長度為．其中所有正確說法的序號是________．【標(biāo)準(zhǔn)答案】②④【思路指引】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以DA，DC，為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出的坐標(biāo)，從而得到MP的最大值，即可判斷選項②，通過分析判斷可得點(diǎn)P不可能是棱的中點(diǎn)，從而判斷選項①，又，，可判斷選項③和選項④．【詳解詳析】解：在正方體中，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，為x軸，y軸，∵該正方體的棱長為1，M，N分別為，的中點(diǎn)，∴，，，，∴，設(shè)，則，∵，∴，即當(dāng)時，，當(dāng)時，，取，，，，連結(jié)EF，F(xiàn)G，，HE，則，，∴四邊形EFGH為矩形，則，，即，，又和為平面中的兩條相交直線，∴平面EFGH，又，，∴M為EG的中點(diǎn)，則平面EFGH，為使，必有點(diǎn)平面EFGH，又點(diǎn)P在正方體表面上運(yùn)動，∴點(diǎn)P的軌跡為四邊形EFGH，因此點(diǎn)P不可能是棱的中點(diǎn)，故選項①錯誤；又，，∴，則點(diǎn)P的軌跡不是正方形且矩形EFGH周長為，故選項③錯誤，選項④正確；∵，，又，則，即，∴，點(diǎn)在正方體表面運(yùn)動，則，解，∴，故當(dāng)或，或1，MP取得最大值為，故②正確.故答案為：②④．13．如圖，在正方體中，，分別是棱，的中點(diǎn)，點(diǎn)在對角線上運(yùn)動．當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時，則______．【標(biāo)準(zhǔn)答案】【思路指引】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由與共線，可得，進(jìn)而結(jié)合空間兩點(diǎn)的距離公式表示出，然后利用函數(shù)的性質(zhì)求出最值即可.【詳解詳析】設(shè)正方體的棱長為1，以為原點(diǎn)，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：則，，的中點(diǎn)，，，則，設(shè)，，由與共線，可得，所以，所以，其中，因為，，所以，所以，即是動點(diǎn)到直線的距離，由空間兩點(diǎn)間的距離公式可得，所以當(dāng)時，取得最小值，此時為線段的中點(diǎn)，由于為定值，所以當(dāng)?shù)拿娣e取得最小值時，為線段的中點(diǎn)．故答案為：.14．如圖，在正方體中，E為棱的中點(diǎn)，動點(diǎn)沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動，對于下列三個結(jié)論：①存在點(diǎn)P，使得；②的面積越來越??；③四面體的體積不變.所有正確的結(jié)論的序號是_____________.【標(biāo)準(zhǔn)答案】①②③【思路指引】建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出（），選項①，列出方程，求出m的值；選項②，利用點(diǎn)到直線距離的向量公式表達(dá)出P到直線距離，表達(dá)出的面積，進(jìn)而得到答案；③把作為底，高為點(diǎn)P到上底面的距離，可以判斷四面體的體積不變.【詳解詳析】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為2，則，，設(shè)（），則，，令，解得：，存在點(diǎn)P，使得，①正確；，，，，設(shè)點(diǎn)P到直線距離為，則所以，因為，動點(diǎn)沿著棱DC從點(diǎn)D向點(diǎn)C移動，即從0逐漸變到2，隨著的變大，變小，的面積越來越小，②正確；以為底，高為點(diǎn)P到上底面的距離，因為∥底面，所以h不變，所以四面體的體積不變，③正確.故答案為：①②③三、解答題15．如圖，已知圓臺下底面圓的直徑為，是圓上異于、的點(diǎn)，是圓臺上底面圓上的點(diǎn)，且平面平面，，，、分別是、的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)若直線上平面且過點(diǎn)，試問直線上是否存在點(diǎn)，使直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等？若存在，求出點(diǎn)的所有可能位置；若不存在，請說明理由.【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)證明見解析；(2)存在，點(diǎn)與點(diǎn)重合.【思路指引】（1）證明出，利用面面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知軸在平面內(nèi)，分析可知，設(shè)點(diǎn)，利用空間向量法結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得出結(jié)論.(1)證明：因為為圓的一條直徑，且是圓上異于、的點(diǎn)，故，又因為平面平面，平面平面，平面，所以平面.(2)解：存在，理由如下：如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，為軸，過垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，易知軸在平面內(nèi)，則，，，，，，由直線平面且過點(diǎn)，以及平面，得，設(shè)，則，，，設(shè)平面的法向量為，則則，即，取，得，易知平面的法向量，設(shè)直線與平面所成的角為，平面與平面的夾角為，則，，由，得，即，解得，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，直線與平面所成的角和平面與平面的夾角相等.16．如圖，在直三棱柱中，，，，.（1）證明：平面；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成的銳二面角為，若存在，求出線段的長度；若不存在，說明理由.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）證明見解析；（2）存在，【思路指引】（1）易得，同時由直三棱柱的性質(zhì)可得平面平面，又，所以平面，得，故可得平面；（2）分別以，，方向為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，由空間向量法可得的值.【詳解詳析】（1）由已知可得四邊形為正方形，所以，因為幾何體是直三棱柱，所以平面平面，又，所以平面，得，因為，所以平面，（2）如圖，由已知，，兩兩垂直，分別以，，方向為，，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，則，所以，，設(shè)平面的一個法向量為，則，，取，得，平面的一個法向量為.所以解得，因為，所以，所以線段上存在點(diǎn)，且，使得平面與平面所成的銳二面角為.【名師指路】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理及二面角的求法，考查學(xué)生的空間想象能力與計算能力，屬于中檔題.17．在正方體中，是棱的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）；（2）在棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，指明的位置并證明，若不存在，請說明理由.【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）存在，是棱的中點(diǎn).【思路指引】（1）設(shè)正方體的棱長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出直線與平面所成角的正弦值，由此可求得結(jié)果；（2）設(shè)點(diǎn)，計算出平面的一個法向量為，分析可得，求出實數(shù)的值，即可得出結(jié)論.【詳解詳析】（1）設(shè)正方體的棱長為，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、，，易知，平面的一個法向量為，因為，因此，直線與平面所成角的大小為；（2）易知點(diǎn)、、、，則，，設(shè)平面的法向量為，由，可得，取，可得，設(shè)點(diǎn)，則，因為平面，則，解得，此時，.因此，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，平面.18．如圖，正方體，的棱長為2，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求直線與平面所成角的大小；（2）作出過，，三點(diǎn)的平面截正方體所得的截面，并求截面與側(cè)面所成的銳二面角的大??；（3）點(diǎn)為的中點(diǎn)，動點(diǎn)在底面正方形（包括邊界）內(nèi)，若平面，求線段長度的取值范圍．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）；（2）作圖見解析；；（3）．【思路指引】（1）如圖以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，（2）利用空間向量求出平面的法向量和側(cè)面的法向量，利用空間向量求解，或取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線，垂足為，連接，，可證得為面與側(cè)面所成的銳二面角，然后在中求解即可，（3）設(shè)，則，由平面，可得，求出的關(guān)系，再用距離公式可表示出，結(jié)合的范圍可得結(jié)果【詳解詳析】解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，（1），，設(shè)平面的法向量，直線與平面所成角為則，取∴∴